Шульба Сутры

редактировать

Сутры Шульбы или Шулбастрас (Санскрит шульба: «веревка, шнур, веревка») - тексты сутры, относящиеся к ритуалу Шраута и содержащие геометрию, относящуюся к сооружению огненного алтаря.

Содержание

  • 1 Цель и происхождение
  • 2 Список сутр Шульбы
  • 3 Математика
    • 3.1 Теорема Пифагора и тройки Пифагора
    • 3.2 Геометрия
    • 3.3 Квадратные корни
  • 4 См. Также
  • 5 Цитаты и сноски
  • 6 Ссылки
  • 7 Переводы

Цель и происхождение

Сутры Шульбы являются частью более крупного корпуса текстов, который называется Сутры Шраута, считающихся приложениями к Ведам. Они являются единственными источниками знаний индийской математики из ведического периода. Уникальные формы огненного алтаря ассоциировались с уникальными дарами богов. Например, «желающий неба должен построить жертвенник огня в виде сокола»; «Жертвенник огня в форме черепахи должен быть построен тем, кто желает завоевать мир Брахмана», и «желающие уничтожить существующих и будущих врагов должны построить жертвенник огня в форме ромба».

Четыре основные сутры Шульбы, которые являются математически наиболее значимыми, относятся к Баудхаяне, Манаве, Апастамбе и Катьяяна. Их язык - поздний ведический санскрит, что указывает на сочинение примерно в 1-м тысячелетии до н.э.. Самая старая сутра - это сутра, приписываемая Баудхаяне, возможно, составленная примерно с 800 по 500 год до нашей эры. Пингри говорит, что Апастамба, вероятно, следующий по возрасту; он помещает Катьяяну и Манаву третьей и четвертой в хронологическом порядке на основе очевидных заимствований. По словам Плофкера, Катьяяна была составлена ​​после «великой грамматической кодификации санскрита Панини, вероятно, в середине четвертого века до нашей эры», но она помещает Манаву в тот же период, что и Баудхаяна

.

Что касается состава ведических текстов, то Плофкер пишет:

Ведическое почитание санскрита как священной речи, чьи богооткровенные тексты предназначены для чтения, слушания и запоминания, а не для передачи в письменной форме, помогло сформировать Санскритская литература в целом. … Таким образом, тексты составлялись в форматах, которые можно было легко запомнить: либо сжатые прозаические афоризмы (сутры, слово, которое позже применялось для обозначения правила или алгоритма в целом), либо стихи, особенно в классический период. Естественно, легкость запоминания иногда мешала легкости понимания. В результате большинство трактатов было дополнено одним или несколькими комментариями в прозе… »

Есть несколько комментариев к каждой из сутр Шульбы, но они были написаны намного позже оригинальных работ. Например, комментарий Сундарараджа к Апастамбе, происходит из конца 15 века нашей эры, и комментарий Двараканатхи к Баудхаяне, по-видимому, заимствован из Сундарараджа. Согласно Стаалу, некоторые аспекты традиции, описанной в Шульба-сутрах, должны были «передаваться устно», и он указывает на места в южная часть Индии, где до сих пор практикуется ритуал огненного алтаря и сохраняется устная традиция. Однако традиция огненного алтаря в Индии в значительной степени вымерла, и Плофкер предупреждает, что те места, где сохранилась практика, могут отражать более позднее ведическое возрождение, а не непрерывное Традиция. Археологические свидетельства алтарных построек, описанных в Шульба-сутрах, немногочисленны. Большой жертвенник огня в форме сокола (śyenaciti), датируемый вторым веком до нашей эры, был найден при раскопках Г. Р. Шарма в Каусамби, но этот алтарь не соответствует размерам, предписанным Шульба-сутрами.

Титульный лист договора Шулбасутры индийского математика Катьяяна примерно во II веке до нашей эры.

Содержание Сутр Шульбы, вероятно, старше самих произведений. Сатапатха Брахман и Тайттирия Самхита, содержание которых датируется концом второго тысячелетия или началом первого тысячелетия до н.э., описывают алтари, размеры которых, по-видимому, основаны на прямоугольном треугольнике с ногами 15 пада и 36 пада, один из треугольников, перечисленных в Баудхаяна Шульба Сутра.

Некоторые математики и историки упоминают, что самые ранние из текстов были написаны, начиная с 800 г. до н.э., ведическими индусами на основе компиляций устной традиции датирования. назад в 2000 г. до н.э. Возможно, как предположил Гупта, геометрия была разработана для удовлетворения потребностей ритуала. Некоторые ученые идут дальше: Стааль выдвигает гипотезу об общем ритуальном происхождении индийской и греческой геометрии, ссылаясь на аналогичный интерес и подход к удвоению и другим проблемам геометрического преобразования. Зайденберг, а затем ван дер Варден рассматривают ритуальное происхождение математики в более широком смысле, постулируя, что основные достижения, такие как открытие теоремы Пифагора, произошли только в одном месте и распространились оттуда на весь остальной мир. Ван дер Варден упоминает, что автор сутр Сульбхи существовал до 600 г. до н.э. и не мог находиться под влиянием греческой геометрии. Хотя Бойер упоминает древневавилонскую математику (ок. 2000 г. до н.э. – 1600 г. до н.э.) как возможное происхождение, однако также утверждает, что сутры Шульбы содержат формулу, не найденную в вавилонских источниках. К.С. Кришнан упоминает, что сутры Шульбы предшествуют месопотамским тройкам Пифагора. Зайденберг утверждает, что либо «Старая Вавилония получила теорему Пифагора из Индии, либо что Старая Вавилония и Индия получили ее из третьего источника». Зайденберг предполагает, что этот источник может быть шумерским и может существовать до 1700 г. до н.э. Напротив, Пингри предупреждает, что «было бы ошибкой видеть в работах [строителей алтаря] уникальное происхождение геометрии; другие в Индии и других странах, будь то в ответ на практические или теоретические проблемы, вполне могли продвинуться так далеко без их решения были запомнены или, в конечном итоге, записаны в рукописи ". Плофкер также поднимает вероятность того, что «существующие геометрические знания [были] сознательно включены в ритуальную практику».

Список сутр Шульбы

  1. Апастамба
  2. Баудхаяна
  3. Манава
  4. Катьяяна
  5. ( в чем-то похож на текст Манавы)
  6. Вараха (в рукописи)
  7. (в рукописи)
  8. (аналогично сутрам Апастамба Шульба)

Математика

Теорема Пифагора и тройки Пифагора

Сутры содержат утверждения теоремы Пифагора, как в случае равнобедренного прямоугольного треугольника, так и в общий случай, а также списки троек Пифагора. В Баудхаяне, например, правила приводятся следующим образом:

1.9. Диагональ квадрата дает удвоенную площадь [квадрата].. [...]. 1.12. Площади [квадратов], образованные отдельно длинами ширины прямоугольника, вместе равны площади [квадрата], образованной диагональю.. 1.13. Это наблюдается в прямоугольниках со сторонами 3 и 4, 12 и 5, 15 и 8, 7 и 24, 12 и 35, 15 и 36.

Аналогичным образом, правила Апастамбы для построения прямых углов в огненных алтарях используют следующие пифагорейские правила. тройки:

  • (3, 4, 5) {\ displaystyle (3,4,5)}(3, 4,5)
  • (5, 12, 13) {\ displaystyle (5,12,13)}(5,12,13) ​​
  • (8, 15, 17) {\ displaystyle (8,15,17)}(8, 15,17)
  • (12, 35, 37) {\ displaystyle (12,35,37)}(12,35, 37)

Кроме того, сутры описывают процедуры построения квадрата с площадью, равной либо сумме, либо разности двух данных квадратов. Обе конструкции продолжаются, позволяя самому большому из квадратов быть квадратом на диагонали прямоугольника, а двум меньшим квадратам быть квадратами на сторонах этого прямоугольника. Утверждение, что каждая процедура производит квадрат желаемой площади, эквивалентно утверждению теоремы Пифагора. Другая конструкция дает квадрат с площадью, равной площади данного прямоугольника. Процедура заключается в том, чтобы вырезать прямоугольный кусок из конца прямоугольника и приклеить его сбоку так, чтобы образовался гномон с площадью, равной исходному прямоугольнику. Поскольку гномон представляет собой разность двух квадратов, задачу можно решить, используя одно из предыдущих построений.

Геометрия

Сутра Баудхаяна Шульба дает построение геометрических форм, таких как квадраты и прямоугольники.. Он также дает, иногда приближенные, геометрические преобразования одной геометрической формы в другую с сохранением площади. К ним относятся преобразование квадрата в прямоугольник, равнобедренной трапеции, равнобедренного треугольника, ромб и круг, и преобразование круга в квадрат. В этих текстах приближения, такие как преобразование круга в квадрат, появляются рядом с более точными утверждениями. В качестве примера утверждение об окружении квадрата дано в Баудхаяне как:

2.9. Если желательно превратить квадрат в круг, [шнур длиной] половину диагонали [квадрата] протягивают от центра на восток [его часть, лежащая за пределами восточной стороны квадрата]; с добавлением одной трети [части, лежащей снаружи] к остатку [полудиагонали], рисуется [требуемый] круг.

, и формулировка квадрата круга дается как:

2.10. Чтобы превратить круг в квадрат, диаметр делится на восемь частей; одна [такая] часть после разделения на двадцать девять частей уменьшается на двадцать восемь из них и далее на шестую [оставшуюся часть] за вычетом восьмой [шестой части].. 2.11. Либо разделите [диаметр] на пятнадцать частей и уменьшите его на две части; это дает приблизительную сторону квадрата [желаемое].

Построения в 2.9 и 2.10 дают значение π как 3,088, а построение из 2.11 дает π как 3,004.

Квадратные корни

Строительство алтаря также привело к оценке квадратного корня из 2, как обнаружено в трех сутрах. В сутре Баудхаяны это выглядит так:

2.12. Мера должна быть увеличена на ее треть, а эта [третья] снова на ее собственную четвертую за вычетом тридцать четвертой части [той четвертой]; это [значение] диагонали квадрата [сторона которого является мерой].

что приводит к значению квадратного корня из двух как:

2 ≈ 1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4–1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 577 408 = 1,4142... {\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ приблизительно 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4}} - {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}} = {\ frac {577} {408}} = 1.4142...}{\ sqrt {2}} \ приблизительно 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1 } {3 \ cdot 4}} - {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}} = {\ frac {577} {408}} = 1,4142...

Действительно, ранний метод вычисления квадратных корней можно найти в некоторых сутрах, метод использует рекурсивную формулу: x ≈ x - 1 + 1 2 ⋅ x - 1 {\ displaystyle {\ sqrt {x}} \ приблизительно {\ sqrt {x-1}} + {\ frac {1} {2 \ cdot {\ sqrt {x-1}}}}}{\ sqrt {x}} \ приблизительно {\ sqrt {x-1}} + {\ frac {1} {2 \ cdot {\ sqrt {x-1}}}} для больших значений x, который основан на нерекурсивном тождестве a 2 + r ≈ a + r 2 ⋅ a {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + r}} \ приблизительно a + {\ frac {r} {2 \ cdot a}}}{\ sqrt {a ^ {2} + r}} \ приблизительно a + {\ frac {r} {2 \ cdot a}} для значений r чрезвычайно малых относительно a.

Также было высказано предположение, например, Бюрком, что это приближение √2 подразумевает знание того, что √2 иррационально. В своем переводе «Элементов Евклида» Хит очерчивает ряд вех, необходимых для того, чтобы иррациональность считалась обнаруженной, и указывает на отсутствие доказательств того, что индийская математика достигла этих вех в эпоху сутр Шульбы.

См. Также

В Викицитаторе есть цитаты, относящиеся к: Шульба Сутры

Цитаты и сноски

Ссылки

Переводы

  • «Шулвасутра Баудхаяны с комментарием Двараканатхайаджвана» Джорджа Тибо была опубликована в серии выпусков журнала «Пандит». Ежемесячный журнал Бенаресского колледжа, посвященный санскритской литературе. Обратите внимание, что комментарий оставлен без перевода.
  • «Шулбапаришишта Катьяны с комментарием Рамы, сына Сурьядасы» Джорджа Тибо была опубликована в серии выпусков журнала «Пандит». Ежемесячный журнал Бенаресского колледжа, посвященный санскритской литературе. Обратите внимание, что комментарий оставлен без перевода.
  • Бюрк, Альберт (1902). "Das pastamba-ulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen". Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (на немецком языке). 56 : 327–391. Транскрипция и анализ в Bürk (1901).
  • Sen, S.N.; Сумка, A.K. (1983). Шульба-сутры Баудхаяны, Апастамбы, Катьяяны и Манавы с текстом, английским переводом и комментариями. Нью-Дели: Индийская национальная академия наук.
Последняя правка сделана 2021-06-08 07:14:30
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте