Осциллятор Ван-дер-Поля

редактировать

Фазовый портрет не принудительного осциллятора Ван-дер-Поля, показывающий предельный цикл и поле направления

Развитие предельного цикла на фазовой плоскости. Предельный цикл начинается с круга и с изменением μ становится все более острым. Пример осциллятора релаксации.

В динамике, осциллятор Ван дер Поля является неконсервативным осциллятором с нелинейным демпфированием. Он изменяется во времени в соответствии с дифференциальным уравнением второго порядка :

d 2 xdt 2 - μ (1 - x 2) dxdt + x = 0, {\ displaystyle {d ^ {2} x \ over dt ^ {2}} - \ mu (1-x ^ {2}) {dx \ over dt} + x = 0,}

{\ displaystyle {d ^ {2 } x \ over dt ^ {2}} - \ mu (1-x ^ {2}) {dx \ over dt} + x = 0,}

, где x - координата позиции , то есть функция времени t, а μ - скалярный параметр , указывающий нелинейность и силу демпфирования.

Содержание

1 История
2 Двумерная форма
3 Результаты для ненагруженного осциллятора
4 Гамильтониан для осциллятора Ван-дер-Поля
5 Принудительный осциллятор Ван-дер-Поля
6 Популярные культура
7 См. также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

История

Генератор Ван дер Поля был первоначально предложен голландским инженером-электриком и физиком Бальтазар ван дер Поль, когда он работал в Philips. Ван дер Пол обнаружил устойчивые колебания, которые он впоследствии назвал релаксационными колебаниями и теперь известны как тип предельного цикла в электрических цепях, использующих вакуум. трубки. Когда эти схемы приводятся в действие около предельного цикла, они становятся увлеченными, то есть управляющий сигнал тянет за собой ток. Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили в выпуске Nature за сентябрь 1927 года, что на определенных частотах возбуждения слышен нерегулярный шум, который был позже выяснилось, что оно является результатом детерминированного хаоса.

Уравнение Ван дер Поля имеет долгую историю использования как в физических, так и в биологических науках. Например, в биологии Фитцхью и Нагумо расширили уравнение в планарном поле как модель для потенциалов действия нейронов. Уравнение также использовалось в сейсмологии для моделирования двух плит в геологическом разломе и в исследованиях фонации для моделирования правой и левой голосовые связки осцилляторы.

Двумерная форма

Теорема Льенара может быть использована для доказательства того, что система имеет предельный цикл. Применение преобразования Льенара $y = x - x 3/3 - x ˙ / μ {\ displaystyle y = xx ^ {3} / 3 - {\ dot {x}} / \ mu}$ $y = xx ^ {3} / 3 - {\ dot {x}} / \ mu$ , где точка указывает производную по времени, осциллятор Ван дер Поля можно записать в его двумерной форме:

x ˙ = μ (x - 1 3 x 3 - y) {\ displaystyle {\ dot {x} } = \ му \ влево (х - {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3} -y \ right)}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = \ mu \ left (x - {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3} -y \ right)}

y ˙ = 1 μ x {\ displaystyle {\ dot {y}} = {\ frac {1} {\ mu}} x}

{\ displaystyle {\ dot {y}} = {\ frac {1} {\ mu }} x}

Еще одна широко используемая форма, основанная на преобразовании $y = x ˙ {\ displaystyle y = {\ dot {x}}}$ $y = \ dot x$ приводит к:

x ˙ = y {\ displaystyle {\ dot {x}} = y}

\ dot x = y

y ˙ = μ (1 - x 2) y - x {\ displaystyle {\ dot {y}} = \ mu (1-x ^ {2}) yx}

{ \ displaystyle {\ dot {y}} = \ mu (1-x ^ {2}) yx}

Результаты для ненагруженного осциллятора

Релаксационные колебания в осцилляторе Ван дер Поля без внешнего воздействия. Параметр нелинейного демпфирования равен μ = 5.

Два интересных режима для характеристик ненагруженного осциллятора:

Когда μ = 0, т.е. нет функции демпфирования, уравнение принимает следующий вид:

d 2 xdt 2 + x = 0. {\ displaystyle {d ^ {2} x \ over dt ^ {2}} + x = 0.}

{d ^ 2x \ over dt ^ 2} + x = 0.

Это форма простого гармонического осциллятора, и всегда существует сохранение энергии.

Когда μ>0, система войдет в предельный цикл. Вблизи начала координат x = dx / dt = 0 система нестабильна, а вдали от начала координат система затухает.
Осциллятор Ван-дер-Поля не имеет точного аналитического решения. Такое решение действительно существует для предельного цикла, если f (x) в уравнении Линара является постоянной кусочно-размерной функцией.

Гамильтониан для осциллятора Ван дер Поля

Можно также Напишите не зависящий от времени гамильтонов формализм для осциллятора Ван-дер-Поля, расширив его до четырехмерной автономной динамической системы с помощью вспомогательного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка следующим образом:

x ¨ - μ ( 1 - Икс 2) Икс ˙ + Икс знак равно 0, {\ Displaystyle {\ ddot {x}} - \ mu (1-x ^ {2}) {\ dot {x}} + x = 0,}

{\ displaystyle {\ ddot {x}} - \ mu (1-x ^ {2}) {\ точка {х}} + х = 0,}

Y ¨ + μ (1 - Икс 2) Y ˙ + Y знак равно 0. {\ Displaystyle {\ ddot {y}} + \ mu (1-x ^ {2}) {\ dot {y}} + y = 0.}

{\ displaystyle {\ ddot {y}} + \ mu (1-x ^ {2}) {\ dot {y}} + y = 0.}

Обратите внимание, что динамика исходного осциллятора Ван дер Поля не изменяется из-за односторонней связи между временными изменениями переменных x и y. Можно показать, что гамильтониан H для этой системы уравнений равен

H (x, y, px, py) = pxpy + xy - μ (1 - x 2) ypy, {\ displaystyle H (x, y, p_ {x}, p_ {y}) = p_ {x} p_ {y} + xy- \ mu (1-x ^ {2}) yp_ {y},}

{\ displaystyle H (x, y, p_ {x}, p_ {y}) = p_ {x} p_ {y} + xy- \ mu (1-x ^ {2 }) yp_ {y},}

где $px = y ˙ + μ (1 - x 2) y {\ displaystyle p_ {x} = {\ dot {y}} + \ mu (1-x ^ {2}) y}$ ${\ displaystyle p_ {x} = {\ dot {y}} + \ mu (1-x ^ {2}) y}$ и $py = x ˙ {\ displaystyle p_ {y} = {\ dot {x}}}$ ${\ displaystyle p_ {y} = {\ dot {x}}}$ - сопряженные импульсы, соответствующие x и y соответственно. Это, в принципе, может привести к квантованию осциллятора Ван дер Поля. Такой гамильтониан также связывает геометрическую фазу системы предельного цикла, имеющую параметры, зависящие от времени, с углом Хэннея соответствующей гамильтоновой системы.

Принудительный осциллятор Ван дер Поля

Хаотическое поведение в осцилляторе Ван дер Поля с синусоидальным воздействием. Параметр нелинейного демпфирования равен μ = 8,53, в то время как форсирование имеет амплитуду A = 1,2 и угловую частоту ω = 2π / 10.

Вынужденный или ведомый осциллятор Ван-дер-Поля принимает «исходную» функцию и добавляет управляющая функция Asin (ωt) для получения дифференциального уравнения вида:

d 2 xdt 2 - μ (1 - x 2) dxdt + x - A sin ⁡ (ω t) = 0, {\ displaystyle {d ^ {2} x \ over dt ^ {2}} - \ mu (1-x ^ {2}) {dx \ over dt} + xA \ sin (\ omega t) = 0,}

{d ^ 2x \ over dt ^ 2} - \ mu (1-x ^ 2) {dx \ over dt} + xA \ sin (\ omega t) = 0,

где A - амплитуда или смещение волновой функции , а ω - ее угловая скорость.

См. Также

Мэри Картрайт, британский математик, один одним из первых исследователей теории детерминированного хаоса, особенно применительно к этому осциллятору.
Квантовый осциллятор Ван-дер-Поля, который является квантовой версией классического осциллятора Ван-дер-Поля, был предложен с использованием Lindblad уравнение формализм для изучения.