Отношения векторной алгебры

редактировать

Формулы о векторах в трехмерном евклидовом пространстве

Приведенные ниже отношения применимы к векторам в трехмерном евклидовом пространстве. Некоторые, но не все, распространяются на векторы более высоких размерностей. В частности, векторное произведение векторов определяется только в трех измерениях (но см. Семимерное перекрестное произведение ).

Содержание

1 Величины
2 Неравенства
3 Углы
4 Площади и объемы
5 Сложение и умножение векторов
6 См. Также
7 Ссылки

Величины

Величина вектора A определяется его тремя компонентами вдоль трех ортогональных направлений с использованием теоремы Пифагора :

‖ A ‖ 2 = A 1 2 + A 2 2 + A 3 2 {\ displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} + A_ {3} ^ {2}}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} = A_ {1} ^ {2} + A_ {2 } ^ {2} + A_ {3} ^ {2}}

Величину также можно выразить с помощью скалярного произведения :

‖ A ‖ 2 = A ⋅ A {\ displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} = \ mathbf {A \ cdot A} }

{\ displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} = \ mathbf {A \ cdot A}}

Неравенства

A ⋅ B ‖ A ‖ ‖ B ‖ ≤ 1 {\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {A \ cdot B}} {\ | \ mathbf {A} \ | \ | \ mathbf { B} \ |}} \ leq 1}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {A \ cdot B}} {\ | \ mathbf {A } \ | \ | \ mathbf {B} \ |}} \ leq 1}

; Неравенство Коши – Шварца в трех измерениях

‖ A + B ‖ ≤ ‖ A ‖ + ‖ B ‖ {\ displaystyle \ | \ mathbf {A + B } \ | \ leq \ | \ mathbf {A} \ | + \ | \ mathbf {B} \ |}

\ | \ mathbf {A + B} \ | \ le \ | \ mathbf {A} \ | + \ | \ mathbf {B} \ |

; неравенство треугольника в трех измерениях

‖ A - B ‖ ≥ ‖ A ‖ - ‖ B ‖ {\ displaystyle \ | \ mathbf {AB} \ | \ geq \ | \ mathbf {A} \ | - \ | \ mathbf {B} \ |}

\ | \ mathbf {A - B} \ | \ ge \ | \ mathbf {A} \ | - \ | \ mathbf {B} \ |

; неравенство обратного треугольника

Здесь обозначение (A · B ) обозначает скалярное произведение векторов A и B.

Углы

Векторное произведение и скалярное произведение двух векторов определяют угол между ними, скажем, θ:

sin ⁡ θ = ‖ A × B ‖ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (- π < θ ≤ π) {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A\times B} \|}{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\ \ (-\pi <\theta \leq \pi)}

\ sin \ theta = \ frac {\ | \ mathbf {A \ times B} \ |} {\ | \ mathbf A \ | \ | \ mathbf B \ |} \ \ (- \ pi <\ theta \ le \ pi)

Чтобы удовлетворить правило правой руки, для положительного θ вектор B направлен против часовой стрелки от A, а для отрицательного θ - по часовой стрелке.

cos ⁡ θ = A ⋅ B ‖ A ‖ ‖ B ‖ (- π < θ ≤ π) {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A\cdot B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\ \ (-\pi <\theta \leq \pi)}

\ cos \ theta = \ frac {\ mathbf {A \ cdot B}} {\ | \ mathbf A \ | \ | \ mathbf B \ |} \ \ (- \ pi <\ theta \ le \ pi)

Здесь обозначение A × B обозначает вектор перекрестное произведение векторов A и B . тригонометрическое тождество Пифагора затем обеспечивает:

‖ A × B ‖ 2 + (A ⋅ B) 2 = ‖ A ‖ 2 ‖ B ‖ 2 {\ displaystyle \ | \ mathbf {A \ times B} \ | ^ {2} + (\ mathbf {A \ cdot B}) ^ {2} = \ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} \ | \ mathbf {B} \ | ^ {2}}

\ | \ mathbf {A \ times B} \ | ^ 2 + (\ mathbf {A \ cdot B}) ^ 2 = \ | \ mathbf A \ | ^ 2 \ | \ mathbf B \ | ^ 2

Если вектор A = (A x, A y, A z) составляет углов α, β, γ с ортогональным набором осей x, y и z, тогда:

cos ⁡ α = A x A x 2 + A y 2 + A Z 2 знак равно A Икс ‖ A ‖, {\ Displaystyle \ соз \ альфа = {\ гидроразрыва {A_ {x}} {\ sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2} + A_ { z} ^ {2}}}} = {\ frac {A_ {x}} {\ | \ mathbf {A} \ |}} \,}

\ cos \ alpha = \ frac {A_x} {\ sqrt {A_x ^ 2 + A_y ^ 2 + A_z ^ 2}} = \ frac {A_x} {\ | \ mathbf A \ |} \,

и аналогично для углов β, γ. Следовательно:

A = ‖ A ‖ (соз ⁡ α я ^ + соз ⁡ β j ^ + cos ⁡ γ k ^), {\ displaystyle \ mathbf {A} = \ | \ mathbf {A} \ | \ left (\ cos \ alpha \ {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ cos \ beta \ {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ cos \ gamma \ {\ hat {\ mathbf {k}} } \ right) \,}

\ mathbf A = \ | \ mathbf A \ | \ left (\ cos \ alpha \ \ hat {\ mathbf i} + \ соз \ бета \ \ шляпа {\ mathbf j} + \ соз \ гамма \ \ шляпа {\ mathbf k} \ right) \,

с $i ^, j ^, k ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}, \ {\ hat {\ mathbf {j}}}, \ {\ hat {\ mathbf {k}}}}$ $\ hat {\ mathbf я}, \ \ шляпа {\ mathbf j}, \ \ шляпа {\ mathbf k}$ единичные векторы вдоль направлений осей.

Площади и объемы

Площадь Σ параллелограмма со сторонами A и B, содержащими угол θ, равна:

Σ = AB sin ⁡ θ, {\ displaystyle \ Sigma = AB \ \ sin \ theta \,}

\ Sigma = AB \ \ sin \ theta \,

, который будет распознан как величина векторного векторного произведения векторов A и B, расположенных по сторонам параллелограмма. То есть:

Σ = ‖ A × B ‖ = ‖ A ‖ 2 ‖ B ‖ 2 - (A ⋅ B) 2. {\ Displaystyle \ Sigma = \ | \ mathbf {A \ times B} \ | = {\ sqrt {\ | \ mathbf {A} \ | ^ {2} \ | \ mathbf {B} \ | ^ {2} - (\ mathbf {A \ cdot B}) ^ {2}}} \.}

\ Sigma = \ | \ mathbf {A \ times B} \ | = \ sqrt {\ | \ mathbf A \ | ^ 2 \ | \ mathbf B \ | ^ 2 - (\ mathbf {A \ cdot B}) ^ 2} \.

(Если A, B- двумерные векторы, это равно определителю матрицы 2 × 2 со строками A, B.) Квадрат этого выражения:

Σ 2 = (A ⋅ A) (B ⋅ B) - (A ⋅ B) (B ⋅ A) = Γ (A, B), {\ displaystyle \ Sigma ^ {2} = (\ mathbf {A \ cdot A}) (\ mathbf {B \ cdot B}) - (\ mathbf {A \ cdot B}) (\ mathbf {B \ cdot A}) = \ Gamma (\ mathbf {A}, \ \ mathbf {B}) \,}

\ Sigma ^ 2 = (\ mathbf {A \ cdot A}) (\ mathbf {B \ cdot B}) - (\ mathbf {A \ cdot B}) ( \ mathbf {B \ cdot A}) = \ Gamma (\ mathbf A, \ \ mathbf B) \,

где Γ (A, B) - определитель грамма для A и B определяется следующим образом:

Γ (A, B) = | A ⋅ A A ⋅ B B ⋅ A B ⋅ B |. {\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {A}, \ \ mathbf {B}) = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {A \ cdot A} \ mathbf {A \ cdot B} \\\ mathbf {B \ cdot A} \ mathbf {B \ cdot B} \ end {vmatrix}} \.}

\ Gamma (\ mathbf A, \ \ mathbf Б) = \ begin {vmatrix} \ mathbf {A \ cdot A} \ mathbf {A \ cdot B} \\ \ mathbf {B \ cdot A} \ mathbf {B \ cdot B} \ end {vmatrix} \.

Аналогичным образом, квадрат объема V параллелепипеда , охватываемого тремя векторами A, B, Cзадается определителем Грама трех векторов:

V 2 = Γ (A, B, C) = | A ⋅ A A ⋅ B A ⋅ C B ⋅ A B ⋅ B B ⋅ C C ⋅ A C ⋅ B C ⋅ C |, {\ displaystyle V ^ {2} = \ Gamma (\ mathbf {A}, \ \ mathbf {B}, \ \ mathbf {C}) = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {A \ cdot A} \ mathbf {A \ cdot B} \ mathbf {A \ cdot C} \\\ mathbf {B \ cdot A} \ mathbf {B \ cdot B} \ mathbf {B \ cdot C} \\\ mathbf {C \ cdot A} \ mathbf {C \ cdot B} \ mathbf {C \ cdot C} \ end {vmatrix}} \,}

{\ displaystyle V ^ {2} = \ Gamma (\ mathbf {A}, \ \ mathbf {B}, \ \ mathbf {C}) = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {A \ cdot A} \ mathbf {A \ cdot B} \ mathbf {A \ cdot C} \\\ mathbf {B \ cdot A } \ mathbf {B \ cdot B} \ mathbf {B \ cdot C} \\\ mathbf {C \ cdot A} \ mathbf {C \ cdot B} \ mathbf {C \ cdot C} \ end { vmatrix}} \,}

Поскольку A, B, C - трехмерные векторы, это равно квадрату скалярного тройного произведения $det [A, B, C] = | A, B, C | {\ displaystyle \ mathrm {det} [\ mathbf {A}, \ mathbf {B}, \ mathbf {C}] = | \ mathbf {A}, \ mathbf {B}, \ mathbf {C} |}$ ${\ displaystyle \ mathrm {det} [\ mathbf {A}, \ mathbf {B}, \ mathbf {C}] = | \ mathbf {A}, \ mathbf {B}, \ mathbf {C} |}$ ниже.

Этот процесс можно расширить до n измерений.

Сложение и умножение векторов

Некоторые из следующих алгебраических соотношений относятся к скалярному произведению и перекрестному произведению векторов.

$А + В знак равно В + А {\ Displaystyle \ mathbf {A} + \ mathbf {B} = \ mathbf {B} + \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} + \ mathbf {B} = \ mathbf {B} + \ mathbf {A}}$ ; коммутативность сложения
$A ⋅ B = B ⋅ A {\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {A}$ ; коммутативность скалярного произведения
$A × B = - B × A {\ displaystyle \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} = \ mathbf {-B} \ times \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} = \ mathbf {-B} \ times \ mathbf {A}$ ; антикоммутативность векторного произведения
$c (A + B) = c A + c B {\ displaystyle c (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = c \ mathbf {A} + c \ mathbf {B} }$ $c (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) = c \ mathbf {A} + c \ mathbf {B}$ ; дистрибутивность умножения на скаляр по сложению
$(A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C {\ displaystyle \ left (\ mathbf {A} + \ mathbf {B} \ right) \ cdot \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C} + \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {C}}$ $\ left (\ mathbf {A} + \ mathbf {B} \ right) \ cdot \ mathbf { C} = \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C} + \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {C}$ ; дистрибутивность скалярного произведения над сложением
$(A + B) × C = A × C + B × C {\ displaystyle (\ mathbf {A} + \ mathbf {B}) \ times \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ times \ mathbf {C} + \ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {A} + \ mathbf { B}) \ times \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ times \ mathbf {C} + \ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}}$ ; дистрибутивность векторного произведения над сложением
$A ⋅ (B × C) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ (A × B) {\ displaystyle \ mathbf {A} \ cdot (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}) = \ mathbf {B} \ cdot (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {A}) = \ mathbf {C} \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) }$ ${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ cdot (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}) = \ mathbf {B} \ cdot (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {A}) = \ mathbf {C} \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B})}$ $= | A B C | = | A x B x C x A y B y C y A z B z C z | {\ displaystyle = | \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} | = \ left | {\ begin {array} {ccc} A_ {x} B_ {x} C_ {x} \\ A_ {y} B_ {y} C_ {y} \\ A_ {z} B_ {z} C_ {z} \ end {array}} \ right |}$ ${\ displaystyle = | \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} | = \ left | {\ begin {array} {ccc} A_ {x} B_ {x} C_ {x} \\ A_ {y} B_ {y} C_ {y} \\ A_ {z} B_ {z} C_ {z} \ end {array}} \ right |}$ (тройное скалярное произведение )
$A × ( B × C) знак равно (A ⋅ C) B - (A ⋅ B) C {\ displaystyle \ mathbf {A} \ times (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}) = (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C}) \ mathbf {B} - (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ times (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}) = (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C}) \ mathbf {B} - (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {C}}$ (векторное тройное произведение )
$(A × B) × C = (A ⋅ C) B - (B ⋅ C) A {\ displaystyle (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ times \ mathbf {C} = (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C }) \ mathbf {B} - (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {C}) \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ times \ mathbf {C} = (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C}) \ mathbf {B} - (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {C}) \ mathbf {A}}$ (векторное тройное произведение )
$A × (B × C) = (A × B) × C + B × (A × C) {\ displaystyle \ mathbf {A} \ times (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}) = (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ times \ mathbf {C} + \ mathbf {B} \ times (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {C})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ times (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}) = (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ times \ mathbf {C} + \ mathbf {B} \ times (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {C})}$ (тождество Якоби )
$A × (B × C) + C × (A × В) + В × (С × А) знак равно 0 {\ Displaystyle \ mathbf {A} \ раз (\ mathbf {B} \ t imes \ mathbf {C}) + \ mathbf {C} \ times (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) + \ mathbf {B} \ times (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {A}) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ times (\ mathbf {B} \ times \ ma thbf {C}) + \ mathbf {C} \ times (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) + \ mathbf {B} \ times (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {A}) = 0}$ (тождество Якоби )
$(A ⋅ (B × C)) D = (A ⋅ D) (B × C) + (B ⋅ D) (C × A) + (C ⋅ D) (A × B) {\ Displaystyle \! (\ Mathbf {A} \ cdot (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C})) \, \ mathbf {D} = (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {D}) \ left (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C} \ right) + \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {A} \ right) + \ left (\ mathbf {C} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} \ right)}$ ${\ displaystyle \! (\ mathbf {A } \ cdot (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C})) \, \ mathbf {D} = (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {D}) \ left (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C} \ right) + \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {A} \ right) + \ left (\ mathbf {C} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} \ right)}$
$(A × B) ⋅ (C × D) знак равно (A ⋅ C) (B ⋅ D) - (B ⋅ C) (A ⋅ D) {\ displaystyle \ mathbf {\ left (A \ times B \ right) \ cdot} \ left (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {D} \ right) = \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C} \ right) \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {D} \ right) - \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {C} \ right) \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {D} \ right)}$ $\ mathbf {\ left (A \ times B \ right) \ cdot} \ left (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {D} \ right) = \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {C} \ right) \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {D} \ right) - \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {C} \ right) \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {D} \ right)$ ; Бине –Коши идентичность в трех измерениях
$| A × B | 2 знак равно (A ⋅ A) (B ⋅ B) - (A ⋅ B) 2 {\ displaystyle | \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} | ^ {2} = (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A}) (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B}) - (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} | ^ {2} = (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A}) (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B}) - (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B}) ^ {2}}$ ; Тождество Лагранжа в трех измерениях

$| A B C | D знак равно (A ⋅ D) (B × C) + (B ⋅ D) (C × A) + (C ⋅ D) (A × B) {\ displaystyle | \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} | \, \ mathbf {D} \ = \ \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C } \ right) \, + \, \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {A} \ right) \, + \, \ left (\ mathbf {C} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} \ right)}$ ${\ Displaystyle | \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} | \, \ mathbf {D} \ = \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C} \ right) \, + \, \ left (\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left ( \ mathbf {C} \ times \ mathbf {A} \ right) \, + \, \ left (\ mathbf {C} \ cdot \ mathbf {D} \ right) \ left (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} \ right)}$
$(A × B) × (C × D) Знак равно (A ⋅ (B × D)) C - (A ⋅ (B × C)) D {\ displaystyle \! (\ Mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ times (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {D}) = \ left (\ mathbf {A} \ cdot (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {D}) \ right) \ mathbf {C} - \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ left (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C} \ right) \ right) \ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \! (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ times (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {D}) = \ left (\ mathbf {A} \ cdot (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {D}) \ right) \ mathbf {C} - \ left (\ mathbf {A} \ cdot \ left (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C} \ right) \ right) \ mathbf {D}}$ (векторное четырехкратное произведение)
$(A × B) × ( C × D) = | A B D | C - | A B C | D = | A C D | B - | B C D | A {\ Displaystyle (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ times (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {D}) \ = \ | \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {D} | \, \ mathbf {C} \, - \, | \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} | \, \ mathbf {D} \ = \ | \ mathbf {A} \, \ mathbf {C} \, \ mathbf {D} | \, \ mathbf {B} \, - \, | \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} \, \ mathbf {D} | \, \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) \ times (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {D}) \ = \ | \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {D} | \, \ mathbf { C} \, - \, | \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} | \, \ mathbf {D} \ = \ | \ mathbf {A} \, \ mathbf {C } \, \ mathbf {D} | \, \ mathbf {B} \, - \, | \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} \, \ mathbf {D} | \, \ mathbf {A}}$

В трех измерениях вектор D может быть выражен в терминах базиса {A,B,C} как:

D = D ⋅ (B × C) | A B C | A + D ⋅ (C × A) | A B C | B + D ⋅ (A × B) | A B C | C. {\ Displaystyle \ mathbf {D} \ = \ {\ frac {\ mathbf {D} \ cdot (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C})} {| \ mathbf {A} \, \ mathbf {B } \, \ mathbf {C} |}} \ \ mathbf {A} + {\ frac {\ mathbf {D} \ cdot (\ mathbf {C} \ times \ mathbf {A})} {| \ mathbf {A } \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} |}} \ \ mathbf {B} + {\ frac {\ mathbf {D} \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B}) } {| \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} |}} \ \ mathbf {C} \.}

{\ displaystyle \ mathbf {D} \ = \ {\ frac {\ mathbf {D} \ cdot (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {C}) } {| \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} |}} \ \ mathbf {A} + {\ frac {\ mathbf {D} \ cdot (\ mathbf {C} \ раз \ mathbf {A})} {| \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} |}} \ \ mathbf {B} + {\ frac {\ mathbf {D} \ cdot (\ mathbf {A} \ times \ mathbf {B})} {| \ mathbf {A} \, \ mathbf {B} \, \ mathbf {C} |}} \ \ mathbf {C} \.}

См. также

Ссылки