Принцип неопределенности

редактировать

Основополагающий принцип квантовой физики

В квантовой механике принцип неопределенности (также известный как принцип неопределенности Гейзенберга ) представляет собой любое из множества математических неравенств, устанавливает фундаментальный предел точности, определяющий значения для определенных пар физических величин частица, Иметь как позиция, x и импульс, p, может быть предсказана из начальных условий. Такие пары как известны дополнительные переменные или канонически сопряженные переменные, в зависимости от интерпретации, принцип неопределенности ограничивает, в какой степени такие сопряженные свойства сохраняют приблизительное значение, поскольку математическая структура квантовой физики одновременно определяет сопряженных свойств, выраженных одним размером. Принцип неопределенности подразумевает, что, как правило, невозможно предопределить значение с произвольной уверенностью, если указаны все начальные условия.

Впервые введенный в 1927 году немецким физиком Вернером Гейзенбергом, принцип неопределенности гласит, что чем точно определенное положение некоторой частицы, тем менее точно ее импульс можно предсказать из начальных условий., наоборот. Формальное неравенство, связывающее стандартное отклонение положения σ x и стандартное отклонение импульса σ p, было выведено Эрлом Хессе Кеннардом позже. в том же году и Германом Вейлем в 1928 г.:

σ x σ p ≥ ℏ 2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} ~~}\ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar } {2}} ~~

где ħ - приведенная постоянная Планка, h / (2π).

Исторически принцип неопределенности путали со своим эффектом в физике, называемым эффектом наблюдателя, который отмечает, что измерения некоторых систем не могут быть выполнены, не влияет на систему, то есть без изменений чего-либо в системе. Гейзенберг использовал такой эффект наблюдателя на квантовом уровне (см. Ниже) как физическое «объяснение» квантовой неопределенности. Однако возникает проблема технических проблем, связанных с присущенными свойствами всех волновых систем и что возникает проблема в квантовой механике просто из-за природы материальной волны всех квантовых объектов. Таким образом, реальность на самом деле утверждает фундаментальное свойство квантовых, а не утверждение об успехе систем современных технологий в наблюдениях. Следует подчеркнуть, что измерение означает не только процесс, в котором участвует физик-наблюдатель, но скорее любое взаимодействие между классическими и квантовыми объектами независимо от какого-либо наблюдателя.

Принцип неопределенности является основным результатом в квантовой механике типичные эксперименты в квантовой механике обычно наблюдают ее аспекты. Некоторые эксперименты, однако, могут намеренно проверять конкретную форму принципа неопределенности как часть своей основной исследовательской программы. К ним же, например, тесты тесты неопределенности число - фаза в системе сверхпроводников или квантовой оптики. Приложения, зависящие от принципа неопределенности для их работы, как та, которая требуется в гравита-волновых интерферометрах.

Содержание

  • 1 Введение
    • 1.1 Интерпретация волновой механики
    • 1.2 Интерпретация матричной механики
  • 2 Предел Гейзенберга
  • 3 Взаимосвязи неопределенностей Робертсона - Шредингера
    • 3.1 Смешанные состояния
    • 3.2 Отношения неопределенностей Макконе - Пати
    • 3.3 Фазовое пространство
    • 3.4 Примеры
    • 3.5 Контрпример
  • 4 пример
    • 4.1 Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора
    • 4.2 Квантовые гармонические осцилляторы с гауссовым начальным условием
    • 4.3 Когерентные состояния
    • 4.4 Частица в коробке
    • 4.5 Постоянный импульс
  • 5 Дополнительные соотношения неопределенностей
    • 5.1 Систематические и статистические ошибки
    • 5.2 Принцип квантовой энтропийной неопределенности
    • 5.3 Неравенство Ефимова по матрицам Паули
  • 6 Гармонический анализ
    • 6.1 Обраб о тка сигналов
    • 6.2 Принцип неопределенности DFT
    • 6.3 Преимущества Теорема Дикса
    • 6.4 Принцип неопределенности Харди
  • 7 История
    • 7.1 Терминология и перевод
    • 7.2 Микроскоп Гейзенберга
  • 8 Критические реакции
    • 8.1 Идеал отстраненного наблюдателя
    • 8.2 Щель Эйнштейна
    • 8.3 Ящик Эйнштейна
    • 8.4 Парадокс ЭПР для запутанных частиц
    • 8.5 Критика Поппера
    • 8.6 Огромная неопределенность
    • 8.7 Свобода воли
    • 8.8 Термодинамика
  • 9 См. Также
  • 10 Примечания
  • 11 Ссылки
  • 12 Внешние ссылки

Введение

Щелкните для просмотра анимации. Эволюция изначально очень локализованной гауссовой волновой функции частиц в двумерном пространстве, с цветом и интенсивностью, указывающими фазу и амплитуду. Распространение волновой функции во всех направлениях показывает, что начальный импульс имеет разброс значений, не измененных во времени; в то время как разброс положения увеличивается со временем: в результате неопределенности Δx Δp увеличивается во времени. Наложение нескольких плоских волн для формирования волнового пакета. Этот волновой пакет становится все более локализованным с добавлением многих волн. Преобразование Фурье - это математическая операция, которая разделяет волновой пакет на отдельные плоские волны. Волны, показанные здесь, реальны только для иллюстративных целей, тогда как в квантовой механике волновая функция обычно сложна.

Принцип неопределенности не очевиден на макроскопических масштабах повседневного опыта. Поэтому использовать полезно, как это применимо к более понятным физическим ситуациям. Две альтернативные концепции квантовой физики разные объяснения принципа неопределенности. Картина принципа неопределенности волновой механики визуально более интуитивна, но более абстрактная картина матричной механики формулирует ее таким образом, чтобы ее легче было обобщить.

С математической точки зрения, в волновой механике соотношение неопределенности между положением и импульсами из-за того, что выражение волновой функции в двух соответствующих ортонормальных базисах в гильбертовом пространстве преобразование Фурье друг друга (т. Е. Положение и импульс являются сопряженными переменными ). Ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть точно локализованы одновременно. Подобный компромисс между дисперсными Фурье во всех системах, основанных на проблемах Фурье, например, в звуковых волнах: тон - это резкий всплеск6>на одной частоте, а его преобразование Фурье дает форму звуковая волна области временной, которая является частично делокализованной синусоидальной волной. В квантовой механике двумя ключевыми моментами принимает форму волны материи, а импульс ее сопряженной Фурье, это обеспечивается де Бройля p = ħk, где матрица k - это волновое число.

В >806>, математическая формулировка квантовой механики, любые пара не коммутирующих самосопряженных операторов, представляющие наблюдаемые, подчиняются аналогичным пределом неопределенности. Собственное состояние представляет состояние волновой функции определения (собственное значение). Например, если выполнено измерение наблюдаемой A, то система находится в конкретном собственном состоянии. Однако конкретное собственное состояние должно быть наблюдаемым за ней.

Интерпретация волновой механики

(Ref)

Плоская волна Волновой пакет Распространение волн де Бройля в 1d - действующая часть комплекса амплитуда синяя, мнимая часть зеленая. Вероятность (обозначенная цветом непрозрачность ) нахождения частиц в заданной точке x разбросана как форма волны, нет твердых частиц. По мере увеличения амплитуды выше нуля кривизна меняет знак, поэтому амплитуда снова увеличивается, и наоборот - возникает переменная амплитуда: волна.

Согласно де Бройля Согласно гипотезе, каждый объект во Вселенной представляет собой волну, то есть ситуацию, которая порождает это явление. Положение частиц описывается волновой функцией Ψ (x, t) {\ displaystyle \ Psi (x, t)}\ Psi (x, t) . Не зависящая от времени волновая функция одномодовой плоской волны с волновым номером k 0 или импульсом p 0 равна

ψ (x) ∝ eik 0 x = eip 0 x / ℏ. {\ displaystyle \ psi (x) \ propto e ^ {ik_ {0} x} = e ^ {ip_ {0} x / \ hbar} ~.}\psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.

Правило Борна гласит, что это следует интерпретировать как функцию амплитуды вероятности в том смысле, что вероятность нахождения частиц между a и b равна

P ⁡ [a ≤ X ≤ b] = ∫ ab | ψ (x) | 2 д х. {\ displaystyle \ operatorname {P} [a \ leq X \ leq b] = \ int _ {a} ^ {b} | \ psi (x) | ^ {2} \, \ mathrm {d} x ~.}\ operatorname {P} [a \ leq X \ leq b] = \ int _ {a} ^ {b} | \ psi (x) | ^ {2} \, \ mathrm {d} х ~.

В случае одномодовой плоской волны | ψ (x) | 2 {\ displaystyle | \ psi (x) | ^ {2}}| \ psi (x) | ^ {2} - это равномерное распределение. Другими словами, частицы неопределенно в том смысле, что она может находиться в любом месте пакета.

С другой стороны, рассмотрим волновую функцию, которая представляет собой множество волн, которое мы можем записать как

ψ (x) ∝ ∑ n A neipnx / ℏ, {\ displaystyle \ psi (x) \ propto \ sum _ {n} A_ {n} e ^ {ip_ {n} x / \ hbar} ~,}{\ displaystyle \ psi (x) \ propto \ sum _ {n} A_ {n} e ^ {ip_ {n} x / \ hbar} ~,}

где A n представляет относительное вкладывание режима p n в общую сумму. На рисунках справа показано, как при добавлении множества плоских волн волновой пакет может стать более локализованным. Мы можем еще один шаг к контину пределу, где волновая функция представляет собой интеграл по всем возможным режимам

ψ (x) = 1 2 π ℏ ∫ - ∞ ∞ φ (p) ⋅ eipx / ℏ dp, {\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (p) \ cdot e ^ {ipx / \ hbar} \, dp ~,}{\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (p) \ cdot e ^ {ipx / \ hbar} \, dp ~,}

с φ (p) {\ displaystyle \ varphi (p)}\varphi (p), представляющий амплитуду этих режимов, и называется волновой функцией в импульсном пространственном движении. В математических терминах мы говорим, что φ (p) {\ displaystyle \ varphi (p)}\varphi (p)- это преобразование Фурье из ψ (x) {\ displaystyle \ psi (x)}\ psi (x) и что x и являются сопряженными переменными. Сложение всех этих плоских волн обходится дорого, а именно: импульс стал менее точным, поскольку он стал смесью волн с множеством разных импульсов.

Одним из способов качества точности положения и импульса является стандартное отклонение σ. Начиная с | ψ (x) | 2 {\ displaystyle | \ psi (x) | ^ {2}}| \ psi (x) | ^ {2} - функция плотности вероятности для положения, мы вычисляем ее стандартное отклонение.

Точность положения улучшается, т.е. σ x, за счет использования множества плоских волн, тем самым ослабляя напряжение, увеличивает σ p. Другой способ заявить об этом заключается в том, что σ x и σ p имеют обратную связь или, по крайней мере, ограничены снизу. Это неопределенности, точным пределом которого является граница Кеннарда. Нажмите кнопку «Показать» ниже, чтобы увидеть полуформальное неравенство Кеннарда с использованием волновой механики.

Интерпретация матричной механики

(Ссылка)

В матричной механике наблюдаемые, такие как положение и импульс, представлены самосопряженными операторами. При рассмотрении пар наблюдаемой величиной является коммутатор . Для пары операторов Â и B̂ их коммутатор определяется как

[A ^, B ^] = A ^ B ^ - B ^ A ^. {\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}}.}[{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}}.

В случае положения и импульса коммутатора каноническое коммутационное соотношение

[x ^, p ^] = i ℏ. {\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar.}[{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar.

Физический смысл некоммутативности, рассмотрев влияние коммутатора на положение и импульс собственные состояния. Пусть | ψ⟩ {\ Displaystyle | \ psi \ rangle}| \ psi \ rangle - правильное собственное состояние положения с постоянным номером x 0. По определению это означает, что x ^ | ψ⟩ = x 0 | ψ⟩. {\ displaystyle {\ hat {x}} | \ psi \ rangle = x_ {0} | \ psi \ rangle.}{\ hat {x}} | \ psi \ rangle = x_ { 0} | \ psi \ rangle. Применение коммутатора к | ψ⟩ {\ Displaystyle | \ psi \ rangle}| \ psi \ rangle дает

[x ^, p ^] | ψ⟩ = (х ^ р ^ - р ^ х ^) | ψ⟩ = (x ^ - x 0 I ^) p ^ | ψ⟩ = i ℏ | ψ⟩, {\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] | \ psi \ rangle = ({\ hat {x}} {\ hat {p}} - {\ hat {p}} {\ hat {x}}) | \ psi \ rangle = ({\ hat {x}} - x_ {0} {\ hat {I}}) {\ hat {p}} \, | \ psi \ rangle = i \ hbar | \ psi \ rangle,}{\ displaystyle [{\ шляпа {x}}, {\ hat {p}}] | \ psi \ rangle = ({\ hat {x}} {\ hat {p}} - {\ hat {p}} {\ hat {x}}) | \ psi \ rangle = ({\ hat {x}} - x_ {0} {\ hat {I}}) {\ hat {p}} \, | \ psi \ rangle = i \ hbar | \ psi \ rangle,}

где Î - оператор тождества.

Предположим, для доказательства от противного, что | ψ⟩ {\ Displaystyle | \ psi \ rangle}| \ psi \ rangle также является правильным состоянием с постоянным числом p 0. Если бы это было так, то можно было бы написать

(x ^ - x 0 I ^) p ^ | ψ⟩ = (x ^ - x 0 I ^) p 0 | ψ⟩ = (x 0 I ^ - x 0 I ^) p 0 | ψ⟩ знак равно 0. {\ displaystyle ({\ hat {x}} - x_ {0} {\ hat {I}}) {\ hat {p}} \, | \ psi \ rangle = ({\ hat {x}} - x_ {0} {\ hat {I}}) p_ {0} \, | \ psi \ rangle = (x_ {0} {\ hat {I}} - x_ {0} {\ hat {I})}) p_ {0} \, | \ psi \ rangle = 0.}{\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}

С другой стороны, указанное выше каноническое коммутационное соотношение требует, чтобы

[x ^, p ^] | ψ⟩ = i ℏ | ψ⟩ ≠ 0. {\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] | \ psi \ rangle = i \ hbar | \ psi \ rangle \ neq 0.}[{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.

Это означает, что никакое квантовое состояние не может быть одновременно и положением, и собственным состоянием импульса.

Когда состояние оценивается, оно проецируется на собственное состояние на наблюдаемой. Например, если измеряется положение частиц, то состояние равно собственному состоянию положения. Это означает, что состояние не является собственным состоянием сигнала, а, скорее, может быть представлено как количество состояний сигнала базиса сигналаса. Другими словами, импульс должен быть менее точным. Эту точность можно количественно определить с помощью стандартных отклонений,

σ x = ⟨x ^ 2⟩ - ⟨x ^⟩ 2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {x }} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {x}} \ rangle ^ {2}}}}{\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}
σ p = ⟨p ^ 2⟩ - ⟨p ^⟩ 2. {\ displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {p}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {p}} \ rangle ^ {2}}}.}{\ displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {p}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {p}} \ rangle ^ {2}}}.}

Как и в вышеприведенной интерпретации волновой механики, можно увидеть компромисс между точностями этих двух величин, количественно выраженный принцип неопределенности.

предел Гейзенберга

В квантовой метрологии, и особенно интерферометрии, предел Гейзенберга является оптимальной скоростью, с которой точность измерения может зависеть от энергии, используемой при измерении. Обычно это измерение фазы (приложенное к одному плечу светоделителя ), а энергия выражается число фотонов, используется в интерферометре . Хотя некоторые утверждают, что нарушили предел Гейзенберга, это отражает разногласия по поводу определения ресурса масштабирования. Определенным подходящим образом, предел Гейзенберга является следствием принципов квантовой механики и превзойти, хотя слабый предел Гейзенберга можно преодолеть.

Соотношения неопределенностей Робертсона - Шредингера

Наиболее распространенные Общая форма принципа неопределенности - это отношение неопределенности Робертсона.

Для произвольного эрмитовского оператора O ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathcal {O}}}}{\ hat {\ mathcal {O}}} мы можем связать стандартное отклонение

σ O знак равно ⟨O ^ 2⟩ - ⟨O ^⟩ 2, {\ displaystyle \ sigma _ {\ mathcal {O}} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {\ mathcal {O}}} ^ {2 } \ rangle - \ langle {\ hat {\ mathcal {O}}} \ rangle ^ {2}}},}{\ displaystyle \ sigma _ {\ mathcal {O}} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {\ mathcal {O}}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {\ mathcal {O}}} \ rangle ^ {2}}},}

где скобки ⟨O⟩ {\ displaystyle \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle}\ langle {\ mathcal { O}} \ rangle обозначают математическое ожидание. Для пары операторов A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}{\hat {A}}и B ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\ hat {B}} , мы позволяет определить их коммутатор как

[A ^, B ^] = A ^ B ^ - B ^ A ^, {\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B} }] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}},}[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A},

В этом случае неопределенности Робертсона определяется выражением

σ A σ B ≥ | 1 2 i ⟨[A ^, B ^]⟩ | = 1 2 | ⟨[A ^, B ^]⟩ |, {\ displaystyle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} \ geq \ left | {\ frac {1} {2i}} \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right | = {\ frac {1} {2}} \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |,}{\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}

Робертсон соотношение неопределенности немедленно следует из несколько более сильного неравенства, отношения неопределенности Шредингера,

σ A 2 σ B 2 ≥ | 1 2 ⟨{A ^, B ^}⟩ - ⟨A ^⟩ ⟨B ^⟩ | 2 + | 1 2 i ⟨[A ^, B ^]⟩ | 2, {\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ left | {\ frac {1} {2}} \ langle \ {{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {1} {2i}} \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right | ^ {2},}{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ left | {\ frac {1} {2}} \ langle \ {{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {1} {2i}} \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right | ^ {2},}

где мы ввели антикоммутатор,

{A ^, B ^} = A ^ B ^ + B ^ A ^. {\ displaystyle \ {{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \} = {\ hat {A}} {\ hat {B}} + {\ hat {B}} {\ hat {A }}.}\ {\ hat {A}, \ hat {B} \} = \ hat {A} \ hat {B} + \ hat {B} \ hat { A}.

Смешанные состояния

Соотношение Робертсона - Шредингера можно точно обобщить для описания смешанных состояний.,

σ A 2 σ B 2 ≥ | 1 2 tr ⁡ (ρ {A, B}) - tr ⁡ (ρ A) tr ⁡ (ρ B) | 2 + | 1 2 i tr ⁡ (ρ [A, B]) | 2. {\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ left | {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr} (\ rho \ { A, B \}) - \ operatorname {tr} (\ rho A) \ operatorname {tr} (\ rho B) \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {1} {2i}} \ operatorname {tr} (\ rho [A, B]) \ right | ^ {2}.}{\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}.}

Соотношения неопределенностей Макконе – Пати

Отношение неопределенностей Робертсона – Шредингера может быть тривиальным, если состояние система выбирается как собственное состояние одной из наблюдаемых. Более сильные соотношения неопределенностей, доказанные Макконом и Пати, дают нетривиальные оценки суммы дисперсий для двух несовместимых наблюдаемых. (Более ранние работы по отношениям неопределенностей, сформулированным как сумма дисперсий, включают, например, ссылку Хуанга.) Для двух некоммутирующих наблюдаемых A {\ displaystyle A}A и B { \ displaystyle B}B первое более сильное соотношение неопределенностей задается как

σ A 2 + σ B 2 ≥ ± i ⟨Ψ ∣ [A, B] | Ψ⟩ + ∣ ⟨Ψ ∣ (A ± i B) ∣ Ψ ¯⟩ | 2, {\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} + \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ pm i \ langle \ Psi \ mid [A, B] | \ Psi \ rangle + \ mid \ langle \ Psi \ mid (A \ pm iB) \ mid {\ bar {\ Psi}} \ rangle | ^ {2},}{\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} + \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ pm i \ langle \ Psi \ mid [A, B] | \ Psi \ rangle + \ mid \ langle \ Psi \ mid (A \ pm iB) \ mid {\ bar {\ Psi}} \ rangle | ^ {2},}

где σ A 2 = ⟨Ψ | A 2 | Ψ⟩ - ⟨Ψ ∣ A ∣ Ψ⟩ 2 {\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} = \ langle \ Psi | A ^ {2} | \ Psi \ rangle - \ langle \ Psi \ mid A \ mid \ Psi \ rangle ^ {2}}{\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}, σ B 2 = ⟨Ψ | B 2 | Ψ⟩ - ⟨Ψ ∣ В ∣ Ψ⟩ 2 {\ Displaystyle \ sigma _ {B} ^ {2} = \ langle \ Psi | B ^ {2} | \ Psi \ rangle - \ langle \ Psi \ mid B \ mid \ Psi \ rangle ^ {2}}{\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}, | Ψ ¯⟩ {\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} \ rangle}{\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} \ rangle} - нормализованный вектор, который соответствует ортогонален состоянию системы | Ψ⟩ {\ displaystyle | \ Psi \ rangle}{\ displaystyle | \ Psi \ rangle} и нужно выбрать знак ± i ⟨Ψ ∣ [A, B] ∣ Ψ⟩ {\ displaystyle \ pm i \ langle \ Psi \ mid [A, B] \ mid \ Psi \ rangle}{\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }, чтобы сделать это действительным количеством положительным числом.

Второе более сильное соотношение неопределенности определяется как

σ A 2 + σ B 2 ≥ 1 2 | ⟨Ψ ¯ A + B ∣ (A + B) ∣ Ψ⟩ | 2 {\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} + \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq {\ frac {1} {2}} | \ langle {\ bar {\ Psi}} _ {A + B} \ mid (A + B) \ mid \ Psi \ rangle | ^ {2}}{\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}

где | Ψ ¯ A + B⟩ {\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} _ {A + B} \ rangle}{\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} _ {A + B} \ rangle } - состояние, ортогональное | Ψ⟩ {\ displaystyle | \ Psi \ rangle}| \ Psi \ rangle . Форма | Ψ ¯ A + B⟩ {\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} _ {A + B} \ rangle}{\ displaystyle | {\ bar {\ Psi}} _ {A + B} \ rangle } подразумевает, что правая часть отношения нового неопределенности не равна нулю, если не | Ψ⟩ {\ displaystyle | \ Psi \ rangle}{\ displaystyle | \ Psi \ rangle} является собственным состоянием (A + B) {\ displaystyle (A + B)}{\displaystyle (A+B)}. Можно отметить, что | Ψ⟩ {\ displaystyle | \ Psi \ rangle}{\ displaystyle | \ Psi \ rangle} может быть собственным состоянием (A + B) {\ displaystyle (A + B)}{\displaystyle (A+B)}, не являясь собственным состоянием либо A {\ displaystyle A}A , либо B {\ displaystyle B}B . Однако, когда | Ψ⟩ {\ displaystyle | \ Psi \ rangle}| \ Psi \ rangle - это собственное состояние одной из двух наблюдаемых неопределенностей Гейзенберга - Шредингера становится тривиальным. Но нижняя граница в новом отношении отлична от нуля, если | Ψ⟩ {\ displaystyle | \ Psi \ rangle}| \ Psi \ rangle является собственным состоянием обоих.

Фазовое пространство

В формулировке фазового пространства квантовой механики отношения Робертсона - Шредингера следует из условий положительности реальной функции «звезда-квадрат». Учитывая функцию Вигнера W (x, p) {\ displaystyle W (x, p)}W(x,p)с звездным произведением ★ и функция f, в общем в случае верно следующее:

⟨f ∗ ⋆ f⟩ = ∫ (f ∗ ⋆ f) W (x, p) dxdp ≥ 0. {\ displaystyle \ langle f ^ {*} \ star f \ rangle = \ int ( е ^ {*} \ звезда е) \, W (х, р) \, dx \, dp \ geq 0 ~.}{\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}

Выбирая f = a + bx + cp {\ displaystyle f = a + bx + cp}f = a + bx + cp , мы получаем

f ∗ ⋆ f⟩ = [a ∗ b ∗ c ∗] [1 ⟨x⟩ ⟨p⟩ x⟩ ⟨x ⋆ x⟩ ⟨x ⋆ p ⟩ ⟨P⟩ px⟩ ⟨p ⋆ p⟩] [abc] ≥ 0. {\ displaystyle \ langle f ^ {*} \ star f \ rangle = {\ begin {bmatrix} a ^ {*} b ^ {* } c ^ {*} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 \ langle x \ rangle \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle \ langle x \ star x \ rangle \ langle x \ star p \ rangle \\\ langle p \ rangle \ langle p \ star x \ rangle \ langle p \ star p \ rangle \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix}} \ geq 0 ~.}{\ displaystyle \ langle f ^ {*} \ star f \ rangle = {\ begin {bmatrix} a ^ {*} b ^ {*} c ^ {*} \ end {bmatrix}} { \ begin {bmatrix} 1 \ langle x \ rangle \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle \ langle x \ star x \ rangle \ langle x \ star p \ rangle \\\ langle p \ rangle \ langle p \ star x \ rangle \ langle p \ star p \ rangle \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix}} \ geq 0 ~.}

Гарантия положительного результата для всех х a, b и c, отсюда следует, что все собственные значения матрицы неотрицательны.

Далее неотрицательные собственные значения подразумевают необходимое условие неотрицательности для определителя ,

det [1 ⟨x⟩ ⟨p⟩ ⟨x⟩ ⟨x ⋆ x⟩ ⟨x ⋆ p⟩ ⟨P⟩ ⟨p ⋆ x⟩ ⟨p ⋆ p⟩] = det [1 ⟨x⟩ ⟨p⟩ ⟨x⟩ x 2⟩ ⟨xp + i ℏ 2⟩ ⟨p⟩ xp - i ℏ 2⟩ ⟨p 2⟩] ≥ 0, {\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 1 \ langle x \ rangle \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle \ langle x \ star x \ rangle \ langle x \ star p \ rangle \\\ langle p \ rangle \ langle p \ star x \ rangle \ langle p \ star p \ rangle \ end {bmatrix}} = \ det {\ begin {bmatrix} 1 \ langle x \ rangle \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle \ langle x ^ {2} \ rangle \ left \ langle xp + {\ frac {i \ hbar} {2}} \ right \ rangle \\\ langle p \ rangle \ left \ langle xp - {\ frac {i \ hbar} {2}} \ right \ rangle \ langle p ^ {2} \ rangle \ end {bmatrix}} \ geq 0 ~,}{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} 1 \ langle x \ rangle \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle \ langle x \ star x \ rangle \ langle x \ star p \ rangle \\\ langle p \ rangle \ langle p \ star x \ rangle \ langle p \ star p \ rangle \ end {bmatrix}} = \ det {\ begin {bmatrix} 1 \ langle x \ rangle \ langle p \ rangle \\\ langle x \ rangle \ langle x ^ {2} \ rangle \ left \ langle xp + {\ frac {i \ hbar} {2}} \ right \ rangle \\\ langle p \ rangle \ left \ langle xp - {\ frac {i \ hbar} {2}} \ right \ rangle \ langle p ^ {2} \ rangle \ end {bmatrix}} \ geq 0 ~,}

или, явно, после алгебраических манипуляций,

σ x 2 σ p 2 = (⟨x 2⟩ - ⟨x⟩ 2) (⟨p 2⟩ - ⟨p⟩ 2) ≥ (⟨xp⟩ - ⟨x⟩ р) 2 + ℏ 2 4. {\ di splaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} \ sigma _ {p} ^ {2} = \ left (\ langle x ^ {2} \ rangle - \ langle x \ rangle ^ {2} \ right) \ left ( \ langle p ^ {2} \ rangle - \ langle p \ rangle ^ {2} \ right) \ geq \ left (\ langle xp \ rangle - \ langle x \ rangle \ langle p \ rangle \ right) ^ {2} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} ~.}\sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.

Примеры

Временные отношения Робертсона и Шредингера предназначены для общих операторов. имеющихся неопределенностей. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных взаимосвязей, встречающихся в литературе.

σ x σ p ≥ 2. {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar } {2}}.}{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}.}
σ J i σ J j ≥ ℏ 2 | ⟨J k⟩ |, {\ displaystyle \ sigma _ {J_ {i}} \ sigma _ {J_ {j}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} {\ big |} \ langle J_ {k} \ rangle {\ big |},}{\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}
где i, j, k различны, а J i обозначает угловой момент вдоль оси x i. Это соотношение подразумевает, что если все три компонента не обращаются в нуль вместе, только один компонент внешнего углового момента может быть определен с произвольным, обычно компонент, параллельный компонент (магнит или электрическому полюсу). Кроме того, для [J x, J y] = i ℏ ε xyz J z {\ displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = i \ hbar \ varepsilon _ {xyz} J_ {z}}{\ displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = i \ hbar \ varepsilon _ {xyz} J_ {z} } , выбор A ^ = J x {\ displaystyle {\ hat {A}} = J_ {x}}{\ displaystyle {\ hat {A}} = J_ {x}} , B ^ = J y {\ displaystyle {\ hat {B}} = J_ {y}}{\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}, в мультиплетах углового момента, ψ = | j, m〉, ограничивает инвариант Казимира (квадрат углового момента, ⟨J x 2 + J y 2 + J z 2⟩ {\ displaystyle \ langle J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + J_ {z} ^ {2} \ rangle}{\ displaystyle \ langle J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + J_ {z} ^ {2} \ rangle} ) снизу и таким образом, дает полезные ограничения, такие как j (j + 1) ≥ m (m + 1), и, следовательно, j ≥ m, среди прочего.
  • В нерелятивистской механике время считается независимой переменной. Тем не менее в 1945 г. Л. И. Мандельштам и И. Э. Тамм вывел нерелятивистское соотношение неопределенности времени-энергии следующим образом. Для квантовой системы в нестационарном состоянии ψ и наблюдаемой B, представленной самосопряженным оператором B ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\ hat {B}} , имеет место следующая формула:
σ E σ B | d ⟨B ^⟩ d t | ≥ ℏ 2, {\ Displaystyle \ sigma _ {E} {\ frac {\ sigma _ {B}} {\ left | {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {B}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} \ right |}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}},}{\displaystyle \sigma _{E}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {\mathrm {d} \langle {\hat {B}}\rangle }{\mathrm {d} t}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}},}
где σ E - стандартное отклонение оператора (гамильтониан) в состоянии ψ, σ B обозначает стандартное отклонение B. Хотя второй множитель в левой части имеет измерение времени, он отличается от руководства времени, входящего в Уравнение Шредингера. Это время жизни состояния ψ по отношению к наблюдаемому B: Другими словами, это временное интервал (Δt), после которого ожидаемое значение ⟨B ^⟩ {\ displaystyle \ langle {\ hat {B}} \ rangle}\ langle {\ hat {B}} \ rangle заметно меняется.
Неформальный, эвристический смысл этого принципа следующий: состояние, которое существует только в течение короткого времени, не может иметь обладания энергией. Чтобы состояние было определено точно, чтобы состояние сохранялось в течение многих циклов. Например, в спектроскопии возбужденные состояния имеют конечное время жизни. Согласно принципу неопределенности-энергии, они не имеют неопределенности, они немного отличаются. Средняя энергия исходящего фотона имеет максимум при теоретической энергии состояния, но размер имеет конечную ширину, называемую естественной шириной линии. Быстро распадающиеся состояния имеют широкую ширину линии, в то время как медленно распадающиеся состояния имеют узкую ширину линии.
Тот же эффект ширины линии также затрудняет определение массы покоя нестабильных, быстро распадающихся частиц в физике элементарных частиц. Чем быстрее частица распадается (чем короче ее время жизни), тем менее определена ее масса (тем больше ширина ).
Δ N Δ φ ≥ 1. {\ displaystyle \ Delta N \, \ Delta \ varphi \ geq 1.}{\ displaystyle \ Delta N \, \ Delta \ varphi \ geq 1.}

A контрпример

Предположим, мы рассматриваем квантовую частицу на кольце, где волновая функция зависит от угловой переменной θ {\ displaystyle \ theta}\ theta , что мы можем считать, что он находится в интервале [0, 2 π] {\ displaystyle [0,2 \ pi]}[0,2 \ pi при условии . Определите операторы «позиции» и «импульса» A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}} }{\hat {A}}и B ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\ hat {B}} на

A ^ ψ (θ) = θ ψ (θ), θ ∈ [ 0, 2 π], {\ displaystyle {\ hat {A}} \ psi (\ theta) = \ theta \ psi (\ theta), \ quad \ theta \ in [0, 2 \ pi],}{\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta)=\theta \psi (\theta),\quad \theta \in [0,2\pi ],}

и

В ^ ψ = - я ℏ d ψ d θ, {\ displaystyle {\ hat {B}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {d \ psi} {д \ й eta}},}{\ displaystyle {\ hat {B}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {d \ psi} {d \ theta}}, }

где мы накладываем периодические граничные условия на B ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\ hat {B}} . Определение A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}{\hat {A}}зависит от нашего выбора θ {\ displaystyle \ theta}\ theta в диапазоне от 0 до 2 π {\ displaystyle 2 \ pi}2 \ pi . Эти операторы удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям для положений и параметровса, [A ^, B ^] = i ℏ {\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = i \ hbar}{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }.

Теперь пусть ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi будет любым из собственных состояний B ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\ hat {B}} , которые задаются выражением ψ (θ) = е 2 π в θ {\ displaystyle \ psi (\ theta) = e ^ {2 \ pi in \ theta}}{\ displaystyle \ psi (\ theta) = e ^ {2 \ pi in \ theta}} . Эти состояния нормируемы, в отличие от состояний показателей сигнала на линии. Также оператор A ^ {\ displaystyle {\ hat {A}}}{\hat {A}}ограничен, так как θ {\ displaystyle \ theta}\ theta находится в ограниченном интервале.. Таким образом, в состоянии ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi неопределенность B {\ displaystyle B}B равна нулю, неопределенность A {\ displaystyle A }A конечно, так что

σ A σ B = 0. {\ displaystyle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B} = 0.}{\ displaystyle \ sigma _ {A} \ sigma _ {B } = 0.}

Хотя это кажется, что результат нарушает неопределенности принципа Робертсона, парадокс разрешается, когда мы отмечаем, что ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi не входит в область определения оператора B ^ A ^ {\ displaystyle {\ hat {B} } {\ hat {A}}}{\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}, поскольку умножение на θ {\ displaystyle \ theta}\ theta нарушает периодические граничные условия, наложенные на В ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\ hat {B}} . Таким образом, вывод отношений Робертсона, который требует A ^ B ^ ψ {\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi}{\ displaystyle {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi} и B ^ A ^ ψ {\ displaystyle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ psi}{\ displaystyle {\ hat {B} } {\ hat {A}} \ psi} подлежит определению, не применяется. (Они также поддерживают пример операторов, удовлетворяющих каноническими коммутационными соотношениями, но не соотношениям Вейля.)

Для обычных положений и импульса X ^ {\ displaystyle {\ hat {X} }}{\ hat {X}} и P ^ {\ displaystyle {\ hat {P}}}\ hat {P} в реальной строке, таких контрпримеров не может быть. Если σ x {\ displaystyle \ sigma _ {x}}\ sigma _ {x} и σ p {\ displaystyle \ sigma _ {p}}\sigma _{p}в устойчивом состоянии ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi , принцип неопределенности Гейзенберга выполняется, даже если ψ {\ displaystyle \ psi}\ psi не попадает в область X ^ P ^ {\ displaystyle {\ hat {X}} {\ hat {P}}}{\ displaystyle {\ hat {X}} {\ hat {P}}} или P ^ X ^ {\ displaystyle {\ hat {P}} {\ hat {X}}}{\ displaystyle {\ hat {P}} {\ hat {X}}} .

Примеры

(Ссылки)

Стационарные состояния квантового гармонического осциллятора

Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор. Операторы положения и импульса можно выразить в терминах операторов и уничтожения :

x ^ = ℏ 2 м ω (a + a †) {\ displaystyle {\ hat {x}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}} (a + a ^ {\ dagger})}{\ hat x} = {\ sqrt {{\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}}} (a + a ^ {\ dagger})
p ^ = im ω ℏ 2 (a † - a). {\ displaystyle {\ hat {p}} = i {\ sqrt {\ frac {m \ omega \ hbar} {2}}} (a ^ {\ dagger} -a).}{\ displaystyle {\ hat {p}} = i {\ sqrt {\ frac {m \ omega \ hbar} {2}}} (a ^ {\ dagger} -a).}

Использование стандартных правил для операторы рождения и уничтожения на собственных энергетических состояниях,

a † | п⟩ = п + 1 | п + 1⟩ {\ displaystyle a ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle}a ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle
a | п⟩ = п | п - 1⟩, {\ Displaystyle а | n \ rangle = {\ sqrt {n}} | n-1 \ rangle,}{\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle,}

дисперсии могут быть вычислены напрямую,

σ x 2 знак равно ℏ м ω (n + 1 2) {\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ { 2} = {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right)}\ sigma _ {x} ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right)
σ p 2 = m ω (n + 1 2). {\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ hbar m \ omega \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \,.}\ sigma _ {p} ^ {2} = \ hbar m \ omega \ left (n + {\ frac { 1} {2}} \ right) \,

Произведение этих стандартных отклонений равно тогда

σ Икс σ п знак равно ℏ (N + 1 2) ≥ ℏ 2. {\ Displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = \ hbar \ left (п + {\ frac {1} {2 }} \ right) \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}. ~}{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = \ hbar \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}. ~ }

В частности, указанная выше граница Кеннарда является насыщенной для основного состояния n = 0, для которого плотность вероятности является просто нормальным распределением.

Квантовые гармонические осцилляторы с гауссовым начальным условием

Плотности вероятности положения (синий) и импульса (красный) для начального гауссова распределения. Сверху вниз анимация показывает случаи Ω = ω, Ω = 2ω и Ω = ω / 2. Обратите внимание на компромисс между шириной распределений.

В квантовом гармоническом осцилляторе с характеристической угловой величиной положите состояние, которое смещено от нижней границы на некоторое смещение x 0 как

ψ (Икс) знак равно (м Ω π ℏ) 1 / 4 ехр ⁡ (- м Ω (Икс - Икс 0) 2 2 ℏ), {\ Displaystyle \ psi (x) = \ left ({\ frac {m \ Omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ { 1/4} \ exp {\ left (- {\ frac {m \ Omega (x-x_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar})} \ right)},}\psi(x)=\left(\frac{m \Omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{m \Omega (x-x_0)^2}{2\hbar}\right)},

где Ω указано ширину начального состояния, но не обязательно совпадает с ω. За счет интеграции с пропагатором мы можем найти решение, полностью зависящее от времени. После сокращений плотности вероятности уменьшаются до

| Ψ (x, t) | 2 ∼ N (Икс 0 соз ⁡ (ω T), ℏ 2 м Ω (соз 2 ⁡ (ω T) + Ω 2 ω 2 sin 2 ⁡ (ω t))) {\ Displaystyle | \ Psi (x, t) | ^ {2} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (x_ {0} \ cos {(\ omega t)}, {\ frac {\ hbar} {2m \ Omega}} \ left (\ cos ^ { 2} (\ omega t) + {\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} {(\ omega t)} \ right) \ right)}{\ displaystyle | \ Psi (x, t) | ^ {2} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (x_ {0} \ cos {(\ omega t)}, {\ frac {\ hbar} {2m \ Omega}} \ left (\ cos ^ { 2} (\ omega t) + {\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} {(\ omega t)} \ right) \ right)}
| Φ (p, t) | 2 ∼ N (- mx 0 ω sin ⁡ (ω t), ℏ m Ω 2 (cos 2 ⁡ (ω t) + ω 2 Ω 2 sin 2 ⁡ (ω t))), {\ displaystyle | \ Phi (p, t) | ^ {2} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (-mx_ {0} \ omega \ sin (\ omega t), {\ frac {\ hbar m \ Omega} {2}} \ left (\ cos ^ {2} {(\ omega t)} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} {(\ omega t)} \ right) \ right),}{\ displaystyle | \ Phi (p, t) | ^ {2} \ sim {\ mathcal {N} } \ left (-mx_ {0} \ omega \ sin (\ omega t), {\ frac {\ hbar m \ Ome ga} {2}} \ left (\ cos ^ {2} {(\ omega t)} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} { (\ omega t)} \ right) \ right),}

где мы использовали обозначение N (μ, σ 2) {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}{\ mathcal { N}} (\ му, \ sigma ^ {2}) для обозначения нормального распределения среднего μ и дисперсии σ. Копируя приведенные выше дисперсии и применяя тригонометрические тождества, мы можем записать стандартные отклонения как

σ x σ p = ℏ 2 (cos 2 ⁡ (ω t) + Ω 2 ω 2 sin 2 ⁡ (ω t)) (cos 2 ⁡ (ω t) + ω 2 Ω 2 sin 2 ⁡ (ω t)) = ℏ 4 3 + 1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) - (1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) - 1) соз ⁡ (4 ω t) {\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = {\ frac {\ hbar} {2} } {\ sqrt {\ left (\ cos ^ {2} {(\ omega t)} + {\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ sin ^ {2} {( \ omega t)} \ right) \ left (\ cos ^ {2} {(\ omega t)} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ sin ^ {2 } {(\ omega t)} \ right)}} \\ = {\ frac {\ hbar} {4}} {\ sqrt {3 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) - \ left ({\ гидроразрыв {1 } {2}} \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ вправо) -1 \ вправо) \ cos {(4 \ omega t)}}} \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\ hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}

Из предложенийений

Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2 ≥ 2, | cos ⁡ (4 ω t) | ≤ 1, {\ displaystyle {\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ geq 2, \ quad | \ cos (4 \ omega t) | \ leq 1,}{\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}

мы можем заключить следующее: (самое правое равенство выполняется только тогда, когда Ω = ω).

σ x σ p ≥ 4 3 + 1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) - (1 2 (Ω 2 ω 2 + ω 2 Ω 2) - 1) = ℏ 2. {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {4}} {\ sqrt {3 + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) - \ left ({\ frac {1} {2} } \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) -1 \ right)}} = {\ frac {\ hbar} {2}}.}{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {4}} {\ sqrt {3 + {\ frac {1} {2}} \ left({\ frac {\ Omega ^ { 2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ Omega ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {\ Omega ^ {2}}} \ right) -1 \ справа)}} = {\ frac {\ hbar} {2}}.}

Когерентные состояния

Когерентное состояние - это правое собственное состояние оператора аннигиляции ,

а ^ | α⟩ = α | α⟩ {\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle}{\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle ,

, который может быть представлен в терминах состояний Фока как

| α⟩ = e - | α | 2 2 ∑ N знак равно 0 ∞ α N N! | п⟩ {\ displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {- {| \ альфа | ^ {2} \ over 2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ alpha ^ {n} \ over {\ sqrt {n!}}} | n \ rangle}{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {- {| \ alpha | ^ {2} \ over 2}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ alpha ^ {n} \ over {\ sqrt {n!}}} | n \ rangle}

На рисунке, где когерентным состоянием является массивная часть в квантовом гармоническом осцилляторе, операторы положения и импульсы могут быть выражены через операторы уничтожения в те же формулы, приведенные выше и используемые для расчета дисперсии,

σ x 2 знак равно ℏ 2 м ω, {\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}},}{\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}
σ p 2 = ℏ m ω 2. {\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = {\ frac {\ hbar m \ omega} {2}}.}\ sigma_p ^ 2 = \ frac {\ hbar m \ omega} {2}.

Следовательно, каждое когерентное состояние насыщает границу Кеннарда

σ x σ p = 2 м ω ℏ м ω 2 знак равно ℏ 2. {\ Displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}} \, {\ sqrt {\ frac {\ hbar m \ omega} {2}}} = {\ frac {\ hbar} {2}}.}\ sigma_x \ sigma_p = \ sqrt {\ frac {\ hbar} {2 м \ omega }} \, \ sqrt {\ frac {\ hbar m \ omega} {2}} = \ frac {\ hbar} {2}.

с положением и импульсом, каждый из которых вносит свой вклад ℏ / 2 {\ displaystyle {\ sqrt {\ hbar / 2}}}{\ sqrt { \ hbar / 2}} «сбалансированным» способом. Более того, каждое сжатое когерентное состояние также насыщает отдельные границу Кеннарда, хотя отдельные вклады положения и импульса в целом не нужно уравновешивать.

Частица в коробке

Рассмотримцу в одномерном блоке части длиной L {\ displaystyle L}L . Собственные функции в пространстве позиций и импульсов равны

ψ n (x, t) = {A sin ⁡ (knx) e - i ω nt, 0 < x < L, 0, otherwise, {\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},0\ psi _ {n} (x, t) = {\ begin {cas es}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},0<x<L,\\0,{\text{otherwise,}}\end{cases}}

и

φ n (p, T) знак равно π L ℏ N (1 - (- 1) ne - ik L) е - я ω NT π 2 N 2 - K 2 L 2, {\ Displaystyle \ varphi _ {n} (p, t) = {\ sqrt {\ frac {\ pi L} {\ hbar}}} \, \, {\ frac {n \ left (1 - (- 1) ^ {n} e ^ {- ikL} \ right) e ^ {-i \ omega _ {n} t}} {\ pi ^ {2} n ^ {2} -k ^ {2} L ^ {2}}},}{\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}

где ω n = π 2 ℏ N 2 8 L 2 м {\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar n ^ {2}} {8L ^ {2} m}}} ​​\ omega _ {n} = {\ frac {\ pi ^ {2} \ hbar n ^ {2}} {8L ^ {2} m}} , и мы использовали соотношение де Бройля p = ℏ k {\ displaystyle p = \ hbar k}p = \ hbar k . Дисперсии x {\ displaystyle x}x и p {\ displaystyle p}p могут быть вычислены явно:

σ x 2 = L 2 12 (1– 6 n 2 π 2) {\ displaystyle \ sigma _ {x} ^ {2} = {\ frac {L ^ {2}} {12}} \ left (1 - {\ frac {6} {n ^ {2 } \ pi ^ {2}}} \ right)}\ sigma _ {x} ^ {2} = {\ frac {L ^ {2}} {12}} \ left (1 - {\ frac {6} {n ^ {2 } \ pi ^ {2}}} \ right)
σ p 2 = (ℏ N π L) 2. {\ displaystyle \ sigma _ {p} ^ {2} = \ left ({\ frac {\ hbar n \ pi} {L}} \ right) ^ {2}.}{\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}

Произведение стандартных отклонений равно поэтому

σ x σ p = ℏ 2 n 2 π 2 3 - 2. {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {3}} -2}}. }\ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {3}} - 2}}.

Для всех n = 1, 2, 3,… {\ displaystyle n = 1, \, 2, \, 3, \, \ ldots}{\ displaystyle n = 1, \, 2, \, 3, \, \ ldots} , величина n 2 π 2 3 - 2 {\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {3}} - 2}}}{\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {3}} - 2}} больше 1, поэтому принцип неопределенности никогда не нарушается. Для числовой конкретности наименьшее значение имеет место, когда n = 1 {\ displaystyle n = 1}n = 1 , и в этом случае

σ x σ p = ℏ 2 π 2 3-2 ≈ 0,568 ℏ>ℏ 2. {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {{\ frac {\ pi ^ {2}} {3}} - 2}} \ приблизительно 0,568 \ hbar>{\ frac {\ hbar} {2}}.}\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2} \approx 0.568 \hbar>\ frac {\ hbar} {2}.

Постоянный импульс

Плотность пространственной вероятности изначально гауссовского состояния, движущегося с минимально неопределенным постоянным импульсом в свободном пространстве

Предположим, что частица изначально имеет волновую функцию импульсного пространства, описываемую нормальным распределением вокруг некоторого постоянного импульса p 0 согласно

φ (p) = ( Икс 0 ℏ π) 1/2 ⋅ ехр ⁡ (- Икс 0 2 (p - p 0) 2 2 ℏ 2), {\ displaystyle \ varphi (p) = \ left ({\ frac {x_ {0}} { \ hbar {\ sqrt {\ pi}}}} \ right) ^ {1/2} \ cdot \ exp {\ left ({\ frac {-x_ {0} ^ {2} (p-p_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} \ right)},}{\ displaystyle \ varphi (p) = \ left ({\ frac {x_ { 0}} {\ hbar {\ sqrt {\ pi}}} \ right) ^ {1/2} \ cdot \ exp {\ left ({\ frac {-x_ {0} ^ {2} (p-p_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} \ right)},}

где мы ввели базовую шкалу x 0 = ℏ / m ω 0 {\ displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {\ hbar / m \ omega _ {0}}}}x_ {0} = {\ sqrt {\ hbar / m \ omega _ {0}}} , с ω 0>0 {\ displaystyle \ omega _ {0}>0}\omega _{0}>0 описывающий ширину распределения −− cf. обезразмеривание. Если состояние может развиваться в свободном пространстве, то зависящие от времени волновые функции импульса и положения в пространстве равны

Φ (p, t) = (x 0 ℏ π) 1/2 ⋅ exp ⁡ (- x 0 2 (п - п 0) 2 2 ℏ 2 - ip 2 T 2 м ℏ), {\ displaystyle \ Phi (p, t) = \ left ({\ frac {x_ {0}} {\ hbar {\ sqrt {\) pi}}}} \ right) ^ {1/2} \ cdot \ exp {\ left ({\ frac {-x_ {0} ^ {2} (p-p_ {0}) ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} - {\ frac {ip ^ {2} t} {2m \ hbar}} \ right)},}\Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\cdot \exp {\left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right)},
Ψ (x, t) = (1 x 0 π) 1 / 2 ⋅ e - x 0 2 p 0 2/2 ℏ 2 1 + i ω 0 t ⋅ exp ⁡ (- (x - ix 0 2 p 0 / ℏ) 2 2 x 0 2 (1 + i ω 0 t)). {\ displaystyle \ Psi (x, t) = \ left ({\ frac {1} {x_ {0} {\ sqrt {\ pi}}}} \ right) ^ {1/2} \ cdot {\ frac { e ^ {- x_ {0} ^ {2} p_ {0} ^ {2} / 2 \ hbar ^ {2}}} {\ sqrt {1 + i \ omega _ {0} t}}} \ cdot \ exp {\ left (- {\ frac {(x-ix_ {0} ^ {2} p_ {0} / \ hbar) ^ {2}} {2x_ {0} ^ {2} (1 + i \ omega _ {0} t)}} \ right)}.}\Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqr t {\pi }}}}\right)^{1/2}\cdot {\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\cdot \exp {\left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar)^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right)}.

Поскольку ⟨p (t)⟩ = p 0 {\ displaystyle \ langle p (t) \ rangle = p_ {0}}\ langle p (t) \ rangle = p_ {0} и σ p (t) = ℏ / (2 x 0) {\ displaystyle \ sigma _ {p} (t) = \ hbar / ({\ sqrt {2}} x_ {0})}{\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}, это можно интерпретировать как частицу, движущуюся с постоянным импульсом с произвольно высокой точностью. С другой стороны, стандартное отклонение позиции составляет

σ x = x 0 2 1 + ω 0 2 t 2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ frac {x_ {0}} {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {1+ \ omega _ {0} ^ {2} t ^ {2}}}}\sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}

таким образом, что произведение неопределенности может увеличиваться со временем только как

σ x (t) σ п (T) знак равно ℏ 2 1 + ω 0 2 T 2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} (t) \ sigma _ {p} (t) = {\ frac {\ hbar} {2}} { \ sqrt {1+ \ omega _ {0} ^ {2} t ^ {2}}}}\ sigma _ {x} (t) \ sigma _ {p} (t) = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ sqrt {1+ \ omega _ { 0} ^ {2} t ^ {2}}}

Дополнительная взаимосвязь неопределенностей

Систематические и статистические ошибки

В приведенных выше неравенствах основное внимание уделяется статистическая погрешность наблюдаемых величин, определяемая с помощью стандартного отклонения σ {\ displaystyle \ sigma}\ sigma . Первоначальная версия Гейзенберга, однако, имела дело с систематической ошибкой, возмущением квантовой системы, создаваемым измерительным прибором, т. Е. эффектом наблюдателя.

Если мы допустим ε A {\ displaystyle \ varepsilon _ {A}}{\ displaystyle \ varepsilon _ {A}} представляют ошибку (т. Е. неточность ) измерения наблюдаемого A и η B {\ displaystyle \ eta _ {B}}\ eta _ {B} возмущение, вызванное последующим измерением сопряженной переменной B предыдущим измерением A, тогда выполняется неравенство, предложенное Одзавой, охватывающее как систематические, так и статистические ошибки:

ε A η B + ε A σ B + σ A η B ≥ 1 2 | ⟨[A ^, B ^]⟩ | {\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ eta _ {B} + \ varepsilon _ {A} \, \ sigma _ {B} + \ sigma _ {A} \, \ eta _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |}{\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ eta _ {B} + \ varepsilon _ {A} \, \ sigma _ {B} + \ sigma _ {A} \, \ eta _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |}

принцип неопределенности Гейзенберга, как первоначально было описано в формулировке 1927 г., упоминается только первый член неравенства Одзавы, касающийся систематической ошибки. Используя обозначения, приведенные выше для описания эффекта погрешности / возмущения последовательных измерений (сначала A, затем B), это можно записать как

ε A η B ≥ 1 2 | ⟨[A ^, B ^]⟩ | {\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ eta _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, { \ hat {B}}] \ rangle \ right |}{\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ eta _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |}

Формальный вывод отношения Гейзенберга возможен, но далеко не интуитивно понятен. Он не был предложен Гейзенбергом, но математически согласованным образом сформулировал его только в последние годы. Также необходимо подчеркнуть, что формулировка Гейзенберга не принимает во внимание внутренние статистические ошибки σ A {\ displaystyle \ sigma _ {A}}\ sigma _ {A} и σ B {\ displaystyle \ сигма _ {B}}\sigma _{B}. Появляется все больше экспериментальных свидетельств того, что полную квантовую неопределенность нельзя описать одним членом Гейзенберга, но требуется наличие всех трех членов неравенства Одзавы.

Используя тот же формализм, также можно ввести другой вид физической ситуации, часто путаемый с предыдущей, а именно случай одновременных измерений (A и B одновременно):

ε A ε B ≥ 1 2 | ⟨[A ^, B ^]⟩ | {\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ varepsilon _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, { \ hat {B}}] \ rangle \ right |}{\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \, \ varepsilon _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |}

Два одновременных измерения на A и B обязательно нечеткие или слабые.

Также можно вывести соотношение неопределенности, которое, как и соотношение Одзавы, объединяет компоненты статистической и систематической ошибки, но сохраняет форму, очень близкую к исходному неравенству Гейзенберга. Добавляя Робертсон

σ A σ B ≥ 1 2 | ⟨[A ^, B ^]⟩ | {\ displaystyle \ sigma _ {A} \, \ sigma _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, { \ hat {B}}] \ rangle \ right |}{\ displaystyle \ sigma _ {A} \, \ sigma _ {B} \, \ geq \, {\ frac {1} {2}} \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |}

и соотношений Одзавы получаем

ε A η B + ε A σ B + σ A η B + σ A σ B ≥ | ⟨[A ^, B ^]⟩ |. {\ displaystyle \ varepsilon _ {A} \ eta _ {B} + \ varepsilon _ {A} \, \ sigma _ {B} + \ sigma _ {A} \, \ eta _ {B} + \ sigma _ { A} \ sigma _ {B} \ geq \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |.}{\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|.}

Четыре члена можно записать как:

(ε A + σ A) (η B + σ B) ≥ | ⟨[A ^, B ^]⟩ |. {\ displaystyle (\ varepsilon _ {A} + \ sigma _ {A}) \, (\ eta _ {B} + \ sigma _ {B}) \, \ geq \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |.}{\ displaystyle (\ varepsilon _ {A} + \ sigma _ {A}) \, (\ eta _ {B} + \ sigma _ {B}) \, \ geq \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ шляпа {B}}] \ rangle \ right |.}

Определение:

ε ¯ A ≡ (ε A + σ A) {\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} _ {A} \, \ Equiv \, (\ varepsilon _ {A} + \ sigma _ {A})}{\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}

как неточность измеренных значений переменной A и

η ¯ B ≡ (η B + σ B) {\ displaystyle {\ bar {\ eta}} _ {B} \, \ Equiv \, (\ eta _ {B} + \ sigma _ {B})}{\ displaystyle {\ bar {\ eta} } _ {B} \, \ Equiv \, (\ eta _ {B} + \ sigma _ {B})}

как результирующее колебание сопряженной переменной B, Фудзикава установил соотношение неопределенностей, аналогичное исходному Гейзенбергу, но действительное как для систематических, так и для статистических ошибок:

ε ¯ A η ¯ B ≥ | ⟨[A ^, B ^]⟩ | {\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} _ {A} \, {\ bar {\ eta}} _ {B} \, \ geq \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, { \ hat {B}}] \ rangle \ right |}{\ displaystyle {\ bar {\ varepsilon}} _ {A} \, {\ bar {\ eta}} _ {B} \, \ geq \, \ left | \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ rangle \ right |}

Принцип квантовой энтропийной неопределенности

Для многих распределений стандартное отклонение не является особенно естественным способом количественной оценки структуры. Например, соотношения неопределенностей, в которых одна из наблюдаемых представляет собой угол, имеют мало физического смысла для флуктуаций, превышающих один период. Другие примеры включают сильно бимодальные распределения или унимодальные распределения с дивергентной дисперсией.

Решением, позволяющим преодолеть эти проблемы, является неопределенность, основанная на энтропийной неопределенности вместо произведения дисперсий. Формулируя многомировую интерпретацию квантовой механики в 1957 г., Хью Эверетт III предположил более сильное расширение принципа неопределенности, основанное на энтропийной достоверности. Эта гипотеза, также изученная Хиршманом и доказанная в 1975 году Бекнером и Иво Бялыницки-Бирула и Ежи Мицельски, состоит в том, что для двух нормализованных безразмерных пар преобразования Фурье f (a) и g (b), где

е (а) знак равно ∫ - ∞ ∞ г (б) е 2 π iabdb {\ displaystyle f (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (b) \ e ^ {2 \ пи iab} \, db}{\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}и g (b) = ∫ - ∞ ∞ f (a) e - 2 π iabda {\ displaystyle \, \, \, g (b) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (a) \ e ^ {- 2 \ pi iab} \, da}{\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}

информационная энтропия Шеннона

H a = ∫ - ∞ ∞ е (а) журнал ⁡ (е (а)) да, {\ Displaystyle H_ {а} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (а) \ журнал (е (а)) \, да,}{\displaystyle H_{a}=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\log(f(a))\,da,}

и

H b = ∫ - ∞ ∞ g (b) журнал ⁡ (g (b)) db {\ displaystyle H_ {b} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (b) \ log (g (b)) \, db}{\ displaystyle H_ {b} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (b) \ log (g (b)) \, db}

подчиняется следующему ограничению:

H a + H b ≥ log ⁡ (e / 2) {\ displaystyle H_ {a} + H_ {b} \ geq \ log (e / 2)}{\ displaystyle H_ {a} + H_ {b} \ geq \ log (e / 2)}

где логарифмы могут быть в любом ос новании.

Функции распределения вероятностей, связанные с волновой функцией положения ψ (x) и волновой функцией импульса φ (x), имеют размерность, равную обратной длине и импульсу, соответственно, но энтропии можно сделать безразмерными с помощью

H x = - ∫ | ψ (x) | 2 пер ⁡ (Икс 0 | ψ (x) | 2) dx = - ⟨пер (x 0 ∣ ψ (x) | 2)⟩ {\ displaystyle H_ {x} = - \ int | \ psi (x) | ^ {2} \ ln (x_ {0} \, | \ psi (x) | ^ {2}) \, dx = - \ left \ langle \ ln (x_ {0} \ mid \ psi (x) | ^ {2}) \ right \ rangle}{\ displaystyle H_ {x} = - \ int | \ psi ( x) | ^ {2} \ ln (x_ {0} \, | \ psi (x) | ^ {2}) \, dx = - \ left \ langle \ ln (x_ {0} \ mid \ psi (x) | ^ {2}) \ right \ rangle}
H p = - ∫ | φ (p) | 2 пер ⁡ (п 0 | φ (p) | 2) dp = - ⟨пер ⁡ (p 0 | φ (p) | 2)⟩ {\ displaystyle H_ {p} = - \ int | \ varphi (p) | ^ {2} \ ln (p_ {0} \, | \ varphi (p) | ^ {2}) \, dp = - \ left \ langle \ ln (p_ {0} \ left | \ varphi (p) \ right | ^ {2}) \ right \ rangle}{\ displaystyle H_ {p} = - \ int | \ varphi (p) | ^ {2} \ ln (p_ {0} \, | \ varphi (p) | ^ {2}) \, dp = - \ left \ langle \ ln (p_ {0} \ left | \ varphi (p) \ right | ^ {2}) \ right \ rangle}

где x 0 и p 0 - произвольно выбранные длина и импульс соответственно, что делает аргументы логарифмов безразмерными. Обратите внимание, что энтропии будут функциями этих выбранных параметров. Из-за соотношения преобразования Фурье между волновой функцией положения ψ (x) и волновой функцией импульса φ (p) указанное выше ограничение для соответствующих энтропий может быть записано как

H x + H p ≥ журнал ⁡ (да 2 Икс 0 п 0) {\ Displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2 \, x_ {0} \, p_ { 0}}} \ right)}{\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2 \, x_ {0} \, p_ {0}}} \ right)}

где h - постоянная Планка.

В зависимости от выбора произведения x 0p0выражение может быть записано разными способами. Если x 0p0выбран равным h, то

H x + H p ≥ log ⁡ (e 2) {\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log \ left ({\ frac { e} {2}} \ right)}{\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}

Если вместо этого x 0p0выбран равным ħ, то

H x + H p ≥ log ⁡ (e π) {\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log (e \, \ pi)}{\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log (e \, \ pi)}

Если x 0 и p 0 выбраны равными единице в любой системе единиц измерения используется, то

ЧАС Икс + ЧАС p ≥ журнал ⁡ (да 2) {\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2}} \ right)}{\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ geq \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2}} \ right)}

где h интерпретируется как безразмерное число, равное значению постоянной Планка в выбранной системе единиц. Обратите внимание, что эти неравенства можно распространить на многомодовые квантовые состояния или волновые функции в более чем одном пространственном измерении.

Принцип квантовой энтропийной неопределенности является более строгим, чем принцип неопределенности Гейзенберга. Из обратного логарифмического неравенства Соболева

H x ≤ 1 2 log ⁡ (2 e π σ x 2 / x 0 2), {\ displaystyle H_ {x} \ leq {\ frac {1} {2}} \ log (2e \ pi \ sigma _ {x} ^ {2} / x_ {0} ^ {2}) ~,}{\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}
H p ≤ 1 2 log ⁡ (2 e π σ p 2 / p 0 2), {\ displaystyle H_ {p} \ leq {\ frac {1} {2}} \ log (2e \ pi \ sigma _ {p} ^ {2} / p_ {0} ^ {2}) ~,}{\ displaystyle H_ {p} \ leq {\ frac {1} {2}} \ log (2e \ pi \ sigma _ {p} ^ {2} / p_ {0} ^ {2}) ~,}

(эквивалентно, из того факта, что нормальные распределения максимизируют энтропию всех таких с заданной дисперсией), легко следует, что этот принципэнтропийной неопределенности, чем принцип, основанный на стандартных отклонениях, поскольку

σ x σ p ≥ ℏ 2 ехр ⁡ (H x + H p - журнал ⁡ (eh 2 x 0 p 0)) ≥ ℏ 2. {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ exp \ left (H_ {x} + H_ {p} - \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2 \, x_ {0} \, p_ {0}}} \ right) \ right) \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} ~.}{\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ exp \ left (H_ {x} + H_ {p} - \ log \ left ({\ frac {e \, h} {2 \, x_ {0} \, p_ {0}}} \ right) \ right) \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} ~.}

В другом Другими словами, принцип неопределенности Гейзенберга является следствиемквантово-энтропийного принципа неопределенности, но не наоборот. Несколько замечаний по поводу этих неравенств. Во-первых, выбор базы e является общепринятым в физике. В качестве альтернативы логарифм может быть любое основание при условии, что он согласован с обеими сторонами неравенства. Во-вторых, вспомните, что использовалась энтропия Шеннона, а не квантовая энтропия фон Неймана. Наконец, нормальное распределение обеспечивает неравенство, потому что это максимальное распределение вероятности энтропии среди тех, у кого фиксированная дисперсия (см. здесь для доказательства).

У измерительного устройства будет конечное разрешение, заданное дискретизацией его использованием выходных данных по ячейкам, с вероятностью попадания в одну из ячеек, заданных правилом Борна. Мы рассмотрим наиболее распространенную экспериментальную ситуацию, в которой бины имеют одинаковый размер. Пусть δx - мера пространственного разрешения. Мы предполагаем, что нулевой интервал центрирован около начала координат, возможно, с небольшим постоянным смещением c. Вероятность попадания в j-й интервал шириной δx равна

P ⁡ [x j] = ∫ (j - 1/2) δ x - c (j + 1/2) δ x - c | ψ (x) | 2 dx {\ displaystyle \ operatorname {P} [x_ {j}] = \ int _ {(j-1/2) \ delta xc} ^ {(j + 1/2) \ delta xc} | \ psi (x) | ^ {2} \, dx}{\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}

Чтобы учесть эту дискретизацию, мы можем определить энтропию Шеннона волновой функции данного измерительного прибора

H x = - ∑ j = - ∞ ∞ P ⁡ [xj] ln ⁡ P ⁡ [xj ]. {\ displaystyle H_ {x} = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {P} [x_ {j}] \ ln \ operatorname {P} [x_ {j}].}{\ displaystyle H_ {x} = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {P} [x_ {j}] \ ln \ operatorname {P} [x_ {j}]. }

Согласно приведенному выше определению, отношение энтропийной неопределенности имеет вид

H x + H p>ln ⁡ (e 2) - ln ⁡ (δ x δ ph). {\ displaystyle H_ {x} + H_ {p}>\ ln \ left ({\ frac {e} {2}} \ right) - \ ln \ left ({\ frac {\ delta x \ delta p} {h }} \ right).}{\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ ln \ left ({\ frac {e} {2}} \ right) - \ ln \ left ({\ frac {\ delta x \ delta p} {h }} \ right).} <1417 Нормальное распределениеСначала мы создаем этот метод в основном состоянии QHO, как обсуждалось выше, - это типичный бесконечно малый объем фазового пространства, использование при вычислении статистической суммы . 1408>ψ (Икс) знак равно (м ω π ℏ) 1/4 ехр ⁡ (- м ω Икс 2 2 ℏ) {\ displaystyle \ psi (x) = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ h bar}} \ right) ^ {1/4} \ exp {\ left (- {\ frac {m \ omega x ^ {2}} {2 \ hbar}} \ right)}}{\ displaystyle \ psi (x) = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {1/4} \ exp {\ left (- {\ frac {m \ omega x ^ {2}} {2 \ hbar }} \ right)}}

Вероятность лжи одного из этих инте рвалов может быть выражено через функцию оши бок .

P ⁡ [xj] = m ω π ℏ ∫ (j - 1/2) δ x (j + 1/2) δ x exp ⁡ (- m ω x 2 ℏ) dx = 1 π ∫ (j - 1/2) δ xm ω / ℏ (j + 1/2) δ xm ω / ℏ eu 2 du = 1 2 [erf ⁡ ((j + 1 2) δ Икс ⋅ ì ω ℏ) - erf ⁡ ((J - 1 2) δ Икс ⋅ м ω ℏ)] {\ Displaystyle {\ begin {align} \ OperatorName {P} [x_ {j}] = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} { \ pi \ hbar}}} \ int _ {(j-1/2) \ delta x} ^ {(j + 1/2) \ delta x} \ exp \ left (- {\ frac {m \ omega x ^ {2}} {\ hbar}} \ right) \, dx \\ = {\ sqrt {\ frac {1} {\ pi}}} \ int _ {(j-1/2) \ delta x {\ sqrt {m \ omega / \ hbar}}} ^ {(j + 1/2) \ delta x {\ sqrt {m \ omega / \ hbar}}} е ^ {u ^ {2}} \, du \\ = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}}) \ right) \ delta x \ cdot {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ l eft (j - {\ frac {1} {2}} \ right) \ delta x \ cdot {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ right) \ right] \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {P} [x_ {j}] = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}}}} \ int _ {(j-1/2) \ delta x} ^ {(j + 1/2) \ delta x} \ exp \ left (- {\ frac {m \ omega x ^ {2}} {\ hbar} } \ right) \, dx \\ = {\ sqrt {\ frac {1} {\ pi}}} \ int _ {(j-1/2) \ delta x {\ sqrt {m \ omega / \ hbar }}} ^ {(j + 1/2) \ delta x {\ sqrt {m \ omega / \ hbar}}} e ^{u ^ {2}} \, du \\ = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) \ delta x \ cdot {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} {2}} \ right) \ delta x \ cdot {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} \ right) \ right] \ end {align}}}

Вер оятности сигнала полностью аналогичны.

P ⁡ [pj] = 1 2 [erf ⁡ ((j + 1 2) δ p ⋅ 1 ℏ m ω) - erf ⁡ ((j - 1 2) δ x ⋅ 1 ℏ m ω)] {\ displaystyle \ operatorname {P} [p_ {j}] = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) \ delta p \ cdot {\ frac {1} {\ sqrt {\ hbar m \ omega}}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} {2 }} \ right) \ delta x \ cdot {\ frac {1} {\ sqrt {\ hbar m \ omega}}} \ right) \ right]}{\displaystyle \operatorname {P} [p_{j}]={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left(\left(j+{\frac {1}{2}}\right)\delta p\cdot {\frac {1}{\sqrt {\hbar m\omega }}}\right)-\operatorname {erf} \left(\left(j-{\frac {1}{2}}\right)\delta x\cdot {\frac {1}{\sqrt {\hbar m\omega }}}\right)\right]}

Для простоты мы установим разрешение

δ Икс = hm ω {\ displaystyle \ delta x = {\ sqrt {\ frac {h} {m \ omega}}}}{\displaystyle \delta x={\sqrt {\frac {h}{m\omega }}}}
δ p = hm ω {\ displaystyle \ delta p = {\ sqrt {hm \ omega}}}{\ displaystyle \ delta p = {\ sqrt {hm \ omega}}}

так, чтобы вероятности уменьшились до

P ⁡ [xj] = P ⁡ [pj] = 1 2 [erf ⁡ ((j + 1 2) 2 π) - erf ⁡ ((j - 1 2) 2 π)] {\ displaystyle \ operatorname {P} [x_ {j}] = \ operatorname {P} [p_ {j}] = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ f rac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) \ right]}{\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\operatorname {P} [p_{j}]={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {erf} \left(\left(j+{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2\pi }}\right)-\operatorname {erf} \left(\left(j-{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {2\pi }}\right)\right]}

Энтропия Шеннона c можно оценить численно.

H x = H p = - ∑ j = - ∞ ∞ P ⁡ [xj] ln ⁡ P ⁡ [xj] = - ∑ j = - ∞ ∞ 1 2 [erf ⁡ ((j + 1 2) 2 π) - erf ⁡ ((j - 1 2) 2 π)] ln ⁡ 1 2 [erf ⁡ ((j + 1 2) 2 π) - erf ⁡ ((j - 1 2) 2 π)] ≈ 0,3226 {\ displaystyle {\ begin {align} H_ {x} = H_ {p} = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {P} [x_ {j}] \ ln \ имя оператора {P} [x_ {j}] \\ = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac { 1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) \ right] \ ln {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left ( j + {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} {2} } \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) \ right] \ приблизительно 0,3226 \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} H_ {x} = H_ {p} = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} \ имя оператора {P} [x_ {j}] \ ln \ имя оператора {P} [x_ {j}] \\ = - \ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} { 2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} {2}} \ righ t) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) \ right] \ ln {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left (\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {2 \ pi}} \ right) - \ operatorname {erf} \ left (\ left (j - {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt { 2 \ pi}} \ right) \ right] \ приблизительно 0,3226 \ end {align}}}

Энтропийная неопределенность действительно больше, чем предельное значение.

ЧАС Икс + ЧАС p ≈ 0,3226 + 0,3226 = 0,6452>ln ⁡ (e 2) - ln ⁡ 1 ≈ 0,3069 {\ displaystyle H_ {x} + H_ {p} \ приблизительно 0, 3226 + 0,3226 = 0,6452>\ ln \ left ({\ frac {e} {2}} \ right) - \ ln 1 \ приблизительно 0,3069}{\displaystyle H_{x}+H_{p}\approx 0.3226+0.3226=0.6452>\ ln \ left ( {\ frac {e} {2}} \ right) - \ ln 1 \ приблизительно 0,3069}

что, несмотря на то, что неравенство находится в оптимальном случае, неравенство не является насыщенным.

Неравенство Ефимова по матрицам Паули

В 1976 году Сергей П. Ефимов вывел себя с помощью алгоритма с помощью неравенства неравенства. на матрицах Паули. Позже В.В. Додонов использовал этот метод вывода производных для нескольких наблюдаемых с помощью алгебры Клиффорда.

Согласно Джеки, неопределенность Робертсона является действительной только, когда коммутатор номер C. Метод. Ефимова эффективен для числа, у которых коммутаторы высокие. ии и для координатного 1. Рассмотрим два оператора A ^ {\ dis playstyle {\ hat {A}}}\hat A и B ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\ displaystyle {\ hat {B}}} , у которых есть коммутатор C ^ {\ displaystyle {\ hat {C}}}{\ displaystyle {\ hat {C}}} :

[A ^, B ^] = C ^. {\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right] = {\ hat {C}}.}{\ displaystyle \ left [{\ hat {A}}, {\ hat {B}} \ right ] = {\ шляпа {C}}. }

Для сокращения мы используем операторные отклонения:

δ A ^ = A ^ - ⟨A ^⟩ {\ displaystyle \ delta {\ hat {A}} = {\ hat {A}} - \ left \ langle {\ hat {A}} \ right \ rangle}{\ displaystyle \ delta {\ hat {A}} = {\ hat {A}} - \ left \ langle {\ hat {A}} \ right \ rangle} ,

когда новые операторы имеют нулевое среднее отклонение. Чтобы использовать матрицы Паули, мы можем рассмотреть оператора:

F ^ = γ 1 δ A ^ σ 1 + γ 2 δ B ^ σ 2 + γ 3 δ C ^ σ 3, {\ displaystyle { \ hat {F}} = \ gamma _ {1} \, \ delta {\ hat {A}} \, \ sigma _ {1} + \ gamma _ {2} \, \ delta {\ hat {B}} \, \ sigma _ {2} + \ gamma _ {3} \, \ delta {\ hat {C}} \, \ sigma _ {3},}{\ displaystyle {\ hat {F}} = \ gamma _ {1} \, \ delta {\ hat {A}} \, \ sigma _ {1} + \ gamma _ {2} \, \ delta { \ hat {B}} \, \ sigma _ {2} + \ gamma _ {3} \, \ delta {\ hat {C}} \, \ sigma _ {3},}

где спиновые матрицы 2 × 2 σ я {\ displaystyle \ sigma _ {i}}\ sigma_i есть коммутаторы:

[σ i, σ k] = ieikl σ l, {\ displaystyle \ left [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {k} \ right] = \, i \, e_ {ikl} \ sigma _ {l},}{\ displaystyle \ left [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {k} \ right] = \, i \, e_ {ikl } \ sigma _ {l},}

где eikl {\ displaystyle e_ {ikl}}{\ displaystyle e_ {ikl}} антисимметричный символ. Они раскрываются независимо от δ A ^, δ B ^, δ C ^ {\ displaystyle \ delta {\ hat {A}} {,} \, \ delta {\ hat {B}} {,} \, \ дельта {\ hat {C}}}{\ displaystyle \ delta {\ hat {A}} {,} \, \ delta {\ hat {B}} {,} \, \ delta {\ шляпа {C}}} . Матрицы Паули определяют алгебру Клиффорда. Возьмем произвольные числа γ i {\ displaystyle \ gamma _ {i}}{\ displaystyle \ gamma _ {i}} в операторе F ^ {\ displaystyle {\ hat {F}}}{\ displaystyle {\ hat {F}}} , чтобы будь реальным.

Физический квадрат оператора равен:

F ^ F ^ + = γ 1 2 (δ A ^ δ A ^ +) + γ 2 2 (δ B ^ δ B ^ +) + γ 3 2 ( δ C ^ δ C ^ +) + γ 1 γ 2 C ^ σ 3 + γ 2 γ 3 C ^ 2 σ 1 - γ 1 γ 3 C ^ 3 σ 2, {\ displaystyle {\ hat {F}} {\ шляпа {F}} ^ {+} = \ gamma _ {1} ^ {2} (\, \ delta {\ hat {A}} \ delta {\ hat {A}} ^ {+}) + \ gamma _ {2} ^ {2} (\, \ delta {\ hat {B}} \ delta {\ hat {B}} ^ {+}) + \ gamma _ {3} ^ {2} (\, \ delta { \ hat {C}} \ delta {\ hat {C}} ^ {+}) + \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \, {\ hat {C}} \, \ sigma _ {3} + \ gamma _ {2} \ gamma _ {3} \, {\ hat {C}} _ ​​{2} \, \ sigma _ {1} - \ gamma _ {1} \ gamma _ {3} \, {\ hat {C}} _ ​​{3} \, \ sigma _ {2},}{\ displaystyle {\ hat {F}} {\ hat {F}} ^ {+} = \ gamma _ {1} ^ { 2} (\, \ delta {\ hat {A}} \ delta {\ hat {A}} ^ {+}) + \ gamma _ {2} ^ {2} (\, \ delta {\ hat {B} } \ delta {\ hat {B}} ^ {+}) + \ gamma _ {3} ^ {2} (\, \ delta {\ hat {C}} \ delta {\ hat {C}} ^ {+ }) + \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \, {\ hat {C}} \, \ sigma _ {3} + \ gamma _ {2} \ gamma _ {3} \, {\ hat {C}} _ ​​{2} \, \ sigma _ {1} - \ gamma _ {1} \ gamma _ {3} \, {\ hat {C}} _ ​​{3} \, \ sigma _ {2},}

где F ^ + {\ displaystyle {\ hat {F}} ^ {+}}{\displaystyle {\hat {F}}^{+}}- это сопряженный оператор и коммутаторы C ^ 2 {\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{2}}{\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{2}} и C ^ 3 {\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{3}}{\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{3}} следующие:

C ^ 2 = i [δ B ^, C ^], C ^ 3 = i [δ A ^, C ^]. {\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{2} = i \ left [\ delta {\ hat {B}}, {\ hat {C}} \ right], \ qquad {\ hat {C} } _ {3} = я \ left [\ delta {\ hat {A}}, {\ hat {C}} \ right].}{\displaystyle {\hat {C}}_{2}=i\left[\delta {\hat {B}},{\hat {C}}\right],\qquad {\hat {C}}_{3}=i\left[\delta {\hat {A}},{\hat {C}}\right].}

Оператор F ^ F ^ + {\ displaystyle {\ hat {F}} {\ hat {F}} ^ {+}}{\ displaystyle {\ hat {F}} {\ hat {F}} ^ {+}} является положительно определенным, что важно для неравенства ниже. Принимая среднее значение по состоянию | ψ⟩ {\ Displaystyle \ влево | \ psi \ right \ rangle}{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle} , мы получаем положительно определенную матрицу 2 × 2:

⟨ψ | F ^ F ^ + | ψ⟩ = γ 1 2 ⟨(δ A ^) 2⟩ + γ 2 2 ⟨(δ B ^) 2⟩ + γ 3 2 ⟨(δ C ^) 2⟩ + + γ 1 γ 2 ⟨C ^⟩ σ 3 + γ 2 γ 3 ⟨C ^ 2⟩ σ 1 - γ 1 γ 3 ⟨C ^ 3⟩ σ 2, {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ psi \ right | {\ hat {F}} {\ hat {F}} ^ {+} \ left | \ psi \ right \ rangle = \ gamma _ {1} ^ {2} \, \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}}) ^ {2} \ right \ rangle + \ gamma _ {2} ^ {2} \, \ left \ langle (\ delta {\ hat {B}}) ^ {2} \ right \ rangle + \ gamma _ {3} ^ {2} \, \ left \ langle (\ delta { \ hat {C}}) ^ {2} \ right \ rangle + \\ + \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \, \ left \ langle {\ hat {C}} \ right \ rangle \, \ sigma _ {3} + \ gamma _ {2} \ gamma _ {3} \, \ left \ langle {\ hat {C}} _ ​​{2} \ right \ rangle \, \ sigma _ {1 } - \ gamma _ {1} \ gamma _ {3} \, \ left \ langle {\ hat {C}} _ ​​{3} \ right \ rangle \, \ sigma _ {2}, \ end {align }}}{\ displaystyle { \ begin {align} \ left \ langle \ psi \ right | {\ hat {F}} {\ hat {F}} ^ {+} \ left | \ psi \ right \ rangle = \ gamma _ {1} ^ {2} \, \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}}) ^ {2} \ right \ rangle + \ gamma _ {2} ^ {2} \, \ left \ langle (\ delta {\ шляпа {B}}) ^ {2} \ right \ rangle + \ gamma _ {3} ^ {2} \, \ left \ langle (\ delta {\ hat {C}}) ^ {2} \ right \ rangle + \\ + \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \, \ left \ langle {\ hat {C}} \ right \ rangle \, \ sigma _ {3} + \ gamma _ {2} \ gamma _ {3} \, \ left \ langle {\ hat {C}} _ ​​{2} \ right \ rangle \, \ sigma _ {1} - \ gamma _ {1} \ gamma _ {3} \, \ left \ langle {\ hat {C}} _ ​​{3} \ right \ rangle \, \ sigma _ {2}, \ end {align}}}

, где понятие:

⟨(δ A ^) 2⟩ = ⟨(δ A ^ δ A +)⟩ {\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}}) ^ {2} \ right \ rangle = \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}} \ delta A ^ {+}) \ right \ rangle}{\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}}) ^ {2} \ right \ rangle = \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}} \ delta A ^ {+}) \ right \ rangle}

и аналогичный для операторов B, C { \ Displaystyle B, \, C}{\displaystyle B,\,C}. Учитывая, что коэффициенты γ i {\ displaystyle \ gamma _ {i}}{\ displaystyle \ gamma _ {i}} произвольны в уравнении, мы получаем положительно определенную матрицу 6 × 6. Критерий Сильвестра говорит, что его ведущие основные неотрицательны. Неопределенность Робертсона следует из второстепенной четвертой степени. Для увеличения результата вычисляется определитель шестого порядка:

⟨(δ A ^) 2⟩ ⟨(δ B ^) 2⟩ ⟨(δ C ^) 2⟩ ≥ 1 4 ⟨C ^⟩ 2 ⟨(δ C ^) 2 ⟩ + 1 4 ⟨(δ A ^) 2⟩ ⟨C ^ 2⟩ 2 + 1 4 ⟨(δ B ^) 2⟩ ⟨C ^ 3⟩ 2 {\ displaystyle \ left \ langle {(\ delta {\ шляпа { A}}) ^ {2}} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {B}}) ^ {2}} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ шляпа { C}}) ^ {2}} \ right \ rangle \ geq {\ frac {1} {4}} \ left \ langle {\ hat {C}} \ right \ rangle ^ {2} \ left \ langle {( \ delta {\ hat {C}}) ^ {2}} \ right \ rangle + {\ frac {1} {4}} \ left \ langle (\ delta {\ hat {A}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {\ hat {C}} _ ​​{2} \ right \ rangle ^ {2} + {\ frac {1} {4}} \ left \ langle (\ delta {\ hat { B}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {\ hat {C}} _ ​​{3} \ right \ rangle ^ {2}}{\displaystyle \left\langle {(\delta {\hat {A}})^{2}}\right\rangle \left\langle {(\delta {\hat {B}})^{2}}\right\rangle \left\langle {(\delta {\hat {C}})^{2}}\right\rangle \geq {\frac {1}{4}}\left\langle {\hat {C}}\right\rangle ^{2}\left\langle {(\delta {\hat {C}})^{2}}\right\rangle +{\frac {1}{4}}\left\langle (\delta {\hat {A}})^{2}\right\rangle \left\langle {\hat {C}}_{2}\right\rangle ^{2}+{\frac {1}{4}}\left\langle (\delta {\hat {B}})^{2}\right\rangle \left\langle {\hat {C}}_{3}\right\rangle ^{2}}

Равенство наблюдается, только когда является собственным состоянием для оператора F ^ {\ displaystyle {\ hat {F}}}{\ displaystyle {\ hat {F}}} и аналогично для чисел вращения:

F ^ | ψ⟩ | s ^⟩ знак равно 0 {\ displaystyle {\ hat {F}} \, {\ left | \ psi \ right \ rangle} {\ left | {\ hat {s}} \ right \ rangle} = 0}{\ displaystyle {\ hat {F}} \, {\ left | \ psi \ right \ rangle} {\ left | {\ hat {s}} \ right \ rangle} = 0} .

Найденное соотношение мы можем применить к оператору кинетической энергии E ^ kin = p ^ 2 2 {\ displaystyle {\ hat {E}} _ { kin} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} ^ {2}} {2}}}{\ displaystyle {\ hat {E}} _ {kin} = {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} ^ {2}} {2 }}} и для оператора координаты x ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat { x}}}{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {x}}} :

⟨(δ E ^) 2⟩ ⟨(Δ Икс ^) 2⟩ ≥ ℏ 2 4 ⟨p ^⟩ 2 + ℏ 2 2 ⟨(δ E ^) 2⟩ ⟨(δ p ^) 2⟩ - 1 {\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta {\ hat {\ mathbf {x}}}) ^ {2} \ right \ rangle \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} \ left \ langle \, \ mathbf {\ hat {p}} \, \ right \ rangle ^ {2} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {p}}) ^ {2} \ right \ rangle ^ {-1}}{\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta {\ hat {\ mathbf {x}}) }) ^ {2} \ right \ rangle \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} \ left \ langle \, \ mathbf {\ hat {p}} \, \ right \ rangle ^ { 2} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {p}}) ^ {2} \ right \ rangle ^ {- 1}}

В частности, равенство в формуле наблюдается для основного состояния осциллятора, тогда как правая часть неопределенности Робертсона исчезает:

⟨p ^⟩ = 0 {\ Displaystyle \ влево \ lan g le \, \ mathbf {\ hat {p}} \, \ right \ rangle = 0}{\ displaystyle \ left \ langle \, \ mathbf {\ hat {p}} \, \ right \ rangle = 0} .

Физический смысл отношений станет более ясным, если разделить его на квадрат ненулевого среднего импульса, что даст:

⟨(δ E ^) 2⟩ (δ T) 2 ≥ ℏ 2 4 + ℏ 2 2 ⟨(δ E ^) 2⟩ ⟨(δ p ^) 2⟩ - 1 ⟨p ^⟩ - 2, {\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle (\ delta t) ^ {2} \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} + {\ frac { \ hbar ^ {2}} {2}} \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {p}) }) ^ {2} \ right \ rangle ^ {- 1} \ left \ langle \, \ mathbf {\ hat {p}} \, \ right \ rangle ^ {- 2},}{\ displaystyle \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle (\ delta t) ^ {2} \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} \ left \ langle (\ delta {\ hat {E}}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {p}}) ^ {2} \ right \ rangle ^ {- 1} \ left \ langle \, \ mathbf {\ hat { p}} \, \ right \ rangle ^ {- 2},}

где (δ T) 2 знака равно ⟨(δ Икс ^) 2⟩ ⟨p ^⟩ - 2 {\ Displaystyle (\ delta t) ^ {2} = \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {x}})) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle \ mathbf {\,} {\ hat {p}} \, \ right \ rangle ^ {- 2}}{\ displaystyle (\ delta t) ^ {2} = \ left \ langle (\ delta \ mathbf {\ hat {x}}) ^ { 2} \ right \ rangle \ left \ langle \ mathbf {\,} {\ hat {p}} \, \ right \ rangle ^ {- 2}} - квадратное эффективное время, в течение средней частица движется около средней траектории (масса частиц равна 1).

Метод может быть правил для трех некоммутирующих операторов углового момента L ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {L}}}{\displaystyle \mathbf {\hat {L}} }. Составим оператор:

F ^ = γ 1 δ L ^ x σ 1 + γ 2 δ L ^ y σ 2 + γ 3 δ L ^ z σ 3. {\ displaystyle {\ hat {F}} = \ gamma _ {1} \, \ delta {\ hat {L}} _ {x} \, \ sigma _ {1} + \ gamma _ {2} \, \ delta {\ hat {L}} _ {y} \, \ sigma _ {2} + \ gamma _ {3} \, \ delta {\ hat {L}} _ {z} \, \ sigma _ {3}.}{\ displaystyle {\ hat {F}} = \ gamma _ {1} \, \ delta {\ hat {L}} _ {x} \, \ sigma _ {1} + \ gamma _ {2} \, \ delta {\ hat {L}} _ {y} \, \ sigma _ {2} + \ gamma _ {3} \, \ delta {\ hat {L}} _ {z} \, \ sigma _ {3}.}

Напомним, что операторы σ i {\ displaystyle \ sigma _ {i}}\ sigma_i являются вспомогательными средствами связи между спиновыми переменными частями нет никакой связи. Таким образом, важны только их коммутативные свойства. Оператор возведения в квадрат и усреднение F ^ {\ displaystyle {\ hat {F}}}{\ displaystyle {\ hat {F}}} дает положительно определенную матрицу, из которой мы получаем следующее неравенство:

.

⟨(δ L ^ x) 2⟩ ⟨(Δ L ^ Y) 2⟩ ⟨(δ L ^ Z) 2)⟩ ≥ ℏ 2 4 ∑ я = 1 3 ⟨(δ L ^ i) 2⟩ ⟨L ^ я⟩ 2 {\ Displaystyle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {L}} _ {x})} ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {L}} _ {y})} ^ { 2} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {L}} _ {z})} ^ {2}) \ right \ rangle \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} { 4}} \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ left \ langle (\ delta {\ hat {L}} _ {i}) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {\ hat { L}} _ {i} \ right \ rangle ^ {2}}{\ displaystyle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {L}} _ {x})} ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle { (\ delta {\ hat {L}} _ {y})} ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {(\ delta {\ hat {L}} _ {z})} ^ {2}) \ right \ rangle \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}} \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ left \ langle (\ delta {\ hat {L}} _ {i }) ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle {\ hat {L}} _ {i} \ right \ rangle ^ {2}}

Чтобы использовать метод для группы операторов, можно использовать алгебру Клиффорда вместо матриц Паули.

Гармонический анализ

В контексте гармонического анализа, раздела математики, принцип неопределенности подразумевает, что нельзя одновременно локализовать значение функции и его преобразование Фурье. Таким образом, имеет место неравенство

(∫ - ∞ ∞ x 2 | f (x) | 2 dx) (∫ - ∞ ∞ ξ 2 | f ^ (ξ) | 2 d ξ) ≥ ‖ f ‖ 2 4 16 π 2. {\ Displaystyle \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} | f (x) | ^ {2} \, dx \ right) \ left (\ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} \ xi ^ {2} | {\ hat {f}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi \ right) \ geq {\ frac {\ | f \ | _ {2} ^ {4}} {16 \ pi ^ {2}}}.}\left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi)|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.

Другие неравенства математической неопределенности, включая указанную выше энтропийную неопределенность, имеют место между функцией f и ее преобразованием Фурье ƒ̂:

ЧАС Икс + ЧАС ξ ≥ журнал ⁡ (e / 2) {\ Displaystyle H_ {x} + H _ {\ xi} \ geq \ log (e / 2)}{\ di splaystyle H_ {x} + H _ {\ xi} \ geq \ log (e / 2)}

Обработка сигналов

В контексте обработки сигналов, и в рамках частотно-временного анализа, принципы неопределенности используются как предел Габора после Деннис Габор, а иногда и предел Гейзенберга - Габора. Основной результат, который следует из «теоремы Бенедикса» ниже, заключается в том, что функция не может быть одновременно ограниченной по времени и полосой (функция и ее преобразование Фурье не может иметь одновременно ограниченную область) - см. с ограничением по времени и с ограничением по времени. Таким образом,

σ t ⋅ σ f ≥ 1 4 π ≈ 0,08 цикла {\ displaystyle \ sigma _ {t} \ cdot \ sigma _ {f} \ geq {\ frac {1} {4 \ pi} } \ приблизительно 0,08 {\ text {циклы}}}{\ displaystyle \ sigma _ {t} \ cdot \ sigma _ {f} \ geq {\ frac {1} {4 \ pi}} \ примерно 0,08 {\ text {циклы}}}

где σ t {\ displaystyle \ sigma _ {t}}\ sigma _ {t} и σ f {\ displaystyle \ sigma _ {f}}\sigma _{f}- это стандартные отклонения оценок времени и частоты соответственно.

В качестве альтернативы заявлено: «Нельзя одновременно локализовать сигнал (функцию f) как во временной области, так и во частотная область (ƒ̂, точно его преобразование Фурье) ».

При применении к фильтрам результат подразумевает, что нельзя достичь высокого временного разрешения и разрешения по частоте; конкретным примером являются проблемы разрешения кратковременного преобразования Фурье - если используется широкое окно, хорошее разрешение по ширине за счет временного разрешения, в то время как узкое окно имеет противоположный компромисс..

Альтернативные теоремы дают более точные количественные результаты, и в частотно-временном анализе, вместо того, чтобы интерпретировать (одномерные) временную и частотную области по отдельной области, вместо этого предела интерпретируется как нижний предел поддержки функция в (2-мерной)) частотно-временной плоскости. На практике предел Габора ограничивает короткое частотно-временное разрешение, которое можно достичь без помех; можно достичь более высокого разрешения, но за счет того, что различные компоненты сигнала будут мешать друг другу.

В результате, чтобы анализировать сигналы, которые важны переходные процессы, вместо преобразования Фурье часто используется вейвлет-преобразование.

Принцип неопределенности DFT

Существует принцип неопределенности, который использует разреженность сигнала (или количество ненулевых коэффициентов).

Пусть {xn}: знак равно x 0, x 1,…, x N - 1 {\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {x_ {n}} \ right \}: = x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {N -1}}{\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots,x_{N-1}}быть последовательностью N комплексных чисел и {X k}: = X 0, X 1,…, XN - 1, {\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {X_ {k}} \ right \}: = X_ {0}, X_ {1}, \ ldots, X_ {N-1},}{\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {X_ {k}} \ right \}: = X_ {0}, X_ {1}, \ ldots, X_ {N-1 },} его дискретное преобразование Фурье.

Обозначим ‖ x ‖ 0 {\ displaystyle \ | х \ | _ {0}}\ | х \ | _ {0} количество ненулевых элементов во временной последовательности x 0, x 1,…, x N - 1 {\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ { N-1}}x_{0},x_{1},\ldots,x_{N-1}и по ‖ X ‖ 0 {\ displaystyle \ | X \ | _ {0}}\ | X \ | _ {0} количество ненулевых элементов в частотной последовательности X 0, X 1,…, XN - 1 {\ displaystyle X_ {0}, X_ {1}, \ ldots, X_ {N -1}}X_ {0}, X_ {1}, \ ldots, X_ {N-1} . Тогда

N ≤ ‖ Икс ‖ 0 ⋅ ‖ Икс ‖ 0. {\ Displaystyle N \ Leq \ | х \ | _ {0} \ cdot \ | X \ | _ {0}.}N\leq \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}.

Теорема Бенедикса

Теорема Амрейна - Бертье и Бенедикса интуитивно утверждает, что множество точек, где f не равно нулю, и множество точек, где ƒ̂ ненулевое, не может быть одновременно малым.

В частности, невозможно использовать функцию f в L (R ) и ее преобразование Фурье были поддерживаемыми на множествах конечной меры Лебега. Более количественная версия:

‖ f ‖ L 2 (R d) ≤ C e C | S | | Σ | (F ‖ L 2 (S c) + ‖ f ^ ‖ L 2 (Σ c)). {\ Displaystyle \ | е \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {R} ^ {d})} \ leq Ce ^ {C | S || \ Sigma |} {\ bigl (} \ | f \ | _ {L ^ {2} (S ^ {c})} + \ | {\ hat {f}} \ | _ {L ^ {2} (\ Sigma ^ {c})} {\ bigr)} ~.}\|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr)}~.

Можно ожидать, что множитель Ce может быть заменен на Ce, который известен только в том случае, если S или Σ выпуклые.

Принцип неопределенности Харди

Математик Г. Х. Харди сформулировал следующий принцип неопределенности: невозможно, чтобы f и ƒ̂ оба были «очень быстро убывающими». В частности, если f в L 2 (R) {\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}L ^ 2 ( \ mathbb {R}) таково, что

| f (x) | ≤ С (1 + | Икс |) N е - a π Икс 2 {\ Displaystyle | е (х) | \ Leq C (1+ | х |) ^ {N} е ^ {- а \ пи х ^ {2}}}| f (x) | \ leq C (1+ | x |) ^ {N} e ^ {- а \ пи х ^ {2}}

и

| f ^ (ξ) | ≤ С (1 + | ξ |) N е - б π ξ 2 {\ Displaystyle | {\ Hat {f}} (\ xi) | \ Leq C (1+ | \ xi |) ^ {N} e ^ {-b \ pi \ xi ^ {2}}}| {\ hat {f}} (\ xi) | \ leq C (1+ | \ xi |) ^ {N} e ^ {- b \ pi \ xi ^ {2}} (C>0, N {\ displaystyle C>0, N}C>0, N целое число),

тогда, если ab>1, f = 0, а если ab = 1, тогда существует многочлен P степени ≤ N такой, что

f (x) = P (x) e - a π x 2. {\ Displaystyle f (x) = P (x) e ^ {- a \ pi x ^ {2}}.}{\ displaystyle f (x) = P (x) e ^ {- a \ pi x ^ {2}}.}

Позже это было улучшено следующим образом: если f ∈ L 2 (R d) { \ displaystyle f \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {d})}{\ displaystyle f \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {d})} таково, что

∫ R d ∫ R d | f (x) | | f ^ ( ξ) | e π | ⟨x, ξ⟩ | (1 + | x | + | ξ |) N dxd ξ < + ∞, {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi)|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} | f (x) || {\ шляпа {f}} (\ xi) | {\ frac {e ^ {\ pi | \ langle x, \ xi \ rangle |}} {(1+ | x | + | \ xi |) ^ {N}}} \, dx \, d \ xi <+ \ infty ~,}

, тогда

f (x) = P (x) e - π ⟨A x, x⟩, {\ displaystyle f (x) = P (x) e ^ {- \ pi \ langle Ax, x \ rangle} ~,}f (x) = P (x) e ^ {- \ pi \ langle Ax, x \ rangle} ~,

где P - многочлен степени (N - d) / 2, а A - вещественная положительно определенная матрица размера d × d.

Этот результат без всяких доказательств изложен в полном сочинении Бё рлинга. f и доказано в Hörmander (случай d = 1, N = 0 {\ displaystyle d = 1, N = 0}d = 1, N = 0 ) и Bonami, Demange и Jaming для общего случая. Заметим, что версия Хёрмандера - Берлинга влечет случай ab>1 в теореме Харди, версия Бонами - Деманжа - Джейминга охватывает всю силу теоремы Харди. Другое доказательство теоремы Беллинга, основанное на теоремеувилля, появилось в ссылке

Полное описание случая ab < 1 as well as the following extension to Schwartz class distributions appears in ref.

Теорема. Если умеренное распределение f ∈ S ′ (R d) {\ displaystyle f \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {d})}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})таково, что

e π | х | 2 е ∈ S ′ (R d) {\ displaystyle e ^ {\ pi | х | ^ {2}} f \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {d})}e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})

и

e π | ξ | 2 е ^ ∈ S '(R d), {\ displaystyle e ^ {\ pi | \ xi | ^ {2}} {\ hat {f}} \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {d}) ~,}e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~,

тогда

f (x) = P ( x) e - π ⟨A x, x⟩, {\ displaystyle f (x) = P (x) e ^ {- \ pi \ langle Ax, x \ rangle} ~,}f (x) = P (x) e ^ {- \ pi \ langle Ax, x \ rangle} ~,

для некоторого удобного многочлена P и вещественной положительно определенной матрицы A типа d × d.

История

Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности в институте Нильса Бора в Копенгагене, используя над математическими основами квантовой механики.

Вернер Гейзенберг и Нильс Бор

В 1925 году, после новаторской работы с Хендриком Крамерсом, Гейзенберг разработал матричную механику, которая заменила специальную старуюю квантовую теорию современной квантовой механикой.. Центральная посылка заключалась в том, что классическая концепция движения не подходит на квантовом уровне, поскольку электроны в атоме не движутся по четко определенным орбитам. Скорее, их движение странным образом размыто: преобразование Фурье его временной зависимости включает только те частоты, которые можно было наблюдать в квантовых скачках их излучения.

Статья Гейзенберга не допускала каких-либо ненаблюдаемых величин, таких как точное положение электрона на орбите в любое время; он позволил теоретику говорить только о фурье-компонентах движения. Поскольку компоненты Фурье не были определены на классических частотах, их нельзя было использовать для построения точной траектории, так что формализм не мог ответить на некоторые слишком точные вопросы о том, где находится электрон или насколько быстро он движется. собирается.

В марте 1926 года, работая в институте Бора, Гейзенберг понял, что не- коммутативность подразумевает принцип неопределенности. Этот вывод обеспечил ясную физическую интерпретацию некоммутативности и заложил основу для того, что стало известно как Копенгагенская интерпретация квантовой механики. Гейзенберг показал, что коммутационное соотношение подразумевает неопределенность или, говоря языком Бора, дополнительность. Любые две переменные, которые не коммутируют, нельзя измерить одновременно - чем точнее известна одна, тем менее точно может быть известна другая. Гейзенберг писал:

В простейшей форме это можно выразить следующим образом: невозможно узнать с полной точностью оба этих двух важных фактора, которые определяют движение одной из мельчайших частиц - ее положение и скорость. Невозможно точно определить и положение, и направление, и скорость частицы в один и тот же момент.

В своей знаменитой статье 1927 года «Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik» («О перцептивном содержании кванта») Теоретическая кинематика и механика »), Гейзенберг установил это выражение как минимальную величину неизбежного возмущения сигнала, вызванного любым измерением положения, но он не дал точного определения неопределенностей Δx и Δp. Вместо этого он дал правдоподобные оценки для каждого случая отдельно. В своей лекции в Чикаго он уточнил свой принцип:

Δ x Δ p ≳ h {\ displaystyle \ Delta x \, \ Delta p \ gtrsim h}\Delta x\,\Delta p\gtrsim h

(1)

Кеннард в 1927 году впервые доказал современное неравенство:

σ x σ p ≥ ℏ 2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}

(2)

, где ħ = h / 2π, и σ x, σ p - стандартные отклонения положения и количества движения. Гейзенберг доказал соотношение (2) только для частного случая гауссовских состояний.

Терминология и перевод

В основной части своей оригинальной статьи 1927 года, написанной на немецком языке, Гейзенберг использовал слово «Ungenauigkeit» («неопределенность»), чтобы описать основной теоретический принцип. Только в примечании он перешел на слово «Unsicherheit» («неопределенность»). Однако, когда в 1930 году была опубликована русскоязычная версия учебника Гейзенберга «Физические принципы квантовой теории», в переводе был использован перевод «неопределенность», который стал более часто используемым термином на английском языке

.

Микроскоп Гейзенберга.

Гамма-микроскоп Гейзенберга для обнаружения электрона (показан синим цветом). Поступающий гамма-луч (показано зеленым) рассеивается электроном вверх на угол раскрытия микроскопа θ. Рассеянное гамма-излучение показано красным цветом. Классическая оптика показывает, что положение электрона может быть определено только с точностью Δx, которая зависит от θ и длины волны λ падающего света.

Принцип довольно противоречивый, поэтому первые ученики квантовой теории нужно было заверить в том, что наивные измерения, нарушающие ее, всегда были неработоспособны. Один из способов, которым Гейзенберг использовал проиллюстрированную внутреннюю невозможность нарушения принципа неопределенности, - это использование эффекта наблюдателя воображаемого микроскопа в качестве измерительного устройства.

Он представляет экспериментатора, пытающегося измерить положение и импульс электрона путем выстрела в него фотона.

Проблема 1 - Если фотон имеет короткую длину волны и, следовательно, большой импульс, положение можно точно измерить. Но фотон рассеивается в случайном направлении, передавая электрону большой и неопределенный импульс. Если фотон имеет длинную длину волны и малый импульс, столкновение не сильно нарушает импульс электрона, но рассеяние лишь смутно покажет его положение.
Проблема 2 - Если большая апертура используется для микроскопа, местоположение электрона может быть хорошо разрешено (см. критерий Рэлея ); но в соответствии с принципом сохранения импульса поперечный импульс входящего фотона влияет на импульс электронного луча, и, следовательно, новый импульс электрона решается плохо. Если используется малая апертура, точность обоих разрешений будет наоборот.

Сочетание этих компромиссов означает, что независимо от того, какая длина волны фотона и размер апертуры используются, произведение неопределенности в измеренном положении и измеренный импульс больше или равен нижнему пределу, который (с точностью до небольшого числового коэффициента) равен постоянной Планка. Гейзенберг не позаботился сформулировать принцип неопределенности как точный предел и предпочел использовать его вместо этого как эвристическое количественное утверждение, исправляющее с точностью до небольших числовых факторов, что делает неизбежной радикально новую некоммутативность квантовой механики.

Критические реакции

Копенгагенская интерпретация квантовой механики и принцип неопределенности Гейзенберга фактически рассматривались недоброжелателями, которые верили в лежащий в основе детерминизм и <720, как двойную цель.>реализм. Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, не существует фундаментальной реальности, которую описывает квантовое состояние, а есть только рецепт для расчета экспериментальных результатов. Невозможно сказать, каково фундаментальное состояние системы, только каковы могут быть результаты наблюдений.

Альберт Эйнштейн считал, что случайность - это отражение нашего незнания некоторых фундаментальных свойств реальности, в то время как Нильс Бор считал, что распределения вероятностей фундаментальны и неприводимы и зависят от того, какие измерения мы выбираем выполнять. Эйнштейн и Бор обсуждали принцип неопределенности в течение многих лет.

Идеал стороннего наблюдателя

Вольфганг Паули назвал фундаментальное возражение Эйнштейна против принципа неопределенности «идеалом стороннего наблюдателя» (фраза в переводе с немецкого):

«Как Луна имеет определенное положение, - сказал мне Эйнштейн прошлой зимой, - независимо от того, смотрим ли мы на Луну или нет, то же самое должно иметь место и для атомных объектов, поскольку между ними и макроскопическими объектами нет четкого различия. Наблюдение не может создать элемент реальности, такой как позиция, в полном описании физической реальности должно содержаться что-то, что соответствует возможности наблюдения позиции еще до того, как наблюдение было фактически произведено ». Я надеюсь, что я правильно процитировал Эйнштейна; Всегда трудно цитировать кого-то по памяти, с кем не согласен. Именно такой постулат я называю идеалом стороннего наблюдателя.

  • Письмо Паули Нильсу Бору, 15 февраля 1955 г.

щель Эйнштейна

Первый из мысленных экспериментов Эйнштейна, оспаривающих принцип неопределенности, состоял в следующем:

Рассмотрим частица, проходящая через щель шириной d. Щель вносит неопределенность в импульсе приблизительно h / d, поскольку частица проходит сквозь стенку. Но давайте определим импульс частицы, измерив отдачу стенки. Поступая таким образом, мы находим импульс частицы с произвольной точностью посредством сохранения количества движения.

Ответ Бора заключался в том, что стенка также является квантово-механической и что для измерения отдачи с точностью Δp импульс стенки должен быть известным с этой точностью до того, как частица пройдет сквозь него. Это вносит неопределенность в положение стенки и, следовательно, положение щели, равное h / Δp, и если импульс стенки известен достаточно точно, чтобы измерить отдачу, положение щели является достаточно неопределенным, чтобы не допустить измерения положения.

Аналогичный анализ с частицами, диффундирующими через множество щелей, дает Ричард Фейнман.

Ящик Эйнштейна

Бор присутствовал, когда Эйнштейн предложил мысленный эксперимент, который стал известен как Ящик Эйнштейна. Эйнштейн утверждал, что «уравнение неопределенности Гейзенберга подразумевает, что неопределенность во времени связана с неопределенностью энергии, а произведение двух значений связано с постоянной Планка ». Рассмотрим, сказал он, идеальную коробку, заставленную зеркалами, так что она может содержать свет бесконечно долго. Ящик можно было взвесить до того, как часовой механизм откроет идеальную заслонку в выбранный момент для одной фотону уйти. «Теперь мы знаем, - объяснил Эйнштейн, - точно время, когда фотон покинул ящик». «Теперь взвесьте коробку еще раз. Изменение массы говорит об энергии излучаемого света. Таким образом, сказал Эйнштейн, можно измерить испускаемую энергию и время ее высвобождения с любой желаемой точностью, что противоречит принципу неопределенности.. "

провел бессонную ночь, обдумывая этот аргумент, и в конце концов понял, что он ошибочен. Он указал, что если бы ящик взвешивался, скажем, с помощью пружины и указателя на шкале, поскольку ящик должен перемещаться вертикально с изменением своего веса, возникнет неопределенность в его вертикальной скорости и, следовательно, неопределенность в его высоте над столом... Более того, неопределенность в отношении высоты над земной поверхностью к неопределенности в скорости хода часов "из-за собственной теории Эйнштейна влияния гравитации на время. «Посредством этой цепочки неопределенностей показывает, что эксперимент Эйнштейна со световым коробом может одновременно точно измерить как фотона, так и время его ухода».

Парадокс ЭПР для запутанных частиц

Бор был вынужден изменить свое понимание принципа неопределенности после другого мысленного эксперимента Эйнштейна. В 1935 году Эйнштейн, Подольский и Розен (см. парадокс ЭПР ) опубликовали анализ широко разделенных запутанных частиц. Эйнштейн понял, что измерение одной частицы изменит распределение вероятности для другой части, но в данном случае другая часть не может быть нарушена. Этот пример побудил Бора пересмотреть свое понимание принципа, заключив, что неопределенность не была вызвана прямым взаимодействием.

Но Эйнштейн пришел к более гораздо дальше идущим выводам из того же мысленного эксперимента. Он предсказывает результаты экспериментов на основе «локально изменяющихся детерминированных величин» и, следовательно, должно быть больше информации, чем максимально возможное, допускаемое принципом неопределенности.

В 1964 году Джон Белл показал, что это предположение можно опровергнуть, поскольку оно подразумевает определенное неравенство между вероятностями разных экспериментов. Экспериментальные результаты подтверждают предсказания квантовой механики, опровергающее предположение Эйнштейна, которое произошло его к предположению о его скрытых числа. Эти скрытые переменные могут быть «скрыты» из-за иллюзии, развивающей при наблюдении за слишком большими или слишком маленькими объектами. Эту иллюзию можно сравнить с вращающимися лопастями, которые кажутся исчезающими в разных местах, а иногда при наблюдении кажется, что они находятся в одном и том же месте в одном и том же месте. Эта же иллюзия проявляется при наблюдении за субатомными частями. И лопасти вентилятора, и субатомные частицы движутся так быстро, что наблюдатель видит иллюзию. Следовательно, возможно, что будет предсказуемость поведения и характеристик субатомных частиц для записывающего устройства, способного к очень высокоскоростному отслеживанию... Этот факт является одним из лучших доказательств, подтверждающих Карла Поппера философия опровержения теории экспериментами по фальсификации. Другими словами, здесь «основное предположение» Эйнштейна было опровергнуто экспериментами, основанными на неравенствах Белла. О возражениях Карла Поппера против самого неравенства Гейзенберга см. Ниже.

Хотя можно предположить, что квантово-механические предсказания обусловлены нелокальными скрытыми переменными, и на самом деле Дэвид Бом изобрел такую ​​формулировку, это разрешение не удовлетворяет подавляющее большинство физики. Вопрос о том, предопределен ли случайный исход нелокальной теорией, может быть философским и трудноразрешимым. Если бы скрытые переменные не были ограничены, они были просто списком случайных цифр, которые использовались для использования результатов измерения. Чтобы сделать его разумным предположение о нелокальных скрытых переменных, иногда дополняется вторым предположением - что размер наблюдаемой вселенной накладывает ограничение на вычисления, которые могут выполнять эти переменные. Нелокальная теория такого рода предсказывает, что квантовый компьютер столкновение с фундаментальными препятствиями при попытке разложить на множители числа приблизительно 10 000 цифр или более; достижимая задача в квантовой механике.

Критика Поппера

Карл Поппер подошел к проблеме неопределенности как логик и метафизический реалист. Он не согласился с использованием частиц неопределенности к данным отношениям, а не к ансамблям идентично частицам, назвав их «статистическимими рассеяния». В этой статистической интерпретации конкретное измерение может быть выполнено с произвольной точностью, не опровергая квантовую теорию. Это прямо контрастирует с копенгагенской интерпретацией квантовой механики, которая недетерминирована, но не содержит локальных скрытых чисел.

В 1934 году Поппер опубликовал Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Критика отношений неопределенности) в Naturwissenschaften, и в том же году Logik der Forschung (переведено и обновлено автор книги « Логика научных открытий »в 1959 г.), изложив свои аргументы в пользу статистической интерпретации. В 1982 году он продолжил развитие своей теории квантовой теории и раскола в физике, написав:

формулы Гейзенберга, вне всяких сомнений, являются выводимыми статистическими формулами квантовой теории. Но обычно неверно истолковывали те квантовые теоретики, которые утверждали, что эти формулы можно интерпретировать как определение их верхнего предела точности наших измерений. [выделено автором]

Поппер использовал эксперимент, чтобы фальсифицировать отношения неопределенности, хотя позже он отозвал свою первоначальную версию после обсуждения с Вайцзекером, Гейзенбергом и Эйнштейн ; этот эксперимент мог повлиять на формулировку эксперимент ЭПР.

Неопределенность множества миров

интерпретация множественности миров, использованная Хью Эвереттом III в 1957 г. отчастиан примирить взаимосвязь между Эйнштейна и Бора путем замены взгляда коллапса волновой функции Бора ансамблем детерминированных и независимых вселенных, распределение которых определяется волновыми функциями и уравнение Шредингера. Таким образом, неопределенность в интерпретации многих миров из того, что каждый наблюдатель в любой вселенной не знает, что происходит в других вселенных.

Свобода воли

Некоторые ученые, включая Артура Комптона и Мартина Гейзенберга, предположили, что принцип неопределенности или, по крайней мере, общая вероятностная природа квантовой механика, может быть доказательством двухэтапной модели свободы воли. Одна критика, однако, заключается в том, что помимо основной роли квантовой механики как основы химии, нетривиальные биологические механизмы, требующие квантовой механики, маловероятны из-за быстрой декогеренции времени квантовой системы при комнатной температура. Сторонники этой теории обычно говорят, что эта декогеренция преодолевается за счет экранирования, так и свободных от декогеренции подпространств, обнаруживаемых в биологических клетках.

Термодинамика

Есть основания полагать, что нарушение неопределенности также подразумевает нарушение второго закона термодинамики. См. парадокс Гиббса.

См. Также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Викицитатник содержит цитаты, относящиеся к: Принцип неопределенности
Последняя правка сделана 2021-06-20 10:33:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте