Спектральная оценка многомерных сигналов

Спектральная оценка мощности формирует основу для различения и отслеживания сигналов в присутствии шума и извлечения информации из доступных данных. Одномерные сигналы выражаются в единицах единственной области, тогда как многомерные сигналы представлены в волновом векторе и частотном спектре. Поэтому спектральная оценка в случае многомерных сигналов становится немного сложной.

• 1 Мотивация
• 2 Приложения
• 3 Основные концепции
• 4 Методы
  • 4.1 Классическая теория оценивания
  • 4.2 Спектральные оценки высокого разрешения
  • 4.3 Отдельный спектральный оценщик
  • 4.4 Всеполюсное спектральное моделирование
  • 4.5 Спектральная оценка максимальной энтропии
  • 4.6 Улучшенный метод максимального правдоподобия (IMLM)
• 5 Ссылки

Многомерная спектральная оценка приобрела популярность благодаря своему применению в таких областях, как медицина, аэрокосмическая промышленность, гидролокаторы, радары, биоинформатика и геофизика. В недавнем прошлом был предложен ряд методов для разработки моделей с конечными параметрами для оценки спектра мощности многомерных сигналов. В этой статье мы рассмотрим основы методов, используемых для оценки спектра мощности многомерных сигналов.

Существует множество приложений спектральной оценки мульти-D сигналов, таких как классификация сигналов как низкочастотный, высокочастотный, полосовой и полосовой. Он также используется для сжатия и кодирования аудио- и видеосигналов, формирования луча и пеленгования в радарах, оценке и обработке, массиве датчиков и антенны и колебательный анализ. В области радиоастрономии он используется для синхронизации выходных сигналов массива телескопов.

В одномерном случае сигнал характеризуется амплитудой и временной шкалой. Основные концепции, используемые в спектральной оценке, включают автокорреляцию, много-D преобразование Фурье, среднеквадратичную ошибку и энтропию. Когда дело доходит до многомерных сигналов, существует два основных подхода: использовать набор фильтров или оценивать параметры случайного процесса для оценки спектра мощности.

методы спектральной оценки

Классическая теория оценки

классическая оценка

Это метод оценки спектра мощности одномерного или многомерного сигнала, поскольку он не может быть точно рассчитан. Приведены выборки стационарного случайного процесса в широком смысле и его статистики (измерений) второго порядка. Оценки получены путем применения многомерного преобразования Фурье автокорреляционной функции случайного сигнала. Оценка начинается с вычисления периодограммы, которая получается возведением в квадрат величины многомерного преобразования Фурье измерений ri (n). Спектральные оценки, полученные из периодограммы, имеют большой разброс по амплитуде для последовательных отсчетов периодограммы или по волновому числу. Эта проблема решается с помощью методов, составляющих классическую теорию оценивания. Они заключаются в следующем: 1. Бартлетт предложил метод усреднения спектральных оценок для расчета спектра мощности. Измерения делятся на равномерно распределенные по времени сегменты, и берется среднее значение. Это дает лучшую оценку. 2. На основе волнового числа и индекса приемника / выхода мы можем разделить сегменты. Это увеличивает спектральные оценки и уменьшает расхождения между последовательными сегментами. 3. Велч предложил разделить измерения с помощью функций окна данных, вычислить периодограмму, усреднить их, чтобы получить спектральную оценку, и рассчитать спектр мощности с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ). Это увеличивает скорость вычислений. 4. Окно сглаживания поможет нам сгладить оценку, умножив периодограмму на сглаживающий спектр. Чем шире главный лепесток спектра сглаживания, тем он становится более гладким за счет разрешения по частоте. $P\; (K\; x,\; w)\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; \int \; -\; \infty \; \infty \; \phi \; ss\; (x,\; t)\; e\; -\; j\; (wt\; -\; к\; \text{'}х)\; dxdt\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (K\_\; \{x\},\; w\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{ss\}\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; left\; (wt-k\text{'}x\; \backslash \; right)\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash ,\; dt\}$

$\phi \; ss\; (x,\; t)\; =\; s\; [(\xi ,\; \tau )\; s\; \ast \; (\xi \; -\; x,\; \tau \; -\; t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{ss\}\; \backslash \; left\; (x,\; t\; \backslash \; right)\; =\; s\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\backslash \; xi,\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; s\; ^\; \{*\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; xi\; -x,\; \backslash \; tau\; -t\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

$PB\; (w)\; =\; 1\; det\; N\; \sum \; l\; |\; \sum \; n\; x\; (n\; +\; M\; I)\; e\; -\; j\; (w\; \prime \; n)\; |\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{B\}\; \backslash \; left\; (w\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{detN\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\}\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; x\; \backslash \; left\; (n\; +\; MI\; \backslash \; right)\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; left\; (w\text{'}n\; \backslash \; right)\}\; |\; ^\; \{2\}\}$Случай Бартлетта

$PM\; (w)\; =\; 1\; det\; N\; |\; \sum \; n\; g\; (n)\; x\; (n)\; e\; -\; j\; (w\; \prime \; n)\; |\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{M\}\; \backslash \; left\; (w\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{detN\}\}\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; g\; \backslash \; left\; (n\; \backslash \; right)\; \backslash \; x\; \backslash \; left\; (n\; \backslash \; right)\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; left\; (w\text{'}n\; \backslash \; right)\}\; |\; ^\; \{2\}\}$Модифицированная периодограмма

$PW\; (w)\; =\; 1\; det\; N\; \sum \; l\; |\; \sum \; n\; g\; (n)\; x\; (n\; +\; M\; I)\; e\; -\; j\; (w\; \prime \; n)\; |\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{W\}\; \backslash \; left\; (w\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{detN\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\}\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; g\; \backslash \; left\; (n\; \backslash \; right)\; \backslash \; x\; \backslash \; left\; (n\; +\; MI\; \backslash \; right)\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; left\; (w\text{'}n\; \backslash \; right)\}\; |\; ^\; \{2\}\}$Случай Уэлча

Преимущества : Простой метод с использованием Преобразования Фурье.

Ограничения : 1. Поскольку некоторые из вышеперечисленных методов осуществляют выборку последовательности во времени, разрешение по частоте уменьшается (наложение спектров). 2. Меньше количества экземпляров стационарного случайного процесса в широком смысле слова, что затрудняет точный расчет оценок.

Спектральные оценки с высоким разрешением

Этот метод дает лучшую оценку, разрешение по частоте выше, чем классическая теория оценки. В методе оценки с высоким разрешением мы используем окно переменного волнового числа, которое допускает только определенные волновые числа и подавляет другие. Работа Капона помогла нам разработать метод оценки с использованием частотно-волновых составляющих. Это приводит к оценке с более высоким разрешением по частоте. Он похож на метод максимального правдоподобия, поскольку используется аналогичный инструмент оптимизации.

Допущение : Выходные данные, полученные с датчиков, представляют собой стационарный случайный процесс в широком смысле с нулевым средним.

$P\; C\; (K\; o\; x,\; w\; o)\; =\; E\; [|\; y\; (i,\; n)\; |\; 2]\; =\; 1\; \sum \; \alpha \; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; \sum \; \beta \; =\; 0\; M\; -\; 1\; \sum \; l\; =\; 0\; N\; -\; 1\; \sum \; m\; =\; 0\; M\; -\; 1\; \psi \; e\; (l,\; \alpha ;\; m,\; \beta )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{C\}\; \backslash \; left\; (K\_\; \{o\}\; x,\; w\_\; \{o\}\; \backslash \; right)\; =\; E\; \backslash \; left\; [|\; y\; \backslash \; left\; (i,\; n\; \backslash \; right)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; beta\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{e\}\; \backslash \; left\; (l,\; \backslash \; alpha;\; m,\; \backslash \; beta\; \backslash \; right)\}\}\}$

Преимущества : 1. Более высокое разрешение по частоте по сравнению с другими существующими методами. 2. Лучшая оценка частоты, поскольку мы используем окно переменного волнового числа по сравнению с классическим методом, который использует окно фиксированного волнового числа. 3. Более высокая скорость вычислений благодаря использованию БПФ.

Разделимая спектральная оценка

В этом типе оценки мы выбираем многомерный сигнал в качестве разделимой функции. Благодаря этому свойству мы сможем последовательно просматривать анализ Фурье во многих измерениях. Задержка во времени операции возведения в квадрат величины поможет нам обработать преобразование Фурье в каждом измерении. Для каждого измерения применяется многомерное преобразование Фурье с дискретным временем, и в конце применяется оценка максимальной энтропии, и величина возводится в квадрат.

Преимущества : 1. Анализ Фурье гибок, поскольку сигнал разделяется. 2. Он сохраняет фазовые компоненты каждого измерения в отличие от других спектральных оценщиков.

Всеполюсное спектральное моделирование

. Этот метод является расширением одномерного метода, называемого авторегрессивной спектральной оценкой. В моделях с авторегрессией выходные переменные линейно зависят от своих собственных предыдущих значений. В этой модели оценка спектра мощности сводится к оценке коэффициентов из коэффициентов автокорреляции случайного процесса, которые, как предполагается, известны для конкретной области. Спектр мощности $PA\; (kx,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{A\}\; (k\_\; \{x\},\; w)\}$случайного процесса $r\; (i,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (i,\; n)\}$определяется как: -

$PA\; (kx,\; w)\; =\; P\; e\; (kx,\; w)\; |\; 1\; 1\; -\; A\; (k\; x,\; w)\; |\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{A\}\; \backslash \; left\; (k\_\; \{x\},\; w\; \backslash \; right)\; =\; P\_\; \{e\}\; \backslash \; left\; (k\_\; \{x\},\; w\; \backslash \; right)\; |\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-A\; \backslash \; left\; (k\_\; \{x\},\; w\; \backslash \; right)\}\}\; |\; ^\; \{2\}\}$

где $P\; e\; (kx,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{e\}\; \backslash \; left\; (k\_\; \{x\},\; w\; \backslash \; right)\}$- это спектр мощности случайного процесса $e\; (i,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (i,\; n)\}$, который задается как вход для система с передаточной функцией $|\; 1\; 1\; -\; A\; (k\; x,\; w)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-A\; \backslash \; left\; (k\_\; \{x\},\; w\; \backslash \; right)\}\}\; |\}$, чтобы получить $r\; (i,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; р\; (i,\; n)\}$

и $A\; (kx,\; w)\; =\; \sum \; p\; =\; o\; N\; -\; 1\; \sum \; q\; =\; 0\; M\; -\; 1\; a\; (p,\; q)\; exp\; (jkxp\; -\; jwq)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; left\; (k\_\; \{x\},\; w\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; =\; o\}\; ^\; \{N-1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{q\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; a\; (p,\; q)\; exp\; (\; jk\_\; \{x\}\; p-jwq)\}$. Следовательно, оценка мощности сводится к оценке коэффициентов $a\; (p,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; left\; (p,\; q\; \backslash \; right)\}$из функции автокорреляции $\phi \; (l,\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; left\; (l,\; m\; \backslash \; right)\}$случайного процесса. Коэффициенты также могут быть оценены с использованием формулировки линейного предсказания, которая имеет дело с минимизацией среднеквадратической ошибки между фактическим случайным сигналом и предсказанными значениями случайного сигнала.

Ограничения : -. 1. В 1-D у нас есть такое же количество линейных уравнений с таким же количеством неизвестных из-за свойства автокорреляционного согласования. Но это может быть невозможно в мульти-D, поскольку набор параметров не содержит достаточного количества степеней свободы, чтобы соответствовать коэффициентам автокорреляции.. 2. Мы предполагаем, что массив коэффициентов ограничен определенной областью.. 3. В 1-мерной формулировке линейного прогнозирования обратный фильтр имеет свойство минимальной фазы, что доказывает, что фильтр устойчив. Это не всегда верно в случае multi-D.. 4. В 1-мерной формулировке автокорреляционная матрица положительно определена, но положительно-определенное расширение может не существовать в случае мульти-D.

Максимальная спектральная оценка энтропии

Максимальная спектральная оценка энтропии.

В этом методе спектральной оценки мы пытаемся найти спектральную оценку, обратное преобразование Фурье которой соответствует известным коэффициентам автокорреляции. Мы максимизируем энтропию спектральной оценки так, чтобы она соответствовала коэффициентам автокорреляции. Уравнение энтропии имеет вид $H\; =\; 1\; 4\; \pi \; 2\; \int \; -\; \pi \; \pi \; \int \; -\; \pi \; \pi \; log\; P\; (kx,\; w)\; dkxdw\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; logP\; \backslash \; left\; (k\_\; \{x\},\; w\; \backslash \; right)\; dk\_\; \{x\}\; dw\}$. Спектр мощности $P\; (k,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (k,\; w\; \backslash \; right)\}$может быть выражен как сумма известных коэффициентов автокорреляции и неизвестных коэффициентов автокорреляции. Регулируя значения неограниченных коэффициентов, энтропия может быть максимизирована.. Максимальная энтропия имеет вид $PME\; =\; 1\; \sum \; l\; \sum \; m\; \lambda \; (l,\; m)\; exp\; (jkxl\; -\; jwm)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{ME\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{l\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\}\; \backslash \; lambda\; \backslash \; left\; (l,\; m\; \backslash \; right)\; exp\; \backslash \; left\; (jk\_\; \{x\}\; l-jwm\; \backslash \; right)\}\}\; \}$. λ (l, m) должно быть выбрано так, чтобы известные коэффициенты автокорреляции совпадали.

Ограничения : -. 1. Имеет ограниченную оптимизацию. Преодолеть его можно с помощью метода множителей Лагранжа.. 2. Все полюсные спектральные оценки не являются решением максимальной энтропии в многомерном случае, как в случае 1-D. Это связано с тем, что полнополюсная спектральная модель не содержит достаточной степени свободы, чтобы соответствовать известным коэффициентам автокорреляции.

Преимущества и недостатки : -. Преимущество этого средства оценки заключается в том, что можно учитывать ошибки при измерении или оценке известных коэффициентов автокорреляции, поскольку точное совпадение не требуется.. Недостаток в том, что требуется слишком много вычислений.

Улучшенный метод максимального правдоподобия (IMLM)

Это относительно новый подход. Улучшенный метод максимального правдоподобия (IMLM) представляет собой комбинацию двух оценок MLM (максимального правдоподобия ). Повышенная максимальная вероятность двух двумерных массивов A и B при волновом числе k (дает информацию об ориентации массива в пространстве) задается соотношением: -. $IMLM\; (k:\; A,\; B)\; =\; 1\; 1\; MLM\; (k:\; A)\; -\; 1\; MLM\; (k:\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; IMLM\; \backslash \; left\; (k:\; A,\; B\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{MLM\; \backslash \; left\; (k:\; A\; \backslash \; right)\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{MLM\; \backslash \; left\; (k:\; B\; \backslash \; right)\}\}\}\}$

Массив B является подмножеством A. Следовательно, предполагая, что A>B, если есть разница между MLM для A и MLM для B, тогда значительная часть оцененной спектральной энергии на частоте может быть связана с утечкой мощности с других частот. Снятие выделения MLM для A может улучшить спектральную оценку. Это достигается умножением на взвешенную функцию, которая меньше, когда есть большая разница между MLA B и MLA A... $IMLM\; (k:\; A,\; B)\; =\; MLM\; (k:\; A)\; MLM\; (k:\; B)\; MLM\; (k:\; B)\; -\; MLM\; (k:\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; IMLM\; \backslash \; left\; (k:\; A,\; B\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{MLM\; \backslash \; left\; (k:\; A\; \backslash \; right)\; MLM\; \backslash \; left\; (k:\; B\; \backslash \; right)\}\; \{MLM\; \backslash \; left\; (k:\; B\; \backslash \; right)\; -MLM\; \backslash \; left\; (k:\; A\; \backslash \; right)\; \}\}\}$. $IMLM\; (k:\; A,\; B)\; =\; MLM\; (k:\; A)\; WAB\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; IMLM\; \backslash \; left\; (k:\; A,\; B\; \backslash \; right)\; =\; MLM\; \backslash \; left\; (k:\; A\; \backslash \; right)\; W\_\; \{AB\}\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; right)\}$. где $WAB\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{AB\}\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; right)\}$- весовая функция и дается выражением: - $WAB\; (k)\; =\; MLM\; (k:\; B)\; MLM\; (k:\; B)\; -\; MLM\; (k:\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{AB\}\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; right)\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{MLM\; \backslash \; left\; (k:\; B\; \backslash \; right)\}\; \{MLM\; \backslash \; left\; (k:\; B\; \backslash \; right)\; -MLM\; \backslash \; left\; (k:\; A\; \backslash \; right)\}\}\}$

Преимущества : -. 1. Используется как альтернатива MLM или MEM (метод максимальной энтропии / принцип максимальной энтропии ). 2. IMLM имеет лучшее разрешение, чем MLM, и требует меньшего количества вычислений по сравнению с MEM