Приливное ускорение

Изображение Земли и Луны с Марса. Присутствие Луны (масса которой составляет около 1/81 Земли) замедляет вращение Земли и удлиняет день примерно на 2 миллисекунды каждые 100 лет.

Приливное ускорение является следствием приливные силы между движущимся по орбите естественным спутником (например, Луной ) и основной планетой, на которой он вращается (например, Земля ). Ускорение вызванного отклонения спутника на прямую орбиту от первичного звена и соответствующее замедление его вращения. Этот процесс в конечном итоге приводит к приливной блокировке, сначала меньшего, а затем более крупного тела. Система Земля - ​​Луна - наиболее изученный случай.

Аналогичный процесс приливного замедления происходит для спутников, у которых период обращения по орбите короче периода вращения главного компонента, которые вращаются по орбите в ретроградном направлении.

Название несколько сбивает с толку, потому что скорость спутника тела, вокруг которого он вращается, уменьшается в результате приливного ускорения и увеличивается в результате приливного замедления.

Содержание

• 1 Система Земля - ​​Луна
  • 1.1 История открытия векового ускорения
  • 1.2 Влияние силы тяжести Луны
  • 1.3 Угловой момент и энергия
  • 1.4 Исторические свидетельства
  • 1.5 Количественное описание случая Земля -Луна
• 2 Другие случаи приливного ускорения
• 3 Приливное расследование
• 4 Теория
  • 4.1 Размер приливной выпуклости
  • 4.2 Крутящий момент
  • 4.3 Отношение угла запаздывания кеяние энергии
  • 4.4 Замедление вращения планеты
  • 4.5 Влияние на движение спутника вокруг планеты
  • 4.6 Влияние Солнца
  • 4.7 Детальный расчет для системы Земля - ​​Луна
    • 4.7.1 Потенциальное возмущение, создаваемое Луной на Земле
    • 4.7.2 Форма выпуклости I : реакция на пертурбативный потенциал
    • 4.7.3 Форма выпуклости II: деформация, создающая пертурбативный потенциал
    • 4.7.4 Расчет крутящего момента
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Система Земля - ​​Луна

История открытия векового ускорения

Эдмо nd Галлей был первым, кто предположил в 1695 году, что среднее движение Луны, по-видимому, ускоряется по сравнению с древними наблюдениями за затмениями, но он не дал никаких данных. (Во времена Галлея еще не было известно, что на самом деле происходит замедление скорости вращения Земли: см. Также Эфемеридное время - История среднего. При измерении как функции солнечного времени, а не равномерное время, эффект проявляется как положительное ускорение.) В 1749 году Ричард Данторн подтвердил подозрения Галлея после повторного изучения древних записей и произвел первую количественную оценку этого очевидного эффекта году. : центурия +10 ″ (угловые секунды) для лунной долготе, что является удивительно точным результатом для своего времени, не отличается сильно от значений, оцененных позже, например, в 1786 году де Лаландом, и для сравнения со значениями примерно от 10 дюймов до почти 13 дюймов, полученным примерно столетием позже.

Пьер-Симон Лаплас произвел в 1786 году теоретический анализ, дающий основу для определения среднего значения Луны движение ускоряться в ответ на возмущающие изменения эксцентриситета орбиты Земли вокруг Солнца. Первоначальные вычисления Лапласа объяснили весь эффект, таким образом, казалось, что теория аккуратно связана как с современными, так и с древними наблюдениями.

Однако в 1854 году Джон Коуч Адамс заставил задуматься над вопросом. -открыто обнаружение ошибок в вычислениях Лапласа: оказалось, что только около половины видимого ускорения Луны можно объяснить на основе Лапласа изменением эксцентриситета орбиты Земли. Открытие Адамса вызвало острые астрономические споры, которые длились несколько лет, но правильность его результата была подтверждена другими астрономами-математиками, включая С. Э. Делоне, в итоге был принят. Вопрос зависел от правильного анализа движений Луны и усложнился одним открытием, примерно в то же время, что еще одно значимое долгосрочное возмущение, которое было рассчитано для Луны (предположительно из-за действия Венеры ) также был ошибочным, при повторной экспертизе был признан практически незначительным и практически должен исчезнуть из теории. Часть ответа была предложена независимо в 1860-х годах Делоне и Уильямом Феррелом : приливное замедление скорости вращения Земли увеличивало единицу времени и вызывало лишь видимое ускорение Луны.

Астрономическому сообществу потребовалось некоторое время, чтобы принять реальность и масштаб приливных эффектов. Но со временем стало ясно, что здесь задействованы три эффекта, если измерять их средним солнечным временем. Помимо эффектов возмущающих изменений эксцентриситета земной орбиты, обнаруженных Лапласом и исправленных Адамсом, существуют два приливных эффекта (комбинация, впервые предложенная Эммануэлем Лайсом ). Во-первых, это реальное замедление угловой скорости орбитального движения Луны из-за приливного обмена угловым моментом между Землей и Луной. Это увеличивает угловой момент Луны вокруг Земли (и перемещает Луну на более высокую орбиту с уменьшенной орбитальной скоростью ). Во-втором наблюдается очевидное увеличение угловой скорости орбитального движения Луны (если измерять ее средним солнечным временем). Это происходит из-за потери Землей углового момента и, как следствие, увеличения продолжительности дня.

Диаграмма системы Земля - ​​Луна, показывающая, как Земля выталкивает вперед приливную выпуклость. вращение. Эта выпуклость с нарушением создает чистый крутящий момент на Луне, увеличивая его при замедлении вращения Земли.

Влияние гравитации Луны

Потому что масса Луны равна это значительная часть земной (примерно 1:81), эти два тела можно рассматривать как систему двойной планеты, а не как планету со спутником. Плоскость орбиты Луны вокруг Земли близко к плоскости орбиты Земли вокруг Солнца (эклиптика ), а не в плоскости, перпендикулярной оси вращения Земли (экватор ), как это обычно бывает со спутниками планет. Масса Луны достаточно велика и достаточно близко, чтобы вызвать приливы в материи Земли. В частности, вода океанов выпирает в сторону Луны и от нее. Средняя приливная выпуклость синхронизирована с орбитой Луны, и Земля вращается под этой приливной выпуклостью всего за день. Однако вращение Земли приводит к тому, что приливная выпуклость опережает положение непосредственно под Луной. Как следствие, в выпуклости существует значительная масса массы, которая смещена от линии, проходящей через центры Земли и Луны. Из-за этого смещения часть гравитационного притяжения между приливными выступами Земли и Луной не параллельна линии Земля-Луна, то есть между Землей и Луной существует крутящий момент. Выпуклость ближе к Луне притягивает ее сильнее, чем выпуклость дальше, этот крутящий момент ускоряет движение Луны по ее орбите и замедляет вращение Земли.

В результате этого процесса среднего солнечного дня, номинально составляет 86 400 секунд, фактически становится длиннее, если его измерить в SI секундах с помощью стабильных атомных часов. (Секунда в системе СИ, когда она была принята, уже было немного короче, чем текущее значение секунды среднего солнечного времени.) Небольшая разница накапливается со временем, что приводит к увеличению разницы между нашими часами (Всемирное время ) одной стороны, и Атомное время и Эфемеридное время с другой стороны: см. ΔT. Это к введению в 1972 году дополнительную секунду, чтобы компенсировать различия в базах стандартизации времени.

В дополнение к влиянию океанских приливов, существует также приливное ускорение из-за изгиба земной коры, но это составляет лишь около 4% от общего эффекта, выраженного в терминах рассеивания тепла.

Если бы другие эффекты не принимались во внимание, приливное ускорение продолжалось бы до тех пор, пока период вращения Земли не совпадал с периодом обращения Луны. В то время Луна всегда была бы над одним фиксированным местом на Земле. Такая ситуация уже существует в системе Плутон - Харон. Происходит постоянное увеличение излучения Солнца. вероятно, вызовет испарение океанов Земли, устраняя основную часть приливного трения и ускорения. Даже без этого замедление до дня длиной в месяц не было бы завершено через 4,5арда лет, когда Солнце, вероятно, превратится в красного гиганта и, вероятно, уничтожит и Землю, и Луну.

Приливное ускорение - один из немногих примеров в динамике Солнечной системы так называемого векового возмущения орбиты, т.е. возмущения, непрерывно увеличивается с разовая и не периодическая. До высокого порядка приближения взаимные гравитационные возмущения между большими или малыми планетами вызывают только периодические изменения их орбит, то есть параметры колеблются между максимальными и минимальными значениями. Эффект приливов приводит к появлению квадратичного члена в уравнении. В математических теориях планетных орбитов, которые составляют основу эфемерид, встречаются квадратичные и секулярные члены более высокого порядка, но в основном это разложения Тейлора периодических членов с очень большим временем. Причина, по которой приливные эффекты различны, заключается в том, что в отличие от далеких гравитационных возмущений, трение является частью приливного ускорения и приводит к постоянной потере энергии из динамической системы в виде тепла. Другими словами, у нас нет гамильтоновой системы.

Угловой момент и энергия

Гравитационный момент между Луной и приливной выпуклостью Земли появление Луны постоянно продвигаться на несколько более высокой орбиту и замедлять вращение Земли. Как и в любом физическом процессе в изолированной системе, общая энергия и угловой момент сохраняются. Фактически, энергия и угловой момент передаются от вращения Земли к орбитальному движению Луны (однако часть энергии, теряемой Землей (-3,321 ТВт), преобразуется в тепло за счет потерь на трение в океан и их взаимодействие с твердая Земля, и только около 1 / 30 (+0,121 ТВт) передается на Луну). Луна удаляется дальше от Земли (+ 38,247 ± 0,004 мм / год), поэтому ее потенциальная энергия, которая все еще является отрицательной (в гравитационном колодце Земли ), увеличивается, т.е. е. становится менее негативным. Он остается на орбите, и из 3-го закона Кеплера следует, что его угловая скорость на самом деле уменьшается, поэтому приливное воздействие на Луну фактически вызывает угловое замедление, то есть отрицательное ускорение ( - 25,858 ± 0,003 дюйма / столетие) ее вращения вокруг Земли. Фактическая скорость Луны также уменьшается. Хотя ее кинетическая энергия уменьшается, ее потенциальная энергия увеличивает на большее значение, то есть E p = -2E c(Теорема вириала ).

Вращающий момент количества движения Земли уменьшается и, следовательно, продолжительность дня увеличивается. Чистый прилив, поднятый на Земле Луной, опережает Луна за счет гораздо более быстрого вращения Земли. Приливное трение необходимо для того, чтобы тянуть и поддерживать выпуклость перед Луной, и оно рассеивает избыточную энергию обмена вращательной и орбитальной энергией между Землей и Луной в виде тепла. Если бы трение и рассеяние тепла не присутствовали, гравитационная сила Луны на приливной выпуклости была бы быстро (в течение двух дней) привести прилив в синхронизм с Луной, и Луна больше не будет отступать. Большая часть рассеяния происходит в турбулентном придонном пограничном слое в мелководных морях, таких как Британские, Патагонский шельф у берегов Аргентины и Берингово море.

Рассеивание энергии за счет приливного трения составляет в среднем около 3,75 тераватт, из которых 2,5 тераватта приходится на основной компонент Луны M 2, а остальная часть - на другие компоненты, как лунные, так и солнечные.

равновесная приливная выпуклость на Земле, потому что континенты не позволяют этому математическому решению иметь место. Океанические приливы фактически вращаются вокруг океанических бассейнов как обширные круговороты вокруг нескольких амфидромных точек, где нет приливов. Луна притягивает каждую отдельную волну по мере вращения Земли - одни волны идут впереди Луны, другие - позади нее, а третьи - по обе стороны. «Выпуклости», которые на самом деле существуют, чтобы Луна тянула (и притягивают Луну), являются чистым результатом интеграции фактических волн над всеми океанами мира. Чистый (или эквивалентный) равновесный прилив Земли имеет амплитуду всего 3,23 см и полностью затопляется океанскими приливами, которые имеют один метр.

Исторические свидетельства

Этот механизм работал 4,5 миллиарда лет с тех пор, как на Земле впервые образовались океаны. Есть геологические и палеонтологические свидетельства того, что Земля вращалась быстрее и что Луна была ближе к Земле в далеком прошлом. Приливные ритмы представляют собой чередующиеся слои песка и ила, отложенные на берегу эстуариев с сильными приливными потоками. В депозитах можно найти суточные, месячные и сезонные циклы. Эта геологическая летопись согласуется с использованием условий 620 миллионов лет назад: день составлял 21,9 ± 0,4 часа, и было 13,1 ± 0,1 синодических месяцев в году и 400 ± 7 солнечных дней в году. Средняя скорость удаления Луны с тех пор и сейчас составляла 2,17 ± 0,31 см / год, что примерно вдвое меньше нынешней скорости. Нынешняя высокая скорость может быть связана с почти резонансом между естественными частотами океана и приливов.

Анализ слоистости в ископаемых раковинах моллюсков 70 миллионов лет назад, в Поздний меловой период показывает, что в году было 372 дня, и, таким образом, продолжительность дня тогда составляла около 23,5 часов.

Количественное описание случая Земля-Луна

За движением Луны можно следить за точностью до нескольких сантиметров с помощью лунного лазера (LLR). Лазерные импульсы отражаются от зеркал на поверхности Луны, во время миссий Аполлон с 1969 по 1972 год и на Луноходе 2 в 1973 году. Измерение времени возврата импульса дает очень точное измерение расстояния. Эти измерения вводят движения. Это дает числовые значения для векового замедления Луны, то есть отрицательного ускорения, по долготе и большого изменения полуоси эллипса Земля-Луна. За период 1970–2012 гг. Получены следующие результаты:

-25,82 ± 0,03 угловой секунды / столетие по эклиптической долготе

+38,08 ± 0,04 мм / год по среднему расстоянию Земля-Луна

Это согласуется на основе результатов спутниковой лазерной локации (SLR), аналогичный метод применяемый к искусственным спутникам, вращающимся вокруг Земли, который дает модель гравитационного поля Земли, включая поле приливов. Модель точно предсказывает изменения в движении Луны.

Наконец, древние наблюдения солнечных затмений дают довольно точные положения Луны в эти моменты. Исследования этих наблюдений дают результаты, полученные с приведенным выше значением.

Другим последствием приливного ускорения замедление вращения Земли. Вращение Земли несколько неустойчиво во всех временных масштабах (от часов до столетий) по разным причинам. Небольшой приливный эффект невозможно наблюдать за короткий период, но кумулятивный эффект на вращение Земли, измеренный с помощью стабильных часов (эфемеридное время, атомное время ), недостаточно даже для нескольких миллисекунд каждый день становится легко заметным через несколько столетий. Какое время-то событие в далеком прошлом, прошло больше дней и часов (при измерении полных оборотов Земли) (всемирное время ), чем можно было бы измерить стабильными часами, откалиброванными по настоящему, более длинной продолжительности дня (эфемеридное) время). Это известно как ΔT. Последние значения можно получить в международной службе систем и отсчета Земли (IERS). Также доступна таблица фактической продолжительности дня за последние несколько столетий.

Из наблюдаемого изменения орбиты Луны можно рассчитать соответствующее изменение продолжительности дня:

+ 2,3 мс / день / столетие, или +84 с / цикл, или +63 нс / день.

Однако из исторических данных за последние 2700 лет найдено следующее среднее значение:

+1,70 ± 0,05 мс / день / века или +62 s / cy или +46,5 ns / d. (т.е. причина ускорения составляет -0,6 мс / день / цикл)

При двукратном интегрировании по времени соответствующее совокупное значение представляет собой параболу с коэффициентом Т (время в квадрате столетий) (/ 2) 62 с / цикл:

ΔT = (/ 2) 62 с / цикл T = +31 с / цикл T.

Противодействие приливному замедлению Земли - это механизм это фактически ускоряет вращение. Земля - ​​не сфера, а, скорее, эллипсоид, сплющенный на полюсах. SLR показал, что это уплощение уменьшается. Объяснение заключается в том, что во время ледникового периода большие массы льда собирались на полюсах и вдавливали нижележащие породы. Ледяная масса начала исчезать более 10000 лет назад, но земная кора все еще не находится в гидростатическом равновесии и все еще восстанавливается (время релаксации оценивается примерно в 4000 лет). Как следствие, полярный диаметр Земли увеличивается, а экваториальный диаметр уменьшается (объем Земли должен оставаться прежним). Это означает, что масса приближается к оси вращения Земли и момент инерции Земли уменьшается. Один только этот процесс приводит к увеличению скорости вращения (феномен вращающегося фигуриста, который вращается все быстрее, убирая руки). По наблюдаемому изменению момента инерции можно вычислить ускорение вращения: среднее значение за исторический период должно быть около -0,6 мс / столетие. Это во многом объясняет исторические наблюдения.

Другие случаи приливного ускорения

Большинство естественных спутников планет в некоторой степени испытывают приливное ускорение (обычно небольшое), за исключением двух классов приливно замедленных тел. В большинстве случаев, однако, эффект настолько мал, что даже через миллиарды лет большинство спутников фактически не будет потеряно. Эффект, вероятно, наиболее заметен для второго спутника Марса Деймос, который может стать астероидом, пересекающим Землю, после того, как выйдет из рук Марса. Этот эффект также возникает между различными компонентами в двойной звезде .

Приливное замедление

При приливном ускорении (1) спутник вращается в том же направлении (но медленнее), чем вращение его родительского тела. Ближайшая приливная выпуклость (красный) притягивает спутник больше, чем дальняя выпуклость (синий), передавая результирующую положительную силу (пунктирные стрелки, показывающие силы, разделенные на их компоненты) в направлении орбиты, поднимая его на более высокую орбиту.. При приливном замедлении (2) вращение меняется на противоположное, результирующая сила противоположна направлению орбиты, понижая ее.

Это бывает двух разновидностей:

1. Быстрые спутники: некоторые внутренние луны планет-гигантов и Фобос вращаются по орбите в пределах радиуса синхронной орбиты, так что их период обращения короче вращения их планеты. Другими словами, они вращаются вокруг своейпланеты быстрее, чем сама планета. В этом случае приливные выпуклости, создаваемые Луной на планете, отстают от Луны и замедляют ее движение по орбите. В результате орбита Луны постепенно движется по спирали к планете. Вращение планеты также немного ускоряется. В далеком будущем луны столкнутся с планетой или пересекутся в пределах их предела Роша и будут разрушены приливом на фрагменты. Однако все такие луны в Солнечной системе - очень маленькие тела, и приливные выпуклости, создаваемые ими на планете, также малы, поэтому обычно эффект слабый, и орбита медленно затухает. Затронутые спутники:
   • Вокруг Марса : Фобос
   • Вокруг Юпитера : Метис и Адрастея
   • Вокруг Сатурна : нет, за исключением кольцевых частиц (как и Юпитер, Сатурн является очень быстрым вращателем, но у нет достаточно близких спутников)
   • Вокруг Уран : Корделия, Офелия, Бьянка, Крессида, Дездемона, Джульетта, Порция, Розалинда, Амур, Белинда и Пердита
   • Около Нептуна : Наяд, Таласса, Деспина, Галатея и Лариса
   Некоторые предполагают, что после того, как Солнце станет красным гигант, его поверхностное вращение будет намного медленнее, и это вызовет приливное замедление всех оставшихся планет.
2. Ретроградные спутники: Все ретроградные спутники испытывают приливное замедление до некоторой степени, потому что их орбитальное движение и вращение их происходит в противоположных направлениях, вызывая восстанавливающие силы их приливных направлений. Отличие от предыдущего случая с «быстрым спутником» здесь в том, что вращение планеты также замедляется, а не ускоряется (момент количества движения сохраняется, что в этом случае вращения планеты и вращения имеют противоположные знаки). Единственный спутник в Солнечной системе, для которого этот эффект заметен, - это спутник Нептуна Тритон. Все остальные ретроградные спутники находятся на далеких орбитах, и приливные силы между ними и планетой незначительны.

Меркурий и Венера, как полагают, не имеют спутникового сигнала, что любой гипотетический спутник претерпел бы замедление. давно и врезался в планету из-за очень медленных вращающихся планет; кроме того, у Венеры также есть ретроградное вращение.

Теория

Размер приливной выпуклости

Если пренебречь осевым наклоном, приливная сила, которую спутник (например, Луна) оказывает на планету (например, Земля) может быть описана изменением ее гравитационной силы на расстоянии от нее, если рассматривать эту силу применительно к единице массы $dm\; \{\backslash \; displaystyle\; dm\}$:

$\delta \; F\; \delta \; r\; =\; -\; 2\; G\; mdmr\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; delta\; F\}\; \{\backslash \; delta\; r\}\}\; =\; -\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; \backslash ,\; dm\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\}$

, где G - универсальная гравитационная постоянная, m - масса спутника, r - между спутником и планетой.

Таким образом, спутник на планете мешает потенциал, разность которого между центром планеты и ближайшей (или самой дальней) точкой к спутнику составляет:

$\Delta \; V\; =\; 2\; G\; mdm\; A\; 2\; r\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Дельта\; V\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; \backslash ,\; dm\; \backslash ,\; A\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\}$

где A - радиус планеты.

Размер приливной выпуклости, созданной на планете, можно оценить как отношение между этим возмущающим потенциалом и силой на поверхности планеты:

$H\; \approx \; \Delta \; VGM\; dm\; /\; A\; 2\; =\; 2\; м\; A\; 4\; M\; r\; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; V\}\; \{GM\; \backslash ,\; dm\; /\; A\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{mA\; ^\; \{4\}\}\; \{Mr\; ^\; \{3\}\}\}\}$

Более точный расчет дает:

$H\; =\; 15\; 8\; м\; A\; 4\; M\; r\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{15\}\; \{8\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{mA\; ^\; \{4\}\}\; \{Mr\; ^\; \{3\}\}\; \}\}$

предполагая, что мы пренебрегаем эффектом второго порядка из-за жесткости материала планеты.

Для системы Луна-Земля (m = 7,3 × 10 кг, M = 6 × 10 кг, A = 6,4 × 10 м, r = 3,8 × 10) это дает 0,7 метра, что близко к истинному значению высоты океанских приливов (примерно один метр).

Обратите внимание, что образуются две выпуклости, одна примерно с центром вокруг точки, ближайшей к спутнику, а другая примерно вокруг точки, наиболее удаленной от него.

Крутящий момент

Из-за вращения планеты выпуклости немного отстают (?, Впереди) оси планета-спутник, что создает угол $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$между двумя. Размер этого угла запаздывания зависит от инерции и (что гораздо важнее) от сил рассеяния (например, трения), действует на выступ.

Спутник прикладывает разные силы к ближнему и дальнему выступу. Разница составляет примерно $\delta \; F\; /\; \delta \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; F\; /\; \backslash \; delta\; r\}$, умноженное на диаметр планеты, где мы заменяем единицу массы в приведенном выше вычислении на приблизительную массу каждой выпуклость, $\pi \; \rho \; A\; 2\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; A\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; H\}$(где ρ - массовая плотность выпуклости):

$\Delta \; F\; \approx \; \delta \; F\; \delta \; р\; \cdot \; 2\; A\; \cdot \; соз\; \; (\alpha )\; знак\; равно\; 4\; \pi \; G\; m\; \rho \; A\; 3\; H\; r\; 3\; cos\; \; (\alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; F\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; F\}\; \{\backslash \; delta\; r\}\}\; \backslash \; cdot\; 2A\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; (\backslash \; alpha)\; =\; 4\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; \backslash \; rho\; A\; ^\; \{3\}\; H\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; alpha)\}$

, где мы учли влияние угла запаздывания $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$.

Чтобы получить приблизительную оценку момента, происходящего спутником на планете, нам нужно умножить эту крутящую длину с помощью рычага длины планеты и синусом угла запаздывания, что дает:

$N\; \approx \; 8\; \pi \; г\; м\; \rho \; A\; 4\; час\; р\; 3\; соз\; \; (\alpha )\; грех\; \; (\alpha )\; =\; 4\; \pi \; г\; м\; \rho \; A\; 4\; час\; р\; 3\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; около\; 8\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; \backslash \; rho\; A\; ^\; \{4\}\; \backslash ,\; H\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; sin\; (\backslash \; alpha)\; =\; 4\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; \backslash \; rho\; A\; ^\; \{4\}\; H\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Более точный расчет дает коэффициент 2/5 из-за сферической формы планеты и:

$N\; =\; 8\; 5\; \pi \; Г\; м\; \rho \; A\; 4\; час\; р\; 3\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{5\}\}\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; \backslash \; rho\; A\; ^\; \{4\}\; H\}\; \{r\; ^\; \{3\; \}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Вставка значения H, найденного над этим является:

$N\; =\; 3\; \pi \; г\; м\; 2\; \rho \; A\; 8\; M\; р\; 6\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; 3\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; A\; ^\; \{8\}\}\; \{Мистер\; ^\; \{6\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Это можно записать как:

$N\; =\; 9\; 4\; К\; г\; м\; 2\; A\; 5\; р\; 6\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \{\backslash \; frac\; \{9\}\; \{4\}\}\; k\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; ^\; \{2\}\; A\; ^\; \{5\}\}\; \{r\; ^\; \{\; 6\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Где k - коэффициент связанных, что может быть выражено числами Лява с учетом неравномерности плотности массы планеты; сюда также входят поправки из-за жесткости планеты, на которые пренебрегли выше. Для Земли большая часть выпуклости состоит из морской воды и не имеет поправки на жесткость, но ее массовая плотность составляет 0,18 средней плотности массы Земли (1 г / см против 5,5 г / см), поэтому $k\; \approx \; 0,\; 18\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; приблизительно\; 0,18\}$. В литературе используется близкое значение 0,2 ($=\; 2\; k\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\}\; =\; 2k\_\; \{2\}\; /\; 3\}$)

Аналогичный расчет можно сделать для приливов, создаваемых на планете Солнцем. В результате крутящего момента равен 20% от

Отношение угла запаздывания к рассеянию энергии

. массой Солнца, а r - расстояния до Солнца.

Работа, производимая спутником над планетой, создается сила, действующая на пути движения массы движется со скоростью u в планете (фактически, в выпуклости).

Силы и положения зависят от относительного угла к оси планеты- спутника θ имеет, который периодически изменяется с угловым моментом Ω. 24-градусная система координат симметрична по направлению к спутнику и в противоположном (в обоих направлениях - наружу), зависимость приближенная синусоидальная формула по 2θ. на единицу массы, имеет вид:

$d\; F\; (t)\; =\; d\; F\; 0\; cos\; \; (2\; \theta )\; =\; d\; F\; 0\; cos\; \; (2\; \Omega \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\; (t)\; =\; dF\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; theta)\; =\; dF\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; Omega\; t)\}$

, перенос, проецируемый в том же направлении, имеет вид:

$\xi \; (t)\; =\; \xi \; 0\; соз\; \; (2\; (\; \theta \; -\; \alpha )\; знак\; равно\; \xi \; 0\; соз\; \; (2\; (\Omega \; t\; -\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; (t)\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (2\; (\backslash \; theta\; -\; \backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\; \}\; \backslash \; cos\; (2\; (\backslash \; Omega\; t-\; \backslash \; alpha)\}$

из-за угла запаздывания. Следовательно, составляющая скорость в направлении греха силы:

$u\; (t)\; =\; d\; \xi \; (T)\; dt\; знак\; равно\; -\; 2\; \Omega \; \xi \; 0\; \; (2\; (\theta \; -\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; \backslash \; xi\; (t)\}\; \{dt\}\}\; =\; -\; 2\; \backslash \; Omega\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; (2\; (\backslash \; theta\; -\; \backslash \; alpha)\}$

Итак, общая работа, совершенная над единицей массы за один цикл, составляет:

$\int \; 0\; \pi \; /\; \Omega \; d\; F\; \to \; (t)\; u\; \to \; (t)\; dt\; =\; -\; 2\; \Omega \; d\; F\; 0\; \xi \; 0\; \int \; 0\; \pi \; /\; \Omega \; cos\; \; (2\; \Omega \; t)\; sin\; \; (2\; (\Omega \; t\; -\; \alpha ))\; dt\; знак\; равно\; -\; \pi \; d\; F\; 0\; \xi \; 0\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; \backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; vec\; \{dF\}\}\; (t)\; \{\backslash \; vec\; \{\; u\}\}\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; -2\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\; dF\_\; \{0\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\; /\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; Omega\; t)\; \backslash \; sin\; (2\; (\backslash \; Omega\; t-\; \backslash \; alpha))\; \backslash ,\; dt\; =\; -\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; dF\_\; \{0\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Фактически, почти все это рассеянный (например, как трение), как описано.

Теперь, если посмотреть на полную мощность спутника в одной из выпуклостей, она равна общей работе, выполненной над ним в четверти общего диапазона углового диапазона, то есть от нуля до максимального размера. :

$E\; \ast \; =\; \int \; -\; \pi \; /\; 4\; \Omega \; +\; \alpha \; /\; \Omega \; \alpha \; /\; \Omega \; d\; F\; \to \; (t)\; u\; \to \; (t)\; dt\; =\; -\; 2\; \Omega \; d\; F\; 0\; \xi \; 0\; \int \; -\; \pi \; /\; 4\; \Omega \; +\; \alpha \; /\; \Omega \; \alpha \; /\; \Omega \; cos\; \; (2\; \Omega \; t)\; sin\; \; (2\; (\Omega \; t\; -\; \alpha ))\; dt\; =\; -\; d\; F\; 0\; \xi \; 0\; \int \; -\; \pi \; /\; 2\; 0\; cos\; \; (z\; +\; 2\; \alpha )\; sin\; \; (z)\; dz\; \approx \; 1\; 2\; d\; F\; 0\; \xi \; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; E\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\; /\; 4\; \backslash \; Omega\; +\; \backslash \; alpha\; /\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; /\; \backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; vec\; \{dF\}\}\; (t)\; \{\backslash \; vec\; \{u\}\}\; (t)\; \backslash ,\; dt\; =\; -2\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\; dF\_\; \{0\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\; /\; 4\; \backslash \; Omega\; +\; \backslash \; alpha\; /\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\; /\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; Omega\; t)\; \backslash \; sin\; (2\; (\backslash \; Omega\; t-\; \backslash \; alpha))\; \backslash ,\; dt\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; -\; dF\_\; \{\; 0\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\; /\; 2\}\; ^\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (z\; +\; 2\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; sin\; (z)\; \backslash ,\; dz\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \backslash ,\; dF\_\; \{0\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, где мы определили $z\; =\; 2\; (\Omega \; t\; -\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; 2\; (\backslash \; Omega\; t-\; \backslash \; alpha)\}$, и аппроксимировали для малых α в последнем равенстве, пренебрегая им.

Доля энергии, рассеиваемой в каждом цикле, представленная удельной функцией рассеяния, обозначенной $Q\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; ^\; \{-\; 1\}\}$и обозначенной как полное рассеивание за один цикл, деленное на $2\; \pi \; E\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; E\; ^\; \{*\}\}$. Это дает:

$Q\; -\; 1\; =\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Его значение оценивается как 1/13 для Земли, где выпуклость в основном жидкий, 10-10 для других внутренних планет и Луны, где выпуклость в основном твердый, и 10-10 для внешних, в основном газообразных планет.

Имея это значение для Земли под рукой, рассчитанный крутящий момент составляет 4,4 × 10 Н · м, что всего на 13% выше измеренного значения 3,9 · 10 Н · м.

Обратите внимание, что в далеком прошлом значение $k\; \cdot \; sin\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$для системы Земля-Луна, вероятно, несколько меньше.

Замедление вращения планеты

Снова пренебрегая осевым наклоном, изменение во времени углового момента L планеты равно крутящему моменту. L, в свою очередь, является произведением угловой скорости Ω на момент инерции I.

Для сферической планеты с приблизительно одинаковой плотностью массы $I\; =\; f\; MA\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; fMA\; ^\; \{2\}\}$, где f - коэффициент, зависящий от строение планеты; сферическая планета однородной плотности имеет f = 2/5 = 0,4. Поскольку угловой момент это дает:

$d\; \Omega \; dt\; =\; d\; LI\; dt\; =\; NI\; =\; 45\; 8\; k\; G\; m\; 2\; A\; 3\; M\; r\; 6\; sin\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Omega\}\; \{dt\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dL\}\; \{I\; \backslash ,\; dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\}\; \{I\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{45\}\; \{8\}\}\; k\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\; ^\; \{2\}\; A\; ^\; \{3\}\}\; \{Mr\; ^\; \{6\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Поскольку плотность Земли больше на глубине, ее момент инерции несколько меньше, с f = 0,33.

Для системы Земля-Луна, взяв $sin\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$из 1/13 и k = 0,2, мы получаем замедление Вращение Земли dΩ / dt = -4,5 × 10 радиан с = -924,37 дюймов в сутки, что соответствует ускорению продолжительности дня (LOD) на 61 с / сутки или 1,7 мс / сутки / сутки или 46 нс / сутки. 24-часовой день, это эквивалентно увеличению LOD на 17 секунд за 1 миллион лет или 1 часу (т.е. удлинению дня на 1 час) за 210 миллионов лет. Из-за дополнительного 20% -ного эффекта Солнце, день удлиняется на 1 час примерно за 180 миллионов лет. Этот расчет является чистой теорией и не предполагает рассеивания. действия или накопления сил за счет тепла трения, что нереально с учетом воздушных масс, океанов и тектоники. Объекты на орбите системы Земля-Луна также могут истощать инерцию, например: 2020 CD3

Аналогичный расчет показывает, что Земля передала угловой момент через приливное трение на самовращение Луны, прежде чем это стало приливно заблокирован. В этот период вычисляется изменение углового момента Луны ω таким же образом, как и для Ω выше, за исключением того, что m и M должны быть поменяны местами, а A следует заменить радиусом Луны a = 1,7 × 10 метров. Принимая $sin\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$из 10-10 для твердых планет и k = 1, это дает замедление вращения Луны dω / dt = -3 × 10 - −3 × 10 радиан-сек. Для 29,5-дневного периода ротации это эквивалентно 1,5–15 минутам за 1 год или 1 дню за 10–10 лет. Таким образом, в астрономических масштабах времени Луна очень быстро закрылась приливом.

Влияние на движение спутника вокруг планеты

Из-за сохранения углового момента, вращающий момент такой же величины, как и у спутника, и противоположного направления, передается планетой на движение спутника вокруг планеты. Другой эффект, который здесь не рассматривается, - это изменения эксцентриситета и наклона орбиты.

Момент инерции этого движения равен m r. Однако теперь само r зависит от угловой скорости, которую мы обозначаем здесь n: согласно ньютоновскому анализу орбитального движения :

$r\; 3\; n\; 2\; =\; GM\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{3\}\; n\; ^\; \{2\}\; =\; GM\}$

Таким образом, угловой момент орбиты спутника ℓ удовлетворяет (без учета эксцентриситета ):

$\ell \; =\; mr\; 2\; n\; =\; m\; GM\; r\; 1/2\; N\; =\; d\; L\; dt\; =\; 1\; 2\; m\; GM\; r\; -\; 1/2\; drdtdrdt\; =\; 2\; r\; 1/2\; m\; GMN\; =\; 9\; 2\; k\; GM\; m\; A\; 5\; r\; 11/2\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; ell\; =\; mr\; ^\; \{2\}\; n\; =\; m\; \{\backslash \; sqrt\; \{GM\}\}\; \backslash ,\; r\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; N\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dL\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \{\backslash \; sqrt\; \{GM\}\}\; \backslash ,\; r\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \{\backslash \; frac\; \{dr\}\; \{dt\}\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \{\backslash \; frac\; \{dr\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2r\; ^\; \{1\; /\; 2\}\}\; \{m\; \{\backslash \; sqrt\; \{GM\}\}\}\}\; N\; =\; \{\backslash \; frac\; \{9\}\; \{2\}\}\; k\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{G\}\; \{M\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{mA\; ^\; \{5\}\; \}\; \{r\; ^\; \{11/2\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Кроме того, поскольку $n\; =\; GM\; r\; -\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{GM\}\}\; r\; ^\; \{-\; 3/2\}\}$, имеем:

$dndt\; =\; -\; 3\; 2\; GM\; r\; -\; 5/2\; drdt\; =\; -\; 3\; 2\; nrdrdt\; =\; 27\; 4\; k\; G\; m\; A\; 5\; р\; 8\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dn\}\; \{dt\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{GM\}\}\; r\; ^\; \{-\; 5/2\}\; \{\; \backslash \; fr\; ac\; \{dr\}\; \{dt\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dr\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{27\}\; \{4\}\; \}\; kG\; \{\backslash \; frac\; \{m\; A\; ^\; \{5\}\}\; \{r\; ^\; \{8\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Обратите внимание, что если предположить, что все вращения выполнены в одном направлении и Ω>ω, по прошествии времени угловой момент времени уменьшается и, следовательно, орбита спутника увеличивается. Последнее увеличивается из-за его длины расстояния между планетой и спутником, поэтому угловая скорость орбиты спутника уменьшается.

Для системы Земля-Луна dr / dt выдает 1,212 × 10 метров в секунду (или нм / с), или 3,8247 см в год (или также м / с). Это увеличение расстояния Земля-Луна на 1% за 100 миллионов лет. Замедление dn / dt Луны составляет -1,2588 × 10 радиан-сек или -25,858 дюйма / с, а на период 29,5 дней (синодический месяц) эквивалентно увеличению на 38 мс / с, или 7 минут за 1 с. миллионов лет, или 1 день (т.е. удлинение лунного периода на 1 день) через 210 миллионов лет.

Эффект Солнца

Система Солнце-планета имеет два эффекта приливного трения. Эффект в том, что Солнце создает приливное трение на планете, которое уменьшает его вращающий угловой момент и, следовательно, увеличивает его орбитальный угловой момент вокруг Солнца, тем самым увеличивая расстояние и уменьшая его угловую скорость (при условии, что орбитальная угловая скорость Солнца) равна силе противоположны, чем у вращающейся планеты;

Если M S - масса Солнца, а D - расстояние до него, то изменение скорости D задается аналогично приведенному выше расчету:

$d\; D\; dt\; =\; 2\; D\; 1/2\; MGMSNS\; =\; 9\; 2\; k\; GMS\; 3/2\; A\; 5\; MD\; 11/2\; sin\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; tyle\; \{\backslash \; frac\; \{dD\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2D\; ^\; \{1/2\}\}\; \{M\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{GM\_\; \{S\}\}\}\}\}\; N\_\; \{S\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{9\}\; \{2\}\}\; k\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{G\}\}\; \backslash ,\; M\_\; \{S\}\; ^\; \{3/2\}\; \backslash ,\; A\; ^\; \{5\}\}\; \{MD\; ^\; \{11/2\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Орбитальная угловая скорость планеты, Ω S, изменяется как:

$d\; \Omega \; S\; dt\; =\; -\; 3\; 2\; GMSD\; -\; 5/2\; d\; D\; dt\; =\; 27\; 4\; k\; GMS\; 2\; A\; 5\; MD\; 8\; грех\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Omega\; \_\; \{S\}\}\; \{dt\}\; \}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{GM\_\; \{S\}\}\}\; D\; ^\; \{-\; 5/2\}\; \{\backslash \; frac\; \{dD\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{27\}\; \{4\; \}\}\; k\; \{\backslash \; frac\; \{GM\_\; \{S\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; A\; ^\; \{5\}\}\; \{MD\; ^\; \{8\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Для системы Земля-Солнце это дает 1 × 10 метров в секунду, или 3 метра за 1 миллион лет. Это увеличение расстояния между Землей и Солнцем на 1% за полмиллиарда лет. Замедление орбитальной угловой скорости Земли составляет -2 × 10 радиан-сек или -410 × 10 дюймов / с, или, что эквивалентно, в течение 1 года, 1 секунда за 1 миллиард лет.

Другой, относительно незначительный Эффект заключается в том, что планета приливное трение в Солнце. Это приводит к изменению расстояния до Солнца и орбитальной угловой скорости вокруг него, как это происходит для спутника в системе спутник-планета. Используя те же уравнения, но теперь для системы планета-Солнце, где A S означает радиус Солнца (7 × 10 метров), имеем:

$d\; D\; dt\; =\; 9\; 2\; k\; SGMSMAS\; 5\; D\; 11/2\; грех\; \; (2\; \alpha \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dD\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{9\}\; \{2\}\}\; k\_\; \{S\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{G\}\; \{M\_\; \{S\}\}\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{M\; \{A\_\; \{S\}\}\; ^\; \{5\}\}\; \{D\; ^\; \{11/2\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha\; \_\; \{S\})\}$

$d\; \Omega \; S\; dt\; =\; 27\; 4\; к\; SGMAS\; 5\; D\; 8\; грех\; \; (2\; \alpha \; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; Omega\; \_\; \{S\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{27\}\; \{4\}\}\; k\_\; \{S\}\; G\; \{\backslash \; frac\; \{MA\_\; \{S\}\; ^\; \{5\}\}\; \{D\; ^\; \{8\}\}\}\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha\; \_\; \{S\})\}$

где k S - множитель, предположительно очень малый, из -за неоднородность массы узы Солнца. Если предположить, что этот множитель, умноженный на sin (2α S), не больше того, что находится на внешних планетах, то есть 10-10, мы получаем незначительный вклад от этого эффекта.

Подробный расчет для системы Земля-Луна

Потенциал на единицу массы, который создает Луна на Земле, центр которой находится на расстоянии r 0 от Луны по оси z, во вращающейся системе отсчета Земля - ​​Луна и в координатах с центра в центре Земли:

$W\; =\; -\; G\; м\; |\; (г\; \to )\; -\; г\; 0\; z\; ^\; |\; +\; 1\; 2\; \omega \; 2\; |\; г\; \to \; -\; г\; 1\; z\; ^\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{W\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{|\; (\{\backslash \; vec\; \{r\}\})\; -\; r\_\; \{0\}\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\; |\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; |\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\; -\; r\_\; \{1\}\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}$

где $r\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\}$- это расстояние от Луны до центра масс системы Земля-Луна, ω - угловая скорость Земли вокруг этой точки ( такая же, как орбитальная угловая скорость Луны). Второй член - это эффективный потенциал из-за центробежной силы Земли.

Мы расширяем потенциал в ряду Тейлора вокруг точки. Линейный член должен исчезнуть (по крайней мере, в среднем по времени), как в случае силы в Земли не была бы нулевой. Таким образом:

$W\; =\; 1\; 2\; \omega \; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; (z\; -\; r\; 1)\; 2)-\; G\; mx\; 2\; +\; y\; 2\; +\; (z\; -\; r\; 0)\; 2\; =\; constant\; +\; 1\; 2\; \omega \; 2\; (x\; 2\; +\; Y\; 2\; +\; Z\; 2)\; -\; G\; mr\; 0\; 3\; (z\; 2\; -\; 1\; 2\; (x\; 2\; +\; y\; 2))\; +\; G\; mr\; 0\; 5\; (\cdots )\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; cal\; \{\; W\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; (z-r\_\; \{1\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; (z-r\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\backslash \; text\; \{\; константа\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\})\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{r\_\; \{0\; \}\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (z\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{5\}\}\}\; (\backslash \; cdots)\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Переход к сферическим координатам дает:

$W\; =\; constant\; +\; 1\; 2\; \omega \; 2\; r\; 2\; -\; G\; mr\; 2\; r\; 0\; 3\; 1\; 2\; (3\; cos\; 2\; \; (\theta )\; -\; 1)\; +\; G\; mr\; 0\; 5\; (\cdots )\; +\; \cdots \; =\; константа\; +\; 1\; 2\; \omega \; 2\; r\; 2\; -\; G\; m\; \sum \; n\; =\; 2\; \infty \; rnr\; 0\; n\; +\; 1\; P\; п\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; cal\; \{W\}\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gmr\; ^\; \{2\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (3\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; theta)\; -1)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{5\}\}\}\; (\backslash \; cdots)\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; ом\; ega\; ^\; \{2\}\; r\; ^\; \{2\}\; -Gm\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{n\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; P\_\; \{\; n\}\; (\backslash \; соз\; \backslash \; тета)\; \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

где $P\; n\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$являются полиномы Лежандра.

Постоянный член не имеет механического значения, в то время как $r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{2\}\}$вызывает фиксированное расширение и не участвует напрямую в создавая крутящий момент.

Таким образом, мы фокусируемся на других членах, сумму которых мы обозначаем $W\; 2\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{W\}\}\; \_\; \{2+\}\}$, и в основном на $P\; 2\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$член, который является наибольшим, как $rr\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; r\}\; \{r\_\; \{0\}\}\}\}$- это самое большее отношение радиуса Земли к ее расстоянию от Луны, которое составляет менее 2%.

Форма выпуклости I: реакция на пертурбативный потенциал

Мы рассматриваем потенциал, создаваемый Луной, как возмущение гравитационного потенциала Земли. Таким образом, высота на Земле под углами $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$равна:

$r\; (\theta ,\; \phi )\; =\; A\; +\; \delta \; (\theta \; \phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; =\; A\; +\; \backslash \; delta\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\}$

где $\delta \; \ll \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; ll\; A\}$, а амплитуда δ пропорциональна возмущению. Мы разложим δ в полиномы Лежандра, где постоянный член (обозначающий растяжение) будет проигнорирован, поскольку он нас не интересует. Таким образом:

$\delta \; (\theta ,\; \phi )\; знак\; равно\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; \delta \; N\; п\; N\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$

где δ n - неизвестные константы, которые мы хотели бы найти.

Мы предполагаем на данный момент полное равновесие, а также отсутствие жесткости на Земле (например, как в жидкой Земле). Следовательно, его поверхность эквипотенциальная, и поэтому $VE\; (r\; (\theta ,\; \phi ))\; +\; W\; 2\; +\; (r\; (\theta ,\; \phi ))\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{E\}\; \backslash \; left\; (r\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; \backslash \; right)\; +\; W\_\; \{2\; +\}\; \backslash \; left\; (r\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; \backslash \; right)\}$константа, где $VE\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{E\}\; (r)\}$- потенциал Земли на единицу массы. Поскольку δ пропорционально $W\; 2\; +\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{2+\}\}$, что намного меньше, чем V E, это можно расширить по δ. Отбросив нелинейные члены, получим:

$constant\; =\; VE\; (r\; (\theta ,\; \phi ))\; +\; W\; 2\; +\; (r\; (\theta ,\; \phi ))\; \approx \; VE\; (A)\; +\; VE\; \prime \; (A)\; \delta \; (\theta ,\; \phi ))\; +\; W\; 2\; +\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\; =\; V\_\; \{E\}\; \backslash \; left\; (r\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; cal\; \{W\}\}\; \_\; \{2+\}\; (г\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi))\; \backslash \; приблизительно\; V\_\; \{E\}\; (A)\; +\; V\_\; \{E\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (A)\; \backslash \; delta\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; varphi)\; +\; \{\backslash \; cal\; \{W\}\}\; \_\; \{2\; +\}\; (A)\}$

$константа\; =\; VE\; \prime \; (A)\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; \delta \; n\; P\; n\; (cos\; \; \theta )\; -\; G\; m\; \sum \; n\; =\; 2\; \infty \; A\; nr\; 0\; n\; +\; 1\; P\; n\; (cos\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\; =\; V\_\; \{E\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (A)\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; -Gm\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{n\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$

Обратите внимание, что $VE\; \prime \; (r)\; \equiv \; d\; VE\; (r)\; /\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{E\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (r)\; \backslash \; Equiv\; dV\_\; \{E\}\; (r)\; /\; dr\}$- сила гравитации Земли на единицу массы, т.е. $VE\; \prime \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{E\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (A)\}$равно просто ускорение свободного падения g.

Поскольку полиномы Лежандра ортогональны, мы можем приравнять их коэффициенты по обеим сторонам уравнения, давая:

$\delta \; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; =\; 0\}$

$\delta \; n\; =\; G\; m\; A\; n\; /\; r\; 0\; n\; +\; 1\; VE\; \prime \; (A)\; =\; G\; m\; A\; n\; /\; r\; 0\; n\; +\; 1\; GM\; /\; A\; 2\; =\; m\; A\; n\; +\; 2\; M\; r\; 0\; n\; +\; 1\; п\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GmA\; ^\; \{n\}\; /\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{V\_\; \{E\}\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (A)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GmA\; ^\; \{n\}\; /\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{GM\; /\; A\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{mA\; ^\; \{n\; +\; 2\}\}\; \{Mr\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\},\; \backslash \; qquad\; n\; \backslash \; geq\; 2\}$

Таким образом, высота - это отношение между потенциалом возмущения и силой, исходящей от возмущенного потенциала.

Форма выпуклости II: деформация, создающая пертурбативный потенциал

До сих пор мы пренебрегали тем фактом, что сама деформация создает пертурбативный потенциал. Чтобы учесть это, мы можем вычислить этот пертурбативный потенциал, повторно вычислить деформацию и продолжить итеративно.

Предположим, что плотность массы однородна. Поскольку δ намного меньше, чем A, деформацию можно рассматривать как тонкую оболочку, добавленную к массе Земли, где оболочка имеет поверхностную плотность массы ρ δ (а также может быть отрицательной), где ρ - плотность массы ( если плотность массы неоднородна, то изменение формы планеты создает различия в распределении массы по всей глубине, и это также необходимо учитывать). Поскольку гравитационный потенциал имеет ту же форму, что и электрический потенциал, это простая проблема в электростатике. Для аналогичной электростатической задачи потенциал, создаваемый оболочкой, имеет вид:

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; anrn\; P\; n\; (cos\; \; \theta ),\; r\; \le \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; r\; ^\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta),\; \backslash \; qquad\; r\; \backslash \; leq\; A\}$

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; an\; A\; 2\; n\; +\; 1\; rn\; +\; 1\; P\; n\; (cos\; \; \theta ),\; р\; \ge \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta),\; \backslash \; qquad\; r\; \backslash \; geq\; A\}$

где поверхностная плотность заряда пропорциональна скачку градиента потенциала:

$\sigma \; (\theta )\; =\; \epsilon \; 0\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (2\; N\; +\; 1)\; an\; A\; N\; -\; 1\; п\; N\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; theta)\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\; 2n\; +\; 1)\; a\_\; \{n\}\; A\; ^\; \{n-1\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$

$\epsilon \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}$- это диэлектрическая проницаемость вакуума, константа, относящаяся к электростатике, связанная с уравнением $U\; (r)\; =\; 1\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0\; q\; 2\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (r)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{q\; ^\; \{2\}\}\; \{r\}\}\}$. Аналогичное уравнение гравитации имеет вид $U\; (r)\; =\; G\; m\; 2\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (r)\; =\; G\; \{\backslash \; frac\; \{m\; ^\; \{2\}\}\; \{r\}\}\}$, поэтому если плотность заряда заменяется на массовую, $\epsilon \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}$следует заменить на $1\; 4\; \pi \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; G\}\}\}$.

Таким образом, в задаче гравитации мы имеем:

$\rho \; \sum \; n\; \delta \; n\; P\; n\; (cos\; \; \theta )\; =\; 1\; 4\; \pi \; G\; \sum \; n\; (2\; n\; +\; 1)\; an\; A\; n\; -\; 1\; п\; N\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; G\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; (2n\; +\; 1)\; a\_\; \{n\}\; A\; ^\; \{n-1\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$

Итак, опять же из-за ортогональности многочленов Лежандра:

$ан\; =\; 4\; \pi \; г\; \rho \; (2\; n\; +\; 1)\; A\; n\; -\; 1\; \delta \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; =\; 4\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{G\; \backslash \; rho\}\; \{(2n\; +\; 1)\; A\; ^\; \{n-1\; \}\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\}$

Таким образом, пертурбативный потенциал на единицу массы для $r\; \ge \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; geq\; A\}$равен:

$4\; \pi \; G\; \rho \; A\; n\; +\; 2\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1\; (2\; n\; +\; 1)\; rn\; +\; 1\; \delta \; n\; P\; n\; (cos\; \; \theta )\; =\; 3\; GMA\; 2\; \sum \; n\; A\; n\; +\; 1\; (2\; n\; +\; 1)\; rn\; +\; 1\; \delta \; n\; P\; N\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{ali\; gned\}\; 4\; \backslash \; pi\; G\; \backslash \; rho\; A\; ^\; \{n\; +\; 2\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2n\; +\; 1)\; r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\}\; 3\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{A\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{(2n\; +\; 1)\; r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что, поскольку На самом деле плотность массы Земли неоднородна, этот результат необходимо умножить на коэффициент, который примерно равен отношению плотности массы выпуклости к средней массе Земли, примерно 0,18. Фактический коэффициент несколько больше, поскольку есть некоторая деформация и в более глубоких твердых слоях Земли. Обозначим этот множитель через x. Жесткость также снижает x, хотя это менее актуально для большей части выступа, сделанного из морской воды.

Деформация была создана пертурбативным потенциалом размером $W\; 2\; +\; (A)\; =\; GMA\; 2\; \delta \; n\; P\; n\; (cos\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{W\}\}\; \_\; \{\; 2\; +\}\; (A)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{GM\}\; \{A\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$. Таким образом, для каждого коэффициента $P\; n\; (cos\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$, отношение исходного пертурбативного потенциала к вторичному создаваемому деформацией имеет вид:

$cn\; \equiv \; 3\; x\; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{3x\}\; \{2n\; +\; 1\}\}\}$

с x = 1 для идеально нежесткой однородной планеты.

Этот вторичный пертурбативный потенциал создает другую деформацию, которая снова создает пертурбативный потенциал и так далее до бесконечности, так что общая деформация имеет размер:

$\sum \; n\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; cnkhn\; P\; n\; (cos\; \; \theta )\; знак\; равно\; \sum \; N\; 1\; 1\; -\; сп\; \delta \; N\; п\; N\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{n\}\; ^\; \{k\}\; h\_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-c\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$

Для каждой моды отношение к δ n, наивная оценка деформации, составляет $1\; 1\; -\; cn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-c\_\; \{\; n\}\}\}\}$и обозначается как Число любви $hn\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{n\}\}$. Для идеально нежесткой однородной планеты (например, жидкой Земли из несжимаемой жидкости) это равно $2\; n\; +\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2n\; +\; 1\}\; \{2\}\}\}$, а для основного режима n = 2 - 5/2.

Аналогично, n-я мода приливного пертурбативного потенциала на единицу массы, создаваемого Землей при r = A, равна числу Лява kn, умноженному на соответствующий член в исходном лунном приливном пертурбативном потенциале, где для равномерной плотности массы планета с нулевой жесткостью k n равна:

$kn\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; cnk\; =\; cn\; 1\; -\; cn\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{n\}\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{n\}\}\; \{1-c\_\; \{n\}\}\}\}$

Для идеально нежесткой однородной планеты (например, жидкой Земля из несжимаемой жидкости), это равно 3/2. Фактически, для основного режима n 2 реальное значение для Земли составляет одну пятую от него, а именно k 2 = 0,3 (что соответствует c 2 = 0,23 или x = 0,38, примерно вдвое превышающее коэффициент плотности 0,18).

Расчет крутящего момента

Вместо расчета крутящего момента, действующего Луной на деформацию Земли, мы вычисляем обратный крутящий момент, создаваемый деформацией Земли на Луне; оба должны быть равны.

Потенциал, создаваемый выпуклостью Земли, является пертурбативным потенциалом, который мы обсуждали выше. На единицу массы для r = A это то же самое, что лунный пертурбативный потенциал, создающий выпуклость, с каждой модой, умноженной на k n, причем мода n = 2 значительно доминирует над потенциалом. Таким образом, при r = A пертурбативный потенциал выпуклости на единицу массы равен:

$U\; (r\; =\; A,\; \theta )\; =\; -\; G\; m\; \sum \; n\; =\; 2\; \infty \; kn\; A\; nr\; 0\; n\; +\; 1\; P\; n\; (cos\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{\{U\}\; (r\; =\; A,\; \backslash \; theta)\}\}\; =\; -\; Gm\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; k\_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{n\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$

поскольку в n-режиме он падает как r для r>A, у нас за пределами Земли:

$U\; (р,\; \theta )\; знак\; равно\; -\; г\; м\; \sum \; N\; знак\; равно\; 2\; \infty \; кн\; A\; nr\; 0\; n\; +\; 1\; A\; n\; +\; 1\; rn\; +\; 1\; п\; n\; (соз\; \; \theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{\{U\}\; (r,\; \backslash \; theta)\}\}\; =\; -\; Gm\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; k\_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{n\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; A\; ^\; \{n\}\; +1\}\; \{r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; theta)\}$

Однако на самом деле выпуклость отстает на угол α относительно направления на Луну. из-за вращения Земли. Таким образом, мы имеем:

$U\; =\; -\; G\; m\; \sum \; N\; =\; 2\; \infty \; kn\; A\; 2\; n\; +\; 1\; r\; 0\; n\; +\; 1\; rn\; +\; 1\; P\; n\; (cos\; \; (\theta \; -\; \alpha ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{U\; \}\}\; =\; -\; Gm\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; k\_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; (\backslash \; theta\; -\; \backslash \; alpha))\}$

Луна находится в точке r = r 0, θ = 0. Таким образом, потенциал единицы массы в точке Луна есть:

$U\; (r\; =\; r\; 0,\; \theta \; =\; 0)\; =\; -\; G\; m\; \sum \; n\; =\; 2\; \infty \; kn\; A\; 2\; n\; +\; 1\; r\; 0\; 2\; n\; +\; 2\; P\; n\; (cos\; \; (\alpha )\; \approx \; -\; G\; mk\; 2\; A\; 5\; р\; 0\; 6\; п\; 2\; (соз\; \; \alpha )\; =\; -\; G\; mk\; 2\; A\; 5\; r\; 0\; 6\; \cdot \; 1\; 2\; (3\; соз\; 2\; \; \alpha \; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; cal\; \{U\; \}\}\; (r\; =\; r\_\; \{0\},\; \backslash \; theta\; =\; 0)\; =\; -\; Gm\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; k\_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{r\_\; \{\; 0\}\; ^\; \{2n\; +\; 2\}\}\}\; P\_\; \{n\}\; (\backslash \; cos\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; приблизительно\; -Gmk\_\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{5\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{6\}\}\}\; P\_\; \{2\}\; (\backslash \; cos\; \backslash \; alpha)\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\}\; -\; Gmk\_\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{5\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{6\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; (3\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; alpha\; -1)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Пренебрегая эксцентриситетом и осевым наклоном, Мы получаем крутящий момент, создаваемый выпуклостью на Луне, умножая: $U\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cal\; \{U\}\}\}$с массой Луны m и дифференцируя по res привязать к θ в местоположении Луны. Это эквивалентно дифференцированию $m\; U\; (r\; =\; r\; 0,\; \theta \; =\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \{\backslash \; cal\; \{\{U\}\; (r\; =\; r\_\; \{0\},\; \backslash \; theta\; =\; 0)\}\}\}$относительно α, и дает:

$N\; =\; md\; U\; (r\; =\; r\; 0,\; \theta \; =\; 0)\; d\; \alpha \; =\; 3\; 2\; G\; m\; 2\; k\; 2\; A\; 5\; r\; 0\; 6\; \cdot \; sin\; \; (2\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; m\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; cal\; \{U\}\}\; (r\; =\; r\_\; \{0\},\; \backslash \; theta\; =\; 0)\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; Gm\; ^\; \{2\}\; k\_\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{A\; ^\; \{5\}\}\; \{r\_\; \{0\}\; ^\; \{6\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sin\; (2\; \backslash \; alpha)\}$

Это та же формула, которая использовалась в выше, где r = r 0 и k здесь определено как 2k 2 / 3.

См. Также

• Приливная блокировка
• Приливная сила
• Приливы
• Приливное нагревание

Литература

Внешние ссылки

• Отклонение Луны и возраст системы Земля-Луна
• Приливное нагревание, как описано профессором Вашингтонского университета Тоби Смитом