Неопределенный (математика)

редактировать

В математике термин undefined часто используется для обозначения выражение, которому не присвоена интерпретация или значение (например, неопределенная форма , которая имеет склонность принимать разные значения). Этот термин может иметь несколько различных значений в зависимости от контекста. Например:

  • В различных разделах математики определенные понятия вводятся как примитивные понятия (например, термины «точка», «линия» и «угол» в геометрии ). Поскольку эти термины не определены в терминах других концепций, они могут упоминаться как «неопределенные термины».
  • A функция считается «неопределенной» в точках за пределами ее области - например, функция с действительным знаком f (x) = x {\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}f (x) = {\ sqrt {x}} не определена для отрицательного x {\ displaystyle x}x (т. е. не присваивает значения отрицательным аргументам).
  • В алгебре некоторые арифметические операции могут не присвоить значение определенные значения его операндов (например, деление на ноль ). В этом случае выражения, включающие такие операнды, называются "неопределенными".
Содержание
  • 1 Неопределенные термины
  • 2 В арифметике
  • 3 Значения, для которых функции не определены
  • 4 В тригонометрии
  • 5 В информатике
    • 5.1 Обозначения с использованием ↓ и ↑
  • 6 Символы бесконечности
  • 7 Сингулярности в комплексном анализе
  • 8 Ссылки
  • 9 Дополнительная литература
Неопределенные термины

В древности геометры пытались дать определение каждому термину. Например, Евклид определил точку как «то, что не имеет части». В наше время математики признают, что попытка дать определение каждому слову неизбежно приводит к циклическим определениям, и поэтому некоторые термины (например, «точка») остаются неопределенными (подробнее см. примитивное понятие ).

Этот более абстрактный подход допускает плодотворные обобщения. В топологии топологическое пространство может быть определено как набор точек, наделенных определенными свойствами, но в общем случае характер этих «точек» остается полностью неопределенным. Аналогично, в теории категорий, категория состоит из «объектов» и «стрелок», которые снова являются примитивными неопределенными терминами. Это позволяет применять такие абстрактные математические теории к очень разнообразным конкретным ситуациям.

В арифметике

Выражение 0/0 не определено в арифметике, как описано в разделе деление на ноль (то же выражение используется в исчислении для представления неопределенной формы ).

Математики расходятся во мнениях относительно того, следует ли определять 0 равным 1 или оставить неопределенным; подробнее см. Ноль в степени нуля.

Значения, для которых функции не определены

Набор чисел, для которых определена функция , называется областью действия функции. Если число не входит в область определения функции, функция считается "неопределенной" для этого числа. Два общих примера: f (x) = 1 x {\ displaystyle \ textstyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}{\ displaystyle \ textstyle f (x) = {\ frac {1} {x}}} , который не определен для x = 0 {\ displaystyle x = 0}x = 0 и f (x) = x {\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}f (x) = {\ sqrt {x}} , что не определено (в действительной системе счисления) для отрицательного x {\ displaystyle x}x .

В тригонометрии

В тригонометрии функции tan ⁡ θ {\ displaystyle \ tan \ theta}\ tan \ theta и sec ⁡ θ {\ displaystyle \ sec \ theta}{\ displaystyle \ sec \ theta} не определены для всех θ = 180 ∘ (n - 1 2) {\ displaystyle \ theta = 180 ^ {\ circ} (n - {\ frac {1} {2}})}{\ displaystyle \ theta = 180 ^ {\ circ} (n - {\ frac {1} {2}})} , а функции cot ⁡ θ {\ displaystyle \ cot \ theta}\ cot \ theta и csc ⁡ θ {\ displaystyle \ csc \ theta}{\ displaystyle \ csc \ theta} не определены для всех θ = 180 ∘ (n) {\ displaystyle \ theta = 180 ^ {\ circ} (n)}{\ displaystyle \ theta = 180 ^ {\ circ} (n)} .

В информатике

Нотация с использованием ↓ и ↑

В теории вычислимости, если f {\ displaystyle f}е - это частичная функция на S {\ displaystyle S}S и a { \ displaystyle a}aявляется элементом S {\ displaystyle S}S , тогда это записывается как f (a) ↓ {\ displaystyle f (a) \ downarrow}{\ displaystyle f (a) \ downarrow} , и читается как «f (a) определено».

Если a {\ displaystyle a}aне находится в домене из f {\ displaystyle f}е , тогда это записывается как f (a) ↑ {\ displaystyle f (a) \ uparrow}{\ displaystyle f (a) \ uparrow} и читается как «f (a) {\ displaystyle f (a)}{\ displaystyle f (a)} is undefined».

Символы бесконечности

В анализе, теории меры и других математических дисциплинах символ ∞ {\ displaystyle \ infty}\ infty часто используется для обозначения бесконечного псевдо-числа вместе с его отрицательным числом, - ∞ {\ displaystyle - \ infty}- \ infty . Сам по себе символ не имеет четко определенного значения, но выражение типа {an} → ∞ {\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \} \ rightarrow \ infty}\ left \ {a_ {n} \ right \} \ rightarrow \ infty является сокращение для расходящейся последовательности, которая в какой-то момент в конечном итоге превышает любое заданное действительное число.

Выполнение стандартных арифметических операций с символами ± ∞ {\ displaystyle \ pm \ infty}\ pm \ infty не определено. Однако некоторые расширения определяют следующие правила сложения и умножения:

  • x + ∞ = ∞ {\ displaystyle x + \ infty = \ infty}x + \ infty = \ infty ∀ x ∈ R ∪ {∞} {\ displaystyle \ forall x \ в \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}\ forall x \ in {\ mathbb {R}} \ cup \ {\ infty \} .
  • - ∞ + x = - ∞ {\ displaystyle - \ infty + x = - \ infty}- \ infty + x = - \ infty ∀ x ∈ R ∪ {- ∞} {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \}}\ forall x \ in { \ mathbb {R}} \ чашка \ {- \ infty \} .
  • x ⋅ ∞ = ∞ {\ displaystyle x \ cdot \ infty = \ infty}x \ cdot \ infty = \ infty ∀ x ∈ R + {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {+}}\ forall x \ in { \ mathbb {R}} ^ {{+}} .

В следующих случаях не существует разумного расширения сложения и умножения с ∞ {\ displaystyle \ infty}\ infty случаи:

  • ∞ - ∞ {\ displaystyle \ infty - \ infty}\ infty - \ infty
  • 0 ⋅ ∞ {\ displaystyle 0 \ cdot \ infty}0 \ cdot \ infty (хотя в теории меры это часто определяется как 0 {\ displaystyle 0}{\ displaystyle 0} )
  • ∞ ∞ {\ displaystyle {\ frac {\ infty} {\ infty}}}{\ frac {\ infty} {\ infty}}

Подробнее см. строка с расширенными действительными числами.

Особенности в комплексном анализе

В комплексном анализе точка z ∈ C {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}z \ in \ mathbb {C} , где голоморфная функция не определена, называется сингулярностью. Различают устранимые особенности (т. Е. Функцию можно голоморфно расширить до z {\ displaystyle z}z ), полюса (т. Е. Функцию может быть расширен мероморфно до z {\ displaystyle z}z ) и существенных особенностей (т. е. без мероморфного расширения до z {\ displaystyle z}z может существовать).

Ссылки
Дополнительная литература
  • Смарт, Джеймс Р. (1988). Современная геометрия (Третье изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-08310-2.
Последняя правка сделана 2021-06-20 10:39:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте