Неоправданная эффективность математики в естественных науках

редактировать
Статья 1960 года физика-теоретика, лауреата Нобелевской премии Юджина Вигнера

"Неоправданная эффективность математики в естественных науках "- так называется название статьи опубликовано в 1960 г. физиком Юджином Вигнером. В статье Вигнер заметил, что математическая структура физической теории часто указывает на путь к дальнейшему развитию этой теории и даже к эмпирическому предсказанию с.

Содержание

  • 1 Чудо математики в естественных науках
  • 2 Глубокая связь между наукой и математикой
  • 3 Ответы на оригинальную статью Вигнера
    • 3.1 Ричард Хэмминг
    • 3.2 Макс Тегмарк
    • 3.3 Айвор Граттан-Гиннесс
  • 4 Связанные цитаты
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Дополнительная литература

Чудо математики в естественных науках

Вигнер начинает свою статью с верой, распространенной среди тех, кто знаком с математикой, что математические концепции применимы далеко за пределами того контекста, в котором они были первоначально разработаны. Основываясь на своем опыте, он говорит, что «важно отметить, что математическая формулировка зачастую грубого опыта физиков приводит в невероятном количестве случаев к удивительно точному описанию большого класса явлений». Затем он приводит в качестве примера фундаментальный закон всемирного тяготения. Первоначально используемый для моделирования свободно падающих тел на поверхность Земли, этот закон был расширен на основе того, что Вигнер назвал «очень скудными наблюдениями», для описания движения планет, где он «оказался точным, превзошедшим все разумные ожидания».

Другой часто цитируемый пример - уравнения Максвелла, полученные для моделирования элементарных электрических и магнитных явлений, известных в середине 19 века. Эти уравнения также описывают радиоволны, открытые Дэвидом Эдвардом Хьюзом в 1879 году, примерно во время смерти Джеймса Клерка Максвелла. Вигнер резюмирует свои аргументы, говоря, что «огромная полезность математики в естественных науках - это нечто, граничащее с загадочным, и этому нет никакого рационального объяснения». Он завершает свою статью тем же вопросом, с которого начал:

Чудо соответствия языка математики формулировке законов физики - чудесный дар, которого мы не понимаем и не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за это и надеяться, что он останется актуальным в будущих исследованиях и что он будет распространяться, к лучшему или к худшему, к нашему удовольствию, даже если, возможно, также к нашему недоумению, к широким областям знаний.

глубокая связь между наукой и математикой

Работа Вигнера позволила по-новому взглянуть как на физику, так и на философию математики, и довольно часто цитировалась в академической литературе по философии математики. физика и математика. Вигнер рассуждал о взаимосвязи между философией науки и основаниями математики следующим образом:

Трудно избежать впечатления, что здесь перед нами предстает чудо, вполне сопоставимое в его поразительная природа к чуду, что человеческий разум может связать тысячи аргументов вместе, не входя в противоречие, или к двум чудесам законов природы и способности человеческого разума предугадывать их.

Позже, Хилари Патнэм (1975) объяснил эти «два чуда» как необходимые следствия реалистического (но не платонического) взгляда на философию математики. Однако в отрывке, обсуждающем когнитивную предвзятость Вигнер, осторожно обозначенную как «ненадежный», он пошел дальше:

Автор убежден, что в эпистемологических дискуссиях полезно отказаться от идеализации, согласно которой уровень человеческого интеллекта занимает исключительную позицию по абсолютной шкале. В некоторых случаях может быть даже полезно рассмотреть достижение, которое возможно на уровне интеллекта некоторых других видов.

Можно ли считать, что люди, проверяющие результаты людей, объективной основой для наблюдения известных (людям)) Вселенная - интересный вопрос, который продолжался как в космологии, так и в философии математики.

Вигнер также изложил проблему когнитивного подхода к интеграции наук:

Более сложная и запутанная ситуация возникла бы, если бы мы когда-нибудь смогли создать теорию феноменов сознания или биологии, которая была бы столь же последовательной и убедительной, как наши нынешние теории неодушевленного мира.

Далее он предположил, что Можно было найти аргументы, которые могли бы

серьезно подорвать нашу веру в наши теории и нашу веру в реальность концепций, которые мы формируем. Это вызвало бы у нас чувство глубокого разочарования в поисках того, что я назвал «истиной в последней инстанции». Причина, по которой такая ситуация возможна, заключается в том, что, по сути, мы не знаем, почему наши теории так хорошо работают. Следовательно, их точность не может служить доказательством их истинности и последовательности. В самом деле, автор считает, что что-то похожее на ситуацию, описанную выше, существует, если противостоять нынешним законам наследственности и физики.

Ответы на оригинальную статью Вигнера

Оригинальная статья Вигнера спровоцировала и вызвал множество откликов в самых разных дисциплинах. К ним относятся Ричард Хэмминг по информатике, Артур Леск по молекулярной биологии, Питер Норвиг по интеллектуальному анализу данных, Макс Тегмарк по физике, Айвор Граттан-Гиннесс по математике и Вела Велупиллай по экономике.

Ричард Хэмминг

Ричард Хэмминг, прикладной математик и основатель информатики, размышлял о необоснованной эффективности Вигнера и расширял ее в 1980 году, обдумывая четыре «частичных объяснения» этого. Хэмминг пришел к выводу, что четыре приведенных им объяснения неудовлетворительны. Это были:

1. Люди видят то, что ищут. Убеждение, что наука обоснована экспериментально, верно лишь отчасти. Скорее, наш интеллектуальный аппарат таков, что многое из того, что мы видим, исходит из очков, которые мы надеваем. Эддингтон дошел до того, что заявил, что достаточно мудрый ум может вывести всю физику, проиллюстрировав свою точку зрения следующей шуткой: «Некоторые люди пошли ловить рыбу в море с сетью и, изучив то, что они поймали, они пришли к выводу, что рыба в море имеет минимальный размер ".

Хэмминг приводит четыре примера нетривиальных физических явлений, которые, по его мнению, возникли из использованных математических инструментов, а не из внутренних свойств физической реальности.

  • Хэмминг предполагает, что Галилей открыл закон падающих тел не экспериментируя, а просто, хотя и осторожно размышляя. Хэмминг воображает, что Галилей участвует в следующем мысленном эксперименте (эксперимент, который Хэмминг называет «схоластическим рассуждением», описан в книге Галилея «О движении»):

Предположим, что падающее тело раскололось надвое. шт. Конечно, две части сразу же замедлялись бы до своей соответствующей скорости. Но предположим далее, что один кусок коснулся другого. Будут ли они теперь единым целым и ускоряться вместе? Предположим, я связываю две части вместе. Насколько плотно я должен это сделать, чтобы они стали единым целым? Легкая струна? Веревка? Клей? Когда две части - одно?

Падающее тело просто не может «ответить» на такие гипотетические «вопросы». Следовательно, Галилей заключил бы, что «падающим телам не нужно ничего знать, если все они падают с одинаковой скоростью, если только им не мешает другая сила». Придумав этот аргумент, Хэмминг нашел соответствующее обсуждение в Pólya (1963: 83-85). Отчет Хэмминга не отражает осведомленности ученых 20 века о том, что именно сделал Галилей.

2. Люди создают и выбирают математику, соответствующую ситуации. Под рукой математика не всегда работает. Например, когда простые скаляры оказались неудобными для понимания сил, были изобретены сначала векторы, а затем тензоры.

3. Математика затрагивает только часть человеческого опыта. Большая часть человеческого опыта относится не к науке или математике, а к философии ценностей, включая этику, эстетику и политическую философию. Утверждать, что мир можно объяснить с помощью математики, равносильно действию веры.

4. Эволюция научила людей мыслить математически. Самые ранние формы жизни должны были содержать семена человеческой способности создавать и следовать длинным цепочкам близких рассуждений.

Макс Тегмарк

Другой ответ, выдвинутый физиком Максом Тегмарком, заключается в том, что физика так успешно описывается математикой, потому что физический мир полностью математичен, изоморфной математической структуре, и мы просто постепенно раскрываем ее. Такое же толкование было выдвинуто несколькими годами ранее Питером Аткинсом. В этой интерпретации различные приближения, составляющие наши текущие теории физики, успешны, потому что простые математические структуры могут обеспечить хорошие приближения некоторых аспектов более сложных математических структур. Другими словами, наши успешные теории - это не математика, приближающая физику, а математика, приближающуюся к математике. Большинство предложений Тегмарка являются в высшей степени умозрительными, а некоторые из них даже далеко выходят за рамки строгих научных стандартов, и они поднимают один основной вопрос: можно ли точно понять понятие изоморфизма (вместо того, чтобы размахивать руками «соответствие») между вселенной - конкретным миром «материи» и событий - с одной стороны, и математическими структурами, как они понимаются математиками в рамках математики? Если - или оптимистично, пока - это не будет достигнуто, часто звучащее утверждение о том, что «мир / вселенная является математическим», может быть не чем иным, как категориальной ошибкой.

Айвор Граттан-Гиннесс

Айвор Граттан-Гиннесс находит рассматриваемую эффективность в высшей степени разумной и объяснимой в терминах таких понятий, как аналогия, обобщение и метафора.

Связанные цитаты

[W] ir auch, gleich als ob es ein glücklicher unsre Absicht Beginner Zufall wäre, erfreuet (eigentlich eines Bedürfnisses entledigt) werden, wenn wir eine solche systematische Einheit unter bloß empirischen Gesetzen antreffen. [Мы радуемся (на самом деле мы избавлены от нужды), когда, как если бы это был счастливый случай, благоприятствующий нашей цели, мы действительно находим такое систематическое единство среди простых эмпирических законов.]

Иммануил Кант

Самое непонятное главное во вселенной - то, что она постижима.

— Альберт Эйнштейн

Как может быть, что математика, будучи в конце концов продуктом человеческой мысли, независимой от опыта, настолько превосходно подходит для объектов реальности? [...] На мой взгляд, ответ на этот вопрос вкратце таков: насколько законы математики относятся к реальности, они не точны; и насколько они уверены, они не относятся к реальности.

— Альберт Эйнштейн

Физика математична не потому, что мы знаем так много о физическом мире, а потому, что мы знаем так мало; мы можем обнаружить только ее математические свойства.

Бертран Рассел

Есть только одна вещь, которая более неразумна, чем неразумная эффективность математики в физике, и это необоснованная неэффективность математики в биологии.

Израиль Гельфанд

Науки достигают точки, когда они становятся математизированными... центральные вопросы в этой области становятся достаточно понятными, чтобы их можно было рассматривать математически... [к началу 1990-х] биология больше не была наукой о вещах, которые пахнут забавно в холодильниках (мой взгляд со времен бакалавриата в 1960-х). Эта область претерпевала революцию и быстро приобретала глубину и силу, ранее ассоциируемую исключительно с физическими науками. Биология теперь была изучением информации, хранящейся в ДНК - цепочек из четырех букв: A, T, G и C... и преобразований, которым информация претерпевает в клетке. Здесь была математика!

Леонард Адлеман, теоретик-компьютерщик, пионер в области ДНК-вычислений

Мы должны перестать вести себя так, как будто наша цель - создать чрезвычайно элегантные теории, и вместо этого принять сложность и воспользуемся лучшим союзником, который у нас есть: необоснованной эффективностью данных.

Питер Норвиг

См. также

Ссылки

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-06-11 06:05:53
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте