Стандартная оценка

сколько стандартных отклонений, кроме среднего, составляет наблюдаемая величина

Сравнивает различные методы оценки в нормальном распределении. Включает: стандартные отклонения, кумулятивные проценты, эквиваленты процентилей, Z-баллы, T-баллы

В статистике стандартный балл - это количество стандартных отклонения, при которых значение необработанной оценки (т. е. наблюдаемого значения или точки данных) выше или ниже среднего значения того, что наблюдается или измеряется. Исходные баллы выше среднего имеют положительные стандартные баллы, тогда как баллы ниже среднего имеют отрицательные стандартные баллы.

Он рассчитывается путем вычитания среднего значения для индивидуальной исходной оценки и последующего деления разницы на генеральное стандартное отклонение. Этот процесс преобразования исходной оценки в стандартную оценку называется стандартизацией или нормализацией (однако «нормализация» может относиться ко многим типам соотношений; см. нормализация для большего).

Стандартные оценки чаще всего называются z-оценками ; эти два термина могут использоваться как синонимы, как и в этой статье. Другие термины включают z-значения, нормальные оценки, и стандартизованные переменные. .

Для вычисления z-оценки необходимо знать среднее значение и стандартное отклонение для всей совокупности, к которой принадлежит точка данных; если имеется только образец наблюдений от совокупности, то аналогичное вычисление с выборочным средним и выборочным стандартным отклонением дает t-статистику.

• 1 Расчет
• 2 Приложения
  • 2.1 Z-тест
  • 2.2 Интервалы прогнозирования
  • 2.3 Управление процессом
  • 2.4 Сравнение оценок, полученных по разным шкалам: ACT и SAT
  • 2.5 Процент наблюдений ниже z-значения
  • 2.6 Кластерный анализ и многомерное масштабирование
  • 2.7 Анализ основных компонентов
  • 2.8 Относительная важность переменных в множественной регрессии: стандартизованные коэффициенты регрессии
• 3 Стандартизация в математической статистике
• 4 Т-балл
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература
• 8 Внешние ссылки

Если известны среднее значение генеральной совокупности и стандартное отклонение генеральной совокупности, исходная оценка x преобразуется в стандартную оценку на

$z\; =\; x\; -\; \mu \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{x-\; \backslash \; mu\; \backslash \; over\; \backslash \; sigma\}\}$

, где:

μ - среднее населения на.

σ - стандартное отклонение генеральной совокупности.

Абсолютное значение z представляет собой расстояние между исходной оценкой x и средним генеральным значением в единицы стандартного отклонения. z отрицательно, если исходная оценка ниже среднего, и положительна, когда выше.

Для вычисления z с использованием этой формулы требуется среднее значение генеральной совокупности и стандартное отклонение генеральной совокупности, а не выборочное среднее или отклонение выборки. Но знать истинное среднее значение и стандартное отклонение генеральной совокупности часто нереально, за исключением таких случаев, как стандартизованное тестирование, когда измеряется вся совокупность.

Если среднее значение генеральной совокупности и стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестны, стандартный балл может быть рассчитан с использованием выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения в качестве оценок значений генеральной совокупности.

В этих случаях z -счет:

$z\; =\; x\; -\; x\; ¯\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{x\; -\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; \backslash \; over\; S\}\}$

где:

$x\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\}$- среднее выборки.

S - стандартное отклонение выборки.

В любом случае, поскольку числитель и знаменатель уравнения должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения, и поскольку единицы компенсируются посредством деления, z остается как безразмерная величина.

Z-тест

Z-оценка часто используется в z-тесте стандартизованного тестирования - аналог t-теста Стьюдента для населения, параметры которого известны, а не оцениваются. Поскольку знать всю совокупность очень необычно, гораздо более широко используется t-критерий.

Интервалы прогнозирования

Стандартная оценка может использоваться при вычислении интервалов прогнозирования. Интервал прогнозирования [L, U], состоящий из нижней конечной точки, обозначенной L, и верхней конечной точки, обозначенной U, представляет собой интервал, такой, что будущее наблюдение X будет лежать в интервале с высокой вероятностью $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$, т.е.

Для стандартной оценки Z для X это дает:

Путем определения квантиля z таким образом, что

следует:

$L\; =\; \mu \; -\; z\; \sigma ,\; U\; =\; \mu \; +\; z\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; mu\; -z\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; U\; =\; \backslash \; mu\; +\; z\; \backslash \; sigma\}$

Управление процессами

В приложениях управления процессами значение Z дает оценку того, насколько нецелевой процесс работает.

Сравнение оценок, полученных по разным шкалам: ACT и SAT

Когда баллы измеряются по разным шкалам, они могут быть преобразованы в z-баллы для облегчения сравнения. Дитц и др. Приводят следующий пример сравнения баллов учащихся по (старым) тестам SAT и ACT в средней школе. В таблице показано среднее и стандартное отклонение для общего балла по SAT и ACT. Предположим, что t студент A набрал 1800 баллов по SAT, а студент B получил 24 балла по ACT. Какой ученик показал лучшие результаты по сравнению с другими тестируемыми?

	SAT	ACT
Среднее	1500	21
Стандартное отклонение	300	5

Z-балл для студента A равно $z\; =\; x\; -\; \mu \; \sigma \; =\; 1800-1500\; 300\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{x-\; \backslash \; mu\; \backslash \; over\; \backslash \; sigma\}\; =\; \{1800-1500\; \backslash \; over\; 300\}\; =\; 1\}$

z -Оценка студента B составляет $z\; =\; x\; -\; \mu \; \sigma \; =\; 24-21\; 5\; =\; 0,6\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; \{x-\; \backslash \; mu\; \backslash \; over\; \backslash \; sigma\}\; =\; \{24-21\; \backslash \; over\; 5\}\; =\; 0,6\}$

Поскольку студент A имеет более высокий z-балл, чем студент B, студент A показал лучшие результаты по сравнению с другими тестируемыми, чем студент B.

Процент наблюдений ниже z-значения

Продолжая пример баллов ACT и SAT, если можно дополнительно предположить, что баллы ACT и SAT распределены нормально (что приблизительно верно), то z-баллы могут использоваться для расчета процента испытуемых, получивших более низкие оценки. баллов, чем у студентов A и B.

Кластерный анализ и многомерное масштабирование

«Для некоторых многомерных методов, таких как многомерное масштабирование и кластерный анализ, th Концепция расстояния между единицами данных часто представляет значительный интерес и важность... Когда переменные в многомерном наборе данных имеют разные масштабы, имеет смысл рассчитывать расстояния после некоторой формы стандартизации. "

Анализ главных компонентов

В анализе главных компонентов «Переменные, измеряемые по разным шкалам или по общей шкале с сильно различающимися диапазонами, часто стандартизируются».

Относительная важность переменных в множественной регрессии: Стандартизированные коэффициенты регрессии

Стандартизация переменных до множественного регрессионного анализа иногда используется в качестве вспомогательного средства для интерпретации. (стр. 95) заявляют следующее.

«Стандартный наклон регрессии - это наклон в уравнении регрессии, если X и Y стандартизированы… Стандартизация X и Y выполняется путем вычитания соответствующих средних значений из каждого набора наблюдений и деления на соответствующие стандартные отклонения… При множественной регрессии, где используются несколько переменных X, стандартизованные коэффициенты регрессии количественно определяют относительный вклад каждой переменной X ».

Однако Kutner et al. (стр. 278) дают следующее предостережение: «… следует проявлять осторожность при интерпретации любых коэффициентов регрессии, стандартизованных или нет. Причина в том, что, когда переменные-предикторы коррелированы между собой,… на коэффициенты регрессии влияют другие переменные-предикторы. в модели... На величину стандартизованных коэффициентов регрессии влияет не только наличие корреляций между переменными-предикторами, но и интервалы между наблюдениями по каждой из этих переменных. Иногда эти интервалы могут быть совершенно произвольными. Следовательно, это обычно неразумно интерпретировать величины стандартизованных коэффициентов регрессии как отражающие сравнительную важность переменных-предикторов ».

В математической статистике случайная величина X стандартизируется путем вычитания ее ожидаемое значение $E\; \; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [X]\}$и деление разницы на его стандартное отклонение $\sigma \; (\; Икс)\; знак\; равно\; Вар\; \; (Икс):\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; (X)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\}\}:\}$

$Z\; =\; X\; -\; E\; \; [X]\; \sigma \; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \{X-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [X]\; \backslash \; over\; \backslash \; sigma\; (X)\}\}$

Если рассматриваемая случайная величина является средним значением случайной выборки $Икс\; 1,\dots ,\; Икс\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; X\_\; \{1\},\; \backslash \; точки,\; X\_\; \{n\}\}$из X:

$X\; ¯\; =\; 1\; n\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; X\; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{X\}\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; X\_\; \{i\}\}$

, тогда стандартизированная версия

$Z\; =\; X\; ¯\; -\; E\; \; [X\; ¯]\; \sigma \; (X)\; /\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; bar\; \{X\}\}\; -\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\{\backslash \; bar\; \{X\}\}]\}\; \{\backslash \; sigma\; (X)\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}\}.\}$

В образовательной оценке Т-балл представляет собой стандартный балл Z, сдвинутый и масштабированный так, чтобы получить среднее значение 50 и стандартное отклонение 10.

При измерениях плотности костной ткани T-балл является стандартным баллом измерения по сравнению с популяцией здоровых 30-летних взрослых.

• Нормализация (статистика)
• Omega коэффициент
• Стандартное нормальное отклонение

• Кэрролл, Сьюзан Ровецци; Кэрролл, Дэвид Дж. (2002). Простая статистика для руководителей школ (иллюстрированный ред.). Роуман и Литтлфилд. ISBN 978-0-8108-4322-6. Проверено 7 июня 2009 г.
• Ларсен, Ричард Дж.; Маркс, Моррис Л. (2000). Введение в математическую статистику и ее приложения (Третье изд.). п. 282. ISBN 0-13-922303-7.

• Интерактивная вспышка по z-значениям и вероятностям нормальной кривой Джим Рид