Таблица термодинамических уравнений

Эта статья представляет собой сводку общих уравнений и величин в термодинамика (подробнее см. уравнения термодинамики ). Единицы СИ используются для абсолютной температуры, а не для Цельсия или Фаренгейта.

• 1 Определения
  • 1.1 Общие основные величины
  • 1.2 Общие производные величины
  • 1.3 Тепловые свойства вещества
  • 1.4 Теплоперенос
• 2 Уравнения
  • 2.1 Термодинамические процессы
  • 2.2 Кинетическая теория
    • 2.2.1 Идеальный газ
  • 2.3 Энтропия
  • 2.4 Статистическая физика
  • 2.5 Квазистатические и обратимые процессы
  • 2.6 Термодинамические потенциалы
  • 2.7 Соотношения Максвелла
  • 2.8 Квант свойства
• 3 Тепловые свойства вещества
  • 3.1 Теплопередача
  • 3.2 Тепловая эффективность
• 4 См. также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Многие из определения, приведенные ниже, также используются в термодинамике химических реакций.

Общие основные величины

Количество (Общее название)	(Общее) Символ / s	SI Единицы	Размерность
Количество молекул	N	безразмерная	безразмерная
Количество моль	n	моль	[Н]
Температура	T	K	[Θ]
Тепловая энергия	Q, q	J	[M] [L] [T]
Скрытая теплота	QL	J	[M] [L] [T]

Общие производные величины

Количество (общепринятое название)	(Общее) Символ / с	Определение Уравнение	Единицы СИ	Размерность
Термодинамическая бета, обратная температура	β	$\beta \; =\; 1\; /\; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 1\; /\; k\_\; \{B\}\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	J	[T] [M] [L]
Термодинамическая температура	τ	$\tau \; =\; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; k\_\; \{B\}\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$ $\tau \; =\; k\; В\; (\partial \; U\; /\; \partial \; S)\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; k\_\; \{B\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; U\; /\; \backslash \; partial\; S\; \backslash \; right)\; \_\; \{N\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$$1\; /\; \tau \; =\; 1\; /\; К\; В\; (\partial \; S\; /\; \partial \; U)\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \backslash \; tau\; =\; 1\; /\; k\_\; \{B\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; S\; /\; \backslash \; partial\; U\; \backslash \; right)\; \_\; \{N\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$	J	[ M] [L] [T]
Энтропия	S	$S\; =\; -\; k\; B\; \sum \; ipi\; ln\; \; pi\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -k\_\; \{B\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; p\_\; \{i\}\; \backslash \; ln\; p\_\; \{i\; \}\}$ $S\; =\; -\; (\partial \; F\; /\; \partial \; T)\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; F\; /\; \backslash \; partial\; T\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$, $S\; =\; -\; (\partial \; G\; /\; \partial \; T)\; N,\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; G\; /\; \backslash \; partial\; T\; \backslash \; right)\; \_\; \{N,\; P\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$	JK	[M] [L] [T] [Θ]
Давление	P	$P\; =\; -\; (\partial \; F\; /\; \partial \; V)\; T,\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; F\; /\; \backslash \; partial\; V\; \backslash \; right)\; \_\; \{T,\; N\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$ $P\; =\; -\; (\partial \; U\; /\; \partial \; V)\; S,\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; U\; /\; \backslash \; partial\; V\; \backslash \; right)\; \_\; \{S,\; N\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Па	M LT
Внутренняя энергия	U	$U\; =\; \sum \; я\; E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; E\_\; \{\; i\}\; \backslash !\}$	J	[M] [L] [T]
Энтальпия	H	$H\; =\; U\; +\; p\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; U\; +\; pV\; \backslash ,\; \backslash !\}$	J	[M] [ L] [T]
Функция разделения	Z		безразмерная	безразмерная
свободная энергия Гиббса	G	$G\; =\; H\; -\; TS\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; H-TS\; \backslash ,\; \backslash !\}$	J	[M] [L] [T]
Химический потенциал ( компонента i в смеси)	μi	$\mu \; i\; =\; (\partial \; U\; /\; \partial \; N\; i)\; N\; j\; \ne \; i,\; S,\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; U\; /\; \backslash \; partial\; N\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{N\_\; \{j\; \backslash \; neq\; i\},\; S,\; V\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$ $\mu \; я\; знак\; равно\; (\partial \; F\; /\; \partial \; N\; я)\; T,\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; F\; /\; \backslash \; partial\; N\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T,\; V\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$, где F не пропорционально N, поскольку μ i зависит от давления. $\mu \; я\; знак\; равно\; (\partial \; G\; /\; \partial \; N\; я)\; T,\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; G\; /\; \backslash \; partial\; N\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T,\; P\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$, где G пропорционален N (до тех пор, пока молярный состав системы остается неизменным), поскольку μ i зависит только от температуры, давления и состава. $\mu \; я\; /\; \tau \; знак\; равно\; -\; 1\; /\; К\; В\; (\partial \; S\; /\; \partial \; N\; я)\; U,\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; /\; \backslash \; tau\; =\; -1\; /\; k\_\; \{B\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; partial\; S\; /\; \backslash \; partial\; N\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{U,\; V\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$	J	[M] [L] [T]
свободная энергия Гельмгольца	A, F	$F\; =\; U\; -\; TS\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; U-TS\; \backslash ,\; \backslash !\}$	J	[M] [L] [T]
потенциал Ландау, свободная энергия Ландау, большой потенциал	Ом, Φ G	$\Omega \; =\; U\; -\; TS\; -\; \mu \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; U-TS-\; \backslash \; mu\; N\; \backslash ,\; \backslash !\}$	J	[M] [L] [T]
потенциал Массьё, Гельмгольц свободная энтропия	Φ	$\Phi \; =\; S\; -\; U\; /\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; SU\; /\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	JK	[M] [L] [T] [Θ ]
Планковский потенциал, Гиббс свободная энтропия	Ξ	$\Xi \; =\; \Phi \; -\; p\; V\; /\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Xi\; =\; \backslash \; Phi\; -pV\; /\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	JK	[M] [L] [T] [Θ]

Тепловые свойства вещества

Количество (общепринятое название)	(Общее) символ / с	Определяющее уравнение	единицы СИ	Размер
Общая тепло / теплоемкость	C	$C\; =\; \partial \; Q\; /\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \backslash \; partial\; Q\; /\; \backslash \; partial\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	JK	[M] [L] [T] [Θ]
Теплоемкость (изобарическая)	Cp	$C\; p\; =\; \partial \; H\; /\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; partial\; H\; /\; \backslash \; partial\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	JK	[M] [L] [T] [Θ]
Удельная теплоемкость ( изобарический)	Cmp	$C\; mp\; =\; \partial \; 2\; Q\; /\; \partial \; m\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{mp\}\; =\; \backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; Q\; /\; \backslash \; partial\; m\; \backslash \; partial\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Дж кг К	[L] [T] [Θ]
Молярная удельная теплоемкость (изобарическая)	Cnp	$C\; np\; =\; \partial \; 2\; Q\; /\; \partial \; n\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{np\}\; =\; \backslash \; partial\; ^\; \{\; 2\}\; Q\; /\; \backslash \; partial\; n\; \backslash \; partial\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	ДжК моль	[M] [L] [T] [Θ] [N]
Теплоемкость (изохорная / объемная)	CV	$CV\; =\; \partial \; U\; /\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{V\}\; =\; \backslash \; partial\; U\; /\; \backslash \; partial\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	JK	[M] [L] [T] [Θ]
Удельная теплоемкость (изохорная)	CmV	$C\; m\; V\; =\; \partial \; 2\; Q\; /\; \partial \; m\; \partial \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{mV\}\; =\; \backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; Q\; /\; \backslash \; partial\; m\; \backslash \; partial\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Дж кг K	[L] [T] [Θ]
Молярная удельная теплоемкость (изохорная)	CnV	$C\; n\; V\; =\; \partial \; 2\; Q\; /\; \partial \; n\; \partial \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\_\; \{nV\}\; =\; \backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; Q\; /\; \backslash \; partial\; n\; \backslash \; partial\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	JK mol	[M] [L] [T] [Θ] [N]
Удельная скрытая теплота	L	$L\; =\; \partial \; Q\; /\; \partial \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; partial\; Q\; /\; \backslash \; partial\; m\; \backslash ,\; \backslash !\}$	Дж кг	[л] [T]
Отношение изобарной теплоемкости к изохорной, отношение теплоемкости, показатель адиабаты	γ	$\gamma \; =\; C\; p\; /\; CV\; =\; cp\; /\; c\; V\; =\; C\; mp\; /\; C\; m\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; C\_\; \{p\}\; /\; C\_\; \{V\}\; =\; c\_\; \{p\}\; /\; c\_\; \{V\}\; =\; C\_\; \{mp\}\; /\; C\_\; \{mV\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$	безразмерный	безразмерный

Теплопередача

Количество (общепринятое имя)	(Общее) символ / с	Определяющее уравнение	SI единицы	Размер
Температурный градиент	Нет стандартного символа	$\nabla \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$	K · m	[Θ] [ L]
Коэффициент теплопроводности, тепловой ток, тепловой / тепловой поток, передача тепловой энергии	P	$P\; =\; d\; Q\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; Q\; /\; \backslash \; mathrm\; \{\; d\}\; t\; \backslash ,\; \backslash !\}$	W = J s	[M] [L] [T]
Тепловая интенсивность	I	$I\; =\; d\; P\; /\; d\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; P\; /\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; A\}$	Вт м	[M] [T]
Плотность теплового / теплового потока (векторный аналог тепловой интенсивности выше)	q	$Q\; знак\; равно\; \iint \; Q\; \cdot \; d\; S\; dt\; \{\backslash \; Displaystyle\; Q\; =\; \backslash \; iint\; \backslash \; mathbf\; \{q\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mat\; hbf\; \{S\}\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; \backslash ,\; \backslash !\}$	W m	[M] [T]

Уравнения в этой статье классифицируются по предмет.

Термодинамические процессы

Физическая ситуация	Уравнения
Изэнтропический процесс (адиабатический и обратимый)	$\Delta \; Q\; =\; 0,\; \Delta \; U\; =\; -\; \Delta \; W\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; Q\; Знак\; равно\; 0,\; \backslash \; quad\; \backslash \; Delta\; U\; =\; -\; \backslash \; Delta\; W\; \backslash ,\; \backslash !\}$ для идеального газа. $p\; 1\; V\; 1\; \gamma \; =\; p\; 2\; V\; 2\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{1\}\; V\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; =\; p\_\; \{2\}\; V\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$. $T\; 1\; V\; 1\; \gamma \; -\; 1\; =\; T\; 2\; V\; 2\; \gamma \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{\; 1\}\; V\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; =\; T\_\; \{2\}\; V\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\; -1\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$. $p\; 1\; 1\; -\; \gamma \; T\; 1\; \gamma \; =\; p\; 2\; 1\; -\; \gamma \; T\; 2\; \gamma \; \{\backslash \; Displaystyle\; p\_\; \{1\}\; ^\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\; T\_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; =\; p\_\; \{2\}\; ^\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\; T\_\; \{2\}\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Изотермический процесс	$\Delta \; U\; =\; 0,\; \Delta \; W\; =\; \Delta \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; \backslash \; Delta\; W\; =\; \backslash \; Delta\; Q\; \backslash ,\; \backslash !\}$ Для идеального газ. $W\; =\; k\; TN\; ln\; \; (V\; 2\; /\; V\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; =\; kTN\; \backslash \; ln\; (V\_\; \{2\}\; /\; V\_\; \{1\})\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Изобарический процесс	p1= p 2, p = константа. $\Delta \; W\; =\; p\; \Delta \; V,\; \Delta \; q\; =\; \Delta \; H\; +\; p\; \delta \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; W\; =\; p\; \backslash \; Delta\; V,\; \backslash \; quad\; \backslash \; Delta\; q\; =\; \backslash \; Delta\; H\; +\; p\; \backslash \; delta\; V\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Изохорный процесс	V1= V 2, V = константа. $\Delta \; W\; =\; 0,\; \Delta \; Q\; Знак\; равно\; \Delta \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; W\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; \backslash \; Delta\; Q\; =\; \backslash \; Delta\; U\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Свободное расширение	$\Delta \; U\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash !\; \}$
Работа, выполняемая расширяющимся газом	Процесс. $\Delta \; W\; =\; \int \; V\; 1\; V\; 2\; pd\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; W\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{V\_\; \{1\}\}\; ^\; \{V\_\; \{\; 2\}\}\; p\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; V\; \backslash ,\; \backslash !\}$ Сетевая работа, выполненная в циклических процессах. $\Delta \; W\; =\; \oint \; цикл\; \; pd\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; W\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{cycle\}\}\; p\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; V\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Кинетическая теория

Уравнения идеального газа

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Закон идеального газа	p = давление V = объем контейнера T = температура n = количество моль R = Газовая постоянная N = количество молекул k = постоянная Больцмана	$p\; V\; =\; n\; RT\; =\; k\; TN\; \{\backslash \; displaystyle\; pV\; =\; nRT\; =\; kTN\; \backslash ,\; \backslash !\}$. $п\; 1\; В\; 1\; п\; 2\; В\; 2\; знак\; равно\; N\; 1\; Т\; 1\; N\; 2\; Т\; 2\; знак\; равно\; N\; 1\; Т\; 1\; N\; 2\; Т\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{1\}\; V\_\; \{1\}\}\; \{p\_\; \{2\}\; V\_\; \{\; 2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{1\}\; T\_\; \{1\}\}\; \{n\_\; \{2\}\; T\_\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\_\; \{1\}\; T\_\; \{1\}\}\; \{N\_\; \{2\}\; T\_\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Давление идентификатора eal gas	m = масса одной молекулы Mm= молярная масса	$p\; =\; N\; m\; ⟨v\; 2⟩\; 3\; V\; =\; n\; M\; m\; ⟨v\; 2⟩\; 3\; V\; =\; 1\; 3\; \rho \; ⟨v\; 2⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Nm\; \backslash \; langle\; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\}\; \{3V\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{nM\_\; \{m\}\; \backslash \; langle\; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\}\; \{3V\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; langle\; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Идеальный газ

Количество	Общее уравнение	Изобарический. Δp = 0	Изохорический. ΔV = 0	Изотермический. ΔT = 0	Адиабатический. $Q\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; 0\; \}$
Работа. W	$\delta \; W\; =\; -\; pd\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; W\; =\; -pdV\; \backslash ;\}$	$-\; p\; \Delta \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; -p\; \backslash \; Delta\; V\; \backslash ;\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash ;\}$	$-\; n\; RT\; ln\; \; V\; 2\; V\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -nRT\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{2\}\}\; \{V\_\; \{1\}\}\}\; \backslash ;\}$ $-\; n\; RT\; ln\; \; п\; 1\; п\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; -nRT\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{1\}\}\; \{P\_\; \{2\}\}\}\; \backslash ;\}$	$PV\; \gamma \; (V\; f\; 1\; -\; \gamma \; -\; V\; i\; 1\; -\; \gamma )\; 1\; -\; \gamma \; =\; CV\; (T\; 2\; -\; T\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{PV\; ^\; \{\backslash \; gamma\}\; (V\_\; \{f\}\; ^\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\; -V\_\; \{i\}\; ^\; \{1-\; \backslash \; gamma\})\}\; \{1-\; \backslash \; gamma\}\}\; =\; C\_\; \{V\}\; \backslash \; left\; (T\_\; \{2\}\; -T\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\}$
Теплоемкость. C	(как для реального газа)	$C\; p\; =\; 5\; 2\; п\; Р\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\; nR\; \backslash ;\}$. (для одноатомного идеального газа) $C\; p\; =\; 7\; 2\; n\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{2\}\}\; nR\; \backslash ;\}$. (для двухатомного идеального газа)	$CV\; =\; 3\; 2\; n\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{V\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; nR\; \backslash \; ;\}$. (для одноатомного идеального газа) $CV\; =\; 5\; 2\; n\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{V\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2\}\}\; nR\; \backslash ;\}$. (для двухатомный идеальный газ)
Внутренняя энергия. ΔU	$\Delta \; U\; =\; CV\; \Delta \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\; =\; C\_\; \{V\}\; \backslash \; Delta\; T\; \backslash ;\}$	$Q\; +\; W\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; +\; W\; \backslash ;\}$.. $Q\; p\; -\; p\; \Delta \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{p\}\; -p\; \backslash \; Delta\; V\; \backslash ;\}$	$Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \backslash ;\}$.. $CV\; (T\; 2\; -\; T\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{V\}\; \backslash \; left\; (T\_\; \{2\}\; -T\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash ;\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash ;\}$.. $Q\; =\; -\; W\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; -W\; \backslash ;\}$	$W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; \backslash ;\}$.. $CV\; (T\; 2\; -\; T\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{V\}\; \backslash \; left\; (T\_\; \{2\}\; -T\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash ;\}$
Энтальпия. ΔH	$H\; =\; U\; +\; p\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; U\; +\; pV\; \backslash ;\}$	$C\; p\; (T\; 2\; -\; T\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; \backslash \; left\; (\; T\_\; \{2\}\; -T\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash ;\}$	$QV\; +\; V\; \Delta \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{V\}\; +\; V\; \backslash \; Delta\; p\; \backslash ;\}$	$0\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash ;\}$	$C\; p\; (Т\; 2\; -\; Т\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; \backslash \; left\; (T\_\; \{2\}\; -T\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash ;\}$
Энтропия. Δs	$\Delta \; S\; =\; CV\; ln\; \; T\; 2\; T\; 1\; +\; n\; R\; ln\; \; V\; 2\; V\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; C\_\; \{V\}\; \backslash \; ln\; \{T\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; T\_\; \{1\}\}\; +\; nR\; \backslash \; ln\; \{V\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; V\_\; \{1\}\}\}$. $\Delta \; S\; знак\; равно\; C\; п\; пер\; \; T\; 2\; T\; 1\; -\; N\; р\; пер\; \; п\; 2\; п\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; C\_\; \{p\}\; \backslash \; ln\; \{T\_\; \{2\}\; \backslash \; над\; T\_\; \{1\}\}\; -\; nR\; \backslash \; ln\; \{p\_\; \{2\}\; \backslash \; over\; p\_\; \{1\}\}\}$	$C\; p\; ln\; \; T\; 2\; T\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{2\}\}\; \{T\_\; \{1\}\}\}\; \backslash ;\}$	$CV\; ln\; \; T\; 2\; T\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{V\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{2\}\}\; \{T\_\; \{1\}\}\}\; \backslash ;\}$	$n\; R\; ln\; \; V\; 2\; V\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; nR\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{2\}\}\; \{V\_\; \{1\}\}\}\; \backslash ;\}$. $QT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{Q\}\; \{T\}\}\; \backslash ;\}$	$C\; p\; ln\; \; V\; 2\; V\; 1\; +\; CV\; ln\; \; p\; 2\; p\; 1\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{2\}\}\; \{V\_\; \{1\}\}\}\; +\; C\_\; \{V\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{2\}\}\; \{p\_\; \{1\}\}\}\; =\; 0\; \backslash ;\}$
Константа	$\{\backslash \; displaystyle\; \backslash ;\}$	$VT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\}\; \{T\}\; \}\; \backslash ;\}$	$p\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{T\}\}\; \backslash ;\}$	$p\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; pV\; \backslash ;\}$	$p\; V\; \gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; pV\; ^\; \{\backslash \; гамма\}\; \backslash ;\}$

Энтропия

• $S\; =\; k\; B\; (ln\; \; \Omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; k\_\; \{B\}\; (\backslash \; ln\; \backslash \; Omega)\}$, где k B - это постоянная Больцмана, а Ω обозначает объем макросостояния в фазовом пространстве или иначе называется термодинамической вероятностью.
• $d\; S\; =\; \delta \; QT\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; Q\}\; \{T\}\}\}$, только для обратимых процессов

Статистическая физика

Ниже приведены полезные результаты Распределение Максвелла – Больцмана для идеального газа и значение величины энтропии. Распределение действительно для атомов или молекул, составляющих идеальные газы.

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Распределение Максвелла – Больцмана	v = скорость атома / молекулы, m = масса каждой молекулы ( все молекулы идентичны в кинетической теории), γ (p) = фактор Лоренца как функция количества движения (см. ниже) Отношение тепловой массы к энергии покоя каждой молекулы: $\theta \; =\; k\; BT\; /\; mc\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; k\_\; \{B\}\; T\; /\; mc\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$ K2- это модифицированная функция Бесселя второго рода.	Нерелятивистские скорости. $P\; (v)\; =\; 4\; \pi \; (m\; 2\; \pi \; k\; BT)\; 3/2\; v\; 2\; e\; -\; mv\; 2/2\; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (v\; \backslash \; right)\; =\; 4\; \backslash \; pi\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{2\; \backslash \; pi\; k\_\; \{B\}\; T\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3/2\}\; v\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{-\; mv\; ^\; \{2\}\; /\; 2k\_\; \{B\}\; T\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$ Релятивистские скорости (распределение Максвелла-Юттнера). $f\; (p)\; =\; 1\; 4\; \pi \; m\; 3\; c\; 3\; \theta \; K\; 2\; (1\; /\; \theta )\; e\; -\; \gamma \; (p)\; /\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (p)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; m\; ^\; \{3\}\; c\; ^\; \{3\}\; \backslash \; theta\; K\_\; \{2\}\; (1\; /\; \backslash \; theta)\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; gamma\; (p)\; /\; \backslash \; theta\}\}$
Энтропия Логарифм от плотности состояний	Pi= вероятность системы в микросостоянии i Ω = общее количество микросостояний	$S\; =\; -\; К\; В\; \sum \; я\; П\; я\; пер\; \; п\; я\; знак\; равно\; К\; В\; пер\; \; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; -k\_\; \{B\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; P\_\; \{i\}\; \backslash \; ln\; P\_\; \{i\}\; =\; k\_\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; \backslash \; ln\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\; \backslash !\}$ где :. $P\; i\; =\; 1\; /\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{i\}\; =\; 1\; /\; \backslash \; Omega\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Изменение энтропии		$\Delta \; S\; =\; \int \; Q\; 1\; Q\; 2\; d\; QT\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{Q\_\; \{1\}\}\; ^\; \{Q\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; Q\; \}\; \{T\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$. $\Delta \; S\; =\; k\; BN\; ln\; \; V\; 2\; V\; 1\; +\; NCV\; ln\; \; T\; 2\; T\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; S\; =\; k\_\; \{B\}\; N\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{\; V\_\; \{2\}\}\; \{V\_\; \{1\}\}\}\; +\; NC\_\; \{V\}\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{2\}\}\; \{T\_\; \{1\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Энтропическая сила		$FS\; =\; -\; T\; \nabla \; S\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{S\}\; \}\; =\; -\; T\; \backslash \; nabla\; S\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Теорема о равнораспределении	df= степень свободы	Средняя кинетическая энергия на одну степень свободы $⟨E\; k⟩\; =\; 1\; 2\; k\; T\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; kT\; \backslash ,\; \backslash !\}$ Внутренняя энергия $U\; =\; df\; ⟨E\; k⟩\; =\; df\; 2\; k\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; d\_\; \{f\}\; \backslash \; langle\; E\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\}\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\_\; \{f\}\}\; \{2\}\}\; kT\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Следствия не- релятивистские распределения Максвелла – Больцмана приведены ниже.

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Средняя скорость		$⟨v⟩\; =\; 8\; тыс.\; BT\; \pi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; v\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{8k\_\; \{B\}\; T\}\; \{\backslash \; pi\; m\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Среднеквадратичная скорость		$vrms\; =\; ⟨v\; 2⟩\; =\; 3\; k\; BT\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rms\; \}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; langle\; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rangle\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{3k\_\; \{B\}\; T\}\; \{m\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Модальная скорость		$vmode\; =\; 2\; k\; BT\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mode\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{2k\_\; \{B\}\; T\}\; \{m\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Средний свободный путь	σ = эффективное сечение n = объемная плотность количества частиц мишени ℓ = средняя длина свободного пробега	$\ell \; =\; 1/2\; n\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; =\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; n\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; \backslash !\}$

Квазистатические и обратимые процессы

Для квазистатических и обратимых процессов, первый закон термодинамики :

$d\; U\; =\; \delta \; Q\; -\; \delta \; W\; \{\backslash \; displaystyle\; dU\; =\; \backslash \; delta\; Q-\; \backslash \; delta\; W\}$

где δQ - тепло, подводимое к системе, и δW - работа, выполняемая системой.

Термодинамические потенциалы

Следующие энергии называются термодинамическими потенциалами,

Имя	Символ	Формула	Естественный переменные
Внутренняя энергия	$U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$	$\int \; (T\; d\; S\; -\; pd\; V\; +\; \sum \; я\; \mu \; id\; N\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; (T\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; Sp\; \{\; \backslash \; text\; \{d\}\}\; V\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; N\_\; \{i\})\}$	$S,\; V,\; \{N\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S,\; V,\; \backslash \; \{N\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$
свободная энергия Гельмгольца	$F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$	$U\; -\; TS\; \{\backslash \; displaystyle\; U-TS\}$	$T,\; V,\; \{N\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; T,\; V,\; \backslash \; \{N\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$
Энтальпия	$H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$	$U\; +\; p\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; +\; pV\}$	$S,\; p,\; \{N\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; S,\; p,\; \backslash \; \{N\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$
свободная энергия Гиббса	$G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$	$U\; +\; p\; V\; -\; TS\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; +\; pV-TS\; \}$	$T,\; p,\; \{N\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; T,\; p,\; \backslash \; \{N\_\; \{i\}\; \backslash \}\}$
потенциал Ландау или. большой потенциал	$\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$, $\Phi \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; \_\; \{\backslash \; text\; \{G\}\}\}$	$U\; -\; TS\; -\; \{\backslash \; displaystyle\; U-TS-\}$$\sum \; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\; \}$$\mu \; я\; N\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; N\_\; \{i\}\}$	$T,\; V,\; \{\mu \; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; T,\; V,\; \backslash \; \{\backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; \backslash \}\}$

и соответствующие фундаментальные термодинамические соотношения или «основные уравнения»:

Потенциал	Дифференциальный
Внутренняя энергия	$d\; U\; (S,\; V,\; N\; i)\; Знак\; равно\; T\; d\; S\; -\; пд\; В\; +\; \sum \; я\; \mu \; id\; N\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; dU\; \backslash \; left\; (S,\; V,\; \{N\_\; \{i\}\}\; \backslash \; right)\; =\; TdS-pdV\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; dN\_\; \{i\}\}$
Энтальпия	$d\; H\; (S,\; p,\; N\; i)\; =\; T\; d\; S\; +\; V\; dp\; +\; \sum \; i\; \mu \; id\; N\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; dH\; \backslash \; left\; (S,\; p,\; \{N\_\; \{\; i\}\}\; \backslash \; right)\; =\; TdS\; +\; Vdp\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; dN\_\; \{i\}\}$
свободная энергия Гельмгольца	$d\; F\; (T,\; V,\; N\; i)\; =\; -\; S\; d\; T\; -\; пд\; В\; +\; \sum \; я\; \mu \; id\; N\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\; \backslash \; left\; (T,\; V,\; \{N\_\; \{i\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; SdT-pdV\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; dN\_\; \{\; i\}\}$
свободная энергия Гиббса	$d\; G\; (T,\; p,\; N\; i)\; =\; -\; S\; d\; T\; +\; V\; dp\; +\; \sum \; i\; \mu \; id\; N\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; dG\; \backslash \; left\; (T,\; p,\; \{N\_\; \{i\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; SdT\; +\; Vdp\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{i\}\; dN\_\; \{i\}\}$

Отношения Максвелла

Четыре наиболее распространенных отношения Максвелла :

Физическое положение	Номенклатура	Equ действия
Термодинамические потенциалы как функции своих естественных переменных	$U\; (S,\; V)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (S,\; V)\; \backslash ,\}$= Внутренняя энергия $H\; (S,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (S,\; P)\; \backslash ,\}$= Энтальпия $F\; (T,\; V)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (T,\; V)\; \backslash ,\}$= свободная энергия Гельмгольца $G\; (T,\; P)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; G\; (T,\; P)\; \backslash ,\}$= свободная энергия Гиббса	$(\partial \; T\; \partial \; V)\; S\; =\; -\; (\partial \; P\; \partial \; S)\; V\; =\; \partial \; 2\; U\; \partial \; S\; \partial \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; V\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{S\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; S\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; U\}\; \{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; partial\; V\}\}\}$ $(\partial \; T\; \partial \; P)\; S\; =\; +\; (\partial \; V\; \partial \; S)\; P\; =\; \partial \; 2\; H\; \partial \; S\; \partial \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; P\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{S\}\; =\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; S\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{P\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; H\}\; \{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; partial\; P\}\}\}$ $+\; (\partial \; S\; \partial \; V)\; T\; =\; (\partial \; P\; \partial \; T)\; V\; =\; -\; \partial \; 2\; F\; \partial \; T\; \partial \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; V\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; F\}\; \{\backslash \; partial\; T\; \backslash \; partial\; V\}\}\}$ $-\; (\partial \; S\; \partial \; P)\; T\; Знак\; равно\; (\partial \; V\; \partial \; T)\; п\; =\; \partial \; 2\; G\; \partial \; T\; \partial \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; P\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{P\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; G\}\; \{\backslash \; partial\; T\; \backslash \; partial\; P\}\}\}$

Другие отношения включают следующее.

$(\partial \; S\; \partial \; U)\; V,\; N\; =\; 1\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; U\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V,\; N\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; T\}\}$	$(\partial \; S\; \partial \; V)\; N,\; U\; знак\; равно\; п\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; V\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{N,\; U\}\; =\; \{p\; \backslash \; over\; T\}\}$	$(\; \partial \; S\; \partial \; N)\; V,\; U\; =\; -\; \mu \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; N\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V,\; U\}\; =\; -\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; over\; T\}\}$
$(\partial \; T\; \partial \; S)\; V\; =\; TCV\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; T\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; S\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; =\; \{T\; \backslash \; over\; C\_\; \{V\}\}\}$	$(\partial \; T\; \partial \; S)\; P\; =\; TCP\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; T\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; S\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{P\}\; =\; \{T\; \backslash \; over\; C\_\; \{P\}\}\}$
$-\; (\partial \; p\; \partial \; V)\; T\; =\; 1\; VKT\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; p\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; V\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{VK\_\; \{T\}\}\}\}$

Другие дифференциальные уравнения:

Имя	H	U	G
уравнение Гиббса – Гельмгольца	$H\; =\; -\; T\; 2\; (\partial \; (G\; /\; T)\; \partial \; T)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; -T\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; left\; (G\; /\; T\; \backslash \; справа)\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\}$	$U\; =\; -\; T\; 2\; (\partial \; (F\; /\; T)\; \partial \; T)\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -T\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; left\; (F\; /\; T\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\}$	$G\; =\; -\; V\; 2\; (\partial \; (\; F\; /\; V)\; \partial \; V)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; -V\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; left\; (F\; /\; V\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; partial\; V\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\; \}\}$
	$(\partial \; H\; \partial \; p)\; T\; =\; V\; -\; T\; (\partial \; V\; \partial \; T)\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\}\; =\; VT\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{P\}\}$	$(\partial \; U\; \partial \; V)\; T\; =\; T\; (\partial \; P\; \partial \; T)\; V\; -\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; U\}\; \{\backslash \; partial\; V\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\}\; =\; T\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\; \}\; -P\}$

Квантовые свойства

• $U\; =\; N\; k\; BT\; 2\; (\partial \; ln\; \; Z\; \partial \; T)\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; Nk\_\; \{B\}\; T\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; ln\; Z\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; ~\}$
• $S\; =\; UT\; +\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{U\}\; \{T\}\}\; +\; N\; ~\}$
• $S\; Знак\; равно\; UT\; +\; N\; К\; В\; пер\; \; Z\; -\; N\; К\; пер\; \; N\; +\; N\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{U\}\; \{T\}\}\; +\; Nk\_\; \{B\}\; \backslash \; ln\; Z-Nk\; \backslash \; ln\; N\; +\; Nk\; ~\}$Неразличимые частицы

где N - количество частиц, h - постоянная Планка, I - момент инерции, а Z - статистическая сумма , в различных формах:

Степень свободы	Функция разделения
Перевод	$Z\; t\; =\; (2\; \pi \; mk\; BT)\; 3\; 2\; V\; h\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; pi\; mk\_\; \{B\}\; T)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; V\}\; \{h\; ^\; \{3\}\}\}\}$
Вибрация	$Z\; v\; =\; 1\; 1\; -\; e\; -\; h\; \omega \; 2\; \pi \; k\; BT\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{-h\; \backslash \; omega\}\; \{2\; \backslash \; pi\; k\_\; \{B\}\; T\}\}\}\}\}$
Вращение	$Z\; r\; =\; 2\; I\; k\; BT\; \sigma \; (h\; 2\; \pi )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{\; r\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2Ik\_\; \{B\}\; T\}\; \{\backslash \; sigma\; (\{\backslash \; frac\; \{h\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\})\; ^\; \{2\}\}\}\}$ , где : σ = 1 (гетероядерные молекулы ) σ = 2 (гомоядерные )

Коэффициенты	Уравнение
коэффициент Джоуля-Томсона	$\mu \; JT\; =\; (\; \partial \; T\; \partial \; p)\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{JT\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{H\}\}$
Сжимаемость (постоянная температура)	$KT\; =\; -\; 1\; В\; (\partial \; V\; \partial \; p)\; T,\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{T\}\; =\; -\; \{1\; \backslash \; over\; V\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; V\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; p\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T,\; N\}\}$
Коэффициент теплового расширения (постоянное давление)	$\alpha \; p\; =\; 1\; V\; (\partial \; V\; \partial \; T)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{V\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\}$
Нагрев c емкость (постоянное давление)	$C\; p\; =\; (\partial \; Q\; rev\; \partial \; T)\; p\; =\; (\partial \; U\; \partial \; T)\; p\; +\; p\; (\partial \; V\; \partial \; T)\; p\; =\; (\partial \; H\; \partial \; T)\; p\; =\; T\; (\partial \; S\; \partial \; T)\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; Q\_\; \{rev\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; U\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\; +\; p\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; V\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; H\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\; =\; T\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\}$
Теплоемкость (постоянный объем)	$CV\; =\; (\partial \; Q\; rev\; \partial \; T)\; V\; =\; (\partial \; U\; \partial \; T)\; V\; =\; T\; (\partial \; S\; \partial \; T)\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{V\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; Q\_\; \{rev\}\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; U\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; =\; T\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; partial\; S\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; T\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\}$

Расчет теплоемкости (постоянное давление)

Поскольку $(\partial \; T\; \partial \; p)\; ЧАС\; (\partial \; p\; \partial \; H)\; T\; (\partial \; H\; \partial \; T)\; p\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{H\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\}\; \{\backslash \; partial\; H\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\; p\}\; =\; -\; 1\}$ $(\partial \; T\; \partial \; p)\; H\; =\; -\; (\partial \; H\; \partial \; p)\; T\; (\partial \; T\; \partial \; H)\; p\; =\; -\; 1\; (\partial \; H\; \partial \; T)\; п\; (\partial \; H\; \partial \; p)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{H\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; H\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\; \backslash \; partial\; p\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{T\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ $C\; p\; =\; (\partial \; H\; \partial \; T)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\; \}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{p\}\}$ $\Rightarrow \; (\partial \; T\; \partial \; p)\; H\; =\; -\; 1\; C\; p\; (\partial \; H\; \partial \; p)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{H\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{C\_\; \{p\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; H\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; \backslash \; справа)\; \_\; \{T\}\}$

Расчет теплоемкости (постоянный объем)

Поскольку $d\; U\; =\; \delta \; Q\; об.\; -\; \delta \; W\; об.,\; \{\backslash \; displaystyle\; dU\; =\; \backslash \; delta\; Q\_\; \{rev\}\; -\; \backslash \; delta\; W\_\; \{rev\},\}$ (где δW rev - работа, выполняемая системой), $\delta \; S\; =\; \delta \; Q\; rev\; T,\; \delta \; W\; rev\; =\; p\; \delta \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; S\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; Q\_\; \{rev\}\}\; \{T\}\},\; \backslash \; delta\; W\_\; \{rev\}\; =\; p\; \backslash \; delta\; V\}$ $d\; U\; =\; T\; \delta \; S\; -\; p\; \delta \; V\; \{\backslash \; displaysty\; le\; dU\; =\; T\; \backslash \; delta\; S-p\; \backslash \; delta\; V\}$ $(\partial \; U\; \partial \; T)\; V\; =\; T\; (\partial \; S\; \partial \; T)\; V\; -\; p\; (\partial \; V\; \partial \; T)\; V;\; CV\; =\; (\partial \; U\; \partial \; T)\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; U\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; =\; T\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\; \backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\; -p\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; V\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\};\; C\_\; \{V\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; U\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; справа)\; \_\; \{V\}\}$ $\Rightarrow \; CV\; =\; T\; (\partial \; S\; \partial \; T)\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; C\_\; \{V\}\; =\; T\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; S\}\; \{\backslash \; partial\; T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{V\}\}$

Теплопередача

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Чистая интенсивность выбросов / поглощение	Tвнешняя = внешняя температура (вне системы) Tсистема = внутренняя температура (внутри системы) ε = излучательная способность	$I\; =\; \sigma \; ϵ\; (T\; external\; 4\; -\; T\; система\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; sigma\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; left\; (T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{external\}\}\; ^\; \{4\}\; -T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{system\}\}\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Внутренняя энергия вещества	CV= изоволюметрическая теплоемкость вещества ΔT = изменение температуры вещества	$\Delta \; U\; =\; NCV\; \Delta \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\; =\; NC\_\; \{V\}\; \backslash \; Дельта\; T\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Уравнение Мейера	Cp= изобарная теплоемкость CV= изоволюметрическая теплоемкость n = количество молей	$C\; p\; -\; CV\; =\; n\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; -C\_\; \{V\}\; =\; nR\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Эффективная теплопроводность	λi= теплопроводность вещества i λnet = эквивалентная теплопроводность	Серия $\lambda \; net\; =\; \sum \; j\; \lambda \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{net\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$ параллельный $1\; \lambda \; net\; =\; \sum \; j\; (1\; \lambda \; j)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{net\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash !\; \}$

Тепловой КПД

Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
Термодинамические двигатели	η = КПД W = работа, выполненная двигателем QH= тепловая энергия в резервуаре с более высокой температурой QL= тепловая энергия в резервуаре с более низкой температурой TH= температура с более высокой температурой. резервуар TL= температура нижней темп. резервуар	Термодинамический двигатель:. $\eta \; =\; |\; W\; Q\; H\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; =\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{W\}\; \{Q\_\; \{H\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; \backslash !\}$ КПД двигателя Карно:. $\eta \; c\; =\; 1\; -\; |\; Q\; L\; Q\; H\; |\; =\; 1\; -\; TLTH\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{c\}\; =\; 1-\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{Q\_\; \{L\}\}\; \{Q\_\; \{H\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{L\}\}\; \{T\_\; \{H\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$
Охлаждение	K = коэффициент холодопроизводительности	Холодопроизводительность $K\; =\; |\; Q\; L\; W\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{Q\_\; \{L\}\}\; \{W\}\}\; \backslash \; right\; |\; \backslash ,\; \backslash !\}$ Холодопроизводительность Карно $K\; C\; =\; |\; Q\; L\; |\; |\; Q\; H\; |\; -\; |\; Q\; L\; |\; =\; TLTH\; -\; TL\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{C\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; Q\_\; \{L\}\; |\}\; \{|\; Q\_\; \{H\}\; |\; -\; |\; Q\_\; \{L\}\; |\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{L\}\}\; \{\; T\_\; \{H\}\; -T\_\; \{L\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

• Уравнение Антуана
• Число Бежана
• Коэффициент Боуэна
• Уравнения Бриджмена
• Соотношение Клаузиуса – Клапейрона
• Функции вылета
• Уравнение Дюгема – Маргулеса
• Уравнение Эренфеста
• Уравнение Гиббса – Гельмгольца
• Правило фаз Гиббса
• Закон Коппа
• Закон Коппа – Неймана
• Закон Норо – Френкеля соответствующего утверждает
• взаимные отношения Онзагера
• Число Стефана
• Правило тройного произведения

1. ^Кинан, Термодинамика, Вили, Нью-Йорк, 1947
2. ^Физическая химия, PW Аткинс, Oxford University Press, 1978, ISBN 0 19 855148 7

• Калькулятор термодинамических уравнений