Равномерная предельная теорема

редактировать

Контрпример к усилению равномерной предельной теоремы, в котором предполагается поточечная, а не равномерная сходимость. Непрерывные зеленые функции

sin n ⁡ (x) {\ displaystyle \ scriptstyle \ scriptstyle \ sin ^ {n} (x)}

\ scriptstyle \ scriptstyle \ sin ^ {n} (x)

сходятся к прерывистой красной функции. Это может произойти только в том случае, если сходимость не является равномерной.

В математике равномерная предельная теорема утверждает, что равномерный предел любой последовательности непрерывные функции непрерывны.

Утверждение

Точнее, пусть X будет топологическим пространством, пусть Y будет метрическим пространством, и пусть ƒ n : X → Y - последовательность функций, равномерно сходящаяся к функции ƒ: X → Y. Согласно равномерной предельной теореме, если каждая из функций ƒ n непрерывна, то предел ƒ должен также быть непрерывным.

Эта теорема неверна, если равномерную сходимость заменить на поточечную сходимость. Например, пусть ƒ n : [0, 1] → R - последовательность функций ƒ n (x) = x. Тогда каждая функция ƒ n непрерывна, но последовательность сходится поточечно к разрывной функции ƒ, которая равна нулю на [0, 1), но имеет ƒ (1) = 1. Другой пример показан на соседнем изображении..

В терминах функциональных пространств равномерная предельная теорема гласит, что пространство C (X, Y) всех непрерывных функций из топологического пространства X в метрическое пространство Y является замкнутое подмножество Y при унифицированной метрике. В случае, когда Y полно, отсюда следует, что C (X, Y) само является полным метрическим пространством. В частности, если Y является банаховым пространством, то C (X, Y) само является банаховым пространством при равномерной норме.

Равномерная предельная теорема также верна, если непрерывность заменяется на единообразная непрерывность. То есть, если X и Y - метрические пространства и ƒ n : X → Y - последовательность равномерно непрерывных функций, равномерно сходящаяся к функции ƒ, то ƒ должно быть равномерно непрерывным.

Доказательство

Чтобы доказать непрерывность функции f, мы должны показать, что для любого ε>0 существует окрестность U любой точки x из X такой, что:

d Y (f (x), f (y)) < ϵ, ∀ y ∈ U {\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))<\epsilon,\qquad \forall y\in U}

d_Y (f (x), f (y)) <\ epsilon, \ qquad \ forall y \ in U

Рассмотрим произвольное ε>0. Поскольку последовательность функций {f n } равномерно сходится к f по предположению, существует натуральное число N такое, что:

d Y (f N (t), f (t)) < ϵ 3, ∀ t ∈ X {\displaystyle d_{Y}(f_{N}(t),f(t))<{\frac {\epsilon }{3}},\qquad \forall t\in X}

d_Y (f_N (t), f (t)) <\ frac {\ epsilon} {3}, \ qquad \ forall t \ in X

Более того, поскольку f N непрерывно на X по условию, для каждого x существует окрестность U такая, что:

d Y (f N (x), f N (y)) < ϵ 3, ∀ y ∈ U {\displaystyle d_{Y}(f_{N}(x),f_{N}(y))<{\frac {\epsilon }{3}},\qquad \forall y\in U}

d_ {Y} (f_ {N} (x), f_ {N} (y)) <{ \ frac {\ epsilon} {3}}, \ qquad \ forall y \ in U

На последнем шаге применим неравенство треугольника следующим образом:

d Y (f (x), f (y)) ≤ d Y (f (x), f N ( x)) + d Y (f N (x), f N (y)) + d Y (f N (y), f (y)) < ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ, ∀ y ∈ U {\displaystyle {\begin{aligned}d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{Y}(f(x),f_{N}(x))+d_{Y}(f_{N}(x),f_{N}(y))+d_{Y}(f_{N}(y),f(y))\\<{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}+{\frac {\epsilon }{3}}=\epsilon,\qquad \forall y\in U\end{aligned}}}

\ begin {align} d_Y (f (x), f (y)) \ leq d_Y (f ( x), f_N (x)) + d_Y (f_N (x), f_N (y)) + d_Y (f_N (y), f (y)) \\ <\ frac {\ epsilon} {3} + \ frac {\ epsilon} {3} + \ frac {\ epsilon} {3} = \ epsilon, \ qquad \ forall y \ in U \ end {align}

Следовательно, мы показали, что выполняется первое неравенство доказательства, поэтому по определению f непрерывна всюду на X.

Ссылки

Джеймс Манкрес (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-181629-2.