Сферическое среднее

Сферическое среднее значение функции $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$(показано красным) равно среднее значение $u\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (y)\}$(вверху, синим цветом) с $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$на "сфера" заданного радиуса вокруг заданной точки (внизу, синим цветом).

В математике, среднее сферическое функции функции вокруг точки - это среднее значение всех значений этой функции на сфере заданного радиуса с центром в этой точке.

• 1 Определение
• 2 Свойства и использование
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Рассмотрим открытый набор U в Евклидово пространство Rи непрерывная функция u, определенная на U с действительными или комплексными значениями. Пусть x - точка в U, а r>0 такое, что закрытый шар B (x, r) с центром x и радиусом r содержится в U. сферическое среднее по сфере радиуса r с центром в точке x определяется как

$1\; \omega \; n\; -\; 1\; (r)\; \int \; \partial \; B\; (x,\; r)\; u\; (y)\; d\; S\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{n-1\}\; (r)\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; partial\; B\; (x,\; r)\}\; \backslash !\; u\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; (y)\; \}$

где ∂B (x, r) - (n − 1) -сфера, образующая границу B (x, r), dS означает интегрирование по сферическая мера, а ω n − 1 (r) - это «площадь поверхности» этой (n − 1) -сферы.

Эквивалентно сферическое среднее определяется как

$1\; \omega \; n\; -\; 1\; \int \; \Vert \; y\; \Vert \; =\; 1\; u\; (x\; +\; ry)\; d\; S\; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{n-1\}\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; |\; y\; \backslash \; |\; =\; 1\}\; \backslash !\; u\; (x\; +\; ry)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; (y)\}$

где ω n − 1 - площадь (n − 1) -сферы радиуса 1.

Среднее сферическое значение часто обозначается как

$\int \; \partial \; B\; (x,\; r)\; -\; u\; (\; у)\; d\; S\; (у).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; partial\; B\; (x,\; r)\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; -\; \backslash ,\; u\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; (y).\}$

Сферическое среднее также определено естественным образом для римановых многообразий.

• Из непрерывности $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$следует, что функция

$r\; \to \; \int \; \partial \; B\; (x,\; r)\; -\; U\; (Y)\; d\; S\; (Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; \backslash \; к\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; partial\; B\; (x,\; r)\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; -\; \backslash ,\; u\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; (y)\}$

является непрерывным, и его предел как $r\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; to\; 0\}$равно $u\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x).\}$

• Сферические средства могут использоваться для решения задачи Коши для волнового уравнения $\partial \; t\; 2\; u\; =\; c\; 2\; \Delta \; u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; ^\; \{2\}\; u\; =\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Delta\; u\}$в нечетном пространственном измерении. Результат, известный как формула Кирхгофа, получается с помощью сферических средств для сокращения волнового уравнения в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$(для нечетных $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$) к волновому уравнению в $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, а затем по формуле Даламбера. Само выражение представлено в статье о волновом уравнении.

• . Если $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$- открытый набор в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$и $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$- это функция C, определенная в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$, тогда $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$является гармоническим тогда и только тогда, когда для всех $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$и все $r>0\; \{\backslash \; displaystyle\; r>0\}$такой, что закрытый шар $B\; (x,\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x,\; r)\}$содержится в $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$один имеет

$u\; (x)\; =\; \int \; \partial \; B\; (x,\; r)\; -\; u\; (y)\; d\; S\; (Y),\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{\backslash \; partial\; B\; (x,\; r)\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; -\; \backslash ,\; u\; (y)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\; (y).\}$

Этот результат может использоваться для доказательства принципа максимума для гармонических функций.

• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0772-9.

• Сабельфельд, К.К.; Шалимова, И.А. (1997). Сферические средства для PDE. ВСП. ISBN 978-90-6764-211-8.
• Сунада, Тошиказу (1981). «Сферические средние и геодезические цепи в римановом многообразии». Пер. Am. Математика. Soc. 267 : 483–501.

• «Сферическое среднее». PlanetMath.