Нечеткие логики T-нормы

редактировать

Нечеткие логики T-нормы представляют собой семейство неклассических логик, неформально ограничены семантикой , которая принимает реальный единичный интервал [0, 1] для системы значений истинности и функций, называемых t-норм для допустимых интерпретаций конъюнкции. В основном они используются в прикладной нечеткой логике и теории нечетких множеств в качестве теоретической основы для приближенных рассуждений.

Нечеткие логики T-нормы относятся к более широким классам нечетких логик и многозначных логик. Для создания корректного импликации обычно требуется, чтобы t-нормы были непрерывными слева ; логики непрерывных слева t-норм также принадлежат к классу субструктурных логик, среди которых они отмечены выполнением закона предлинейности, (A → B) ∨ (B → A). И пропозициональная, и нечеткая логика t-нормы первого порядка (или высшего порядка ), а также их расширения с помощью модальных и другие операторы, изучаются. Логики, которые ограничивают семантику t-нормы до подмножества реального единичного интервала (например, конечнозначные логики Лукасевича ), также обычно включаются в класс.

Важными примерами нечеткой логики t-нормы являются моноидальная t-норма логика MTL всех непрерывных слева t-норм, базовая логика BL всех непрерывных t- норм, t-нормы произведения или нильпотентной минимальной t-нормы. Некоторые независимо мотивированные логики также относятся к нечетким логикам t-нормы, например, логика Лукасевича (которая является логикой t-нормы Лукасевича) или логика Геделя – Дамметта (которая является логикой минимума t -норма).

Содержание

  • 1 Мотивация
  • 2 История
  • 3 Логический язык
  • 4 Семантика
  • 5 Библиография
  • 6 Ссылки

Мотивация

Как члены семьи из нечетких логик, нечеткие логики t-нормы в первую очередь направлены на обобщение классической двузначной логики путем допуска промежуточных значений истинности между 1 (истина) и 0 (ложность), представляющих степени истинности предложения. Предполагается, что степени являются действительными числами из единичного интервала [0, 1]. В нечеткой логике пропозициональной t-нормы пропозициональные связки определены как истинностно-функциональные, то есть значение истинности сложного предложения, образованного пропозициональной связкой из некоторых составляющих предложений, равно функция (называемая функцией истинности связки) значений истинности составляющих предложений. Функции истинности оперируют множеством степеней истинности (в стандартной семантике на интервале [0, 1]); таким образом, функция истинности n-арной пропозициональной связки c - это функция F c : [0, 1] → [0, 1]. Функции истинности обобщают таблицы истинности пропозициональных связок, известных из классической логики, для работы с более крупной системой значений истинности.

Нечеткая логика T-нормы накладывает определенные естественные ограничения на функцию истинности конъюнкции. Функция истинности ∗: [0, 1] 2 → [0, 1] {\ displaystyle * \ двоеточие [0,1] ^ {2} \ to [0,1]}{\ displaystyle * \ двоеточие [0,1] ^ {2} \ to [0,1]} из предполагается, что конъюнкция удовлетворяет следующим условиям:

  • Коммутативность, то есть x ∗ y = y ∗ x {\ displaystyle x * y = y * x}x * y = y * x для всех x и y в [0, 1]. Это выражает предположение, что порядок нечетких предложений несущественен в сочетании, даже если допускаются промежуточные степени истинности.
  • Ассоциативность, то есть (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) {\ displaystyle (x * y) * z = x * (y * z)}{\ displaystyle (x * y) * z = x * (y * z)} для всех x, y и z в [0, 1]. Это выражает предположение, что порядок выполнения соединения несущественен, даже если допускаются промежуточные степени истинности.
  • Монотонность, то есть, если x ≤ y {\ displaystyle x \ leq y}x \ leq y , затем x ∗ z ≤ y ∗ z {\ displaystyle x * z \ leq y * z}{\ displaystyle x * z \ leq y * z} для всех x, y и z в [0, 1]. Это выражает предположение, что увеличение степени истинности конъюнкции не должно уменьшать степень истинности конъюнкции.
  • Нейтральность 1, то есть 1 ∗ x = x {\ displaystyle 1 * x = x}{\ displaystyle 1 * x = x} для всех x в [0, 1]. Это предположение соответствует рассмотрению степени истинности 1 как полной истины, соединение с которой не уменьшает значение истинности другого соединения. Вместе с предыдущими условиями это условие гарантирует, что также 0 ∗ x = 0 {\ displaystyle 0 * x = 0}{\ Displaystyle 0 * x = 0} для всех x в [0, 1], что соответствует степени истинности 0 как полная ложность, соединение с которой всегда полностью ложно.
  • Непрерывность функции ∗ {\ displaystyle *}* (предыдущие условия сводят это требование к непрерывности в любом аргумент). Неформально это выражает предположение, что микроскопические изменения степеней истинности конъюнктов не должны приводить к макроскопическому изменению степени истинности их конъюнкции. Это условие, среди прочего, обеспечивает хорошее поведение (остаточной) импликации, полученной из конъюнкции; Однако для обеспечения хорошего поведения достаточно непрерывности слева (в любом аргументе) функции ∗ {\ displaystyle *}* . Поэтому в общей нечеткой логике с t-нормой требуется только непрерывность слева ∗ {\ displaystyle *}* , что выражает предположение, что микроскопическое уменьшение степени истинности конъюнкта не должно макроскопически уменьшают степень истинности конъюнкции.

Эти предположения делают функцию истинности конъюнкции непрерывной слева t-нормой, которая объясняет название семейства нечетких логик (основанных на t-норме). Конкретная логика семейства может делать дальнейшие предположения о поведении соединения (например, логика Гёделя требует своей идемпотентности ) или других связок (например, логика IMTL требует инволютивность отрицания).

Все непрерывные слева t-нормы ∗ {\ displaystyle *}* имеют уникальный остаток, то есть двоичную функцию ⇒ { \ displaystyle \ Rightarrow}\ Rightarrow так, чтобы для всех x, y и z в [0, 1]

x ∗ y ≤ z {\ displaystyle x * y \ leq z}{\ displaystyle x * y \ leq z} тогда и только тогда, когда x ≤ y ⇒ z. {\ displaystyle x \ leq y \ Rightarrow z.}{\ displaystyle x \ leq y \ Rightarrow z.}

Остаток непрерывной слева t-нормы можно явно определить как

(x ⇒ y) = sup {z ∣ z ∗ x ≤ y}. {\ displaystyle (x \ Rightarrow y) = \ sup \ {z \ mid z * x \ leq y \}.}{\ displaystyle (x \ Rightarrow y) = \ sup \ {z \ mid z * x \ leq y \}.}

Это гарантирует, что остаток является поточечной наибольшей функцией, такой что для всех x и y

x ∗ (x ⇒ y) ≤ y. {\ displaystyle x * (x \ Rightarrow y) \ leq y.}{ \ displaystyle x * (x \ Rightarrow y) \ leq y.}

Последнее можно интерпретировать как нечеткую версию правила вывода modus ponens. Таким образом, остаток непрерывной слева t-нормы можно охарактеризовать как самую слабую функцию, которая делает нечеткий modus ponens действительным, что делает его подходящей функцией истинности для импликации в нечеткой логике. Непрерывность t-нормы слева является необходимым и достаточным условием для выполнения этой связи между конъюнкцией t-нормы и ее остаточной импликацией.

Истинные функции других пропозициональных связок могут быть определены с помощью t-нормы и ее остатка, например, остаточного отрицания ¬ x = (x ⇒ 0) {\ displaystyle \ neg x = ( x \ Rightarrow 0)}{\ displaystyle \ neg x = (x \ Rightarrow 0)} или двухкоординатная эквивалентность x ⇔ y = (x ⇒ y) ∗ (y ⇒ x). {\ displaystyle x \ Leftrightarrow y = (x \ Rightarrow y) * (y \ Rightarrow x).}{\ displaystyle x \ Leftrightarrow y = (x \ Rightarrow y) * (y \ Rightarrow x).} Функции истинности пропозициональных связок также могут быть введены дополнительными определениями: наиболее распространенными являются минимальные ( который играет роль другой конъюнктивной связки), максимум (который играет роль дизъюнктивной связки) или оператор дельты Бааза, определенный в [0, 1] как Δ x = 1 {\ displaystyle \ Delta x = 1}{\ displaystyle \ Delta x = 1} , если x = 1 {\ displaystyle x = 1}x=1и Δ x = 0 {\ displaystyle \ Delta x = 0}{\ displaystyle \ Delta x = 0} иначе. Таким образом, непрерывная слева t-норма, ее остаток и функции истинности дополнительных пропозициональных связок определяют истинностные значения сложных пропозициональных формул в [0, 1].

Формулы, которые всегда возвращают значение 1, называются тавтологиями относительно данной непрерывной слева t-нормы ∗, {\ displaystyle *,}{\ displaystyle *,} или ∗ - { \ displaystyle * {\ t_dv {-}}}{\ displaystyle * {\ t_dv {-}}} тавтологии. Набор всех ∗ - {\ displaystyle * {\ t_dv {-}}}{\ displaystyle * {\ t_dv {-}}} тавтологий называется логикой t-нормы ∗, {\ displaystyle *,}{\ displaystyle *,} , поскольку эти формулы представляют законы нечеткой логики (определяемые t-нормой), которые выполняются (до степени 1) независимо от степеней истинности атомарных формул. Некоторые формулы являются тавтологиями по отношению к более широкому классу непрерывных слева t-норм; набор таких формул называется логикой класса. Важными логиками t-нормы являются логики конкретных t-норм или классов t-норм, например:

Оказывается, что многие логики определенных t-норм и классы t-норм аксиоматизируемы. Теорема о полноте аксиоматической системы относительно соответствующей семантики t-нормы на [0, 1] тогда называется стандартной полнотой логики. Помимо стандартной вещественной семантики на [0, 1], логики надежны и полны по отношению к общей алгебраической семантике, образованной подходящими классами предлинейных коммутативных ограниченных интегральных решеток с остатками.

История

Некоторые особые нечеткие логики t-нормы были введены и исследованы задолго до того, как семья была признана (даже до появления понятий нечеткой логики или t-нормы ):

Систематическое изучение конкретных нечетких логик с t-нормой и их классов началось с Хайека в монографии «Метаматематика нечеткой логики» (1998 г.), в которой представлены понятие логики непрерывной t-нормы, логики трех основных непрерывных t-норм (Лукасевича, Гёделя и произведения) и «основных» нечетких логика BL всех непрерывных t-норм (все они как пропозициональные, так и первого порядка). Книга также положила начало исследованию нечетких логик как неклассических логик с исчислениями гильбертова, алгебраической семантикой и метаматематическими свойствами, известными из других логик (теоремы полноты, теоремы дедукции, сложности и т.

С тех пор было введено множество нечетких логик с t-нормой и исследованы их метаматематические свойства. Некоторые из наиболее важных нечетких логик t-нормы были введены в 2001 году Эстевой и Годо (MTL, IMTL, SMTL, NM, WNM), Эстевой, Годо и Монтанья (пропозициональный) и Cintula. (первого порядка ŁΠ).

Логический язык

Логический словарь пропозициональной нечеткой логики t-нормы стандартно включает следующие связки:

  • Импликация → {\ displaystyle \ rightarrow}\ rightarrow (двоичный ). В контексте нечеткой логики, основанной на t-норме, импликация на основе t-нормы иногда называется остаточной импликацией или R-импликацией, поскольку ее стандартной семантикой является остаток от t-нормы, который реализует сильное соединение.
  • Сильное соединение {\ displaystyle \ And}\ И (двоичное). В контексте субструктурной логики знак ⊗ {\ displaystyle \ otimes}\ otimes и группа имен, интенсиональное, мультипликативное или параллельное соединение часто используются для сильного соединения.
  • Слабое соединение ∧ {\ displaystyle \ wedge}\ wedge (двоичный), также называемый решетчатым соединением (поскольку он всегда реализуется операцией решетки элемента встречаются с в алгебраической семантике). В контексте субструктурной логики для соединения решетки иногда используются имена аддитивное, экстенсиональное или сравнительное соединение. В логике BL и ее расширениях (хотя и не в логиках t-нормы в целом) слабая конъюнкция определима в терминах импликации и сильной конъюнкции посредством
A ∧ B ≡ A (A → Б). {\ displaystyle A \ wedge B \ Equiv A {\ mathbin {\ And}} (A \ rightarrow B).}{\ displaystyle A \ wedge B \ Equiv A {\ mathbin {\ And}} (A \ rightarrow B).}
Наличие двух конъюнктивных связок является общей чертой несжатых субструктурных логик.
  • Внизу ⊥ {\ displaystyle \ bot}\ bot (nullary ); 0 {\ displaystyle 0}{\ displaystyle 0} или 0 ¯ {\ displaystyle {\ overline {0}}}{\ overline {0}} - распространенные альтернативные знаки, а ноль общепринятое альтернативное имя пропозициональной константы (поскольку константы bottom и zero субструктурных логик совпадают в нечетких логиках t-нормы). Утверждение ⊥ {\ displaystyle \ bot}\ bot представляет ложь или абсурд и соответствует классическому значению истинности false.
  • Отрицание ¬ {\ displaystyle \ neg}\ neg (унарный ), иногда называемый остаточным отрицанием, если рассматриваются другие связки отрицания, как это определяется из остаточной импликации с помощью сокращения до абсурда:
¬ A ≡ A → ⊥ {\ displaystyle \ neg A \ Equiv A \ rightarrow \ bot}{\ displaystyle \ neg A \ Equiv A \ rightarrow \ bot}
  • Эквивалентность↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow (двоичный), определяется как
A ↔ B ≡ (A → B) ∧ (B → A) {\ displaystyle A \ leftrightarrow B \ Equiv (A \ rightarrow B) \ wedge (B \ rightarrow A)}{\ displaystyle A \ leftrightarrow B \ Equiv (A \ rightarrow B) \ wedge (B \ rightarrow A)}
В логике t-нормы определение эквивалентно (A → B) и (B → A). {\ displaystyle (A \ rightarrow B) {\ mathbin {\ And}} (B \ rightarrow A).}{\ displaystyle (A \ rightarrow B) {\ mathbin {\ And}} (B \ rightarrow A).}
  • (Слабая) дизъюнкция ∨ {\ displaystyle \ vee}\ vee (двоичный), также называемый решетчатой ​​дизъюнкцией (поскольку он всегда реализуется операцией решетки операции join в алгебраической семантике). В логике t-нормы это определимо в терминах других связок как
A ∨ B ≡ ((A → B) → B) ∧ ((B → A) → A) {\ displaystyle A \ vee B \ Equiv ( (A \ rightarrow B) \ rightarrow B) \ клин ((B \ rightarrow A) \ rightarrow A)}{\ displaystyle A \ vee B \ Equiv ((A \ rightarrow B) \ rightarrow B) \ клин ((B \ rightarrow A) \ rightarrow A)}
  • Top⊤ {\ displaystyle \ top}\ top (нулевой), также называется один и обозначается 1 {\ displaystyle 1}1 или 1 ¯ {\ displaystyle {\ overline {1}}}{\ overline {1}} (поскольку константы top и zero субструктурных логик совпадают в нечетких логиках с t-нормой). Утверждение ⊤ {\ displaystyle \ top}\ top соответствует классическому значению истинности true и может быть определено в логике t-нормы как
⊤ ≡ ⊥ → ⊥. {\ displaystyle \ top \ Equiv \ bot \ rightarrow \ bot.}{\ displaystyle \ top \ Equiv \ bot \ rightarrow \ bot.}

Некоторые логики пропозициональной t-нормы добавляют дополнительные пропозициональные связки к вышеуказанному языку, чаще всего следующие:

  • Дельта связка △ {\ displaystyle \ треугольник}\ треугольник - это унарная связка, которая утверждает классическую истинность предложения, как формулы вида △ A {\ displaystyle \ треугольник A}{\ displaystyle \ треугольник A} веди себя как в классической логике. Также называется Дельта Бааза, так как она была впервые использована Маттиасом Баазом для логики Гёделя – Дамметта. Расширение логики t-нормы L {\ displaystyle L}L с помощью связки Дельта обычно обозначается L. {\ displaystyle L _ {\ треугольник}.}{\ displaystyle L _ {\ треугольник}.}
  • Константы истины - это нулевые связки, представляющие конкретные значения истинности между 0 и 1 в стандартной семантике с действительным знаком. Для действительного числа r {\ displaystyle r}r соответствующая константа истинности обычно обозначается как r ¯. {\ displaystyle {\ overline {r}}.}{\ displaystyle {\ overline {r}}.} Чаще всего добавляются константы истинности для всех рациональных чисел. Система всех констант истинности в языке должна удовлетворять аксиомам бухгалтерского учета:
r s ¯ ↔ (r ¯ s ¯), {\ displaystyle {\ overline {r {\ mathbin {\ And}} s }} \ leftrightarrow ({\ overline {r}} {\ mathbin {\ And}} {\ overline {s}}),}{\ displaystyle {\ overline {r {\ mathbin {\ And}} s}} \ leftrightarrow ({\ overline { r}} {\ mathbin {\ And}} {\ overline {s}}),} r → s ¯ ↔ (r ¯ → s ¯), {\ displaystyle { \ overline {r \ rightarrow s}} \ leftrightarrow ({\ overline {r}} {\ mathbin {\ rightarrow}} {\ overline {s}}),}{\ displaystyle {\ overline {r \ rightarrow s}} \ leftrightarrow ({\ overline {r}} {\ mathbin {\ rightarrow}} {\ overline {s}}),} и т. д. для всех пропозициональных связок и всех констант истинности, определяемых в языке.
  • Инволютивное отрицание ∼ {\ displaystyle \ sim}\ sim (унарный) может быть добавлено как дополнительное отрицание к t- нормальная логика, остаточное отрицание которой не является само инволютивным, то есть, если оно не подчиняется закону двойного отрицания ¬ ¬ A ↔ A {\ displaystyle \ neg \ neg A \ leftrightarrow A}{\ displaystyle \ neg \ neg A \ leftrightarrow A} . Логика t-нормы L {\ displaystyle L}L , развернутая с инволютивным отрицанием, обычно обозначается L ∼ {\ displaystyle L _ {\ sim}}{\ displaystyle L _ {\ sim}} и называется L {\ displaystyle L}L с инволюцией.
  • Сильная дизъюнкция ⊕ {\ displaystyle \ oplus}\ oplus (двоичный). В контексте субструктурной логики это также называется групповой, интенсиональной, мультипликативной или параллельной дизъюнкцией. Несмотря на то, что он является стандартным для субструктурной логики без сжатия, в нечеткой логике с t-нормой он обычно используется только при наличии инволютивного отрицания, что делает его определяемым (и, таким образом, аксиоматизируемым) законом де Моргана от сильного соединения: B ≡ ∼ (∼ A ∼ B). {\ displaystyle A \ oplus B \ Equiv \ mathrm {\ sim} (\ mathrm {\ sim} A {\ mathbin {\ And}} \ mathrm {\ sim} B).}{\ displaystyle A \ oplus B \ Equiv \ mathrm {\ sim} (\ mathrm {\ sim} A {\ mathbin {\ And}} \ mathrm {\ sim} B).}
    • Дополнительные конъюнкции t-нормы и остаточные последствия . Некоторые выразительно сильные логики t-нормы, например, логика, имеют более одного сильного соединения или остаточного импликации в своем языке. В стандартной вещественной семантике все такие сильные конъюнкции реализуются различными t-нормами, а остаточные импликации - их остатками.

    Правильно сформированные формулы пропозициональной логики t-нормы определяются из пропозициональной переменные (обычно счетно много) с помощью вышеуказанных логических связок, как обычно в пропозициональной логике. Чтобы сохранить круглые скобки, обычно используется следующий порядок приоритета:

    • Унарные связки (связываются наиболее близко)
    • Бинарные связки, кроме импликации и эквивалентности
    • Импликация и эквивалентность ( связываются наиболее свободно)

    Варианты логики t-нормы первого порядка используют обычный логический язык логики первого порядка с указанными выше пропозициональными связками и следующими кванторами :

    • Общий квантор ∀ {\ displaystyle \ forall}\ forall
    • Экзистенциальный квантор ∃ {\ displaystyle \ exists}\ exists

    Вариант первого порядка пропозициональной логики t-нормы L { \ displaystyle L}L обычно обозначается L ∀. {\ displaystyle L \ forall.}{\ displaystyle L \ forall.}

    Семантика

    Алгебраическая семантика преимущественно используется для нечеткой логики с t-нормой высказываний, с тремя основными классами алгебр, относительно которых a t- норма нечеткой логики L {\ displaystyle L}L является завершенной :

    • Общая семантика, состоящая из всего L {\ displaystyle L}L -алгебры - то есть все алгебры, для которых логика звук.
    • Линейная семантика, сформированная из всех линейных L {\ displaystyle L}L -алгебр - то есть, все L {\ displaystyle L}L -алгебры, чей порядок решетки является линейным.
    • Стандартная семантика, сформированная из всех стандартных L {\ displaystyle L}L -алгебры - то есть все L {\ displaystyle L}L -алгебры, редукция решетки которых представляет собой реальный единичный интервал [0, 1] с обычный порядок. В стандартных L {\ displaystyle L}L -алгебрах интерпретация сильной конъюнкции является непрерывной слева t-нормой, а интерпретация большинства пропозициональных связок определяется t-норма (отсюда и названия логики, основанной на t-норме и t-norm L {\ displaystyle L}L -algebras, которая также используется для L {\ displaystyle L}L -алгебр на решетке [0, 1]). В логиках t-нормы с дополнительными связками, однако, действительная интерпретация дополнительных связок может быть ограничена дополнительными условиями для называния алгебры t-нормы стандартной: например, в стандартном L ∼ {\ displaystyle L _ {\ sim}}{\ displaystyle L _ {\ sim}} -алгебры логики L {\ displaystyle L}L с инволюцией, интерпретация дополнительного инволютивного отрицания ∼ {\ displaystyle \ sim}\ sim должен быть стандартной инволюцией f ∼ (x) = 1 - x, {\ displaystyle f _ {\ sim} (x) = 1-x,}{\ displaystyle f _ {\ sim} (x) = 1-x,} , а не другие инволюции, которые также могут интерпретировать ∼ {\ displaystyle \ sim}\ sim сверх t-нормы L ∼ {\ displaystyle L _ {\ sim}}{\ displaystyle L _ {\ sim}} - алгебры. В общем, поэтому определение стандартных алгебр t-нормы должно быть явно дано для логик t-нормы с дополнительными связками.

    Библиография

    • Эстева Ф. и Годо Л., 2001, "Моноидальная t-норма, основанная логика: К логике непрерывных слева t-норм ». Нечеткие множества и системы 124 : 271–288.
    • Фламинио Т. и Маркиони Э., 2006, логики на основе Т-нормы с независимым инволютивным отрицанием. Нечеткие множества и системы 157 : 3125–3144.
    • Готвальд С. и Хайек П., 2005, Математическая нечеткая логика, основанная на треугольных нормах. В E.P. Клемент и Р. Месиар (ред.), Логические, алгебраические, аналитические и вероятностные аспекты треугольных норм, стр. 275–300. Elsevier, Amsterdam 2005.
    • Хайек П., 1998, Метаматематика нечеткой логики. Дордрехт: Клувер. ISBN 0-7923-5238-6.

    Ссылки

    1. ^ Esteva Godo (2001)
    2. ^Лукасевич Й., 1920, O logice trojwartosciowej (польский, О трехзначной логике). Рух филозофический 5 : 170–171.
    3. ^Хэй, Л.С., 1963, Аксиоматизация бесконечнозначного исчисления предикатов. Журнал символической логики 28 : 77–86.
    4. ^Гёдель К., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.
    5. ^Даммет М., 1959, Исчисление высказываний со счетной матрицей, Journal of Symbolic Logic 27 : 97–106
    6. ^Эстева Ф., Годо Л. и Монтанья Ф., 2001, The ŁΠ и ŁΠ½ логики: две полные нечеткие системы, объединяющие Лукасевича и логику продукта, Архив математической логики 40 : 39–67.
    7. ^Синтула П., 2001, Пропозициональная и предикатная логика ŁΠ и ŁΠ½, Нечеткие множества и системы 124 : 289–302.
    8. ^Бааз М., 1996, Бесконечнозначная логика Гёделя с 0-1-проекциями и релятивизациями. В P. Hájek (ed.), Gödel'96: Logical Foundations of Mathematics, Computer Science and Physics, Springer, Lecture Notes in Logic 6 : 23–33
    9. ^Hájek (1998)
    10. ^Фламинио и Маркиони (2006)
Последняя правка сделана 2021-06-09 05:09:10
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте