Дрожащая рука идеальное равновесие

В теории игр, Совершенное равновесие дрожащей рукой - это уточнение равновесия по Нэшу, созданное Рейнхардом Зельтеном. Совершенное равновесие дрожащей руки - это равновесие, которое учитывает возможность игры вне равновесия, предполагая, что игроки из-за «промаха руки» или дрожи могут выбрать непреднамеренные стратегии, хотя с ничтожной вероятностью.

• 1 Определение
• 2 Пример
• 3 Совершенное равновесие дрожащей руки в играх с двумя игроками
• 4 Совершенное равновесие дрожащей руки в играх расширенной формы
• 5 Проблемы с совершенством
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Сначала определите нарушенную игру . Возмущенная игра - это копия основной игры с ограничением, что разрешено играть только полностью смешанные стратегии. Полностью смешанная стратегия - это смешанная стратегия, в которой каждая стратегия (как чистая, так и смешанная) используется с ненулевой вероятностью. Это «дрожащие руки» игроков; Иногда они используют другую стратегию, отличную от той, которую они намеревались использовать. Затем определите набор стратегий S (в базовой игре) как идеальный для дрожащих рук, если существует последовательность нарушенных игр, которые сходятся к основной игре, в которой существует серия равновесий по Нэшу, сходящиеся к S.

Примечание: Все полностью смешанные равновесия Нэша идеальны.

Примечание 2: Расширение смешанной стратегии любой конечной игры в нормальной форме имеет по крайней мере одно совершенное равновесие.

Игра, представленная в следующем нормальном матрица формы имеет две чистые стратегии равновесие по Нэшу, а именно $⟨вверх,\; влево⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; text\; \{Up\}\},\; \{\backslash \; text\; \{Left\}\}\; \backslash \; rangle\}$и $⟨Вниз,\; Вправо⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; text\; \{Down\}\},\; \{\backslash \; text\; \{Right\}\}\; \backslash \; rangle\}$. Однако только $⟨U,\; L⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; text\; \{U\}\},\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash \; rangle\}$идеально подходит для дрожащих рук.

Предположим, что игрок 1 (игрок ряда) играет смешанную стратегию $(1\; -\; \epsilon ,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-\; \backslash \; varepsilon,\; \backslash \; varepsilon)\}$, для .

ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры L составляет:

$1\; (1\; -\; \epsilon )\; +\; 2\; \epsilon \; =\; 1\; +\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; (1-\; \backslash \; varepsilon)\; +2\; \backslash \; varepsilon\; =\; 1\; +\; \backslash \; varepsilon\}$

Ожидаемый выигрыш игрока 2 от игры по стратегии R составляет:

$0\; (1\; -\; \epsilon )\; +\; 2\; \epsilon \; =\; 2\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; (1-\; \backslash \; varepsilon)\; +2\; \backslash \; varepsilon\; =\; 2\; \backslash \; varepsilon\}$

При малых значениях $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на R и максимальный вес на L. По симметрии игрок 1 должен поместить минимальный вес на D, если игрок 2 использует смешанную стратегию $(1\; -\; \epsilon ,\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (1-\; \backslash \; varepsilon,\; \backslash \; varepsilon)\}$. Следовательно, $⟨U,\; L⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; text\; \{U\}\},\; \{\backslash \; text\; \{L\}\}\; \backslash \; rangle\}$идеально подходит для дрожащих рук.

Однако аналогичный анализ не подходит для профиля стратегии $⟨D,\; R⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; text\; \{D\}\},\; \{\backslash \; text\; \{R\}\}\; \backslash \; rangle\}$.

Предположим игрок 2 использует смешанную стратегию $(\epsilon ,\; 1\; -\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; varepsilon,\; 1-\; \backslash \; varepsilon)\}$. Ожидаемый выигрыш игрока 1 от игры U составляет:

$1\; \epsilon \; +\; 2\; (1\; -\; \epsilon )\; =\; 2\; -\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; varepsilon\; +2\; (1-\; \backslash \; varepsilon)\; =\; 2-\; \backslash \; varepsilon\}$

Игрок 1 ожидаемый выигрыш от игры D составляет:

$0\; (\epsilon )\; +\; 2\; (1\; -\; \epsilon )\; =\; 2-2\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; (\backslash \; varepsilon)\; +2\; (1-\; \backslash \; varepsilon)\; =\; 2-2\; \backslash \; varepsilon\}$

Для всех положительных значений $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$игрок 1 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, помещая минимальный вес на D и максимальный вес на U. Следовательно, $⟨D,\; R⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; text\; \{D\}\},\; \{\backslash \; text\; \{R\}\}\; \backslash \; rangle\}$не идеален для дрожащих рук, потому что игрок 2 (и, по симметрии, игрок 1) максимизирует его ожидаемый выигрыш, чаще всего отклоняясь к L, если есть небольшая вероятность ошибки в поведении игрока 1.

Для игр 2x2 Множество совершенных равновесий с дрожащими руками совпадает с множеством равновесий, состоящих из двух недоминируемых стратегий. В приведенном выше примере мы видим, что равновесие несовершенно, поскольку левый (слабо) доминирует, правый для игрока 2 и верх (слабо) доминирует вниз для игрока 1.

Существует два возможных способа расширить определение совершенства дрожащих рук к игры с расширенной формой.

• Можно интерпретировать расширенную форму как просто краткое описание игры с нормальной формой и применить концепции, описанные выше, к этой игре с нормальной формой. В результирующих играх с возмущениями каждая стратегия расширенной игры должна выполняться с ненулевой вероятностью. Это приводит к понятию дрожащей руки нормальной формы и совершенного равновесия .
• В качестве альтернативы можно вспомнить, что дрожание следует интерпретировать как ошибки моделирования, совершаемые игроками с некоторой пренебрежимо малой вероятностью во время игры. Такая ошибка, скорее всего, будет заключаться в том, что игрок сделает другой ход, чем предполагалось в какой-то момент во время игры. Вряд ли это будет заключаться в том, что игрок выберет другую стратегию, чем предполагалось, то есть неправильный план прохождения всей игры. Чтобы уловить это, можно определить нарушенную игру, потребовав, чтобы каждый ход в каждом информационном наборе выполнялся с ненулевой вероятностью. Пределы равновесия таких нарушенных игр, когда вероятность дрожания рук стремится к нулю, называются совершенным равновесием дрожащей руки экстенсивной формы .

Понятия совершенного равновесия нормальной формы и совершенной формы дрожания руки несопоставимы, т. Е. Равновесие в игре расширенной формы может быть совершенная дрожащая рука нормальной формы, но не совершенная дрожащая рука расширенной формы, и наоборот. В качестве крайнего примера этого Жан-Франсуа Мертенс привел пример игры с расширенной формой для двух игроков, в которой невозможно совершенное равновесие с дрожащей рукой в ​​расширенной форме, т. Е. наборы совершенных равновесий дрожащей руки расширенной формы и нормальной формы для этой игры не пересекаются.

Совершенное равновесие дрожащей руки обширной формы также является последовательным равновесием. Дрожащая рука нормальной формы совершенное равновесие в расширенной игре может быть последовательной, но не обязательно так. Фактически, совершенное равновесие нормальной формы дрожащей руки даже не обязательно должно быть идеальным в подыгре.

Майерсон (1978) указал, что совершенство зависит от добавления строго доминировал над стратегией, и вместо этого предложил другое уточнение, известное как правильное равновесие.

• Osborne, Martin J.; Рубинштейн, Ариэль (1994). Курс теории игр. MIT Press. С. 246–254. ISBN 9780262650403.