Войти
The St. Петербургский парадокс или СПб. Петербургская лотерея - это парадокс, связанный с вероятностью и теорией принятия решений в экономике. Он основан на конкретной (теоретической) лотерее игре, которая приводит к случайной величине с бесконечным ожидаемым значением (то есть бесконечным ожидаемым выигрышем), но, тем не менее, кажется стоить участникам очень мало. Парадокс Санкт-Петербурга - это ситуация, когда критерий наивного решения, учитывающий только ожидаемое значение, предсказывает курс действий, на который, по-видимому, не захочет пойти ни один реальный человек. Возможны несколько разрешений.
Парадокс получил свое название от резолюции Даниэля Бернулли, бывшего жителя одноименного русского города, который опубликовал свои аргументы в «Комментариях императорской церкви». Академия наук Санкт-Петербурга (Бернулли 1738). Однако проблема была изобретена двоюродным братом Даниэля, Николасом Бернулли, который впервые заявил об этом в письме Пьеру Раймону де Монморту 9 сентября 1713 г. (де Монморт 1713).
Казино предлагает азартную игру для одного игрока, в которой подбрасывается в каждый Начальная ставка начинается с 2 долларов и удваивается каждый раз, когда выпадает решка. Когда решка выпадает впервые, игра заканчивается, и игрок выигрывает все, что находится в банке. Таким образом, игрок выигрывает 2 доллара, если выпадает решка. уши при первом подбрасывании, 4 доллара, если орел выпадает при первом подбрасывании, и решка при втором, 8 долларов, если орел выпадает при первом подбрасывании и решке при третьем, и так далее. Математически игрок выигрывает 
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть, какова была бы средняя выплата: с вероятностью 1/2 игрок выигрывает 2 доллара; с вероятностью 1/4 игрок выигрывает 4 доллара; с вероятностью 1/8 игрок выигрывает 8 долларов и так далее. ожидаемое значение, таким образом,
Предполагая, что игра может продолжаться до тех пор, пока в результате подбрасывания монеты выпадет орел, и, в частности, что у казино неограниченные ресурсы, эта сумма неограниченно растет, и поэтому ожидаемый выигрыш при повторной игре будет бесконечным. денег. Принимая во внимание только ожидаемую величину чистого изменения денежного богатства, следует играть в игру любой ценой, если предоставляется возможность. Тем не менее, в опубликованных описаниях игры многие люди выразили недоверие результату. Мартин Роберт цитирует Яна Хакинга, который сказал, что «немногие из нас заплатят даже 25 долларов за участие в такой игре», и говорит, что большинство комментаторов с этим согласны. Парадокс заключается в несоответствии между тем, что люди готовы платить, чтобы войти в игру, и бесконечным ожидаемым значением.
В ходе эмпирической проверки проблемы Жорж-Луи Леклерк, граф де Буффон обнаружили, что в 2048 играх было выплачено в общей сложности 10 057 долларов, то есть в среднем менее 5 долларов за каждую игру.
Для решения парадокса было предложено несколько подходов.
Классическое разрешение парадокса включало явное введение функции полезности, гипотезы ожидаемой полезности и предположения убывающей предельной полезности денег.
По словам Даниэля Бернулли:
Определение стоимости предмета должно основываться не на цене, а скорее на полезности, которую он приносит…. Нет сомнений в том, что выигрыш в тысячу дукатов более значителен для бедняка, чем для богатого человека, хотя оба получают одинаковую сумму.
Общая полезная модель, предложенная самим Бернулли, является логарифмическая функция U (w) = ln (w) (известная как логарифм). Это функция общего богатства игрока w, и в нее встроена концепция убывающей предельной полезности денег. Гипотеза ожидаемой полезности постулирует, что существует функция полезности, знак которой ожидаемое чистое изменение от принятия игры является хорошим критерием для поведения реальных людей. Для каждого возможного события изменение полезности ln (богатство после события) - ln (богатство до события) будет взвешено по вероятности того, что это событие произойдет. Пусть c будет стоимостью входа в игру. Ожидаемая дополнительная полезность лотереи теперь сходится к конечному значению:
![{\ displaystyle \ Delta E (U) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {2 ^ {k }}} \ left [\ ln \ left (w + 2 ^ {k} -c \ right) - \ ln (w) \ right] <+ \ infty \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36738793f3a1383cf8806bbe6696e0136c3f2b08)
Эта формула дает неявную связь между богатством игрока и тем, сколько он должен быть готов заплатить, чтобы играть (в частности, любое значение c, которое дает положительное изменение ожидаемой полезности). Например, с полезностью натурального логарифма миллионер (1000000 долларов) должен быть готов заплатить до 20,88 долларов, человек с 1000 долларов должен заплатить до 10,95 долларов, человек с 2 долларами должен занять 1,35 доллара и заплатить до 3,35 доллара..
До того, как Даниэль Бернулли опубликовал в 1728 году, математик из Женевы Габриэль Крамер уже нашел части этой идеи (также мотивированной петербургским парадоксом), заявив, что
математики оценивают деньги пропорционально их количеству, а здравомыслящие люди - пропорционально тому, как они могут их использовать.
Он продемонстрировал в письме Николя Бернулли, что функция квадратного корня описание убывающей маржинальной выгоды от прибыли может решить проблему. Однако, в отличие от Даниэля Бернулли, он рассматривал не общее богатство человека, а только выигрыш от лотереи.
Это решение Крамера и Бернулли, однако, не полностью удовлетворительно, поскольку лотерею можно легко изменить так, чтобы парадокс повторился. Для этого нам просто нужно изменить игру так, чтобы она приносила еще более быстро растущие выплаты. Для любой неограниченной функции полезности можно найти лотерею, допускающую вариант петербургского парадокса, на что впервые указал Менгер (Menger 1934).
Недавно теория ожидаемой полезности была расширена, чтобы прийти к большему количеству моделей поведенческих решений. В некоторых из этих новых теорий, например в теории кумулятивных перспектив, в некоторых случаях снова появляется парадокс Санкт-Петербурга, даже когда функция полезности вогнута, но не в том случае, если она ограничена (Rieger Ван 2006).
Сам Николас Бернулли предложил альтернативную идею решения парадокса. Он предположил, что люди будут пренебрегать маловероятными событиями (де Монморт 1713). Поскольку в лотерее Санкт-Петербурга только маловероятные события приносят высокие призы, которые приводят к бесконечному ожидаемому значению, это может разрешить парадокс. Идея вероятностного взвешивания появилась намного позже в работе теории перспектив Дэниела Канемана и Амоса Тверски.
Кумулятивная теория перспектив является одним из популярных обобщений теория ожидаемой полезности, которая может предсказывать многие поведенческие закономерности (Tversky Kahneman 1992). Тем не менее, чрезмерный вес событий с малой вероятностью, введенный в кумулятивной теории перспектив, может восстановить парадокс Санкт-Петербурга. Кумулятивная теория перспектив избегает парадокса Санкт-Петербурга только тогда, когда степенной коэффициент функции полезности ниже, чем степенной коэффициент функции взвешивания вероятностей (Блаватский 2005). Интуитивно, функция полезности должна быть не просто вогнутой, но и вогнутой относительно функции взвешивания вероятностей, чтобы избежать парадокса Санкт-Петербурга. Можно утверждать, что формулы для теории перспектив получаются в районе менее 400 долларов (Tversky Kahneman 1992). Это не применимо к бесконечно возрастающим суммам в парадоксе Санкт-Петербурга.
Различные авторы, в том числе Жан ле Ронд д'Аламбер и Джон Мейнард Кейнс, отвергли максимизацию ожидания (даже полезности) как надлежащее правило поведения. Кейнс, в частности, настаивал на том, что относительный риск альтернативы может быть достаточно высоким, чтобы отвергнуть ее, даже если ее ожидания огромны. Недавно некоторые исследователи предложили заменить ожидаемое значение на медианное значение в качестве справедливой стоимости.
Классическая петербургская лотерея предполагает наличие у казино бесконечных ресурсов. Это предположение нереалистично, особенно в связи с парадоксом, который включает реакцию обычных людей на лотерею. Конечно, ресурсы реального казино (или любого другого потенциального спонсора лотереи) ограничены. Что еще более важно, ожидаемая стоимость лотереи только логарифмически растет с ресурсами казино. В результате ожидаемая ценность лотереи, даже если играть против казино с самыми большими ресурсами, которые можно реально представить, довольно скромна. Если общие ресурсы (или общий максимальный джекпот) казино составляют W долларов, то L = этаж (log 2 (W)) - это максимальное количество раз, которое казино может играть, прежде чем оно перестанет полностью покрывать следующая ставка. Ожидаемое значение E лотереи тогда становится:
В следующей таблице показано ожидаемое значение E игры с различными потенциальными банкирами и их банкролл W (с предположением, что если вы выиграете больше, чем банкролл, вам заплатят столько, сколько имеет банк) :
| Банкер | Банкролл | Ожидаемое значение лотереи | Последовательные подбрасывания до макс. Выигрыша | Попытки получить макс. Шанс 50% | Время игры (1 игра в минуту) |
|---|---|---|---|---|---|
| Товарищеская игра | 100 долларов | 7,56 долларов | 6 | 44 | 44 минуты |
| Миллионер | 1000000 долларов | $ 20,91 | 19 | 363,408 | 252 дня |
| Миллиардер | $1,000,000,000 | $30,86 | 29 | 372,130,559 | 708 лет |
| Билл Гейтс (2015) | 79 200000000 долларов | 37,15 долларов | 36 | 47 632 711 549 | 90 625 лет |
| США ВВП (2007) | $ 13,8 трлн | $ 44,57 | 43 | 6,096,987,078,286 | 11,600,052 лет |
| Мировой ВВП (2007) | 54,3 триллиона долларов | 46,54 долларов | 45 | 24,387,948,313,146 | 46,400,206 лет |
| гуголер | $10 | $333.14 | 332 | 1,340 × 10 | 8,48 × 10 × жизнь вселенной |
Рациональный человек может не найти, что лотерея стоит даже скромных сумм, указанных в приведенной выше таблице, что предполагает, что модель наивного решения об ожидаемой доходности, по существу, вызывает те же проблемы, что и для бесконечной лотереи. Но даже в этом случае возможное расхождение между теорией и реальностью гораздо менее драматично.
Предпосылка бесконечных ресурсов порождает множество парадоксов в экономике. В системе ставок мартингейл игрок, делающий ставку на подброшенную монету, удваивает свою ставку после каждого проигрыша, так что возможный выигрыш покрывает все потери; эта система не работает с любым конечным банкроллом. Концепция разорения игрока показывает, что постоянный игрок разорится, даже если игра обеспечивает положительное ожидаемое значение, и никакая система ставок не может избежать этой неизбежности.
Хотя этому парадоксу уже три столетия, новые аргументы все еще вводятся.
Математически правильное решение, включающее выборку, было предложено Уильямом Феллером. Чтобы правильно понять ответ Феллера, необходимы достаточные знания теории вероятностей и статистики, но это можно понять интуитивно, «чтобы провести эту игру с большим количеством людей и вычислить ожидаемое значение из выборки». В этом методе, когда возможны игры бесконечное число раз, ожидаемое значение будет бесконечным, а в случае конечного значения ожидаемое значение будет намного меньшим.
Самуэльсон разрешает парадокс, утверждая, что даже если бы у сущности были бесконечные ресурсы, игра никогда не была бы предложена. Если лотерея представляет собой бесконечный ожидаемый выигрыш для игрока, то она также представляет собой бесконечный ожидаемый убыток для хозяина. Никто не платил за игру, потому что ее никогда не предлагали. Как описывает аргумент Пол Самуэльсон :
«Пол никогда не захочет отдать столько, сколько Питер потребует для такого контракта; и, следовательно, указанная деятельность будет происходить на равновесном уровне с нулевой интенсивностью.. " (Самуэльсон 1960)
Санкт-Петербургский парадокс и теория предельной полезности были предметом серьезных споров в прошлом. Для обсуждения с точки зрения философа см. (Martin 2004).
Недавно некоторые авторы предложили использовать эвристические параметры (например, оценка возможных выгод не пренебрегая рисками лотереи в Санкт-Петербурге) из-за сильно стохастического контекста этой игры (Cappiello 2016). Поэтому ожидаемый результат следует оценивать в ограниченный период, когда мы, вероятно, сможем сделать свой выбор и, помимо неэргодических характеристик (Peters 2011a), учитывая некоторые неприемлемые последствия, мы могли бы приписать ожидаемое значение (Feller 1968).
