Matroid

редактировать
Не путать с Metroid или Meteoroid.

В комбинаторике филиал математики, в матроиде / м eɪ т г ɔɪ г / является структура, которая рефераты и обобщает понятие линейной независимости в векторных пространствах. Есть много эквивалентных способов аксиоматического определения матроида, наиболее значимые из которых: независимые множества; базы или схемы; ранговые функции; операторы закрытия; и закрытые наборы или квартиры. На языке частично упорядоченных множеств конечный матроид эквивалентен геометрической решетке.

Теория матроидов широко заимствует терминологию линейной алгебры и теории графов, в основном потому, что это абстракция различных понятий, имеющих центральное значение в этих областях. Матроиды нашли применение в геометрии, топологии, комбинаторной оптимизации, теории сетей и теории кодирования.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Определение
    • 1.1 Независимые множества
    • 1.2 Базы и схемы
    • 1.3 Ранговые функции
    • 1.4 Операторы закрытия
    • 1.5 Квартиры
    • 1.6 Гиперплоскости
    • 1.7 Графоиды
  • 2 Примеры
    • 2.1 Бесплатный матроид
    • 2.2 Однородные матроиды
    • 2.3 Матроиды из линейной алгебры
    • 2.4 Матроиды из теории графов
    • 2.5 Матроиды из расширений полей
  • 3 Основные конструкции
    • 3.1 Двойственность
    • 3.2 Несовершеннолетние
    • 3.3 Суммы и союзы
  • 4 Дополнительная терминология
  • 5 алгоритмов
    • 5.1 Жадный алгоритм
    • 5.2 Разбиение Matroid
    • 5.3 Пересечение матроидов
    • 5.4 Программное обеспечение Matroid
  • 6 Полиномиальные инварианты
    • 6.1 Характеристический полином
      • 6.1.1 Бета-инвариант
    • 6.2 Полином Тутте
  • 7 бесконечных матроидов
  • 8 История
  • 9 исследователей
  • 10 См. Также
  • 11 Примечания
  • 12 Ссылки
  • 13 Внешние ссылки

Определение

Существует множество эквивалентных ( криптоморфных ) способов определения (конечного) матроида.

Независимые наборы

С точки зрения независимости, конечное матроидом пара, где является конечное множество ( так называемый набор заземления) и является семейство из подмножеств из (называемых в независимых множеств) со следующими свойствами: M {\ displaystyle M} ( E , я ) {\ displaystyle (E, {\ mathcal {I}})} E {\ displaystyle E} я {\ displaystyle {\ mathcal {I}}} E {\ displaystyle E}

(I1) Пустое множество является независимым, т. Е.. В качестве альтернативы, по крайней мере, одно подмножество является независимым, т. Е. я {\ displaystyle \ emptyset \ in {\ mathcal {I}}} E {\ displaystyle E} я {\ Displaystyle {\ mathcal {I}} \ neq \ emptyset}
(I2) Каждое подмножество независимого множества является независимым, т. Е. Для каждого, если, то. Иногда это называют наследственным свойством или свойством, закрытым вниз. А А E {\ Displaystyle A '\ substeq A \ substeq E} А я {\ displaystyle A \ in {\ mathcal {I}}} А я {\ displaystyle A '\ in {\ mathcal {I}}}
(I3) Если и являются двумя независимыми наборами (т. Е. Каждый набор является независимым) и имеет больше элементов, чем, то существует такое, что находится в. Иногда это называют свойством увеличения или свойством обмена независимыми наборами. А {\ displaystyle A} B {\ displaystyle B} А {\ displaystyle A} B {\ displaystyle B} Икс А B {\ displaystyle x \ in A \ обратная косая черта B} B { Икс } {\ Displaystyle В \ чашка \ {х \}} я {\ displaystyle {\ mathcal {I}}}

Первые два свойства определяют комбинаторную структуру, известную как система независимости (или абстрактный симплициальный комплекс ).

Базы и схемы

Основная статья: Основа матроида

Подмножество основного набора, которое не является независимым, называется зависимым. Максимальный независимый набор, то есть независимый набор, который становится зависимым от добавления любого элемента, называется базой для матроида. Цепи в матроиду является минимальным зависимым подмножество, то есть, зависимое множество, собственно подмножества все независимы. Терминология возникает из-за того, что схемы графических матроидов являются циклами в соответствующих графах. E {\ displaystyle E} E {\ displaystyle E} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E}

Зависимые множества, основы или схемы матроида полностью характеризуют матроид: набор является независимым тогда и только тогда, когда он не зависим, тогда и только тогда, когда он является подмножеством базиса, и тогда и только тогда, когда он не содержать схемы. Наборы зависимых множеств, баз и схем имеют простые свойства, которые могут быть приняты как аксиомы для матроида. Например, можно определить матроид как пару, где - конечное множество, как и раньше, и набор подмножеств, называемых «базами», со следующими свойствами: M {\ displaystyle M} ( E , B ) {\ displaystyle (E, {\ mathcal {B}})} E {\ displaystyle E} B {\ displaystyle {\ mathcal {B}}} E {\ displaystyle E}

(B1) непусто. B {\ displaystyle {\ mathcal {B}}}
(B2) Если и являются различными членами и, то существует такой элемент, что. Это свойство называется базисным свойством обмена. А {\ displaystyle A} B {\ displaystyle B} B {\ displaystyle {\ mathcal {B}}} а А B {\ displaystyle a \ in A \ setminus B} б B А {\ displaystyle b \ in B \ setminus A} ( А { а } ) { б } B {\ displaystyle (A \ setminus \ {a \}) \ cup \ {b \} \ in {\ mathcal {B}}}

Из свойства обмена базисом следует, что ни один член не может быть надлежащим подмножеством другого. B {\ displaystyle {\ mathcal {B}}}

Ранговые функции

Основной результат теории матроидов, прямо аналогичный аналогичной теореме о базисах в линейной алгебре, состоит в том, что любые два базиса матроида имеют одинаковое количество элементов. Это число называется ранг из . Если - это матроид на, и является подмножеством, то матроид на может быть определен, рассматривая подмножество как независимое тогда и только тогда, когда оно является независимым в. Это позволяет нам говорить о субматроидах и о ранге любого подмножества. Ранг подмножества задается функцией ранга матроида, который имеет следующие свойства: M {\ displaystyle M} M {\ displaystyle M} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E} А {\ displaystyle A} E {\ displaystyle E} А {\ displaystyle A} А {\ displaystyle A} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E} А {\ displaystyle A} р ( А ) {\ Displaystyle г (А)}

  • Значение функции ранга всегда является неотрицательным целым числом.
  • Для любого подмножества у нас есть. А E {\ Displaystyle A \ подмножество E} р ( А ) | А | {\ Displaystyle г (А) \ leq | А |}
  • Для любых двух подмножеств, мы имеем:. То есть ранг - это субмодульная функция. А , B E {\ displaystyle A, B \ subset E} р ( А B ) + р ( А B ) р ( А ) + р ( B ) {\ Displaystyle г (А \ чашка В) + г (А \ крышка В) \ Leq г (А) + г (В)}
  • Для любого множества и элемента, мы имеем:. Из первого неравенства в более общем виде следует, что если, то. То есть ранг - это монотонная функция. А {\ displaystyle A} Икс {\ displaystyle x} р ( А ) р ( А { Икс } ) р ( А ) + 1 {\ Displaystyle г (А) \ Leq г (А \ чашка \ {х \}) \ Leq г (А) +1} А B E {\ Displaystyle A \ substeq B \ substeq E} р ( А ) р ( B ) р ( E ) {\ Displaystyle г (А) \ Leq г (В) \ Leq г (Е)}

Эти свойства могут быть использованы в качестве одного из альтернативных определений конечного матроида: если удовлетворяет эти свойства, то независимые множества матроиды за кадром могут быть определены как те подмножества из с. На языке частично упорядоченных множеств такая структура матроида эквивалентна геометрической решетке, элементами которой являются подмножества, частично упорядоченные по включению. ( E , р ) {\ displaystyle (E, r)} E {\ displaystyle E} А {\ displaystyle A} E {\ displaystyle E} р ( А ) знак равно | А | {\ Displaystyle г (А) = | А |} А M {\ Displaystyle A \ подмножество M}

Разница называется недействительностью подмножества. Это минимальное количество элементов, которое необходимо удалить, чтобы получить независимый набор. Недействительность in называется недействительностью. Разницу иногда называют корангом подмножества. | А | - р ( А ) {\ displaystyle | A | -r (A)} А {\ displaystyle A} А {\ displaystyle A} E {\ displaystyle E} M {\ displaystyle M} M {\ displaystyle M} р ( E ) - р ( А ) {\ Displaystyle г (Е) -r (А)} А {\ displaystyle A}

Операторы закрытия

Позвольте быть матроидом на конечном множестве с функцией ранга, как указано выше. Замыкание (или оболочка) подмножеств из есть множество M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E} р {\ displaystyle r} cl ( А ) {\ displaystyle \ operatorname {cl} (A)} А {\ displaystyle A} E {\ displaystyle E}

cl ( А ) знак равно { Икс E р ( А ) знак равно р ( А { Икс } ) } {\ displaystyle \ operatorname {cl} (A) = {\ Bigl \ {} x \ in E \ mid r (A) = r {\ bigl (} A \ cup \ {x \} {\ bigr)} {\ Бигр \}}}.

Это определяет оператор замыкания, где обозначает набор мощности со следующими свойствами: cl : п ( E ) п ( E ) {\ displaystyle \ operatorname {cl}: {\ mathcal {P}} (E) \ to {\ mathcal {P}} (E)} п {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}

  • Для всех подмножеств из,. Икс {\ displaystyle X} E {\ displaystyle E} Икс cl ( Икс ) {\ Displaystyle X \ substeq \ OperatorName {cl} (X)}
  • Для всех подмножеств из,. Икс {\ displaystyle X} E {\ displaystyle E} cl ( Икс ) знак равно cl ( cl ( Икс ) ) {\ Displaystyle \ OperatorName {cl} (X) = \ Operatorname {cl} (\ Operatorname {cl} (X))}
  • Для всех подмножеств и из с,. Икс {\ displaystyle X} Y {\ displaystyle Y} E {\ displaystyle E} Икс Y {\ Displaystyle X \ substeq Y} cl ( Икс ) cl ( Y ) {\ Displaystyle \ OperatorName {cl} (X) \ substeq \ OperatorName {cl} (Y)}
  • Для всех элементов, а также из и всех подмножеств из, если потом. а {\ displaystyle a} б {\ displaystyle b} E {\ displaystyle E} Y {\ displaystyle Y} E {\ displaystyle E} а cl ( Y { б } ) cl ( Y ) {\ displaystyle a \ in \ operatorname {cl} (Y \ cup \ {b \}) \ setminus \ operatorname {cl} (Y)} б cl ( Y { а } ) cl ( Y ) {\ displaystyle b \ in \ operatorname {cl} (Y \ cup \ {a \}) \ setminus \ operatorname {cl} (Y)}

Первые три из этих свойств являются определяющими свойствами оператора замыкания. Четвертый иногда называют собственностью обмена Мак-Лейна - Стейница. Эти свойства можно рассматривать как другое определение матроида: каждая функция, подчиняющаяся этим свойствам, определяет матроид. cl : п ( E ) п ( E ) {\ displaystyle \ operatorname {cl}: {\ mathcal {P}} (E) \ to {\ mathcal {P}} (E)}

Квартиры

Множество, замыкание которого равно самому себе, называется замкнутым, либо плоским, либо подпространством матроида. Набор считается замкнутым, если он максимален для своего ранга, а это означает, что добавление любого другого элемента к набору повысит ранг. Замкнутые множества матроида характеризуются свойством покрывающего разбиения:

  • Весь набор точек закрыт. E {\ displaystyle E}
  • Если и являются квартирами, то квартира. S {\ displaystyle S} Т {\ displaystyle T} S Т {\ Displaystyle S \ cap T}
  • Если это квартира, то каждый элемент находится ровно в одной из квартир, которые покрывают (это означает, что он правильно содержит, но нет квартиры между и). S {\ displaystyle S} E S {\ Displaystyle E \ setminus S} Т {\ displaystyle T} S {\ displaystyle S} Т {\ displaystyle T} S {\ displaystyle S} U {\ displaystyle U} S {\ displaystyle S} Т {\ displaystyle T}

Класс всех квартир, частично упорядоченный включением множества, образует решетку матроидов. С другой стороны, каждый матроид решетка образует матроид над своим набором из атомов по следующему оператору замыкания: для набора атомов с присоединиться, L ( M ) {\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (М)} L {\ displaystyle L} E {\ displaystyle E} S {\ displaystyle S} S {\ displaystyle \ bigvee S}

cl ( S ) знак равно { Икс E Икс S } {\ displaystyle \ operatorname {cl} (S) = \ {x \ in E \ mid x \ leq \ bigvee S \}}.

Плоскости этого матроида однозначно соответствуют элементам решетки; плоскость, соответствующая элементу решетки, - это множество у {\ displaystyle y}

{ Икс E Икс у } {\ displaystyle \ {x \ in E \ mid x \ leq y \}}.

Таким образом, решетка плоскостей этого матроида естественно изоморфна . L {\ displaystyle L}

Гиперплоскости

В матроиде ранга плоскость ранга называется гиперплоскостью. ( Гиперплоскости также называют коатомами или копоинтами.) Это максимальные собственные плоскости; то есть единственное надмножество гиперплоскости, которое также является плоским, - это набор всех элементов матроида. Эквивалентное определение состоит в том, что коатом - это подмножество E, которое не охватывает M, но такое, что добавление к нему любого другого элемента создает охватывающий набор. р {\ displaystyle r} р - 1 {\ displaystyle r-1} E {\ displaystyle E}

Семейство гиперплоскостей матроида обладает следующими свойствами, которые можно рассматривать как еще одну аксиоматизацию матроидов: ЧАС {\ displaystyle {\ mathcal {H}}}

  • Не существует внятных наборов и в с. То есть гиперплоскости образуют семейство Спернеров. Икс {\ displaystyle X} Y {\ displaystyle Y} ЧАС {\ displaystyle {\ mathcal {H}}} Икс Y {\ Displaystyle X \ substeq Y}
  • Для каждого и отличного с существует с. Икс E {\ displaystyle x \ in E} Y , Z ЧАС {\ displaystyle Y, Z \ in {\ mathcal {H}}} Икс Y Z {\ Displaystyle х \ notin Y \ чашка Z} Икс ЧАС {\ displaystyle X \ in {\ mathcal {H}}} ( Y Z ) { Икс } Икс {\ Displaystyle (Y \ крышка Z) \ чашка \ {х \} \ substeq X}

Графоиды

Минти (1966) определил графоид как тройку, в которой и являются классами непустых подмножеств таких, что ( L , C , D ) {\ Displaystyle (L, C, D)} C {\ displaystyle C} D {\ displaystyle D} L {\ displaystyle L}

  • ни один элемент (называемый "схемой") не содержит другого, C {\ displaystyle C}
  • ни один элемент из (называемого «кокосхемой») не содержит другого, D {\ displaystyle D}
  • не установленные и установленные в пересекаются ровно в одном элементе, и C {\ displaystyle C} D {\ displaystyle D}
  • всякий раз, когда он представлен как непересекающееся объединение подмножеств с (одноэлементным набором), то либо существует такое, что, либо существует такое, что L {\ displaystyle L} р , грамм , B {\ Displaystyle R, G, B} грамм знак равно { грамм } {\ Displaystyle G = \ {g \}} Икс C {\ displaystyle X \ in C} грамм Икс р грамм {\ displaystyle g \ in X \ substeq R \ cup G} Y D {\ displaystyle Y \ in D} грамм Y B грамм . {\ displaystyle g \ in Y \ substeq B \ cup G.}

Он доказал, что существует матроид, для которого есть класс схем и класс кокосхем. И наоборот, если и - классы схемы и кокцепи матроида с набором оснований, то является графоидом. Таким образом, графоиды дают самодуальную криптоморфную аксиоматизацию матроидов. C {\ displaystyle C} D {\ displaystyle D} C {\ displaystyle C} D {\ displaystyle D} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E} ( E , C , D ) {\ displaystyle (E, C, D)}

Примеры

Бесплатный матроид

Позвольте быть конечным множеством. Множество всех подмножеств удовлетворяет определению матроида. Это называется свободным матроидом над. E {\ displaystyle E} E {\ displaystyle E} E {\ displaystyle E}

Однородные матроиды

Пусть конечное множество и на натуральное число. Можно определить матроид, взяв за основу каждое -элементное подмножество. Это известно как унифицированный матроид ранга. Обозначен равномерный матроид с рангом и элементами. Все равномерные матроиды ранга не ниже 2 простые (см. § Дополнительная терминология). Равномерный матроид ранга 2 по точкам называется - точечной линией. Матроид является однородным тогда и только тогда, когда у него нет цепей размером меньше единицы плюс ранг матроида. Прямые суммы однородных матроидов называются матроидами разбиений. E {\ displaystyle E} k {\ displaystyle k} E {\ displaystyle E} k {\ displaystyle k} E {\ displaystyle E} k {\ displaystyle k} k {\ displaystyle k} п {\ displaystyle n} U k , п {\ displaystyle U_ {k, n}} п {\ displaystyle n} п {\ displaystyle n}

В однородном матроиде каждый элемент представляет собой цикл (элемент, не принадлежащий ни одному независимому набору), а в однородном матроиде каждый элемент является кольцом (элементом, который принадлежит всем базам). Прямая сумма матроидов этих двух типов представляет собой матроид разбиения, в котором каждый элемент является петлей или кольцом; он называется дискретным матроидом. Эквивалентным определением дискретного матроида является матроид, в котором каждое собственное непустое подмножество основного набора является разделителем. U 0 , п {\ displaystyle U_ {0, n}} U п , п {\ displaystyle U_ {n, n}} E {\ displaystyle E}

Матроиды из линейной алгебры

Матроид Фано, полученный из плоскости Фано. Он является GF (2) -линейным, но не действительно линейным. Vámos матроид, а не линейное над любым полем

Теория матроидов развивалась в основном на основе глубокого исследования свойств независимости и размерности векторных пространств. Есть два способа представить определенные таким образом матроиды:

  • Если - любое конечное подмножество векторного пространства, то мы можем определить матроид на, взяв независимые множества в качестве линейно независимых подмножеств. Справедливость аксиом независимого множества для этого матроида следует из леммы об обмене Стейница. Если это матроид, который можно определить таким образом, мы говорим, что набор представляет. Такие матроиды называются векторными матроидами. Важным примером определяемого таким образом матроида является матроид Фано, матроид третьего ранга, полученный из плоскости Фано, конечная геометрия с семью точками (семью элементами матроида) и семью линиями (собственно нетривиальные плоскости плоскости Фано ). матроид). Это линейный матроид, элементы которого можно описать как семь ненулевых точек в трехмерном векторном пространстве над конечным полем GF (2). Однако невозможно обеспечить аналогичное представление матроида Фано с использованием вещественных чисел вместо GF (2). E {\ displaystyle E} V {\ displaystyle V} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E} M {\ displaystyle M}
  • Матрица с элементами в поле приводит к матроиду на его набор столбцов. Зависимые наборы столбцов в матроиде являются линейно зависимыми как векторы. Это Матроид называется колонна матроидом из, и, как говорят, представляют. Например, матроид Фано может быть представлен таким образом как 3 × 7 (0,1) -матрица. Матроиды столбцов - это просто векторные матроиды под другим названием, но часто есть причины в пользу матричного представления. (Есть одно техническое различие: матроид столбца может иметь отдельные элементы, которые являются одним и тем же вектором, но векторный матроид, как определено выше, не может. Обычно это различие несущественно и может быть проигнорировано, но, позволяя быть мультимножеством векторов, два определения в полное согласие.) А {\ displaystyle A} M {\ displaystyle M} А {\ displaystyle A} А {\ displaystyle A} M {\ displaystyle M} E {\ displaystyle E}

Матроид, который эквивалентен векторному матроиду, хотя он может быть представлен по-другому, называется представимым или линейным. Если эквивалентно векторному матроиду над полем, то мы говорим, что он представим над полем ; в частности, является действительным представимым, если оно представимо над действительными числами. Например, хотя графический матроид (см. Ниже) представлен в виде графика, он также может быть представлен векторами над любым полем. Основная проблема в теории матроидов состоит в том, чтобы охарактеризовать матроиды, которые могут быть представлены в данном поле ; Гипотеза Роты описывает возможную характеризацию каждого конечного поля. Основными результатами на данный момент являются характеристики бинарных матроидов (представимых над GF (2)), принадлежащих Тутте (1950-е годы), тройных матроидов (представимых над трехэлементным полем), принадлежащих Рейду и Биксби, и отдельно Сеймуру (1970-е годы).) и четвертичных матроидов (представимых над 4-элементным полем) Гилен, Джерардс и Капур (2000). Это очень открытая площадка. M {\ displaystyle M} F {\ displaystyle F} M {\ displaystyle M} F {\ displaystyle F} M {\ displaystyle M} F {\ displaystyle F}

Регулярный матроидом является матроидом, что представимо над всеми возможными полями. Матроидом Vámos является простейшим примером матроиду, который не представима над любым полем.

Матроиды из теории графов

Второй первоисточник теории матроидов - теория графов.

Каждый конечный граф (или мультиграф ) порождает матроид следующим образом: возьмем в качестве множества всех ребер в и рассмотрим набор ребер независимым тогда и только тогда, когда это лес ; то есть, если он не содержит простого цикла. Тогда называется циклическим матроидом. Полученные таким образом матроиды являются графическими матроидами. Не каждый матроид является графическим, но все матроиды на трех элементах являются графическими. Каждый графический матроид обычный. грамм {\ displaystyle G} M ( грамм ) {\ Displaystyle M (G)} E {\ displaystyle E} грамм {\ displaystyle G} M ( грамм ) {\ Displaystyle M (G)}

Впоследствии были обнаружены и другие матроиды на графах:

  • Двоякокруговой матроид графа определяется путем вызова множества ребер независимого, если каждое связное подмножество содержит не более одного цикла.
  • В любом ориентированном или неориентированном графе пусть и - два выделенных набора вершин. В наборе определите подмножество, которое будет независимым, если | | вершинно-непересекающиеся пути из на. Это определяет матроид, называемый гаммоидом : строгий гаммоид - это тот, для которого набор представляет собой все множество вершин. грамм {\ displaystyle G} E {\ displaystyle E} F {\ displaystyle F} E {\ displaystyle E} U {\ displaystyle U} U {\ displaystyle U} F {\ displaystyle F} U {\ displaystyle U} E {\ displaystyle E} E {\ displaystyle E} грамм {\ displaystyle G}
  • В двудольном графе можно сформировать матроид, в котором элементы являются вершинами на одной стороне двудольного графа, а независимые подмножества являются наборами конечных точек паросочетаний графа. Это называется поперечным матроидом, и это частный случай гаммоида. Поперечные матроиды - это двойные матроиды к строгим гаммоидам. грамм знак равно ( U , V , E ) {\ Displaystyle G = (U, V, E)} U {\ displaystyle U}
  • Графические матроиды были обобщены на матроиды из подписанных графиков, графиков усиления и смещенных графиков. Граф с выделенным классом линейного циклов, известным как «смещенным граф», имеет два матроид, известные как кадр матроида и подъем матроид из смещенного графа. Если каждый цикл принадлежит выделенному классу, то эти матроиды совпадают с матроидом циклов класса. Если цикл не выделяется, матроид каркаса является двукруглым матроидом. Знаковый граф, чьи ребра помечены знаками, и граф усиления, который представляет собой граф, чьи ребра помечены ориентируемым образом от группы, каждый порождает смещенный граф и, следовательно, имеет матроиды каркаса и подъема. грамм {\ displaystyle G} B {\ displaystyle B} ( грамм , B ) {\ Displaystyle (G, B)} грамм {\ displaystyle G} грамм {\ displaystyle G}
  • На графиках Laman образуют основы двумерный жесткости матроиды, матроида, определенную в теории структурной жесткости.
  • Позвольте быть связным графом и быть его множеством ребер. Пусть совокупность подмножеств из таких, что по - прежнему связаны. Тогда, чей элемент множество и в своем классе независимых множеств, является матроид называется связь матроид из. Функция ранга - это цикломатическое число подграфа, индуцированного на подмножестве ребер, которое равно количеству ребер вне максимального леса этого подграфа, а также количеству независимых циклов в нем. грамм {\ displaystyle G} E {\ displaystyle E} я {\ displaystyle I} F {\ displaystyle F} E {\ displaystyle E} грамм - F {\ displaystyle GF} M * ( грамм ) {\ Displaystyle M ^ {*} (G)} E {\ displaystyle E} я {\ displaystyle I} грамм {\ displaystyle G} р ( F ) {\ Displaystyle г (F)} F {\ displaystyle F}

Матроиды из полевых расширений

Третий исходный источник теории матроидов - теория поля.

Расширение поля приводит к матроиду. Предположим, что и есть поля с содержащими. Позвольте быть любое конечное подмножество. Определим подмножество из быть алгебраически независимы, если поле расширения имеет степень трансцендентности равняться. F {\ displaystyle F} K {\ displaystyle K} K {\ displaystyle K} F {\ displaystyle F} E {\ displaystyle E} K {\ displaystyle K} S {\ displaystyle S} E {\ displaystyle E} F ( S ) {\ Displaystyle F (S)} | S | {\ displaystyle | S |}

Матроид, эквивалентный матроиду такого типа, называется алгебраическим матроидом. Проблема описания алгебраических матроидов чрезвычайно сложна; об этом мало что известно. Матроидом Vámos дает пример матроиду, который не является алгебраическим.

Основные конструкции

Есть несколько стандартных способов сделать новых матроидов из старых.

Двойственность

Если M является конечным матроидом, мы можем определить ортогональный или двойной матроид M *, взяв тот же базовый набор и вызов набора на основе в М * тогда и только тогда, когда его дополнение является базисом в М. Это не трудно проверить, что M * является матроидом и двойственными М * являются М.

Дуал можно описать одинаково хорошо с точки зрения других способов определения матроида. Например:

  • Набор независим в М * тогда и только тогда, когда его дополнение пролетов М.
  • Набор является схемой М * тогда и только тогда, когда его дополнением является coatom в М.
  • Ранговая функция двойника равна. р * ( S ) знак равно | S | - р ( M ) + р ( E S ) {\ displaystyle r ^ {*} (S) = | S | -r (M) + r \ left (E \ setminus S \ right)}

Согласно матроидной версии теоремы Куратовски, двойник графического матроида M является графическим матроидом тогда и только тогда, когда M - матроид плоского графа. В этом случае двойственного М является матроидом из двойственного графа из G. Двойной вектор матроид представимы над определенным полем Р также Представимым над F. Двойник поперечного матроида - это строгий гаммоид, и наоборот.

Пример

Матроид цикла графа - это двойственный матроид связанного матроида.

Несовершеннолетние

Основная статья: Matroid minor

Если М является матроидом с элементом множества Е, и S представляет собой подмножество Е, с ограничением на М до S, добавленные M  | S, является матроидом на множестве S, чьи независимых множества являются независимым множеством М, которые содержатся в S. Его схемы являются схемы M, которые содержатся в S и его ранг функции является то, что M ограничивается подмножеств S. В линейной алгебре, это соответствует ограничению на подпространство, порожденное векторами в S. Эквивалентно, если Т = М - S это можно назвать удаление из Т, написанный М \ Т или М - Т. Субматроиды M - это как раз результат последовательности удалений: порядок не имеет значения.

Двойная операция ограничения - это сжатие. Если Т является подмножеством Е, на сжатие из М с помощью Т, написанный М / Т, является матроид на основном множестве Е - Т, ранг функция В линейной алгебры, это соответствует глядя на фактор - пространстве с помощью линейного пространства порожденный векторами в Т, вместе с образами векторов в Е - Т. р ( А ) знак равно р ( А Т ) - р ( Т ) . {\ displaystyle r '(A) = r (A \ cup T) -r (T).}

Матроид Н, который получается из M последовательностью операций ограничения и сжатия называется минор из М. Мы говорим, что M содержит N как минор. Многие важные семейства матроидов могут быть охарактеризованы матроидами минор-минимал, не принадлежащими к семейству; их называют запрещенными или исключенными несовершеннолетними.

Суммы и союзы

Пусть М будет матроидом с основным набором элементов Е, и пусть N будет другой матроид на базовом наборе F. Прямая сумма матроидов М и N является матроидом которого основное множество является объединением непересекающихся из Е и F, и чьи независимые множества являются непересекающимися объединения независимого множества М с независимым набором N.

Объединение из М и N является матроидом, базовым набором является объединением (не пересекается объединение) E и F, и чьи независимые множества являются те, которые являются подмножествами объединения независимого множества в М и один в N. Обычно термин «объединение» применяется, когда E = F, но это предположение не является существенным. Если E и F не пересекаются, объединение является прямой суммой.

Дополнительная терминология

Пусть М будет матроидом с основным набором элементами Е.

  • E можно назвать наземный набор из M. Его элементы можно назвать точки из М.
  • Подмножество Е охватывает M, если его замыкание Е. Множество называется охватывает замкнутое множество K, если его замыкание K.
  • Распорка из матроиды является размером наималейшей цепи или зависимого набора.
  • Элемент, образующий одноэлементную схему M, называется петлей. Эквивалентно, элемент является циклом, если он не принадлежит ни одной основе.
  • Элемент, не принадлежащий ни одной цепи, называется перешейком или перешейком. Эквивалентно, элемент является кольцом, если он принадлежит каждой основе. Петля и петля взаимно двойственны.
  • Если два элемента множества { F, G } является схема М, то е и г являются параллельными в М.
  • Матроид называется простым, если в нем нет схем, состоящих из 1 или 2 элементов. То есть в нем нет ни петель, ни параллельных элементов. Также используется термин комбинаторная геометрия. Простая матроида, полученный из других матроидов M, удалив все петлю и удаляя один элемент из каждой схемы 2-элемента, пока нет 2-элементных схем остаются называются упрощением из М. Матроид является таким же простым, если его двойственный матроид прост.
  • Объединение схем иногда называют цикл из М. Таким образом, цикл является дополнением к плоскости двойственного матроида. (Это использование противоречит общепринятому значению термина «цикл» в теории графов.)
  • Сепаратор из М представляет собой подмножество S из Й таких, что. Собственно или нетривиальный сепаратор представляет собой сепаратор, который не является ни Е, ни пустое множество. Неприводимым сепаратор представляет собой сепаратор, который не содержит никакого другого не пустой разделителя. Неприводимыми разделители разбивают землю множество E. р ( S ) + р ( E - S ) знак равно р ( M ) {\ Displaystyle г (S) + г (ES) = г (М)}
  • Матроид, который не может быть записан как прямая сумма двух непустых матроидов или, что то же самое, не имеет подходящих разделителей, называется связным или неприводимым. Матроид связан тогда и только тогда, когда его дуал связан.
  • Максимальный неприводимый подматроид из М называется компонентом из М. Компонент - это ограничение M на неприводимый разделитель, и наоборот, ограничение M на неприводимый разделитель является компонентом. Разделитель - это объединение компонентов.
  • Матроид M называется каркасным матроидом, если он или содержащий его матроид имеет такую ​​основу, что все точки M содержатся в линиях, соединяющих пары базисных элементов.
  • Матроид называется матроидом для мощения, если все его цепи имеют размер, по крайней мере, равный его рангу.
  • Матроидом многогранник является выпуклой оболочкой из индикаторных векторов фундаментов. п M {\ displaystyle P_ {M}} M {\ displaystyle M}

Алгоритмы

Жадный алгоритм

Взвешенный матроид является матроидом вместе с функцией от ее элементов к неотрицательным действительным числам. Вес подмножества элементов определяется как сумма весов элементов в подмножестве. Жадный алгоритм может быть использован, чтобы найти максимальный вес основу матроиды, исходя из пустого множества и неоднократно добавления одного элемента за один раз, на каждый шаге выбор максимального веса элемента среди элементов, добавление бы сохранить независимость расширенного набора. Этому алгоритму не нужно ничего знать о деталях определения матроида, если у него есть доступ к матроиду через оракул независимости, подпрограмму для проверки того, является ли набор независимым.

Этот алгоритм оптимизации может быть использован для характеристики матроидов: если семейство множеств F, замкнутое относительно взятия подмножеств, обладает свойством, что независимо от того, как наборы взвешиваются, жадный алгоритм находит набор с максимальным весом в семействе, тогда F должно быть семейством независимых наборов матроида.

Понятие матроида было обобщено, чтобы учесть другие типы множеств, на которых жадный алгоритм дает оптимальные решения; см greedoid и матроиды вложения для получения дополнительной информации.

Разбиение Matroid

Задача разбиения матроида состоит в том, чтобы разделить элементы матроида на как можно меньшее количество независимых множеств, а проблема упаковки матроида состоит в том, чтобы найти как можно больше непересекающихся остовных множеств. Оба могут быть решены за полиномиальное время и могут быть обобщены на задачу вычисления ранга или нахождения независимого множества в матроидной сумме.

Пересечение матроидов

Пересечение двух или более матроидов этого семейство множеств, которые одновременно независимы в каждом из матроидов. Задача нахождения наибольшего набора или максимального взвешенного набора на пересечении двух матроидов может быть найдена за полиномиальное время и обеспечивает решение многих других важных задач комбинаторной оптимизации. Например, максимальное соответствие в двудольных графах может быть выражено как проблема пересечения двух матроидов разбиения. Однако нахождение наибольшего множества на пересечении трех или более матроидов является NP-полным.

Программное обеспечение Matroid

Две автономные системы для расчетов с матроидами - это Kingan's Oid и Hlineny's Macek. Оба они представляют собой пакеты с открытым исходным кодом. «Oid» - это интерактивная расширяемая программная система для экспериментов с матроидами. "Macek" - это специализированная программная система с инструментами и процедурами для достаточно эффективных комбинаторных вычислений с представимыми матроидами.

Обе системы математического программного обеспечения с открытым исходным кодом SAGE и Macaulay2 содержат пакеты matroid.

Полиномиальные инварианты

С конечным матроидом M на основном множестве E связаны два особо значимых многочлена. Каждый из них является инвариантом матроидов, что означает, что изоморфные матроиды имеют один и тот же многочлен.

Характеристический полином

Характеристический полином из М (который иногда называют хроматической многочлен, хотя это не считается красителей), определяется как

п M ( λ ) знак равно S E ( - 1 ) | S | λ р ( M ) - р ( S ) , {\ displaystyle p_ {M} (\ lambda): = \ sum _ {S \ substeq E} (- 1) ^ {| S |} \ lambda ^ {r (M) -r (S)},}

или эквивалентно (пока пустое множество замкнуто в M) как

п M ( λ ) знак равно А μ ( , А ) λ р ( M ) - р ( А )   , {\ displaystyle p_ {M} (\ lambda): = \ sum _ {A} \ mu (\ emptyset, A) \ lambda ^ {r (M) -r (A)} \,}

где μ обозначает функцию Мёбиуса от геометрической решетки в матроиде и сумма берется по всем квартирам А матроиды.

Когда M - циклический матроид M ( G) графа G, характеристический многочлен представляет собой небольшое преобразование хроматического многочлена, которое задается формулой χ G  (λ) = λ cp M ( G)  (λ), где c это число компонент связности G.

Когда М представляет связь матроид M * ( G) графа G, характеристический полином равен полином потока из G.

Когда M - матроид M ( A) конфигурации A линейных гиперплоскостей в R n (или F n, где F - любое поле), характеристический многочлен этой конфигурации задается формулой p A  (λ) = λ n - r ( M)p M ( A)  (λ).

Бета-инвариант

Бета - инвариантный из матроиды, введенный Крапо (1967), может быть выражены в терминах характеристического полинома р в качестве оценки производной

β ( M ) знак равно ( - 1 ) р ( M ) - 1 п M ( 1 )   {\ Displaystyle \ бета (M) = (- 1) ^ {r (M) -1} p_ {M} '(1) \}

или прямо как

β ( M ) знак равно ( - 1 ) р ( M ) Икс E ( - 1 ) | Икс | р ( Икс )   . {\ Displaystyle \ бета (M) = (- 1) ^ {r (M)} \ sum _ {X \ substeq E} (- 1) ^ {| X |} r (X) \.}

Бета-инвариант неотрицателен и равен нулю тогда и только тогда, когда M отключен, или пуст, или цикл. В противном случае это зависит только от решетки квартир М. Если в M нет петель и колуп, то β ( M) = β ( M ).

Полином Тутте

Тутта многочлен из матроиды, Т М  ( х, у), обобщает характеристический полином для двух переменных. Это дает ему больше комбинаторных интерпретаций, а также придает ему свойство двойственности.

Т M * ( Икс , у ) знак равно Т M ( у , Икс ) , {\ Displaystyle Т_ {М ^ {*}} (х, у) = Т_ {М} (у, х),}

что влечет за собой ряд двойственности между свойствами M и свойствами M  *. Одно определение полинома Тутте:

Т M ( Икс , у ) знак равно S E ( Икс - 1 ) р ( M ) - р ( S ) ( у - 1 ) | S | - р ( S ) . {\ Displaystyle T_ {M} (x, y) = \ sum _ {S \ substeq E} (x-1) ^ {r (M) -r (S)} (y-1) ^ {| S | - r (S)}.}

Это выражает полином Тутте как оценку нулевого коранга или полинома, порождающего ранг,

р M ( ты , v ) знак равно S E ты р ( M ) - р ( S ) v | S | - р ( S ) . {\ Displaystyle R_ {M} (u, v) = \ sum _ {S \ substeq E} u ^ {r (M) -r (S)} v ^ {| S | -r (S)}.}

Из этого определения легко увидеть, что характеристический многочлен с точностью до простого множителя является оценкой T M, а именно:

п M ( λ ) знак равно ( - 1 ) р ( M ) Т M ( 1 - λ , 0 ) . {\ displaystyle p_ {M} (\ lambda) = (- 1) ^ {r (M)} T_ {M} (1- \ lambda, 0).}

Другое определение относится к внутренней и внешней деятельности и сумме оснований, отражая тот факт, что T (1,1) - это количество оснований. Это, которое суммирует по меньшему количеству подмножеств, но содержит более сложные термины, было первоначальным определением Тутте.

Существует еще одно определение рекурсии путем удаления и сокращения. Идентичность удаления-сокращения

F ( M ) знак равно F ( M - е ) + F ( M / е ) {\ Displaystyle F (M) = F (Me) + F (M / e)}когда нет ни петли, ни колупа. е {\ displaystyle e}

Инвариант матроидов (т. Е. Функция, которая принимает одно и то же значение на изоморфных матроидах), удовлетворяющий этой рекурсии и мультипликативному условию

F ( M M ) знак равно F ( M ) F ( M ) {\ Displaystyle F (M \ oplus M ') = F (M) F (M')}

называется инвариантом Тутте-Гротендика. Многочлен Тутте является наиболее общим таким инвариантом; то есть многочлен Тутте является инвариантом Тутте-Гротендика, и каждый такой инвариант является вычислением многочлена Тутте.

Тутта многочлен Т G   графа является Тутта многочлен Т М ( G) его матроиды цикла.

Бесконечные матроиды

Теория бесконечных матроидов намного сложнее, чем теория конечных матроидов, и составляет отдельную тему. В течение долгого времени одна из трудностей заключалась в том, что существовало множество разумных и полезных определений, ни одно из которых не отражало все важные аспекты теории конечных матроидов. Например, казалось трудным объединить основы, схемы и двойственность в одном понятии бесконечных матроидов.

Самым простым определением бесконечного матроида является требование конечного ранга ; то есть ранг E конечен. Эта теория похожа на теорию конечных матроидов, за исключением отказа двойственности из-за того факта, что двойственный к бесконечному матроиду конечного ранга не имеет конечного ранга. Матроиды конечного ранга включают любые подмножества конечномерных векторных пространств и полевых расширений конечной степени трансцендентности.

Следующее простейшее бесконечное обобщение - финитарные матроиды. Матроид финитен, если он обладает свойством

Икс cl ( Y ) ( Y Y ) Y  конечно и  Икс cl ( Y ) . {\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} (Y) \ Leftrightarrow (\ exists Y '\ substeq Y) Y' {\ text {конечно и}} x \ in \ operatorname {cl} (Y ').}

Эквивалентно, каждый зависимый набор содержит конечный зависимый набор. Примерами являются линейная зависимость произвольных подмножеств бесконечномерных векторных пространств (но не бесконечные зависимости, как в гильбертовом и банаховом пространствах ) и алгебраическая зависимость в произвольных подмножествах полевых расширений с возможно бесконечной степенью трансцендентности. Опять же, класс финитарного матроида не самодвойственный, потому что двойственный к финитарному матроиду не финитен. Конечные бесконечные матроиды изучаются в теории моделей, ветви математической логики, тесно связанной с алгеброй.

В конце 1960-х теоретики матроидов попросили дать более общее понятие, которое разделяет различные аспекты конечных матроидов и обобщает их двойственность. В ответ на этот вызов было определено множество понятий бесконечных матроидов, но вопрос остался открытым. Один из подходов, рассмотренных Д.А. Хиггсом, стал известен как B-матроиды и изучался Хиггсом, Оксли и другими в 1960-х и 1970-х годах. Согласно недавнему результату Bruhn, Diestel, Kriesell et al. ( 2013), это решает проблему: приходя к одному и тому же понятию независимо, они предоставили пять эквивалентных систем аксиом - с точки зрения независимости, базисов, схем, замыкания и ранга. Двойственность B-матроидов обобщает двойственности, наблюдаемые в бесконечных графах.

Аксиомы независимости следующие:

  1. Пустой набор независим.
  2. Каждое подмножество независимого набора является независимым.
  3. Для каждого немаксимального (при включении множества) независимого множества I и максимального независимого множества J существует такое, что является независимым. Икс J я {\ displaystyle x \ in J \ setminus I} я { Икс } {\ Displaystyle I \ чашка \ {х \}}
  4. Для каждого подмножества X базового пространства, каждое независимое подмножество I из X может быть расширен до максимального независимого подмножества X.

Согласно этим аксиомам, у каждого матроида есть двойник.

История

Теория матроидов была введена Хасслером Уитни  ( 1935). Его также независимо открыл Такео Накасава, работа которого была забыта на долгие годы ( Nishimura amp; Kuroda 2009).

В своей основополагающей статье Уитни представил две аксиомы независимости и определил любую структуру, придерживающуюся этих аксиом, как «матроиды». (Хотя это, возможно, подразумевалось, он не включил аксиому, требующую, чтобы хотя бы одно подмножество было независимым.) Его ключевое наблюдение заключалось в том, что эти аксиомы обеспечивают абстракцию «независимости», которая является общей для графов и матриц. Из-за этого многие термины, используемые в теории матроидов, напоминают термины для их аналогичных понятий в линейной алгебре или теории графов.

Почти сразу после того, как Уитни впервые написал о матроидах, Сондерс Мак Лейн  ( 1936) написал важную статью о связи матроидов с проективной геометрией. Годом позже Б.Л. ван дер Варден  ( 1937) отметил сходство между алгебраической и линейной зависимостью в своем классическом учебнике по современной алгебре.

В 1940-х Ричард Радо развил дальнейшую теорию под названием «системы независимости» с прицелом на трансверсальную теорию, где его название предмета до сих пор иногда используется.

В 1950-х У. Т. Тутте стал ведущей фигурой в теории матроидов, и эту позицию он удерживал на протяжении многих лет. Его вклады были многочисленны, в том числе описание бинарных, обычных и графических матроидов исключенными несовершеннолетними ; теорема о представимости регулярного матроида; теория цепных групп и их матроидов; и инструменты, которые он использовал для доказательства многих своих результатов, «Теорема о пути» и « Теорема о гомотопии Тутте » (см., например, Tutte 1965), которые настолько сложны, что более поздние теоретики приложили немало усилий, чтобы исключить необходимость использования их в доказательствах. (Прекрасным примером является короткое доказательство ( 1989), которое дал Тютте характеристике обычных матроидов, сделанное AMH Gerards. )

Генри Крапо  ( 1969) и Томас Брылавски  ( 1972) обобщили на матроиды «дихромат» Тутте, графический многочлен, теперь известный как многочлен Тутте (названный Крапо). За их работой в последнее время (особенно в 2000-х) последовал поток статей - хотя и не так много, как о полиноме Тутте графа.

В 1976 году Доминик Уэлш опубликовал первую исчерпывающую книгу по теории матроидов.

Теорема Пола Сеймура о разложении для обычных матроидов ( 1980) была самой значительной и влиятельной работой конца 1970-х и 1980-х годов. Другой фундаментальный вклад, сделанный Каном и Кунгом (1982), показал, почему проективная геометрия и геометрия Даулинга играют такую ​​важную роль в теории матроидов.

К этому времени появилось много других важных участников, но не следует упускать из виду расширение Джеффа Уиттла на троичные матроиды описания Тутте бинарных матроидов, представимых над рациональными числами ( Whittle, 1995), что, возможно, является самым большим вкладом 1990-х годов.. В текущий период (примерно с 2000 г.) проект Matroid Minors Project Джима Гилена, Джерардса, Уиттла и других, который пытается скопировать для матроидов, представимых в конечном поле, успех проекта Robertson – Seymour Graph Minors (см. Robertson –Теорема Сеймура ), внесла существенный прогресс в структурную теорию матроидов. Многие другие также внесли свой вклад в ту часть теории матроидов, которая (в первом и втором десятилетии 21 века) процветает.

Исследователи

Среди математиков, пионеров в изучении матроидов, - Такео Накасава, Сондерс Мак Лейн, Ричард Радо, В. Т. Тутте, Б.Л. ван дер Варден и Хасслер Уитни. Среди других крупных участников - Джек Эдмондс, Джим Гилен, Юджин Лоулер, Ласло Ловас, Джан-Карло Рота, PD Сеймур и Доминик Уэлш.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2024-01-01 11:52:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте