Дрейф Стокса

редактировать
Пространство плавников вдоль северного побережья штата Вашингтон. Стоксов дрейф - помимо, например, дрейфа Экмана и геострофических течений - является одним из важных процессов в переносе морского мусора. Стоксы дрейфуют в глубоководных волнах, длина которых примерно в два раза больше глубины воды. Щелкните здесь, чтобы просмотреть анимацию (4,15 МБ). Описание (также анимация): Красные кружки - текущие положения безмассовых частиц, движущихся со скоростью потока. Голубая линия показывает путь этих частиц, а голубая линия обводит положение частицы после каждого периода волны. Белые точки - это жидкие частицы, за которыми также следует во времени. В показанном здесь случае средняя эйлерова горизонтальная скорость ниже впадины волны равна нулю. Обратите внимание, что период волны, испытываемой жидкой частицей вблизи свободной поверхности, отличается от периода волны в фиксированном горизонтальном положении (как показано голубыми кружками). Это связано с доплеровским сдвигом. Стоксы дрейфуют на мелководных волнах, длина которых намного превышает глубину воды. Щелкните здесь, чтобы просмотреть анимацию (1,29 МБ). Описание (также анимация): Красные кружки - текущие положения безмассовых частиц, движущихся со скоростью потока. Голубая линия показывает путь этих частиц, а голубая линия обводит положение частицы после каждого периода волны. Белые точки - это жидкие частицы, за которыми также следует во времени. В показанном здесь случае средняя эйлерова горизонтальная скорость ниже впадины волны равна нулю. Обратите внимание, что период волны, испытываемой жидкой частицей вблизи свободной поверхности, отличается от периода волны в фиксированном горизонтальном положении (как показано голубыми кружками). Это связано с доплеровским сдвигом.

Для чистого волнового движения в динамике жидкости, то скорость дрейфа Стокса является средней скоростью, когда после определенной жидкости участка, как он перемещается с потоком текучей среды. Так, например, частица с плавающей на свободную поверхность от воды волн, испытывает скорость дрейфа чистого Стокса в направлении распространения волн.

В более общем плане, скорость дрейфа Стокса представляет собой разность между средней лагранжевой скоростью потока посылки жидкости и средней эйлеровой скоростью потока из жидкости в фиксированном положении. Это нелинейное явление названо в честь Джорджа Габриэля Стокса, который вывел выражения для этого дрейфа в своем исследовании волн на воде в 1847 году.

Дрейфа Стокса разница в конечных положениях, по истечении заранее определенного периода времени (обычно один период волны ), как получено из описания в функции Лагранжа и Эйлера координат. Конечное положение в лагранжевом описании получается путем отслеживания определенного участка флюида в течение временного интервала. Соответствующее конечное положение в эйлеровом описании получается путем интегрирования скорости потока в фиксированном положении - равном начальному положению в лагранжевом описании - в течение того же временного интервала.

Скорость стоксова дрейфа равна стоксову дрейфу, деленному на рассматриваемый интервал времени. Часто скорость стоксова дрейфа свободно называют стоксовым дрейфом. Стоксов дрейф может иметь место во всех случаях колебательного течения, неоднородного в пространстве. Например, водные волны, приливы и атмосферные волны.

В лагранжевом описании частицы жидкости могут дрейфовать далеко от своих исходных положений. В результате однозначное определение средней лагранжевой скорости и скорости стоксова дрейфа, которые можно отнести к некоторому фиксированному положению, отнюдь не является тривиальной задачей. Однако такое недвусмысленное описание дает теория обобщенного лагранжевого среднего (GLM) Эндрюса и Макинтайра в 1978 году.

Стоксов дрейф важен для массопереноса всех видов материалов и организмов колебательными потоками. Кроме того, дрейф Стокса важен для генерации ленгмюровских циркуляций. Для нелинейных и периодических волн на воде точные результаты по дрейфу Стокса были вычислены и сведены в таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Математическое описание
  • 2 Пример: одномерный сжимаемый поток
  • 3 Пример: глубокие водные волны
    • 3.1 Вывод
  • 4 См. Также
  • 5 ссылки
    • 5.1 Исторический
    • 5.2 Другое
  • 6 Примечания

Математическое описание

Лагранжиан движение посылки по текучей среде с позиции вектора х = ξ ( α, т) в эйлеровых координатах определяется по формуле:

ξ ˙ знак равно ξ т знак равно ты ( ξ , т ) , {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ xi}}} \, = \, {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ xi}}} {\ partial t}} \, = \, {\ boldsymbol { u}} ({\ boldsymbol {\ xi}}, t),}

где ∂ ξ / ∂t - частная производная от ξ ( α, t) по t, а

ξ ( α, t) - лагранжев вектор положения жидкой посылки,
u ( x, t) - эйлерова скорость,
x - вектор положения в системе координат Эйлера,
α - вектор положения в лагранжевой системе координат,
т является время.

Часто лагранжевые координаты α выбираются так, чтобы они совпадали с эйлеровыми координатами x в начальный момент времени t = t 0  :

ξ ( α , т 0 ) знак равно α . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ xi}} ({\ boldsymbol {\ alpha}}, t_ {0}) \, = \, {\ boldsymbol {\ alpha}}.}

Но возможны и другие способы маркировки пакетов с жидкостью.

Если среднее значение величины обозначено чертой сверху, то вектор средней эйлеровой скорости ū E и средний лагранжев вектор скорости ū L равны:

ты ¯ E знак равно ты ( Икс , т ) ¯ , ты ¯ L знак равно ξ ˙ ( α , т ) ¯ знак равно ( ξ ( α , т ) т ) ¯ знак равно ты ( ξ ( α , т ) , т ) ¯ . {\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {\ boldsymbol {u}}} _ {E} \, amp; = \, {\ overline {{\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {x}}, t)}}, \\ {\ overline {\ boldsymbol {u}}} _ {L} \, amp; = \, {\ overline {{\ dot {\ boldsymbol {\ xi}}}} ({\ boldsymbol {\ alpha}}, t)}} \, = \, {\ overline {\ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ xi}} ({\ boldsymbol {\ alpha}}, t)} {\ partial t}} \ right)}} \, = \, {\ overline {{\ boldsymbol {u}} ({\ boldsymbol {\ xi}} ({\ boldsymbol {\ alpha}}, t), t)}}. \ end {выровнено}}}

В зависимости от предмета исследования могут использоваться разные определения среднего, см. Эргодическую теорию :

Скорость стоксова дрейфа ū S определяется как разница между средней эйлеровой скоростью и средней лагранжевой скоростью:

ты ¯ S знак равно ты ¯ L - ты ¯ E . {\ displaystyle {\ overline {\ boldsymbol {u}}} _ {S} \, = \, {\ overline {\ boldsymbol {u}}} _ {L} \, - \, {\ overline {\ boldsymbol { u}}} _ {E}.}

Во многих ситуациях отображение средних величин из некоторой эйлеровой позиции x в соответствующую лагранжевую позицию α представляет собой проблему. Поскольку жидкий участок с меткой α проходит по пути, состоящему из множества различных эйлеровых позиций x, невозможно присвоить α уникальному x. Математически надежную основу для однозначного отображения между средними лагранжевыми и эйлеровыми величинами дает теория обобщенного лагранжевого среднего (GLM) Эндрюса и Макинтайра (1978).

Пример: одномерный сжимаемый поток

Для эйлеровой скорости как монохроматической волны любой природы в сплошной среде: легко получить по теории возмущений - с малым параметром - для положения частицы ты знак равно ты ^ грех ( k Икс - ω т ) , {\ displaystyle u = {\ hat {u}} \ sin \ left (kx- \ omega t \ right),} k ты ^ / ω {\ displaystyle к {\ hat {u}} / \ omega} Икс знак равно ξ ( ξ 0 , т ) : {\ Displaystyle х = \ хи (\ хи _ {0}, т):}

ξ ˙ знак равно ты ( ξ , т ) знак равно ты ^ грех ( k ξ - ω т ) , {\ Displaystyle {\ точка {\ xi}} = \, {u} ({\ xi}, t) = {\ hat {u}} \ sin \, \ left (k \ xi - \ omega t \ right),}
ξ ( ξ 0 , т ) ξ 0 + ты ^ ω потому что ( k ξ 0 - ω т ) - 1 4 k ты ^ 2 ω 2 грех 2 ( k ξ 0 - ω т ) + 1 2 k ты ^ 2 ω т . {\ displaystyle \ xi (\ xi _ {0}, t) \ приблизительно \ xi _ {0} + {\ frac {\ hat {u}} {\ omega}} \ cos (k \ xi _ {0} - \ omega t) - {\ frac {1} {4}} {\ frac {k {\ hat {u}} ^ {2}} {\ omega ^ {2}}} \ sin 2 (k \ xi _ { 0} - \ omega t) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {k {\ hat {u}} ^ {2}} {\ omega}} t.}

Здесь последнее слагаемое описывает скорость стоксова дрейфа 1 2 k ты ^ 2 / ω . {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} k {\ hat {u}} ^ {2} / \ omega.}

Пример: волны на глубокой воде.

Стоксы дрейфуют под периодическими волнами на большой глубине в течение периода T  = 5 с и средней глубины воды 25 м. Слева: мгновенные значения скорости горизонтального потока. Справа: средние скорости потока. Черная сплошная линия: средняя эйлерова скорость; красная пунктирная линия: средняя лагранжева скорость, полученная из обобщенного лагранжевого среднего (GLM). Смотрите также: теория волны Эйри и волна Стокса

В Стоксе дрейф был сформулирован для водных волн от Джорджа Габриэля Стокса в 1847. Для простоты, случай бесконечного -deep воды рассматриваются, с линейным распространением волн в виде синусоидальной волны на свободную поверхность слоя жидкости:

η знак равно а потому что ( k Икс - ω т ) , {\ Displaystyle \ эта \, = \, а \, \ соз \, \ влево (кх- \ омега т \ вправо),}

где

η является высотой от свободной поверхности в г -направления (м),
а - амплитуда волны (в метрах),
k - волновое число : k = 2π / λ ( радиан на метр),
ω - угловая частота : ω = 2π / T ( радиан в секунду ),
x - горизонтальная координата и направление распространения волны (в метрах),
z - вертикальная координата с положительным направлением z, указывающим из слоя жидкости (в метрах),
λ - длина волны (в метрах), а
T - период волны ( секунды ).

Как показано ниже, горизонтальная составляющая ū S ( z) скорости стоксова дрейфа для глубоководных волн приблизительно равна:

ты ¯ S ω k а 2 е 2 k z знак равно 4 π 2 а 2 λ Т е 4 π z / λ . {\ displaystyle {\ overline {u}} _ {S} \, \ приблизительно \, \ omega \, k \, a ^ {2} \, {\ text {e}} ^ {2kz} \, = \, {\ frac {4 \ pi ^ {2} \, a ^ {2}} {\ lambda \, T}} \, {\ text {e}} ^ {4 \ pi \, z / \ lambda}.}

Как видно, скорость стоксова дрейфа ū S является нелинейной величиной в терминах амплитуды волны a. Кроме того, скорость стоксова дрейфа экспоненциально спадает с глубиной: на глубине четверти длины волны z = -¼ λ она составляет около 4% от ее значения на средней свободной поверхности, z = 0.

Вывод

Предполагается, что волны имеют бесконечно малую амплитуду, а свободная поверхность колеблется около среднего уровня z = 0. Эти волны распространяются под действием силы тяжести, с постоянным ускорением вектором с помощью силы тяжести (указывая вниз в отрицательном г -направления). Далее предполагается, что жидкость невязкая и несжимаемая с постоянной плотностью массы. Жидкости поток является безвихревым. Считается, что на бесконечной глубине жидкость находится в состоянии покоя.

Теперь поток может быть представлен потенциалом скорости φ, удовлетворяющим уравнению Лапласа и

φ знак равно ω k а е k z грех ( k Икс - ω т ) . {\ displaystyle \ varphi \, = \, {\ frac {\ omega} {k}} \, a \; {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \, \ left (kx- \ omega t \ right).}

Для того чтобы иметь нетривиальное решение для этого собственных значений проблемы, длина волны и период волны не могут быть выбраны произвольно, но должны удовлетворять глубоководное дисперсии соотношения:

ω 2 знак равно грамм k . {\ Displaystyle \ omega ^ {2} \, = \, г \, к.}

с г на ускорение по тяжести в ( м / с 2). В рамках линейной теории горизонтальная и вертикальная компоненты ξ x и ξ z соответственно лагранжевой позиции ξ равны:

ξ Икс знак равно Икс + φ Икс d т знак равно Икс - а е k z грех ( k Икс - ω т ) , ξ z знак равно z + φ z d т знак равно z + а е k z потому что ( k Икс - ω т ) . {\ displaystyle {\ begin {align} \ xi _ {x} \, amp; = \, x \, + \, \ int \, {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \; {\ текст {d}} t \, = \, x \, - \, a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \, \ left (kx- \ omega t \ right), \ \\ xi _ {z} \, amp; = \, z \, + \, \ int \, {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial z}} \; {\ text {d}} t \, = \, z \, + \, a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ cos \, \ left (kx- \ omega t \ right). \ end {align}}}

Горизонтальная составляющая ū S скорости стоксова дрейфа оценивается с помощью разложения Тейлора вокруг x эйлеровой компоненты горизонтальной скорости u x = ∂ξ x / ∂t в положении ξ  :

ты ¯ S знак равно ты Икс ( ξ , т ) ¯ - ты Икс ( Икс , т ) ¯ знак равно [ ты Икс ( Икс , т ) + ( ξ Икс - Икс ) ты Икс ( Икс , т ) Икс + ( ξ z - z ) ты Икс ( Икс , т ) z + ] ¯ - ты Икс ( Икс , т ) ¯ ( ξ Икс - Икс ) 2 ξ Икс Икс т ¯ + ( ξ z - z ) 2 ξ Икс z т ¯ знак равно [ - а е k z грех ( k Икс - ω т ) ] [ - ω k а е k z грех ( k Икс - ω т ) ] ¯ + [ а е k z потому что ( k Икс - ω т ) ] [ ω k а е k z потому что ( k Икс - ω т ) ] ¯ знак равно ω k а 2 е 2 k z [ грех 2 ( k Икс - ω т ) + потому что 2 ( k Икс - ω т ) ] ¯ знак равно ω k а 2 е 2 k z . {\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {u}} _ {S} \, amp; = \, {\ overline {u_ {x} ({\ boldsymbol {\ xi}}, t)}} \, - \, {\ overline {u_ {x} ({\ boldsymbol {x}}, t)}} \, \\ amp; = \, {\ overline {\ left [u_ {x} ({\ boldsymbol {x} }, t) \, + \, \ left (\ xi _ {x} -x \ right) \, {\ frac {\ partial u_ {x} ({\ boldsymbol {x}}, t)} {\ partial x}} \, + \, \ left (\ xi _ {z} -z \ right) \, {\ frac {\ partial u_ {x} ({\ boldsymbol {x}}, t)} {\ partial z }} \, + \, \ cdots \ right]}} - \, {\ overline {u_ {x} ({\ boldsymbol {x}}, t)}} \\ amp; \ приблизительно \, {\ overline {\ left (\ xi _ {x} -x \ right) \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ xi _ {x}} {\ partial x \, \ partial t}}}} \, + \, {\ overline {\ left (\ xi _ {z} -z \ right) \, {\ frac {\ partial ^ {2} \ xi _ {x}} {\ partial z \, \ partial t}}}} \\ amp; = \, {\ overline {{\ bigg [} -a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg ]} \, {\ bigg [} - \ omega \, k \, a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ sin \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg]}}} \, \\ amp; + \, {\ overline {{\ bigg [} a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ cos \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg]} \, {\ bigg [} \ omega \, k \, a \, {\ text {e}} ^ {kz} \, \ cos \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg]}}} \, \\ amp; = \, {\ ov erline {\ omega \, k \, a ^ {2} \, {\ text {e}} ^ {2kz} \, {\ bigg [} \ sin ^ {2} \, \ left (kx- \ omega t \ right) + \ cos ^ {2} \, \ left (kx- \ omega t \ right) {\ bigg]}}} \\ amp; = \, \ omega \, k \, a ^ {2} \, {\ text {e}} ^ {2kz}. \ end {align}}}

Смотрите также

Рекомендации

Исторический

Другой

  • Д. Г. Эндрюс и М. Е. Макинтайр (1978). «Точная теория нелинейных волн на лагранжевом среднем потоке». Журнал гидромеханики. 89 (4): 609–646. Bibcode : 1978JFM.... 89..609A. DOI : 10.1017 / S0022112078002773.
  • ДОБАВИТЬ Крейк (1985). Волновые взаимодействия и потоки жидкости. Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-36829-2.
  • М. С. Лонге-Хиггинс (1953). «Массовый транспорт в водных волнах». Философские труды Королевского общества А. 245 (903): 535–581. Bibcode : 1953RSPTA.245..535L. DOI : 10.1098 / rsta.1953.0006.
  • Филлипс, OM (1977). Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-29801-8.
  • Г. Фалькович (2011). Механика жидкости (Краткий курс для физиков). Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-1-107-00575-4.
  • Кубота, М. (1994). «Механизм накопления плавающего морского мусора к северу от Гавайев». Журнал физической океанографии. 24 (5): 1059–1064. Bibcode : 1994JPO.... 24.1059K. DOI : 10,1175 / 1520-0485 (1994) 024 lt;тысяча пятьдесят девять: AMFTAOgt; 2.0.CO; 2.

Заметки

Последняя правка сделана 2024-01-10 02:48:56
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте