Класс трассировки

В математике оператор класса трассировки является компактным оператором , для которого трасса может быть определена, так что трасса конечна и не зависит от выбора основы. Операторы класса трассировки по сути такие же, как ядерные операторы, хотя многие авторы резервируют термин «оператор класса трассировки» для частного случая ядерных операторов в гильбертовых пространствах и оставляют за собой «ядерные операторы». оператор "для использования в более общих топологических векторных пространствах (например, банаховых пространствах ).

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Trace-norm
• 2 Примеры
• 3 Свойства
  • 3.1 Теорема Лидского
  • 3.2 Связь между некоторыми классами операторов
  • 3.3 Класс трассировки как двойственный к компактным операторам
  • 3.4 Как предвойство к ограниченным операторам
• 4 См. также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Определение

Определение : Трасса, обозначаемого $Tr\; \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; A\}$, линейного оператора A как сумма ряда

$Tr\; \; A\; =\; \sum \; k\; ⟨A\; ek,\; ek⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; A\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; Ae\_\; \{k\},\; e\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$,

где эта сумма не зависит от выбора ортонормированной базис {e k}kматрицы H и где эта сумма равна ∞, если она не сходится.

Если H конечномерно, то Tr A равно обычному определению следа.

Определение : для любого линейного ограниченного оператора T: H → H над Гильбертово пространство H, мы определяем его абсолютное значение, обозначенное | T |, как положительный квадратный корень из $T\; \ast \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{*\}\; T\}$, т.е. $|\; Т\; |\; :\; =\; T\; \ast \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; T\; \backslash \; right\; |:\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\; ^\; \{*\}\; T\}\}\}$- единственный ограниченный положительный оператор на H такое, что $|\; Т\; |\; \circ \; |\; Т\; |\; =\; T\; \ast \; \circ \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; T\; |\; \backslash \; circ\; |\; T\; |\; =\; T\; ^\; \{*\}\; \backslash \; circ\; T\}$.

Можно показать, что ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве является следовым классом тогда и только тогда, когда его абсолютное значение - класс трассировки.

Определение : Ограниченный линейный оператор T: H → H над гильбертовым пространством H называется принадлежащим классу трассировки, если таковой имеется следующих эквивалентных условий:

1. T является ядерным оператором.
2. T равен композиции двух операторов Гильберта-Шмидта.
3. $|\; Т\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; |\; T\; \backslash \; right\; |\}\}\}$- это оператор Гильберта-Шмидта.
4. T - интегральный оператор.
5. , существуют слабо замкнутые и равностепенные (и , следовательно, слабо компактные ) подмножества $A\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$и $B\; \prime \; \prime \; \{\; \backslash \; displaystyle\; B\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\}$из $H\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$и $H\; \prime \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\}$, соответственно, и некоторая положительная мера Радона $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на $A\; \prime \; \times \; B\; \prime \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; times\; B\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\}$общей массы ≤ 1 такой, что для всех x ∈ H и $y\; \prime \; \in \; H\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; in\; H\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$:

   $y\; \prime \; (T\; (x))\; =\; \int \; A\; \prime \; \times \; B\; \prime \; \prime \; x\; \prime \; (x)\; \cdot \; y\; \prime \; \prime \; (y\; \prime )\; d\; \; \mu \; (x\; \prime ,\; y\; \prime \; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; left\; (T\; (x)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{A\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; times\; B\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\}\; x\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; y\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \backslash \; left\; (y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; operatorname\; \{d\}\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{\backslash \; pr\; ime\},\; y\; ^\; \{\backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; \backslash \; right)\}$.

6. существуют две ортогональные последовательности $(xi)\; i\; =\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\}\; \backslash \; справа)\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$и $(yi)\; i\; =\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (y\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$в H и последовательность $(\lambda \; i)\; i\; =\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$в l такой, что для всех x ∈ H, $T\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; \infty \; \lambda \; i\; ⟨x,\; xi⟩\; yi\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; x,\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; y\_\; \{i\}\}$.
   • Здесь бесконечная сумма означает, что последовательность частичных сумм $(\sum \; я\; =\; 1\; N\; \lambda \; я\; ⟨x,\; xi⟩\; yi)\; N\; =\; 1\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; лямбда\; \_\; \{i\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; x,\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; y\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{N\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$сходится к T (x) в H.
7. T - компактный оператор и , где l 1, l 2,... - собственные значения T, каждое собственное значение повторяется так часто, как его кратность.
   • Напомним, что кратность собственного значения r - это размерность ядра T - r Id H, где Id H : H → H - это тождественное отображение.
8. для некоторого ортонормированного базиса (ek)kматрицы H, сумма положительных членов $\sum \; k\; ⟨|\; Т\; |\; ek,\; ek⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; left\; |\; T\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; e\_\; \{k\},\; e\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$конечно.
9. указанное выше условие, но со словом «некоторые» заменено на «каждые».
10. транспонировать карту $t\; T:\; H\; b\; \prime \; \to \; H\; b\; \prime \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\}\; ^\; \{t\}\; T:\; H\_\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; to\; H\_\; \{b\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$- класс трассировки (согласно любому определяющему условию, кроме этого), и в этом случае $\Vert \; t\; T\; \Vert \; 1\; =\; \Vert \; T\; \Vert \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \{\}\; ^\; \{t\}\; T\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\}$.
    • Напомним, что транспонирование T определяется как $(t\; T)\; (y\; \prime ):\; =\; y\; \prime \; \circ \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\}\; ^\; \{t\}\; T\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (y\; ^\; \{\backslash \; prime\; \}\; \backslash \; right):\; =\; y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; circ\; T\}$, для всех $y\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$, принадлежащих непрерывному двойное пространство $H\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$of H. Нижний индекс b означает, что $H\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}$имеет свою обычную топологию нормы.
11. .

и если T еще не является положительным оператором, мы можем добавить к этому списку:

12. оператор | T | является классом трассировки (в соответствии с любым определяющим условием, отличным от этого).

Trace-norm

Определение : Если T является классом трассировки, то мы определяем trace-norm трассы оператор класса T должен быть общим значением

$\Vert \; T\; \Vert \; 1:\; =\; \sum \; k\; ⟨|\; Т\; |\; ek,\; ek⟩\; знак\; равно\; Тр\; \; (|\; T\; |)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}:\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; left\; |\; T\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; e\_\; \{k\},\; e\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; |\; T\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; right)\}$

(где может быть показано, что последнее равенство обязательно выполняется). Обозначим пространство всех линейных операторов класса следов на H через B 1 (H).

Если T - класс трассировки, то

$\Vert \; T\; \Vert \; 1\; =\; sup\; \{|\; Tr\; \; (C\; T)\; |\; :\; \Vert \; C\; \Vert \; \le \; 1\; и\; C:\; H\; \to \; H\; -\; компактный\; оператор\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; |\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; \backslash \; left\; (CT\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |:\; \backslash \; |\; C\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; 1\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; C:\; H\; \backslash \; to\; H\; \{\backslash \; text\; \{-\; компактный\; оператор\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

Когда H конечномерно, каждый оператор является классом следов, и это определение следа матрицы A совпадает с определением следа матрицы.

. В дальнейшем, если A неотрицательный самосопряженный оператор , мы также можем определить след A как расширенное действительное число с помощью возможно расходящейся суммы

$\sum \; k\; ⟨A\; ek,\; ek⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; Ae\_\; \{k\},\; e\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle.\}$

где эта сумма не зависит от выбора ортонормированного базиса {e k}kH.

Примеры

Каждый ограниченный линейный оператор, который имеет конечномерный диапазон (т.е. операторы конечного ранга), является классом трассировки; кроме того, пространство всех операторов конечного ранга является плотным подпространством в B 1 (H) (когда наделено $\Vert \; \cdot \; \Vert \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; \_\; \{1\; \}\}$норма). Композиция двух операторов Гильберта-Шмидта является оператором класса трассировки.

Для любых x и y в H определите $x\; \otimes \; y:\; H\; \to \; H\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; otimes\; y:\; H\; \backslash \; to\; H\}$by (x ⊗ y) (z) = x, который является непрерывным линейным оператором ранга 1 и, таким образом, является классом трассировки; кроме того, для любого ограниченного линейного оператора A в H (и в H) $Tr\; \; (A\; (x\; \otimes \; y))\; =\; ⟨A\; x,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; \backslash \; left\; (A\; \backslash \; left\; (x\; \backslash \; otimes\; y\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; Ax,\; y\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$.

Свойства

1. Если A: H → H - неотрицательный самосопряженный, то A - след -class тогда и только тогда, когда Tr (A) < ∞. Therefore, a self-adjoint operator A is trace-class тогда и только тогда, когда его положительная часть A и отрицательная часть A оба являются классом трассировки. (Положительная и отрицательная части самосопряженного оператора получаются с помощью непрерывного функционального исчисления.)
2. След является линейным функционалом над пространством операторов класса следа, то есть

   $Tr\; \; (a\; A\; +\; б\; В)\; знак\; равно\; a\; Тр\; \; (А)\; +\; б\; Тр\; \; (В).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{Tr\}\; (aA\; +\; bB)\; =\; a\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (A)\; +\; b\; \backslash \; Operatorname\; \{Tr\}\; (B).\}$

   Билинейное отображение

   $⟨A,\; B⟩\; =\; Tr\; \; (A\; \ast \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; A,\; B\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (A\; ^\; \{*\}\; B)\}$

   - это скалярное произведение в классе следов; соответствующая норма называется нормой Гильберта – Шмидта. Пополнение операторов класса следов в норме Гильберта – Шмидта называемые операторами Гильберта – Шмидта.
3. Если T: H → H является следовым классом, то так же и T и $\Vert \; T\; \Vert \; 1\; =\; \Vert \; T\; \ast \; \Vert \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; T\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\}$.
4. Если A: H → H ограничено, а T: H → H является следовым классом, AT и TA также относятся к классу трассировки, и

   $\Vert \; AT\; \Vert \; 1\; =\; Tr\; \; (|\; AT\; |)\; \le \; \Vert \; A\; \Vert \; \Vert \; T\; \Vert \; 1,\; \Vert \; TA\; \Vert \; 1\; =\; Tr\; \; (|\; T\; A\; |)\; \le \; \Vert \; A\; \Vert \; \Vert \; T\; \Vert \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; AT\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (|\; AT\; |)\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; A\; \backslash \; |\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; |\; \_\; \{1\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; |\; TA\; \backslash \; |\; \_\; \{1\; \}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (|\; TA\; |)\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; A\; \backslash \; |\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}.\}$

   Кроме того, при той же гипотезе

   $Tr\; \; (AT)\; =\; Tr\; \; (TA)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (AT)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (TA)\}$и $|\; Tr\; \; (A\; T)\; |\; \le \; \Vert \; A\; \Vert \; \Vert \; T\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; \backslash \; left\; (AT\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; A\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; right\; |\}$.

   Последнее утверждение также верно при более слабая гипотеза о том, что A и T суть Гильберта – Шмидта.
5. Пространство операторов следового класса на H является идеалом в пространстве ограниченных линейных операторов на H.
6. Если {e k}kи {f k}k- два ортонормированных базиса H и если T - класс трассировки, то $\sum \; k\; |\; ⟨T\; e\; k,\; f\; k⟩\; |\; \le \; \Vert \; T\; \Vert \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; Te\_\; \{k\},\; f\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\; 1\}\}$.
7. Если A является следовым классом, то можно определить определитель Фредгольма для 1 + A:

   $det\; (I\; +\; A):\; =\; \prod \; n\; \ge \; 1\; [1\; +\; \lambda \; n\; (A)],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (I\; +\; A):\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; [1+\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; (A)],\}$

   где $\{\; \lambda \; N\; (A)\}\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; (A)\; \backslash \}\; \_\; \{n\}\}$- это спектр $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Условие класса трассировки на $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$гарантирует, что бесконечное произведение конечно: действительно,

   $det\; (I\; +\; A)\; \le \; e\; \Vert \; A\; \Vert \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (I\; +\; A)\; \backslash \; leq\; e\; ^\; \{\backslash \; |\; A\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\}.\}$

   Это также означает, что $det\; (I\; +\; A)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (I\; +\; A)\; \backslash \; neq\; 0\}$тогда и только тогда, когда (I + A) обратимо.
8. Если A: H → H - класс трассировки, то для любого ортонормированного базиса {ek}kиз H, сумма положительных членов $\sum \; k\; |\; ⟨A\; e\; k,\; e\; k⟩\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\}\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; A\; \backslash ,\; e\_\; \{k\},\; e\_\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right\; |\}$конечно.

Теорема Лидского

Пусть $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$будет оператором класса трассировки в разделяемом гильбертовом пространстве $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$, и пусть $\{\lambda \; N\; (A)\}\; n\; =\; 1\; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; (A)\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\},\}$$N\; \le \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; leq\; \backslash \; infty\}$- собственные значения $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$. Предположим, что $\lambda \; n\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; (A)\}$пронумерованы с учетом алгебраической кратности (т. Е. Если алгебраическая кратность $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$равно $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, тогда $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$повторяется $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$раз в списке $\lambda \; 1\; (A),\; \lambda \; 2\; (A),\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; (A),\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\; 2\}\; (A),\; \backslash \; точки\}$). Теорема Лидского (названная в честь Виктора Борисовича Лидского ) утверждает, что

$\sum \; n\; =\; 1\; N\; \lambda \; n\; (A)\; =\; Tr\; \; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; (A)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (A).\}$

Обратите внимание, что ряд слева сходится абсолютно из-за Неравенство Вейля

$\sum \; n\; =\; 1\; N\; |\; \lambda \; n\; (A)\; |\; \le \; \sum \; м\; знак\; равно\; 1\; M\; см\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; (A)\; \{\backslash \; big\; |\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; m\; =\; 1\}\; ^\; \{M\}\; s\_\; \{m\}\; (A)\}$

между собственными значениями $\{\lambda \; n\; (A)\}\; n\; =\; 1\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; (A)\; \backslash \}\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\}$и сингулярные значения $\{sm\; (A)\}\; m\; =\; 1\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{s\_\; \{m\; \}\; (A)\; \backslash \}\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{M\}\}$компактного оператора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$.

Связь между некоторыми классами операторов

Некоторые классы ограниченных операторов можно рассматривать как некоммутативный аналог классических пространств последовательностей, с операторами класса следа как некоммутативный аналог пространства последовательностей ℓ (N ).

В самом деле, можно применить спектральную теорему, чтобы показать, что любой нормальный оператор следового класса в сепарабельном гильбертовом пространстве может быть определенным образом реализован как последовательность ℓ относительно некоторый выбор пары базисов Гильберта. Точно так же ограниченные операторы являются некоммутативными версиями ℓ (N ), компактные операторы - операторы c 0 (последовательности, сходящиеся к 0), Операторы Гильберта – Шмидта соответствуют ℓ (N ) и операторам конечного ранга (последовательностям, которые имеют только конечное число ненулевых членов). В некоторой степени отношения между этими классами операторов аналогичны отношениям между их коммутативными аналогами.

Напомним, что каждый компактный оператор T в гильбертовом пространстве принимает следующий канонический вид:

$\forall \; h\; \in \; H,\; T\; h\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; \alpha \; i\; h,\; vi⟩\; ui,\; где\; \alpha \; i\; \ge \; 0,\; \alpha \; я\; \to \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; h\; \backslash \; in\; H,\; \backslash ;\; Th\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; langle\; h,\; v\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; u\_\; \{i\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; 0,\; \backslash \; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; to\; 0,\}$

для некоторых ортонормированных оснований {u i } и {v i }. Уточняя вышеприведенные эвристические комментарии, мы получаем, что T является следовым, если ряд ∑ iαiсходится, T является Гильбертом – Шмидтом, если ∑ iαiсходится, и T имеет конечный ранг, если последовательность {α i } имеет только конечное число ненулевых членов.

Приведенное выше описание позволяет легко получить некоторые факты, относящиеся к этим классам операторов. Например, следующие включения верны и все являются собственными, когда H бесконечномерно: {конечный ранг} ⊂ {класс следов} ⊂ {Гильберта – Шмидта} ⊂ {compact}.

Операторам класса трассировки задается норма трассировки || T || 1 = Tr [(T * T)] = ∑ iαi. Норма, соответствующая внутреннему произведению Гильберта-Шмидта, равна || T || 2 = [Tr (T * T)] = (∑ iαi). Кроме того, обычная норма оператора равна || T || = sup i(αi). Согласно классическим неравенствам относительно последовательностей

$\Vert \; T\; \Vert \; \le \; \Vert \; T\; \Vert \; 2\; \le \; \Vert \; T\; \Vert \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; T\; \backslash \; |\; \_\; \{\; 1\}\}$

для подходящего T.

Также ясно, что операторы конечного ранга плотны как в следовом классе, так и в классе Гильберта – Шмидта в их соответствующих нормах.

Класс трассировки как двойственный к компактным операторам

Двойное пространство c 0 - это ℓ (N ). Аналогично, мы имеем, что двойственные компактные операторы, обозначаемые K (H) *, являются операторами класса следа, обозначаемыми C 1. Рассуждение, которое мы сейчас набросаем, напоминает рассуждение для соответствующих пространств последовательностей. Пусть f ∈ K (H) *, мы отождествляем f с оператором T f, определенным как

$⟨T\; fx,\; y⟩\; =\; f\; (S\; x,\; y),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; T\_\; \{\; f\}\; x,\; y\; \backslash \; rangle\; =\; f\; (S\_\; \{x,\; y\}),\}$

где S x, y - оператор первого ранга, заданный как

$S\; x,\; y\; (h)\; =\; ⟨H,\; y⟩\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{x,\; y\}\; (h)\; =\; \backslash \; langle\; h,\; y\; \backslash \; rangle\; x.\}$

Эта идентификация работает, потому что операторы конечного ранга плотны по норме в K (H). В случае, если T f является положительным оператором, для любого ортонормированного базиса u i выполняется

$\sum \; i\; ⟨T\; fui,\; ui⟩\; =\; f\; (I)\; \le \; \Vert \; е\; \Vert ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; langle\; T\_\; \{f\}\; u\_\; \{i\},\; u\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; =\; f\; (I)\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |,\}$

где I - тождественный оператор:

$I\; =\; \sum \; i\; ⟨\cdot ,\; ui⟩\; ui.\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; u\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\; u\_\; \{i\}.\}$

Но это означает, что T f относится к классу трассировки. Обращение к полярному разложению распространяет это на общий случай, когда T f не обязательно должно быть положительным.

Ограничивающий аргумент с использованием операторов конечного ранга показывает, что || T f||1= || f ||. Таким образом, K (H) * изометрически изоморфен C 1.

Как предупорядочение ограниченных операторов

Напомним, что двойственным к (N ) является ℓ (N ). В данном контексте двойственные операторы класса трассировки C 1 - это ограниченные операторы B (H). Более точно, множество C 1 является двусторонним идеалом в B (H). Итак, учитывая любой оператор T в B (H), мы можем определить непрерывный линейный функционал φTна $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\}$на φ T (A) = Tr (AT). Это соответствие между ограниченными линейными операторами и элементами φ T двойного пространства из $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\}$является изометрическим изоморфизм. Отсюда следует, что B (H) - это пространство, двойственное к $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\}$. Это можно использовать для определения weak- * топологии на B (H).

См. Также

• Ядерный оператор
• Ядерный оператор между банаховыми пространствами

Примечания

1. ^ Конвей 1990, стр. 267.
2. ^Trèves 2006, pp. 502-508.
3. ^Trèves 2006, p. 494.
4. ^Trèves 2006, p. 484.
5. ^ Конвей 1990, стр. 268.
6. ^М. Рид и Б. Саймон, Функциональный анализ, Упражнения 27, 28, стр. 218.
7. ^Саймон Б. (2005) Идеалы трассировки и их приложения, Второе издание, Американское математическое общество.

Ссылки

• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Диксмье, Дж. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien. Готье-Виллар.
• Шефер, Гельмут Х. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.