Константа Пруэ – Туэ – Морса

В математике, константа Пруэ – Туэ – Морса, названная в честь, Аксель Туэ и Марстон Морс, это число, обозначаемое $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$, чье двоичное расширение.01101001100101101001011001101001... дается Последовательность Туэ – Морса. То есть

$\tau \; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; ti\; 2\; i\; +\; 1\; =\; 0,412454033640\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\_\; \{i\}\}\; \{\; 2\; ^\; \{i\; +\; 1\}\}\}\; =\; 0,412454033640\; \backslash \; ldots\}$

где $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$- это элемент i последовательности Пруэ – Туэ – Морса.

Производящий ряд для $ti\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\}$задается как

$\tau \; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; tixi\; Знак\; равно\; 1\; 1\; -\; Икс\; -\; 2\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; \infty \; tixi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{t\_\; \{i\}\}\; \backslash ,\; x\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-x\}\}\; -\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\_\; \{i\}\; \backslash ,\; x\; ^\; \{i\}\}$

и может быть выражено как

$\tau \; (x)\; =\; \prod \; n\; =\; 0\; \infty \; (1\; -\; x\; 2\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; (x)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (1-x\; ^\; \{2\; ^\; \{n\}\}).\}$

Это произведение полиномов Фробениуса, и, таким образом, обобщается на произвольные поля.

Константа Пруэ-Туэ-Морса была трансцендентной, как показал Курт Малер в 1929 году.

• 1 См. Также
• 2 Примечания
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

• Константа Эйлера-Маскерони
• Слово Фибоначчи
• Последовательность Голея – Рудина – Шапиро
• Константа Коморника – Лорети

1. ^Малер, Курт (1929). "Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen". Математика. Аннален. 101 : 342–366. DOI : 10.1007 / bf01454845. JFM 55.0115.01.

• Allouche, Jean-Paul; Шаллит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015..
• Питеас Фогг, Н. (2002). Берте, Валери ; Ференци, Себастьен; Mauduit, Christian; Сигель, Энн (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике. Конспект лекций по математике. 1794 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015.

• OEISпоследовательность A010060 (последовательность Туэ-Морса)
• Вездесущая последовательность Пруэ-Туэ-Морса, Джон -Полл Аллуш и Джеффри Шаллит (без даты, 2004 г. или ранее) предоставляют множество приложений и некоторую историю
• запись в PlanetMath

.