Особенность Ван Хова

A Сингулярность Ван Хова является сингулярностью (негладкой точкой) в плотность состояний (DOS) кристаллического твердого тела. волновые векторы, в которых возникают сингулярности Ван Хова, часто называют критическими точками зоны зоны Бриллюэна. Для трехмерных кристаллов они имеют форму изломов (где плотность состояний не дифференцируема ). Наиболее распространенное применение концепции сингулярности Ван Хова - анализ спектров оптического поглощения. Возникновение таких особенностей было впервые проанализировано бельгийским физиком Леоном Ван Ховом в 1953 году для случая фононных плотностей состояний.

Теория

Рассмотрим одномерную решетку из N узлов, каждый из которых разделен расстоянием a, для общей длины L = Na. Вместо того чтобы предполагать, что волны в этом одномерном прямоугольнике являются стоячими волнами, удобнее принять периодические граничные условия:

$k\; =\; 2\; \pi \; \lambda \; =\; n\; 2\; \pi \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; =\; n\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{L\}\}\}$

где $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$- длина волны, а n - целое число. (Положительные целые числа обозначают прямые волны, отрицательные целые числа обозначают обратные волны.) Самая короткая длина волны, необходимая для описания волнового движения в решетке, равна 2a, что соответствует наибольшему необходимому волновому числу $kmax\; =\; \pi \; /\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{max\}\; =\; \backslash \; pi\; /\; a\}$и который также соответствует максимально возможному | n |: $nmax\; =\; L\; /\; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{max\}\; =\; L\; /\; 2a\}$. Мы можем определить плотность состояний g (k) dk как количество стоячих волн с волновым вектором от k до k + dk:

$g\; (k)\; dk\; =\; dn\; =\; L\; 2\; \pi \; dk\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (k)\; dk\; =\; dn\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash ,\; dk\}$

Расширяя анализ до волновых векторов в трех измерениях, плотность состояний в прямоугольнике будет быть

$г\; (К\; \to )\; d\; 3\; К\; =\; d\; 3\; N\; =\; L\; 3\; (2\; \pi )\; 3\; d\; 3\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; g\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\})\; d\; ^\; \{3\}\; k\; =\; d\; ^\; \{\; 3\}\; n\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{3\}\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; k\}$

где $d\; 3\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{3\}\; k\}$- элемент объема в k-пространстве, который для электронов необходимо умножить на коэффициент 2, чтобы учесть две возможные ориентации спина. По цепному правилу , DOS в энергетическом пространстве может быть выражена как

$d\; E\; =\; \partial \; E\; \partial \; kxdkx\; +\; \partial \; E\; \partial \; kydky\; +\; \partial \; E\; \partial \; kzdkz\; =\; \nabla \; \to \; E\; \cdot \; dk\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; dE\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; E\}\; \{\backslash \; partial\; k\_\; \{x\}\}\}\; dk\_\; \{x\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; E\}\; \{\backslash \; partial\; k\_\; \{y\}\}\}\; dk\_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; E\}\; \{\backslash \; partial\; k\_\; \{z\}\}\}\; dk\_\; \{z\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\}\; E\; \backslash \; cdot\; d\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\}\}$

где $\nabla \; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\}\}$- градиент в k-пространстве.

Набор точек в k-пространстве, которые соответствуют определенной энергии E, образуют поверхность в k-пространстве, и градиент E будет вектором, перпендикулярным этой поверхности в каждой точке. Плотность состояний как функция этой энергии E удовлетворяет:

$g\; (E)\; d\; E\; =\; \iint \; \partial \; E\; g\; (k\; \to )\; d\; 3\; k\; =\; L\; 3\; (2\; \pi )\; 3\; \iint \; \partial \; E\; dkxdkydkz\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (E)\; dE\; =\; \backslash \; iint\; \_\; \{\backslash \; partial\; E\}\; g\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\})\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{3\}\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{\; 3\}\}\}\; \backslash \; iint\; \_\; \{\backslash \; partial\; E\}\; dk\_\; \{x\}\; \backslash ,\; dk\_\; \{y\}\; \backslash ,\; dk\_\; \{z\}\}$

, где интеграл ведется по поверхности $\partial \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; E\; \}$константы E. Мы можем выбрать новую систему координат $kx\; \prime ,\; ky\; \prime ,\; kz\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \text{'}\_\; \{x\},\; k\text{'}\; \_\; \{y\},\; k\; \text{'}\_\; \{\; z\}\; \backslash ,\}$таким образом, чтобы $kz\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \text{'}\_\; \{z\}\; \backslash ,\}$перпендикулярно поверхности и, следовательно, параллельно градиенту E. Если система координат представляет собой просто вращение исходной системы координат, то элемент объема в k-простом пространстве будет

$dkx\; \prime \; dky\; \prime \; dkz\; \prime \; =\; dkxdkydkz\; \{\backslash \; displaystyle\; dk\; \text{'}\_\; \{x\}\; \backslash ,\; dk\text{'}\_\; \{y\}\; \backslash ,\; dk\; \text{'}\_\; \{z\}\; =\; dk\_\; \{x\}\; \backslash ,\; dk\_\; \{y\}\; \backslash ,\; dk\_\; \{z\}\}$

Тогда мы можем записать dE как:

$d\; E\; =\; |\; \nabla \; \to \; E\; |\; dkz\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; dE\; =\; |\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\}\; E\; |\; \backslash ,\; dk\; \text{'}\_\; \{z\}\}$

и, подставляя в выражение для g (E), получаем:

$g\; (E)\; =\; L\; 3\; (2\; \pi )\; 3\; \iint \; dkx\; \prime \; dky\; \prime \; |\; \nabla \; \to \; E\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (E)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\; ^\; \{3\}\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; iint\; \{\backslash \; frac\; \{dk\; \text{'}\_\; \{x\}\; \backslash ,\; dk\text{'}\; \_\; \{y\}\; \}\; \{|\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\}\; E\; |\}\}\}$

где $dkx\; \prime \; dky\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; dk\; \text{'}\_\; \{x\}\; \backslash ,\; dk\text{'}\; \_\; \{y\}\}$член - это элемент площади на поверхности с постоянным E. Явным следствием уравнения для $g\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (E)\}$является то, что в $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-точках, где дисперсионное соотношение $E\; (k\; \to )\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (\{\backslash \; vec\; \{k\}\})\}$имеет экстремум, подынтегральное выражение в выражении DOS расходится. Особенности Ван Хова - это особенности, которые встречаются в функции DOS в этих $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$-точках.

Подробный анализ показывает, что существует четыре типа сингулярностей Ван Хова в трехмерном пространстве, в зависимости от того, проходит ли зонная структура через локальный максимум, локальный минимум или седловина. В трех измерениях сама DOS не расходится, хотя ее производная. Функция g (E) имеет тенденцию иметь особенности с квадратным корнем (см. Рисунок), поскольку для сферического газа свободных электронов поверхность Ферми

$E\; =\; \hslash \; 2\; k\; 2/2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2\}\; /\; 2m\}$, так что $|\; \nabla \; \to \; E\; |\; знак\; равно\; \hslash \; 2\; К\; /\; м\; знак\; равно\; \hslash \; 2\; E\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\}\; E\; |\; =\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; k\; /\; m\; =\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2E\}\; \{m\}\; \}\}\}$.

В двух измерениях DOS логарифмически расходится в седловой точке, а в одном измерении сама DOS бесконечна, где $\nabla \; \to \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; nabla\}\}\; E\}$равен нулю.

Эскиз DOS g (E) в зависимости от энергии E для смоделированного трехмерного твердого тела. Сингулярности Ван Хова возникают там, где расходится dg (E) / dE.

Экспериментальное наблюдение

Спектр оптического поглощения твердого тела наиболее просто рассчитывается из электронной зонной структуры с использованием Золотое правило Ферми, где соответствующий элемент матрицы , который должен быть оценен, является дипольным оператором $A\; \to \; \cdot \; p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\}$где $A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\}$- векторный потенциал и $p\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{p\}\}\}$- оператор импульса. Плотность состояний, которая появляется в выражении Золотого правила Ферми, тогда является совместной плотностью состояний, которая представляет собой количество электронных состояний в зоне проводимости и валентной зоне, разделенных заданной энергией фотона. В этом случае оптическое поглощение является по существу произведением элемента матрицы дипольного оператора (также известного как сила осциллятора ) и JDOS.

Можно ожидать, что расхождения в двумерной и одномерной DOS являются математической формальностью, но на самом деле они легко наблюдаемы. Сильно анизотропные твердые вещества, такие как графит (квази-2D) и соли Бехгаарда (квази-1D), демонстрируют аномалии в спектроскопических измерениях, которые связаны с особенностями Ван Хова. Особенности Ван Хова играют важную роль в понимании оптических интенсивностей в однослойных углеродных нанотрубках (ОСНТ), которые также являются квазиодномерными системами. Точка Дирака в графене является сингулярностью Ван-Хова, которую можно рассматривать непосредственно как пик электрического сопротивления, когда графен является нейтральным по заряду. Скрученные слои графена также демонстрируют ярко выраженные сингулярности Ван-Хова в DOS из-за межслойной связи.

Примечания

1. ^Ван Хов, Леон (15 марта 1953 г.). «Возникновение особенностей в упругом распределении частот кристалла». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 89 (6): 1189–1193. DOI : 10.1103 / Physrev.89.1189. ISSN 0031-899X.
2. ^См. Уравнение 2.9 в http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/BandMT_02.pdf Из $\varphi \; (x\; +\; L)\; =\; \varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x\; +\; L)\; =\; \backslash \; phi\; (x)\}$мы имеем $k\; L\; =\; 2\; n\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; kL\; =\; 2n\; \backslash \; pi\}$
3. ^* M. А. Паркер (1997-2004) "Введение в плотность состояний" Marcel-Dekker Publishing стр.7. Архивировано 8 сентября 2006 г. в Wayback Machine
4. ^*Займан, Джон (1972). Основы теории твердого тела. Издательство Кембриджского университета. ISBN B0000EG9UB.
5. ^*Bassani, F.; Пастори Парравичини, Г. (1975). Электронные состояния и оптические переходы в твердых телах. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-016846-3.Эта книга содержит подробное обсуждение типов сингулярностей Ван Хова в различных измерениях и иллюстрирует концепции с подробным сравнением теоретических и экспериментальных данных. для Ge и графита.
6. ^Brihuega, I.; Mallet, P.; González-Herrero, H.; Trambly de Laissardière, G.; Ugeda, M. M.; Magaud, L.; Gómez-Rodríguez, J.M.; Ynduráin, F.; Veuillen, J.-Y. (8 ноября 2012 г.). «Раскрытие внутренней и надежной природы сингулярностей Ван Хова в скрученном двухслойном графене с помощью сканирующей туннельной микроскопии и теоретического анализа». Письма с физическим обзором. Американское физическое общество (APS). 109 (19): 196802. doi : 10.1103 / Physrevlett.109.196802. HDL : 10486/668230. ISSN 0031-9007. PMID 23215414.