Лемма Штейна

Лемма Штейна, названный в честь Чарльза Штейна, является теорема о теории вероятностей, что представляет интерес в первую очередь из - за ее применения в статистических выводов - в частности, для оценки Джеймса-Стейна и эмпирических методов Байеса - и ее приложения к теории выбора портфеля. Теорема дает формулу ковариации одной случайной величины со значением функции другой, когда две случайные величины совместно нормально распределены.

• 1 Утверждение леммы
• 2 Доказательство
• 3 Более общее заявление
• 4 См. Также
• 5 ссылки

Предположим, что X - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием μ и дисперсией σ ². Далее предположим, что g - функция, для которой существуют два ожидания E ( g ( X) ( X - μ)) и E ( g ′ ( X)). (Существование ожидания любой случайной величины равносильно конечности ожидания ее абсолютного значения. ) Тогда

${\ displaystyle E {\ bigl (} g (X) (X- \ mu) {\ bigr)} = \ sigma ^ {2} E {\ bigl (} g '(X) {\ bigr)}.}$

В общем, предположим, что X и Y совместно нормально распределены. потом

${\ displaystyle \ operatorname {Cov} (g (X), Y) = \ operatorname {Cov} (X, Y) E (g '(X)).}$

Одномерная функция плотности вероятности для одномерного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 имеет вид

${\ displaystyle \ varphi (x) = {1 \ over {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

а плотность для нормального распределения с математическим ожиданием μ и дисперсией σ ² равна

${\ displaystyle {1 \ over \ sigma} \ \ varphi \ left ({x- \ mu \ over \ sigma} \ right).}$

Затем используйте интеграцию по частям.

Предположим, что X принадлежит экспоненциальному семейству, то есть X имеет плотность

${\ displaystyle f _ {\ eta} (x) = \ exp (\ eta 'T (x) - \ Psi (\ eta)) h (x).}$

Предположим, что у этой плотности есть носитель, где может быть и как, где - любая дифференцируемая функция, такая что или если конечна. потом ${\ Displaystyle (а, б)}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle - \ infty, \ infty}$${\ displaystyle x \ rightarrow a {\ text {или}} b}$${\ Displaystyle \ ехр (\ eta 'T (x)) час (x) g (x) \ rightarrow 0}$${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle E | g '(X) | lt;\ infty}$${\ Displaystyle \ ехр (\ eta 'T (x)) час (x) \ rightarrow 0}$${\ displaystyle a, b}$

${\ displaystyle E ((h '(X) / h (X) + \ sum \ eta _ {i} T_ {i}' (X)) g (X)) = - Eg '(X).}$

Вывод такой же, как и в частном случае, а именно интегрирование по частям.

Если бы мы только знали, что у нас есть поддержка, то это могло быть так, но. Чтобы увидеть это, проще говоря, и с бесконечными всплесками к бесконечности, но все же интегрируемым. Один такой пример можно было бы адаптировать, чтобы он был гладким. ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle E | g (X) | lt;\ infty {\ text {and}} E | g '(X) | lt;\ infty}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} f _ {\ eta} (x) g (x) \ not = 0}$${\ Displaystyle г (х) = 1}$${\ displaystyle f _ {\ eta} (х)}$${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} 1 amp; x \ in [n, n + 2 ^ {- n}) \\ 0 amp; {\ text {else}} \ end {cases}}}$${\ displaystyle f}$

Также существуют расширения для распределений с эллиптическими контурами.

• Метод Штейна
• Разложения Тейлора для моментов функций случайных величин

1. ^ Ингерсолл, Дж., Теория принятия финансовых решений, Роуман и Литтлфилд, 1987: 13-14.
2. ^ Селье, Доминик; Фурдринье, Доминик; Роберт, Кристиан (1989). «Робастные оценки усадки параметра местоположения для эллиптически симметричных распределений». Журнал многомерного анализа. 29 (1): 39–52. DOI : 10.1016 / 0047-259X (89) 90075-4.
3. ^ Хамада, Махмуд; Вальдес, Эмилиано А. (2008). «CAPM и ценообразование опционов с эллиптически очерченными распределениями». Журнал рисков и страхования. 75 (2): 387–409. CiteSeerX 10.1.1.573.4715. DOI : 10.1111 / j.1539-6975.2008.00265.x.  
4. ^ Ландсман, Зиновий; Нешлехова, Йоханна (2008). «Лемма Штейна для эллиптических случайных векторов». Журнал многомерного анализа. 99 (5): 912–927. DOI : 10.1016 / j.jmva.2007.05.006.