Войти
В математике, a переменная - это символ, который функционирует как заполнитель для различных выражений или величин и часто используется для представления произвольного элемента из набора . Помимо чисел, переменные обычно используются для представления векторов, матриц и функций.
Выполнение алгебраических вычислений с переменные, как если бы они были явными числами, позволяют решить ряд задач за одно вычисление. Типичным примером является квадратная формула , которая позволяет решать каждое квадратное уравнение , просто подставляя числовые значения коэффициентов данного уравнения вместо переменных, которые их представляют.
В математической логике переменная - это либо символ, представляющий неуказанный терм теории (т. Е. метапеременная ), либо основной объект теории - которым манипулируют, не обращаясь к его возможной интуитивной интерпретации.
«Переменная» происходит от латинского слова «вариабилис», где «вари (нас)» означает «различные» и «-ābilis». значение «-able», что означает «способный к изменению».
В 7 веке Брахмагупта использовал разные цвета для обозначения неизвестного в алгебраических уравнениях в Brāhmasphuṭasiddhānta. Один из разделов этой книги называется «Уравнения нескольких цветов».
В конце 16 века Франсуа Виет представил идею представления известных и неизвестных чисел буквами, в настоящее время называемых переменные и идея вычисления с ними, как если бы они были числами, чтобы получить результат простой заменой. Согласно соглашению Виэта, для известных значений используются согласные, а для неизвестных - гласные.
В 1637 году Рене Декарт «изобрел соглашение о представлении неизвестных в уравнениях посредством x, y и z, и знает как a, b и c ". Вопреки соглашению Виэта, слово Декарта все еще широко используется.
Начиная с 1660-х годов Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц независимо друг от друга разработали исчисление бесконечно малых, которое, по сути, состоит из изучения того, как бесконечно малое изменение переменной величины вызывает соответствующее изменение другой величины, которая является функцией первой переменной. Почти столетие спустя Леонард Эйлер зафиксировал терминологию исчисления бесконечно малых и ввел обозначение y = f (x) для функции f, ее переменной x и ее значения y. До конца XIX века слово «переменная» относилось почти исключительно к аргументам и значениям функций.
Во второй половине XIX века выяснилось, что основы исчисления бесконечно малых не были достаточно формализованы, чтобы иметь дело с очевидными парадоксами, такими как нигде дифференцируемая непрерывная функция. Чтобы решить эту проблему, Карл Вейерштрасс ввел новый формализм, состоящий в замене интуитивного понятия предел формальным определением. Старое понятие предела было «когда переменная x изменяется и стремится к a, затем f (x) стремится к L», без какого-либо точного определения «имеет тенденцию». Вейерштрасс заменил это предложение формулой
в при этом ни одна из пяти переменных не считается изменяющейся.
Эта статическая формулировка привела к современному понятию переменной, которое представляет собой просто символ, представляющий математический объект, который либо неизвестен, либо может быть заменен любым элементом данного установить (например, набор вещественных чисел ).
Обычно переменные играют разные роли в одной и той же математической формуле, и для их различения были введены имена или квалификаторы. Например, общее кубическое уравнение
интерпретируется как имеющая пять переменных: четыре, a, b, c, d, которые считаются заданными числами, а пятая переменная x считается неизвестным числом. Чтобы различать их, переменная x называется неизвестной, а другие переменные называются параметрами или коэффициентами, а иногда и константами, хотя эта последняя терминология неверна для уравнения и должна быть зарезервирована для функция, определяемая левой частью этого уравнения.
В контексте функций термин «переменная» обычно относится к аргументам функций. Обычно это имеет место в таких предложениях, как «функция действительной переменной », «x - это переменная функции f: x ↦ f (x)», «f - функция переменной x». (это означает, что аргумент функции ссылается на переменную x).
В том же контексте переменные, не зависящие от x, определяют функции-константы и поэтому называются постоянными. Например, константа интегрирования - это произвольная постоянная функция, которая добавляется к конкретному первообразному для получения других первообразных. Из-за сильной взаимосвязи между полиномами и функцией полинома, термин «константа» часто используется для обозначения коэффициентов полинома, которые являются постоянными функциями неопределенных.
Использование термина «константа» в качестве сокращения «постоянной функции» следует отличать от обычного значения этого слова в математике. константа или математическая константа - это хорошо и однозначно определенное число или другой математический объект, например, числа 0, 1, π и элемент идентичности группы .
Другие конкретные имена переменных:
Все эти наименования переменных имеют семантическую природу, и способ вычисления с ними (синтаксис ) является одинаково для всех.
В исчислении и его применении в физике и других науках довольно часто рассматривается переменная, например y, возможные значения которой зависят от значения другой переменной, скажем x. С математической точки зрения зависимая переменная y представляет значение функции функции от x. Чтобы упростить формулы, часто бывает полезно использовать один и тот же символ для зависимой переменной y и функции, отображающей x на y. Например, состояние физической системы зависит от измеримых величин, таких как давление, температура, пространственное положение,..., и все эти величины меняются при развитии системы., то есть они являются функцией времени. В формулах, описывающих систему, эти величины представлены переменными, которые зависят от времени и, таким образом, неявно рассматриваются как функции времени.
Следовательно, в формуле зависимая переменная - это переменная, которая неявно является функцией другой (или нескольких других) переменных. независимая переменная - это переменная, которая не является зависимой.
Свойство переменной быть зависимой или независимой часто зависит от точки зрения и не является внутренним. Например, в обозначении f (x, y, z) все три переменные могут быть независимыми, а обозначение представляет функцию трех переменных. С другой стороны, если y и z зависят от x (являются зависимыми переменными), тогда запись представляет функцию единственной независимой переменной x.
Если определить функцию f из действительные числа в действительные числа на
, тогда x - это переменная, обозначающая аргумент определяемой функции, который может быть любым действительным числом. В идентичности
переменная i - это переменная суммирования, которая, в свою очередь, обозначает каждое из целых чисел 1, 2,..., n (ее также называют индексом, потому что ее вариация превышает дискретный набор значений), а n - параметр (в формуле он не меняется).
В теории полиномов полином степени 2 обычно обозначается как ax + bx + c, где a, b и c называются коэффициентами (они считаются фиксированными, т. е. параметры рассматриваемой задачи), а x называется переменной. При изучении этого полинома для его полиномиальной функции этот x обозначает аргумент функции. При изучении полинома как объекта само по себе x считается неопределенным и часто вместо этого записывается с заглавной буквы, чтобы указать этот статус.
В математике переменные обычно обозначаются одной буквой. Однако за этой буквой часто следует нижний индекс, как в x 2, и этот нижний индекс может быть числом, другой переменной (x i), словом или аббревиатурой слово (x in и x out) и даже математическое выражение. Под влиянием информатики в чистой математике можно встретить некоторые имена переменных, состоящие из нескольких букв и цифр.
После французского философа и математика 17 века Рене Декарта буквы в начале алфавита, например a, b, c обычно используются для известных значений и параметров, а буквы в конце алфавита, например x, y, z и t обычно используются для неизвестных и переменных функций. В печатной математике обычно задаются переменные и константы курсивом .
. Например, общая квадратичная функция обычно записывается как:
где a, b и c - параметры (также называемые константами, потому что они постоянные функции ), а x - переменная функции. Более явный способ обозначить эту функцию:
, который делает статус аргумента функции of x ясно, и тем самым неявно постоянный статус a, b и c. Поскольку c встречается в члене, который является постоянной функцией от x, он называется постоянным членом.
Конкретные области и приложения математики обычно имеют особые соглашения об именах для переменных. Переменным с похожими ролями или значениями часто присваиваются последовательные буквы. Например, три оси в координатном пространстве 3D условно называются x, y и z. В физике имена переменных во многом определяются физической величиной, которую они описывают, но существуют различные соглашения об именах. Соглашение, которому часто следуют в вероятность и статистика, заключается в использовании X, Y, Z для имен случайных величин, сохраняя x, y, z для переменных, представляющих соответствующие фактические значения.
Есть много других способов обозначения. Обычно переменные, которые играют аналогичную роль, представлены последовательными буквами или одной и той же буквой с разными нижним индексом . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных вариантов использования.
