Реальный элемент

В теории групп, дисциплине в современной алгебре, элемент $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$из group $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$называется реальным элементом из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, если он принадлежит к тому же классу сопряженности, что и его inverse $x\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{-\; 1\; \}\}$, то есть если есть $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$с $xg\; =\; x\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{g\}\; =\; x\; ^\; \{-\; 1\}\}$, где $xg\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{g\}\}$- определяется как $g\; -\; 1\; \cdot \; x\; \cdot \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; cdot\; x\; \backslash \; cdot\; g\}$. Элемент $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$из группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$называется строго реальным, если существует инволюция $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$с $xt\; =\; x\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{t\}\; =\; x\; ^\; \{-\; 1\}\}$.

An элемент $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$является реальным тогда и только тогда, когда для всех представлений $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, trace $T\; r\; (\rho \; (g))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Tr\}\; (\backslash \; rho\; (g))\}$соответствующей матрицы является действительным числом. Другими словами, элемент $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$является реальным тогда и только тогда, когда $\chi \; (\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (x)\}$- действительное число для всех символов $\chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\}$из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$.

Группа с каждым вещественным элементом называется группой. Каждая амбивалентная группа имеет настоящую таблицу символов . Симметричная группа $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\}$любой степени $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$амбивалентна.

• 1 Свойства
• 2 Расширенный централизатор
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Группа с реальными элементами, отличными от идентичности элемент обязательно имеет четный порядок.

Для реального элемента $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, количество элементов группы $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$с $xg\; =\; x\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{g\}\; =\; x\; ^\; \{-\; 1\}\}$равно $|\; C\; G\; (x)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; C\_\; \{G\}\; (x)\; \backslash \; right\; |\}$, где $CG\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{G\}\; (x)\}$- централизатор из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$,

$CG\; (x)\; =\; \{g\; \in \; G\; \mid \; xg\; =\; x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{C\}\; \_\; \{G\}\; (x)\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; G\; \backslash \; mid\; x\; ^\; \{g\}\; =\; x\; \backslash \}\}$.

Всякая инволюция сильно вещественна. Более того, каждый элемент, являющийся продуктом двух инволюций, сильно реален. И наоборот, каждый сильно вещественный элемент является продуктом двух инволюций.

Если $x\; \ne \; e\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; neq\; e\}$и $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$реально в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и $|\; C\; G\; (x)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; C\_\; \{G\}\; (x)\; \backslash \; right\; |\}$нечетно, тогда $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$строго реально в $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$.

Расширенный центратор элемента $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$определяется как

$CG\; \ast \; (x)\; =\; \{g\; \in \; G\; \mid \; xg\; =\; x\; \vee \; xg\; =\; x\; -\; 1\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{C\}\; \_\; \{G\; \}\; ^\; \{*\}\; (x)\; =\; \backslash \; \{g\; \backslash \; in\; G\; \backslash \; mid\; x\; ^\; \{g\}\; =\; x\; \backslash \; lor\; x\; ^\; \{g\}\; =\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \},\}$

делая расширенный централизатор элемент $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, равный нормализатору набора $\{x,\; x\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{x,\; x\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

Расширенный централизатор элемента группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$всегда является подгруппой $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \}$. Для инволюций или нереальных элементов централизатор и расширенный централизатор равны. Для реального элемента $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, который не является инволюцией,

$|\; C\; G\; \ast \; (x):\; C\; G\; (x)\; |\; =\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; mathrm\; \{C\}\; \_\; \{G\}\; ^\; \{*\}\; (x):\; \backslash \; mathrm\; \{C\}\; \_\; \{G\}\; (x)\; \backslash \; right\; |\; =\; 2.\}$

• Теорема Брауэра – Фаулера

• Даниэль Горенштейн (2007) [перепечатка работы, первоначально опубликованной в 1980 году]. Конечные группы. AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821843420.
• Айзекс, И. Мартин (1994) [полное исправленное переиздание работы, впервые опубликованной Academic Press, Нью-Йорк в 1976 году]. Теория характеров конечных групп. Dover Publications. ISBN 978-0486680149. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Роуз, Джон С. (2012) [полное и неизменное переиздание произведения впервые опубликовано издательством Cambridge University Press, Кембридж, Англия, в 1978 г.]. Курс теории групп. Dover Publications. ISBN 0-486-68194-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка )