Универсальная поперечная проекция Меркатора

редактировать

Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM ) - это система для назначения координирует точки на поверхности Земли. Как и традиционный метод широты и долготы, это представление горизонтального положения, что означает, что он игнорирует высоту и рассматривает Землю как идеальный эллипсоид. Однако он отличается от глобальной широты / долготы тем, что делит Землю на 60 зон и проецирует каждую на плоскость в качестве основы для ее координат. Указание местоположения означает указание зоны и координаты x, y в этой плоскости. Проекция из сфероида в зону UTM является некоторой параметризацией поперечной проекции Меркатора . Параметры зависят от страны, региона или картографической системы.

Большинство зон в UTM охватывают 6 градусов долготы, и каждая имеет свой центральный меридиан. Коэффициент масштабирования на центральном меридиане определен как 0,9996 истинного масштаба для большинства используемых систем UTM.

Зоны UTM на равнопрямоугольной карте мира с нерегулярными зонами красным цветом и зоной Нью-Йорка выделены

Содержание

1 История
2 Определения
- 2.1 Зона UTM
- 2.2 Перекрывающиеся сетки
3 Полосы широты
- 3.1 Полосы широты
- 3.2 Обозначения
- 3.3 Исключения
4 Определение местоположения с помощью UTM координаты
- 4.1 Упрощенные формулы
  - 4.1.1 От широты, долготы (φ, λ) до координат UTM (E, N)
  - 4.1.2 От координат UTM (E, N, Zone, Hemi) до широты, долгота (φ, λ)
5 См. также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

История

Веб-сайт Национального управления по исследованию океана и атмосферы (NOAA) заявляет, что система была разработана Инженерным корпусом армии США, начиная с начала 1940-х годов. Однако серия аэрофотоснимков, найденных в Bundesarchiv-Militärarchiv (военный отдел Федерального архива Германии ), по всей видимости, датируемых 1943–1944 гг., Имеет надпись UTMREF, за которой следуют буквы и цифры в сетке, и проецируется в соответствии с поперечный Меркатор, открытие, которое указывало бы на то, что нечто, называемое эталонной системой UTM, было разработано в период 1942–1943 годов Вермахтом. Вероятно, это было сделано Abteilung für Luftbildwesen (Отдел аэрофотосъемки). С 1947 года армия США использовала очень похожую систему, но с теперь стандартным масштабным коэффициентом 0,9996 на центральном меридиане, в отличие от немецкого 1,0. Для областей в пределах смежных Соединенных Штатов использовался Эллипсоид Кларка 1866 года. Для остальных областей Земли, включая Гавайи, использовался международный эллипсоид. Эллипсоид World Geodetic System WGS84 теперь обычно используется для моделирования Земли в системе координат UTM, что означает, что текущее северное положение UTM в данной точке может отличаться от старого до 200 метров. Для разных географических регионов могут использоваться другие системы отсчета.

До разработки системы координат Универсальной поперечной проекции Меркатора несколько европейских стран продемонстрировали полезность конформных карт на основе координатной сетки, нанеся на карту свою территорию в течение межвоенного периода. Расчет расстояния между двумя точками на этих картах можно было бы легче выполнить в полевых условиях (с использованием теоремы Пифагора ), чем это было возможно с использованием тригонометрических формул, требуемых в рамках системы координат широты и долготы.. В послевоенные годы эти концепции были расширены до универсальной поперечной проекции Меркатора / универсальной полярной стереографической системы (UTM / UPS), которая представляет собой глобальную (или универсальную) систему координатных карт.

Поперечная проекция Меркатора - это вариант проекции Меркатора, которая первоначально была разработана фламандским географом и картографом Герардом Меркатором в 1570. Эта проекция конформна, что означает, что она сохраняет углы и, следовательно, формы на небольших участках. Однако это искажает расстояние и площадь.

Определения

Зона UTM

Упрощенный вид смежных зон US UTM, спроецированных с помощью конформной конической формы Ламберта.

Система UTM делит Землю на 60 зон шириной 6 ° долготы. Зона 1 охватывает долготу от 180 ° до 174 ° з.д. нумерация зон увеличивается к востоку до зоны 60, которая охватывает долготу от 174 ° до 180 °. Исключаются полярные области к югу от 80 ° ю.ш. и к северу от 84 ° с.ш..

Каждая из 60 зон использует поперечную проекцию Меркатора, которая может отображать область большой протяженности с севера на юг с низким искажением. Используя узкие зоны шириной 6 ° долготы (до 668 км) и уменьшив коэффициент масштаба вдоль центрального меридиана до 0,9996 (уменьшение на 1: 2500), величина искажения остается ниже 1 части на 1000 внутри каждой зоны. Искажение масштаба увеличивается до 1,0010 на границах зоны вдоль экватора .

В каждой зоне масштабный коэффициент центрального меридиана уменьшает диаметр поперечного цилиндра для получения секущей проекции с двумя стандартными линиями , или линии истинного масштаба, примерно в 180 км с каждой стороны от центрального меридиана и примерно параллельно ему (Arc cos 0,9996 = 1,62 ° на экваторе). Масштаб меньше единицы внутри стандартных линий и больше единицы вне них, но общее искажение сведено к минимуму.

Перекрывающиеся сетки

Зоны сетки универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM) с 31N по 37N отличаются от стандартной зоны шириной 6 ° на 84 ° для северного полушария, частично для того, чтобы учесть южную половину Королевства Норвегия. Для получения дополнительной информации о его истории см. Статью Клиффорда Дж. Мугнье о сетках и датумах Королевства Норвегия, опубликованную в октябрьском выпуске журнала PERS за 1999 г. http://www.asprs.org/a/resources/grids/10 -99-norway.pdf

Искажение масштаба увеличивается в каждой зоне UTM по мере приближения к границам между зонами UTM. Однако часто бывает удобно или необходимо измерять ряд точек на одной сетке, когда некоторые из них расположены в двух соседних зонах. Вокруг границ крупномасштабных карт (1: 100 000 или больше) координаты обеих соседних зон UTM обычно печатаются на минимальном расстоянии 40 км по обе стороны от границы зоны. В идеале координаты каждой позиции должны быть измерены на сетке для зоны, в которой они расположены, но поскольку масштабный коэффициент все еще относительно невелик вблизи границ зоны, при необходимости можно наложить измерения в прилегающую зону на некоторое расстояние..

Полосы широты

Полосы широты не являются частью UTM, а скорее частью системы координат военной сетки (MGRS). Однако иногда они используются.

Полосы широты

Каждая зона сегментирована на 20 диапазонов широты. Каждая полоса широт составляет 8 градусов и обозначается буквами, начиная с «C» на 80 ° S, увеличивая английский алфавит до «X», опуская буквы «I» и «O» (из-за их сходства с цифрами один и ноль). Последняя полоса широты, «X», увеличена на 4 градуса и заканчивается на 84 ° северной широты, покрывая, таким образом, самую северную сушу на Земле.

Существуют диапазоны широты «A» и «B», а также диапазоны «Y» и «Z». Они покрывают западную и восточную стороны Антарктики и Арктики соответственно. Удобный мнемонический знак , который следует запомнить, состоит в том, что буква «N» является первой буквой в «северном полушарии», поэтому любая буква, стоящая перед «N» в алфавите, относится к южному полушарию, а любая буква «N» "или после" находится в северном полушарии.

Обозначение

Комбинация зоны и диапазона широт определяет зону сетки. Зона всегда записывается первой, а затем полоса широты. Например, (см. Изображение вверху справа), позиция в Торонто, Онтарио, Канада, окажется в зоне 17 и полосе широты "T", таким образом, вся зона сетки ссылка "17T". Зоны сетки служат для обозначения нерегулярных границ зон UTM. Они также являются неотъемлемой частью системы отсчета военной сетки .

. Предупреждение: также используется метод, который просто добавляет N или S после номера зоны, чтобы указать северное или южное полушарие (координаты востока и севера вместе с номером зоны, обеспечивающим все необходимое для геолокации положения, кроме полушария). Однако этот метод вызвал некоторую путаницу, поскольку, например, «50S» может означать южное полушарие, но также и зону сетки «50S» в северном полушарии. Существует множество возможных способов устранения неоднозначности между двумя методами, два из которых будут продемонстрированы далее в этой статье.

Исключения

Эти зоны сетки единообразны по всему земному шару, за исключением двух областей. На юго-западном побережье Норвегии зона сетки 32V (ширина 9 ° долготы) расширена дальше на запад, а зона сетки 31V (ширина 3 ° долготы) соответственно сужается, чтобы покрыть только открытую воду. Кроме того, в районе Шпицберген четыре зоны сетки 31X (9 ° долготы в ширину), 33X (12 ° долготы в ширину), 35X (12 ° долготы в ширину) и 37X (9 ° долготы в ширину) расширены, чтобы покрыть то, что в противном случае было бы охвачено семью зонами сетки с 31X по 37X. Три зоны сетки 32X, 34X и 36X не используются.

Зоны сетки в различных частях мира
Европа
Африка
Южная Америка
Берингово море с Аляской

Определение местоположения с использованием координат UTM

Местоположение на Земля задается номером зоны UTM и парой плоских координат восток и север в этой зоне. исходная точка каждой зоны UTM является пересечением экватора и центрального меридиана зоны. Чтобы не иметь дело с отрицательными числами, центральный меридиан каждой зоны определяется так, чтобы он совпадал с 500000 м восточной долготы. В любой зоне точка с восточным положением 400000 метров находится примерно в 100 км к западу от центрального меридиана. Для большинства таких точек истинное расстояние будет немного больше 100 км, измеренное на поверхности Земли из-за искажения проекции. Диапазон UTM-востока составляет от 167000 метров до 833000 метров на экваторе.

В северном полушарии положения измеряются к северу от нуля на экваторе. Максимальное значение «северного» значения составляет около 9300000 метров на 84 градусе северной широты, северном конце зон UTM. В южном полушарии северные направления уменьшаются к югу от экватора, установленного на высоте 10000000 метров, до примерно 1100000 метров на 80 градусах южной широты, южной оконечности зон UTM. Для южного полушария его северное положение на экваторе установлено на уровне 10000000 метров, поэтому ни одна точка не имеет отрицательного значения северного угла.

Башня CN находится на 43 ° 38'33,24 ″ с.ш., 79 ° 23'13,7 ″ з.д. / 43,6425667 ° с.ш., 79,387139 ° Вт / 43,6425667; -79.387139 (Си-Эн Тауэр), который находится в зоне UTM 17, положение по сетке - 630084 м к востоку, 4833438 м к северу. Две точки в Зоне 17 имеют эти координаты: одна в северном полушарии, а другая в южном; одно из двух обозначений используется, чтобы указать:

Добавить обозначение полусферы к номеру зоны, «N» или «S», таким образом, «17N 630084 4833438». Это предоставляет минимум информации для однозначного определения положения.
Укажите зону сетки, то есть указатель диапазона широты, добавленный к номеру зоны, таким образом, «17T 630084 4833438». Указание диапазона широт вместе с северным положением дает избыточную информацию (которая, как следствие, может быть противоречивой при неправильном использовании).

Поскольку полоса широт "S" находится в северном полушарии, такое обозначение, как "38S", неясно. «S» может относиться к диапазону широт (32 ° N - 40 ° N ) или может означать «Юг». Поэтому важно указать, какое соглашение используется, например, указав полушарие, «Север» или «Юг», или используя другие символы, такие как - для юга и + для севера.

Упрощенные формулы

Эти формулы являются усеченной версией, которая была первоначально выведена Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году. Их точность составляет примерно миллиметр в пределах 3000 км от центрального меридиана. Также были даны краткие комментарии для их вывода.

WGS 84 система пространственной привязки описывает Землю как сплюснутый сфероид, расположенный с севера на юг. ось с экваториальным радиусом $a = 6378.137 {\ displaystyle a = 6378.137}$ $a = 6378,137$ км и обратным уплощением $1 / f = 298,257 223 563 {\ displaystyle 1 / f = 298,257 \, 223 \, 563}$ $1 / f = 298.257 \, 223 \, 563$ . Возьмем точку с широтой $φ {\ displaystyle \, \ varphi}$ $\, \ varphi$ и долготой $λ {\ displaystyle \, \ lambda}$ $\, \ lambda$ и вычислим ее координаты UTM. а также коэффициент шкалы $k {\ displaystyle k \, \!}$ $k \, \!$ и сходимость меридиана $γ {\ displaystyle \ gamma \, \!}$ $\ gamma \, \!$ с использованием опорного меридиана $λ 0 {\ displaystyle \ Lambda _ {0}}$ $\ lambda _ {0}$ . По соглашению в северном полушарии $N 0 = 0 {\ displaystyle N_ {0} = 0}$ $N _ {{0}} = 0$ км и в южном полушарии $N 0 = 10000 {\ displaystyle N_ {0} = 10000}$ $N_{{0}}=10000$ км. По соглашению также $k 0 = 0,9996 {\ displaystyle k_ {0} = 0,9996}$ $k _ {{0}} = 0,9996$ и $E 0 = 500 {\ displaystyle E_ {0} = 500}$ $E _ {{0}} = 500$ км.

В следующих формулах расстояния указаны в километрах. Заранее вычислим некоторые предварительные значения:

n = f 2 - f, A = a 1 + n (1 + n 2 4 + n 4 64 + ⋯), {\ displaystyle n = {\ frac {f} { 2-f}}, \ quad A = {\ frac {a} {1 + n}} \ left (1 + {\ frac {n ^ {2}} {4}} + {\ frac {n ^ {4 }} {64}} + \ cdots \ right),}

n = {\ frac {f} {2-f}}, \ quad A = {\ frac {a} {1 + n}} \ left (1 + {\ frac {n ^ {2}} {4}} + {\ frac { n ^ {4}} {64}} + \ cdots \ right),

α 1 = 1 2 n - 2 3 n 2 + 5 16 n 3, α 2 = 13 48 n 2 - 3 5 n 3, α 3 = 61 240 n 3, {\ displaystyle \ alpha _ {1} = {\ frac {1} {2}} n - {\ frac {2} {3}} n ^ {2} + {\ frac {5} { 16}} n ^ {3}, \, \, \, \ alpha _ {2} = {\ frac {13} {48}} n ^ {2} - {\ frac {3} {5}} n ^ {3}, \, \, \, \ alpha _ {3} = {\ frac {61} {240}} n ^ {3},}

\ alpha _ {1} = {\ frac {1} {2}} n - {\ frac {2} {3 }} n ^ {2} + {\ frac {5} {16}} n ^ {3}, \, \, \, \ alpha _ {2} = {\ frac {13} {48}} n ^ { 2} - {\ frac {3} {5}} n ^ {3}, \, \, \, \ alpha _ {3} = {\ frac {61} {240}} n ^ {3},

β 1 = 1 2 n - 2 3 n 2 + 37 96 n 3, β 2 знак равно 1 48 n 2 + 1 15 n 3, β 3 = 17 480 n 3, {\ displaystyle \ beta _ {1} = {\ frac {1} {2}} n - {\ frac {2} {3}} n ^ {2} + {\ frac {37} {96}} n ^ {3}, \, \, \, \ beta _ {2} = {\ frac {1} {48 }} n ^ {2} + {\ frac {1} {15}} n ^ {3}, \, \, \, \ beta _ {3} = {\ frac {17} {480}} n ^ { 3},}

\ beta _ {1} = {\ frac {1} {2}} n - {\ frac {2} {3}} n ^ {2} + {\ frac {37} {96}} n ^ {3}, \, \, \, \ beta _ {2} = {\ frac {1} {48}} n ^ {2} + {\ frac {1} {15}} n ^ {3}, \, \, \, \ beta _ {3} = {\ frac {17} {480}} n ^ {3},

δ 1 = 2 n - 2 3 n 2 - 2 n 3, δ 2 = 7 3 n 2 - 8 5 n 3, δ 3 = 56 15 n 3. {\ displaystyle \ delta _ {1} = 2n - {\ frac {2} {3}} n ^ {2} -2n ^ {3}, \, \, \, \ delta _ {2} = {\ frac {7} {3}} n ^ {2} - {\ frac {8} {5}} n ^ {3}, \, \, \, \ delta _ {3} = {\ frac {56} {15 }} n ^ {3}.}

\ delta _ {1} = 2n - {\ frac {2} {3}} n ^ {2} -2n ^ {3}, \, \, \, \ delta _ {2} = { \ frac {7} {3}} n ^ {2} - {\ frac {8} {5}} n ^ {3}, \, \, \, \ delta _ {3} = {\ frac {56} {15}} n ^ { 3}.

От широты, долготы (φ, λ) до координат UTM (E, N)

Сначала давайте вычислим некоторые промежуточные значения:

t = sinh ⁡ ( tanh - 1 ⁡ грех ⁡ φ - 2 N 1 + n tanh - 1 ⁡ (2 n 1 + n sin ⁡ φ)), {\ displaystyle t = \ sinh \ left (\ tanh ^ {- 1} \ sin \ varphi - {\ frac {2 {\ sqrt {n}}} {1 + n}} \ tanh ^ {- 1} \ left ({\ frac {2 {\ sqrt {n}}} {1 + n}} \ sin \ varphi \ right) \ right),}

{\ displaystyle t = \ sinh \ left (\ tanh ^ {- 1} \ sin \ varphi - {\ frac {2 {\ sqrt {n}}} {1 + n}} \ tanh ^ {- 1} \ left ({\ frac {2 {\ sqrt {n}}} {1 + n}} \ sin \ varphi \ right) \ right),}

ξ ′ = tan - 1 ⁡ (t cos ⁡ (λ - λ 0)), η ′ = tanh - 1 ⁡ (sin ⁡ (λ - λ 0) 1 + T 2), {\ displaystyle \ xi '= \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {t} {\ cos (\ lambda - \ lambda _ {0})}} \ right), \, \, \, \ eta '= \ tanh ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ sin (\ lambda - \ lambda _ {0})} {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}} \ right),}

\xi '=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{\cos(\lambda -\lambda _{0})}}\right),\,\,\,\eta '=\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin(\lambda -\lambda _{0})}{\sqrt {1+t^{2}}}}\right),

σ = 1 + ∑ j = 1 3 2 j α j cos ⁡ (2 j ξ ′) ch ⁡ (2 j η ′), τ = ∑ j = 1 3 2 j α j sin ⁡ (2 j ξ ′) sh ⁡ (2 j η ′). {\ Displaystyle \ sigma = 1 + \ сумма _ {j = 1} ^ {3} 2j \ alpha _ {j} \ cos (2j \ xi ') \ cosh (2j \ eta'), \, \, \, \ tau = \ sum _ {j = 1} ^ {3} 2j \ alpha _ {j} \ sin (2j \ xi ') \ sinh (2j \ eta').}

\sigma =1+\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\cosh(2j\eta '),\,\,\,\tau =\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\sinh(2j\eta ').

Окончательные формулы:

E знак равно E 0 + К 0 A (η ′ + ∑ j = 1 3 α j cos ⁡ (2 j ξ ′) sinh ⁡ (2 j η ′)), {\ displaystyle E = E_ {0} + k_ { 0} A \ left (\ eta '+ \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} \ cos (2j \ xi') \ sinh (2j \ eta ') \ right),}

E=E_{0}+k_{0}A\left(\eta '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\sinh(2j\eta ')\right),

N знак равно N 0 + К 0 A (ξ ′ + ∑ j = 1 3 α j sin ⁡ (2 j ξ ′) cosh ⁡ (2 j η ′)), {\ displaystyle N = N_ {0} + k_ {0} A \ left (\ xi '+ \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} \ sin (2j \ xi') \ cosh (2j \ eta ') \ right),}

N=N_{0}+k_{0}A\left(\xi '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\cosh(2j\eta ')\right),

К знак равно К 0 A a {1 + (1 - n 1 + n загар ⁡ φ) 2} σ 2 + τ 2 T 2 + соз 2 ⁡ (λ - λ 0), {\ Displaystyle к = {\ гидроразрыв {k_ {0} A} {a}} {\ sqrt {\ left \ {1+ \ left ({\ frac {1-n} {1 + n}} \ tan \ varphi \ right) ^ {2} \ right \} {\ frac {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}} {t ^ {2} + \ cos ^ {2} (\ lambda - \ lambda _ {0})}}}},}

{\ displaystyle k = {\ frac {k_ {0} A} {a}} {\ sqrt {\ left \ {1+ \ left ({\ frac {1-n} { 1 + n}} \ тан \ ва rphi \ right) ^ {2} \ right \} {\ frac {\ sigma ^ {2} + \ tau ^ {2}} {t ^ {2} + \ cos ^ {2} (\ lambda - \ lambda _ {0})}}}},}

γ = tan - 1 ⁡ (τ 1 + t 2 + σ t tan ⁡ (λ - λ 0) σ 1 + t 2 - τ t tan ⁡ (λ - λ 0)). {\ Displaystyle \ gamma = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ tau {\ sqrt {1 + t ^ {2}}} + \ sigma t \ tan (\ lambda - \ lambda _ {0 })} {\ sigma {\ sqrt {1 + t ^ {2}}} - \ tau t \ tan (\ lambda - \ lambda _ {0})}} \ right).}

\ gamma = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ tau {\ sqrt {1 + t ^ {2}}} + \ sigma t \ tan (\ lambda - \ lambda _ {0})} {\ sigma {\ sqrt {1 + t ^ {2}}} - \ tau t \ tan (\ lambda - \ lambda _ {0})}} \ right).

где $E {\ displaystyle E}$ $E$ - восточное положение, $N {\ displaystyle N}$ $N$ - северное положение, $k {\ displaystyle k}$ $k$ - Коэффициент масштабирования, а $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - это сходимость сетки.