Столярского

редактировать

В математике, то среднее Stolarsky является обобщением логарифмического среднего. Он был введен Кеннетом Б. Столярски в 1975 году.

Содержание

Определение

Для двух положительных действительных чисел x, y среднее значение Столярского определяется как:

{\ Displaystyle {\ begin {align} S_ {p} (x, y) amp; = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} \ left ({\ frac {\ xi ^ { p} - \ eta ^ {p}} {p (\ xi - \ eta)}} \ right) ^ {1 / (p-1)} \\ [10pt] amp; = {\ begin {cases} x amp; {\ текст {if}} x = y \\\ left ({\ frac {x ^ {p} -y ^ {p}} {p (xy)}} \ right) ^ {1 / (p-1)} amp; {\ text {else}} \ end {case}} \ end {align}}}

\ begin {align} S_p (x, y) amp; = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} \ left ({\ frac {\ xi ^ p- \ eta ^ p} {p (\ xi- \ eta)}} \ right) ^ {1 / (p-1)} \\ [10pt] amp; = \ begin {cases} x amp; \ text {if} x = y \\ \ left ({ \ frac {x ^ py ^ p} {p (xy)}} \ right) ^ {1 / (p-1)} amp; \ text {else} \ end {case} \ end {align}

Вывод

Это вытекает из теоремы о среднем значении, в котором говорится, что в секущей линии, резки график в дифференцируемых функций на и, имеет такой же наклон, как линии, касательной к графику в некоторой точке в интервале. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle (х, е (х))}$ $(х, е (х))$ ${\ Displaystyle (у, е (у))}$ $(у, ф (у))$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ ${\ Displaystyle [х, у]}$ $[x, y]$

{\ Displaystyle \ существует \ xi \ in [x, y] \ f '(\ xi) = {\ frac {f (x) -f (y)} {xy}}}

\ существует \ xi \ in [x, y] \ f '(\ xi) = \ frac {f (x) -f (y)} {xy}

Среднее значение Столярского получается

{\ Displaystyle \ xi = f '^ {- 1} \ left ({\ frac {f (x) -f (y)} {xy}} \ right)}

\ xi = f '^ {- 1} \ left (\ frac {f (x) -f (y)} {xy} \ right)

при выборе. ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {р}}$ $f (x) = x ^ {p}$

Особые случаи

${\ displaystyle \ lim _ {p \ to - \ infty} S_ {p} (x, y)}$ $\ lim_ {p \ to - \ infty} S_p (x, y)$ это минимум.
${\ Displaystyle S _ {- 1} (х, у)}$ $S _ {- 1} (х, у)$ - среднее геометрическое.
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} S_ {p} (x, y)}$ $\ lim_ {p \ to 0} S_p (x, y)$ - среднее логарифмическое. Его можно получить из теоремы о среднем, выбрав. ${\ Displaystyle е (х) = \ пер х}$ $е (х) = \ ln х$
${\ Displaystyle S _ {\ гидроразрыва {1} {2}} (х, у)}$ $S _ {\ frac {1} {2}} (х, у)$ - среднее значение с показателем степени. ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ frac {1} {2}}$
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to 1} S_ {p} (x, y)}$ $\ lim_ {p \ to 1} S_p (х, у)$ это identric среднее. Его можно получить из теоремы о среднем, выбрав. ${\ Displaystyle е (х) = х \ CDOT \ пер х}$ $е (х) = х \ cdot \ ln x$
${\ Displaystyle S_ {2} (х, у)}$ $S_2 (х, у)$ - среднее арифметическое.
${\ Displaystyle S_ {3} (x, y) = QM (x, y, GM (x, y))}$ $S_3 (х, у) = QM (х, у, GM (х, у))$ является подключение к квадратичным средним и средним геометрическим.
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} S_ {p} (x, y)}$ $\ lim_ {p \ to \ infty} S_p (x, y)$ это максимум.