В алгебраической геометрии плавное завершение (или гладкая компактификация ) гладкой аффинной алгебраической кривой X является полной гладкой алгебраической кривой, которая содержит X как открытое подмножество. Плавное завершение существует и уникально на идеальном поле.
Аффинная форма гиперэллиптической кривой может быть представлена как где и P (x) имеет различные корни и степень не ниже 5. Замыкание Зарисского аффинной кривой в является сингулярным в добавленной уникальной бесконечной точке. Тем не менее аффинная кривая может быть вложена в единственную компактную риманову поверхность, называемую ее гладким пополнением. Проекция римановой поверхности на равна 2: 1 над особой точкой на бесконечности, если имеет четную степень, а в противном случае - 1: 1 (но разветвленный).
Это плавное завершение можно также получить следующим образом. Спроецируйте аффинную кривую на аффинную линию с помощью координаты x. Вставьте аффинную прямую в проективную прямую, затем выполните нормализацию проективной прямой в поле функций аффинной кривой.
Гладкая связная кривая над алгебраически замкнутым полем называется гиперболической, если где g - род гладкого пополнения, а r - количество добавленных точек.
Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 фундаментальная группа группы X свободна с генераторы, если r>0.
(Аналог теоремы Дирихле о единицах ) Пусть X - гладкая связная кривая над конечным полем. Тогда единицы кольца регулярных функций O (X) на X - конечно порожденная абелева группа ранга r -1.
Предположим, что базовое поле совершенно. Любая аффинная кривая X изоморфна открытому подмножеству целочисленной проективной (следовательно, полной) кривой. Принимая нормировку (или удар поднятие особенностей) проективной кривой затем дает гладкое пополнение X. Их точки соответствуют дискретным оценкам функционального поля , которые тривиальны на базовом поле.
По построению гладкое пополнение - это проективная кривая, которая содержит данную кривую как всюду плотное открытое подмножество, а добавленные новые точки являются гладкими. Такое (проективное) пополнение всегда существует и единственно.
Если базовое поле не идеально, гладкое завершение гладкой аффинной кривой не всегда существует. Но описанный выше процесс всегда дает регулярное завершение, если мы начинаем с регулярной аффинной кривой (гладкие разновидности регулярны, и обратное верно для совершенных полей). Регулярное пополнение единственно, и, согласно оценочному критерию правильности, любой морфизм аффинной кривой в полное алгебраическое многообразие однозначно продолжается до регулярного пополнения.
Если X является разделенным алгебраическим многообразием, теорема Нагаты говорит, что X может быть встроен как открытое подмножество полного алгебраическое многообразие. Если X, кроме того, гладкое и базовое поле имеет характеристику 0, то по теореме Хиронаки X может быть даже вложено как открытое подмножество полного гладкого алгебраического многообразия с границей нормального перекрестного дивизора. Если X квазипроективно, гладкое пополнение можно выбрать как проективное.
Однако, в отличие от одномерного случая, гладкое пополнение не является ни однозначным, ни каноническим.