Плавное завершение

редактировать

В алгебраической геометрии плавное завершение (или гладкая компактификация ) гладкой аффинной алгебраической кривой X является полной гладкой алгебраической кривой, которая содержит X как открытое подмножество. Плавное завершение существует и уникально на идеальном поле.

Содержание

  • 1 Примеры
  • 2 Приложения
  • 3 Конструкция
  • 4 Обобщение
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
  • 7 Библиография

Примеры

Аффинная форма гиперэллиптической кривой может быть представлена ​​как y 2 = P (x) {\ displaystyle y ^ {2} = P (x)}y ^ {2} = P (x) где (x, y) ∈ C 2 {\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {C} ^ {2}}(x, y) \ in {\ mathbb {C}} ^ {2} и P (x) имеет различные корни и степень не ниже 5. Замыкание Зарисского аффинной кривой в CP 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {2}}{\ mathbb {C}} {\ mathbb {P}} ^ {2} является сингулярным в добавленной уникальной бесконечной точке. Тем не менее аффинная кривая может быть вложена в единственную компактную риманову поверхность, называемую ее гладким пополнением. Проекция римановой поверхности на CP 2 {\ displaystyle \ mathbb {C} \ mathbb {P} ^ {2}}{\ mathbb {C}} {\ mathbb {P}} ^ {2} равна 2: 1 над особой точкой на бесконечности, если P (x) {\ displaystyle P (x)}P(x)имеет четную степень, а в противном случае - 1: 1 (но разветвленный).

Это плавное завершение можно также получить следующим образом. Спроецируйте аффинную кривую на аффинную линию с помощью координаты x. Вставьте аффинную прямую в проективную прямую, затем выполните нормализацию проективной прямой в поле функций аффинной кривой.

Приложения

Гладкая связная кривая над алгебраически замкнутым полем называется гиперболической, если 2 g - 2 + r>0 {\ displaystyle 2g-2 + r>0}2g-2+r>0 где g - род гладкого пополнения, а r - количество добавленных точек.

Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 фундаментальная группа группы X свободна с 2 g + r - 1 {\ displaystyle 2g + r-1}2g + r-1 генераторы, если r>0.

(Аналог теоремы Дирихле о единицах ) Пусть X - гладкая связная кривая над конечным полем. Тогда единицы кольца регулярных функций O (X) на X - конечно порожденная абелева группа ранга r -1.

Конструкция

Предположим, что базовое поле совершенно. Любая аффинная кривая X изоморфна открытому подмножеству целочисленной проективной (следовательно, полной) кривой. Принимая нормировку (или удар поднятие особенностей) проективной кривой затем дает гладкое пополнение X. Их точки соответствуют дискретным оценкам функционального поля , которые тривиальны на базовом поле.

По построению гладкое пополнение - это проективная кривая, которая содержит данную кривую как всюду плотное открытое подмножество, а добавленные новые точки являются гладкими. Такое (проективное) пополнение всегда существует и единственно.

Если базовое поле не идеально, гладкое завершение гладкой аффинной кривой не всегда существует. Но описанный выше процесс всегда дает регулярное завершение, если мы начинаем с регулярной аффинной кривой (гладкие разновидности регулярны, и обратное верно для совершенных полей). Регулярное пополнение единственно, и, согласно оценочному критерию правильности, любой морфизм аффинной кривой в полное алгебраическое многообразие однозначно продолжается до регулярного пополнения.

Обобщение

Если X является разделенным алгебраическим многообразием, теорема Нагаты говорит, что X может быть встроен как открытое подмножество полного алгебраическое многообразие. Если X, кроме того, гладкое и базовое поле имеет характеристику 0, то по теореме Хиронаки X может быть даже вложено как открытое подмножество полного гладкого алгебраического многообразия с границей нормального перекрестного дивизора. Если X квазипроективно, гладкое пополнение можно выбрать как проективное.

Однако, в отличие от одномерного случая, гладкое пополнение не является ни однозначным, ни каноническим.

См. Также

Ссылки

Библиография

Последняя правка сделана 2021-06-08 06:59:14
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте