Войти
В математическом предмете геометрической теории групп карта пути поезда непрерывное отображение f из конечного связного графа в себя, которое является гомотопической эквивалентностью и которое имеет особенно хорошие свойства отмены по отношению к итерациям. Эта карта отправляет вершины в вершины и ребра в нетривиальные пути-ребра со свойством, что для каждого ребра e графа и для каждого положительного целого числа n путь f (e) погружен, то есть f (e) локально инъективен на e. Карты следа поездов являются ключевым инструментом в анализе динамики автоморфизмов конечно порожденных свободных групп и в исследовании Каллера - Фогтманн Космическое пространство.
Карты железнодорожных путей для автоморфизмов свободных групп были представлены в статье Бествина и Генделя в 1992 году. Идея была мотивирована Терстоном железнодорожными путями на поверхности, но случай свободной группы существенно отличается и более сложен. В своей статье 1992 года Бествина и Гендель доказали, что каждый неприводимый автоморфизм F n имеет представителя железнодорожных путей. В той же статье они ввели понятие относительного железнодорожного пути и применили методы железнодорожного пути для решения гипотезы Скотта, согласно которой для любого автоморфизма α конечно порожденной свободной группы Fnфиксированная подгруппа α свободна от ранг не более n. В последующей статье Бествина и Гендель применили технику железнодорожных путей для получения эффективного доказательства классификации Терстона гомеоморфизмов компактных поверхностей (с границей или без нее), в которой говорится, что каждый такой гомеоморфизм является, до изотопии, либо приводимой, конечного порядка, либо псевдоаносов.
С тех пор железнодорожные пути стали стандартным инструментом в изучении алгебраических, геометрических и динамических свойств автоморфизмов свободных групп и подгрупп Out (F n). Дорожки поезда особенно полезны, поскольку они позволяют понять долгосрочный рост (с точки зрения длины) и поведение отмены для больших итераций автоморфизма F n, примененного к конкретному классу сопряженности в F n. Эта информация особенно полезна при изучении динамики действия элементов Out (F n) на космическое пространство Каллера – Фогтмана и его границу, а также при изучении F n действий на настоящие деревья. Примеры применений железнодорожных путей включают: теорему Бринкмана, доказывающую, что для автоморфизма α пространства F n отображающая группа торов α является гиперболической в том и только том случае, если α не имеет периодические классы сопряженности; теорема Бридсона и Гровса о том, что для любого автоморфизма α группы F n группа торов отображения отображения α удовлетворяет квадратичному изопериметрическому неравенству ; доказательство алгоритмической разрешимости проблемы сопряжения для свободных циклических групп; и другие.
Железнодорожные пути были ключевым инструментом в доказательстве Бествиной, Файном и Генделем того, что группа Out (F n) удовлетворяет альтернативе Титса..
Механизм железнодорожных путей для инъективных эндоморфизмов свободных групп позже было разработано Диксом и Вентурой.
Для конечный граф Γ (который здесь рассматривается как одномерный клеточный комплекс ) комбинаторное отображение - это непрерывное отображение
такое, что:
Пусть Γ - конечный связный граф. Комбинаторное отображение f: Γ → Γ называется картой железнодорожного пути, если для каждого ребра e из Γ и любого целого числа n ≥ 1 реберный путь f (e) не содержит обратных путей, то есть не содержит подпути вида hh где h - ребро графа Γ. Другими словами, ограничение f на e является локально инъективным (или погружением) для каждого ребра e и любого n ≥ 1.
Применительно к случаю n = 1 из этого определения, в частности, следует, что путь f (e) не имеет возвратов.
Пусть F k - свободная группа конечного ранга k ≥ 2. Зафиксируем свободный базис A группы F k и отождествление F k с основной группой розы R k, которая представляет собой клин из k кругов, соответствующих базовым элементам A.
Пусть φ ∈ Out (F k) - внешний автоморфизм F k.
Топологическим представителем φ является тройка (τ, Γ, f), где:
Отображение τ в приведенном выше определении называется маркировкой и обычно подавляется при обсуждении топологических представителей. Таким образом, злоупотребляя обозначениями, часто говорят, что в описанной выше ситуации f: Γ → Γ является топологическим представителем φ.
Пусть φ ∈ Out (F k) - внешний автоморфизм F k. Карта путей поезда, которая является топологическим представителем φ, называется железнодорожным путем, представляющим φ.
Пусть f: Γ → Γ - комбинаторное отображение. Поворот - это неупорядоченная пара e, h ориентированных ребер графа Γ (не обязательно различных), имеющих общую начальную вершину. Поворот e, h вырожден, если e = h, и невырожден в противном случае.
Поворот e, h недопустим, если для некоторого n ≥ 1 пути f (e) и f (h) имеют нетривиальный общий начальный участок (то есть начинаются с одного и того же ребра). Ход считается законным, если он не запрещен.
Ребро-путь e 1,..., e m, как говорят, содержит витки e i, e i +1 для i = 1,..., m − 1.
Комбинаторное отображение f: Γ → Γ является отображением железнодорожных путей тогда и только тогда, когда для каждого ребра e из Γ путь f (e) не содержит запрещенных поворотов.
Пусть f: Γ → Γ - комбинаторное отображение, а E - множество ориентированных ребер графа Γ. Затем f определяет свое отображение производных Df: E → E, где для каждого ребра e Df (e) является начальным ребром пути f (e). Отображение Df естественным образом продолжается до отображения Df: T → T, где T - множество всех поворотов в Γ. Для поворота t, заданного парой ребер e, h, его образ Df (t) - это поворот Df (e), Df (h). Ход t допустим, если и только если для любого n ≥ 1 поворот (Df) (t) невырожден. Поскольку множество T поворотов конечно, этот факт позволяет алгоритмически определить, является ли данный поворот законным или нет, и, следовательно, алгоритмически решить, учитывая f, является ли f картой железнодорожного пути или нет.
Пусть φ - автоморфизм F (a, b), задаваемый формулой φ (a) = b, φ (b) = ab. Пусть Γ - клин из двух ребер-петель E a и E b, соответствующих свободным базисным элементам a и b, зажатым в вершине v. Пусть f: Γ → Γ карта, которая фиксирует v и отправляет ребро E a на E b, а которое отправляет ребро E b на путь ребра E aEb. Тогда f - железнодорожный путь, представляющий φ.
Внешний автоморфизм φ группы F k называется приводимым, если существует разложение свободного произведения
где все H i нетривиальны, где m ≥ 1 и где φ переставляет классы сопряженности H 1,..., H m в F k. Внешний автоморфизм φ группы F k называется неприводимым, если он не приводим.
Известно, что φ ∈ Out (F k) неприводимо тогда и только тогда, когда для любого топологического представителя f: Γ → Γ отображения φ, где Γ конечна, связна и не имеет степени -one вершин, любой собственный f-инвариантный подграф графа Γ является лесом.
Следующий результат был получен Бествином и Генделем в их статье 1992 года, в которой изначально были введены карты железнодорожных путей:
Пусть φ ∈ Out (F k) неприводима. Тогда существует железнодорожный путь, представляющий φ.
Для топологического представителя f: Γ → Γ автоморфизма φ из F k матрица перехода M (f) является rxr-матрицей ( где r - количество топологических ребер графа Γ), где запись m ij - это количество раз, когда путь f (e j) проходит через ребро e i (в любом направлении). Если φ неприводимо, матрица перехода M (f) неприводима в смысле теоремы Перрона – Фробениуса и имеет единственное собственное значение Перрона – Фробениуса λ (f) ≥ 1, что равно спектральному радиусу M (f).
Затем определяется ряд различных перемещений топологических представителей φ, которые, как видно, либо уменьшают, либо сохраняют собственное значение Перрона – Фробениуса матрицы перехода. Эти ходы включают в себя: разделение края; валентно-единичная гомотопия (избавление от вершины первой степени); гомотопия валентности два (избавление от вершины степени два); разрушение инвариантного леса; и складной. Из этих движений гомотопия валентности единица всегда уменьшала собственное значение Перрона – Фробениуса.
Начиная с некоторого топологического представителя f неприводимого автоморфизма φ, затем алгоритмически строится последовательность топологических представителей
of φ, где f n получается из f n-1 несколькими специально выбранными ходами. В этой последовательности, если f n не является картой пути поезда, то движения, производящие f n + 1 из f n, обязательно включают последовательность складок, за которыми следуют гомотопией с валентностью единица, так что собственное значение Перрона – Фробениуса f n + 1 строго меньше, чем у f n. Процесс устроен таким образом, что собственные значения Перрона – Фробениуса отображений f n принимают значения в дискретном подмножестве 
Следствием (требующим дополнительных аргументов) вышеупомянутой теоремы является следующее:
В отличие от элементов групп классов отображений, для неприводимого φ ∈ Out (F k) часто бывает, что
