Теория малых сокращений

редактировать

По математическому предмету теория групп, теория малых сокращений изучает данные группы с помощью групповых представлений, удовлетворяющих условиям небольшого исключения, то есть там, где определяющие отношения имеют "небольшое перекрытие" друг с другом. Условия малого сокращения подразумевают алгебраические, геометрические и алгоритмические свойства группы. Конечно определенные группы, удовлетворяющие достаточно сильным условиям малого сокращения, являются гиперболическими и имеют словесную проблему, решаемую с помощью алгоритма Дена . Методы малого сокращения также используются для конструирования монстров Тарского и для решения проблемы Бернсайда.

Содержание

1 История
2 Основные определения
- 2.1 Части
- 2.2 Метрические условия малого сокращения
- 2.3 Неметрические условия малого сокращения
- 2.4 Примеры
3 Основные результаты теории малого сокращения
- 3.1 Лемма Гриндлингера
- 3.2 Алгоритм Дена
- 3.3 Асферичность
- 3.4 Более общая кривизна
- 3.5 Другие основные свойства малых групп отмены
4 Приложения
5 Обобщения
6 Основные ссылки
7 См. Также
8 Примечания

История

Некоторые идеи, лежащие в основе теории малого сокращения, восходят к работам Макса Дена в 1910-х годах. Ден доказал, что фундаментальные группы замкнутых ориентируемых поверхностей рода не менее двух имеют проблему слов, которую теперь можно решить с помощью того, что сейчас называется алгоритмом Дена. Его доказательство включало построение графа Кэли такой группы в гиперболической плоскости и выполнение оценок кривизны с помощью теоремы Гаусса – Бонне для замкнутого контура в системе Кэли. граф, чтобы сделать вывод, что такой цикл должен содержать большую часть (более половины) определяющего отношения.

Статья Тартаковского 1949 года стала непосредственным предшественником теории малых сокращений: эта статья предоставила решение проблемы слов для класса групп, удовлетворяющих сложному набору комбинаторных условий, где предположения типа малого сокращения сыграли ключевую роль. роль. Стандартная версия теории малого сокращения в том виде, в котором она используется сегодня, была разработана Мартином Гриндлингером в серии статей в начале 1960-х годов, которые в основном касались «метрических» условий малого сокращения. В частности, Гриндлингер доказал, что конечно представленные группы, удовлетворяющие условию малого сокращения C '(1/6), имеют проблему слов, решаемую алгоритмом Дена. Теория была дополнительно уточнена и формализована в последующей работе Линдона, Шуппа и Линдона-Шуппа, которые также рассмотрели случай неметрических условий малого сокращения и разработали версию теории малого сокращения для объединенных свободных продуктов и HNN-расширения.

Теория малых сокращений была далее обобщена Александром Ольшанским, который разработал "градуированную" версию теории, в которой набор определяющих отношений снабжен фильтрацией и где определяющий родственник конкретного сорт может иметь большое перекрытие с определяющим фактором более высокого класса. Ольшский использовал градуированную теорию малого сокращения для построения различных групп «монстров», включая монстра Тарского, а также для нового доказательства того, что свободные группы Бернсайда с большой нечетной экспонентой бесконечны (этот результат была первоначально доказана Адианом и Новиковым в 1968 году с использованием более комбинаторных методов).

Теория малого сокращения предоставила базовый набор примеров и идей для теории словесно-гиперболические группы, выдвинутые Громовым в основополагающей монографии 1987 г. «Гиперболические группы».

Основные определения

Изложение ниже во многом следует из Ch. V книги Линдона и Шуппа.

Pieces

Пусть

G = ⟨X | R⟩ (∗) {\ Displaystyle G = \ langle X | R \ rangle \ qquad (*)}

G = \ langle X | R \ rangle \ qquad (*)

быть групповым представлением, где R ⊆ F (X) - множество свободно сокращаемых и циклически редуцированные слова в свободной группе F (X) такие, что R симметризовано, то есть замкнуто относительно циклических перестановок и обращений.

Нетривиальное свободно редуцированное слово u в F (X) называется куском относительно (∗), если существуют два различных элемента r 1, r 2 в R, у которых u - максимальный общий начальный отрезок.

Обратите внимание, что если $G = ⟨X | S⟩ {\ displaystyle G = \ langle X | S \ rangle}$ $G = \ langle X | S \ rangle$ - это групповое представление, в котором набор определяющих отношений S не симметризован, мы всегда можем взять симметризованное замыкание R группы S, где R состоит всех циклических перестановок элементов S и S. Тогда R симметризуется и $G = ⟨X | R⟩ {\ displaystyle G = \ langle X | R \ rangle}$ $G = \ langle X | R \ rangle$ также является представлением G.

Метрические условия малого сокращения

Пусть 0 < λ < 1. Presentation (∗) as above is said to satisfy the C'(λ) small cancellation condition if whenever u is a piece with respect to (∗) and u is a subword of some r ∈ R, then |u| < λ|r|. Here |v| is the length of a word v.

условие C '(λ) иногда называют метрическим условием малого сокращения.

Неметрические условия малого сокращения

Пусть p ≥ 3 - целое число. Групповое представление (∗), как указано выше, удовлетворяет условию малого сокращения C (p), если всякий раз, когда r ∈ R и

r = u 1… um {\ displaystyle r = u_ {1} \ dots u_ {m} }

r = u_ {1} \ dots u_ {m}

где u i - штуки, а если указанное выше произведение свободно сокращается, как написано, то m ≥ p. Таким образом, никакой определяющий релятор не может быть записан как сокращенное произведение, состоящее из менее p штук.

Пусть q ≥ 3 целое число. Групповое представление (∗), как указано выше, удовлетворяет условию малого сокращения T (q), если всякий раз, когда 3 ≤ t < q and r1,..., r t в R таковы, что r 1 ≠ r 2,..., r t ≠ r 1, то хотя бы один из продуктов r 1r2,..., r t − 1 rt, r tr1свободно сокращается, как написано.

Геометрически условие T (q) по существу означает, что если D является редуцированной диаграммой Ван Кампена над (∗), то каждая внутренняя вершина D степени не менее трех на самом деле имеет степень не менее q.

Примеры

Пусть $G = ⟨a, b | aba - 1 b - 1⟩ {\ displaystyle G = \ langle a, b | aba ^ {- 1} b ^ {- 1} \ rangle}$ $G = \ langle a, b | aba ^ {{- 1}} b ^ {{- 1}} \ rangle$ быть стандартным представлением свободного абелева группа второго ранга. Тогда для симметризованного замыкания этого представления единственными фрагментами являются слова длины 1. Эта симметризованная форма удовлетворяет условиям малого сокращения C (4) -T (4) и условию C '(λ) для любого 1>λ>1 / 4.
Пусть $G = ⟨a 1, b 1,…, ak, bk | [a 1, b 1] ⋅ ⋯ ⋅ [ak, bk]⟩ {\ displaystyle G = \ langle a_ {1}, b_ {1}, \ dots, a_ {k}, b_ {k} | [a_ {1 }, b_ {1}] \ cdot \ dots \ cdot [a_ {k}, b_ {k}] \ rangle}$ $G = \ langle a_ {1}, b_ {1}, \ dots, a_ {k}, b_ {k} | [a_ {1}, b_ {1}] \ cdot \ dots \ cdot [a_ {k}, b_ {k}] \ rangle$ , где k ≥ 2, - стандартное представление фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности рода k. Тогда для симметризации этого представления единственными частями являются слова длины 1, и эта симметризация удовлетворяет условиям малого сокращения C '(1/7) и C (8).
Пусть $G = ⟨a, б | a b a b 2 a b 3… a b 100⟩ {\ displaystyle G = \ langle a, b | abab ^ {2} ab ^ {3} \ dots ab ^ {100} \ rangle}$ $G = \ langle a, b | abab ^ {2} ab ^ { 3} \ точки ab ^ {{100}} \ rangle$ . Тогда, вплоть до инверсии, каждый фрагмент симметризованной версии этого представления имеет форму bab или b, где 0 ≤ i, j ≤ 100. Эта симметризация удовлетворяет условию малого сокращения C '(1/20).
Если симметризованное представление удовлетворяет условию C '(1 / m), то оно также удовлетворяет условию C (m).
Пусть r ∈ F (X) - нетривиальное циклически сокращенное слово, которое не является собственная степень в F (X) и пусть n ≥ 2. Тогда симметризованное замыкание копредставления $G = ⟨X | rn⟩ {\ displaystyle G = \ langle X | r ^ {n} \ rangle}$ $G = \ langle X | r ^ {n} \ rangle$ удовлетворяет условиям малого сокращения C (2n) и C '(1 / n).

Основные результаты малого теория сокращения

лемма Гриндлингера

Основным результатом, касающимся метрического условия малого сокращения, является следующее утверждение (см. теорему 4.4 в главе V), которое обычно называют

леммой Гриндлингера : Пусть (∗) - представление группы, как указано выше, удовлетворяющее условию малого сокращения C '(λ), где 0 ≤ λ ≤ 1/6. Пусть w ∈ F (X) - нетривиальное свободно сокращенное слово такое, что w = 1 в G. Тогда существуют подслово v слова w и определяющий относитель r ∈ R такие, что v также является подсловом слова r и такое, что

| v |>(1 - 3 λ) | г | {\ displaystyle \ left | v \ right |>\ left (1-3 \ lambda \ right) \ left | r \ right |}

\left|v\right|>\ left (1-3 \ lambda \ right) \ left | r \ right |

Примечание что из предположения λ ≤ 1/6 следует, что (1-3λ) ≥ 1/2, так что w содержит подслово, превышающее половину некоторого определяющего соотношения.

Лемма Гриндлингера получается как следствие следующее геометрическое утверждение:

В условиях леммы Гриндлингера пусть D - приведенная диаграмма Ван Кампена над (∗) с циклически редуцированной граничной меткой, такая, что D содержит по крайней мере две области. Тогда существуют две различные области D 1 и D 2 в D такие, что для j = 1,2 область D j пересекает граничный цикл ∂D D в простой дуге, длина которой больше, чем (1-3λ) | ∂D j |.

Этот результат, в свою очередь, доказывается рассмотрением двойственной диаграммы для D. Там определяетсякомбинаторное понятие кривизны (которое, согласно предположениям малого сокращения, отрицательно в каждой внутренней вершине), и затем получается комбинаторная версия теоремы Гаусса – Бонне. Лемма Гриндлингера доказывается как следствие этого анализа, и, таким образом, доказательство вызывает идеи первоначального доказательства Дена для случая групп поверхностей.

Алгоритм Дена

Для любого симметризованного представления группы (∗) следующая абстрактная процедура называется алгоритмом Дена :

Для произвольно сокращенного слова w на X постройте последовательность свободно сокращенные слова w = w 0, w 1, w 2,..., как показано ниже.
Предположим, что w j уже построен. Если это пустое слово, завершить алгоритм. В противном случае проверьте, содержит ли w j такое подслово v, что v также является подсловом некоторого определяющего отношения r = vu ∈ R, такого что | v |>| г | / 2. Если нет, завершить алгоритм с выходом w j. Если да, замените v на u в w j, затем произвольно уменьшите, обозначьте получившееся свободно сокращенное слово как w j + 1 и перейдите к следующему шагу алгоритма.

Обратите внимание, что у нас всегда

|w0|>| w 1 |>| w 2 |>...

что означает, что процесс должен завершиться не более чем через | w | шаги. Более того, все слова w j представляют тот же элемент G, что и w, и, следовательно, если процесс завершается пустым словом, тогда w представляет собой элемент идентичности G.

Говорят что для симметризованного представления (∗) алгоритм Дена решает проблему слов в G, если верно и обратное, то есть если для любого свободно сокращенного слова w в F (X) это слово представляет собой единичный элемент G тогда и только тогда, когда алгоритм Дена, начиная с w, завершается пустым словом.

Из леммы Гриндлингера следует, что для представления C '(1/6) алгоритм Дена решает проблему слов.

Если представление C '(1/6) (∗) конечно (то есть и X, и R конечны), то алгоритм Дена является фактическим недетерминированным алгоритм в смысле теории рекурсии. Однако даже если (∗) представляет собой бесконечное представление C '(1/6), алгоритм Дена, понимаемый как абстрактная процедура, все же правильно решает, представляет ли слово в генераторах X единичный элемент G.

Асферичность

Пусть (∗) - представление C '(1/6) или, в более общем смысле, C (6), где каждый r ∈ R не является собственной степенью в F (X), тогда G является асферическим в следующем смысле. Рассмотрим минимальное подмножество S в R такое, что симметризованное замыкание S равно R. Таким образом, если r и s - разные элементы S, то r не является циклической перестановкой s и $G = ⟨X | S⟩ {\ displaystyle G = \ langle X | S \ rangle}$ $G = \ langle X | S \ rangle$ - еще одно представление для G. Пусть Y будет комплексом представления для этой презентации. Тогда (см. И теорему 13.3 в) при сделанных выше предположениях относительно (∗) Y является классифицирующим пространством для G, то есть G = π 1 (Y) и универсальное покрытие из Y договорное. В частности, это означает, что G не имеет кручения и имеет когомологическую размерность два.

Более общая кривизна

В более общем плане, можно определить различные виды локальной "кривизны" на любой диаграмме Ван Кампена как - очень грубо - среднее превышение вершин + граней - ребер (что, согласно формуле Эйлера, должно составлять 2), и, показывая в определенной группе, что это всегда неположительно (или, что еще лучше, отрицательно) внутренне, показать, что кривизна должна быть на границе или рядом с ней. и таким образом попытаться получить решение проблемы слова. Кроме того, можно ограничить внимание диаграммами, которые не содержат какой-либо из набора «областей», так что существует «меньшая» область с той же границей.

Другие основные свойства малых групп сокращения

Пусть (∗) - представление C '(1/6). Тогда элемент g в G имеет порядок n>1 тогда и только тогда, когда существует отношение r в R вида r = s в F (X) такое, что g сопряжен с s в G. в частности, если все элементы R не являются собственными степенями в F (X), то G не имеет кручения.
Если (∗) - конечное представление C '(1/6), группа G словесно-гиперболический.
Если R и S - конечные симметризованные подмножества F (X) с равными нормальными замыканиями в F (X), такие что оба представления $⟨X | R⟩ {\ displaystyle \ langle X | R \ rangle}$ $\ langle X | R \ rangle$ и $⟨X | S⟩ {\ displaystyle \ langle X | S \ rangle}$ $\ langle X | S \ rangle$ удовлетворяет условию C '(1/6), тогда R = S.
Если конечное представление (∗) удовлетворяет одному из C '(1/6), C' (1/4) –T (4), C (6), C (4) –T (4), C (3) –T (6), то группа G имеет разрешимая проблема со словами и разрешимая проблема сопряженности

Приложения

Примеры приложений теории малого сокращения включают:

Решение проблемы сопряжения для группы чередующихся узлов (см. и главу V, теорема 8.5 in), показав, что для таких узлов расширенные группы узлов допускают представления C (4) –T (4).
Конечно определенные C '(1/6) малые группы сокращения являются основными примерами словесно-гиперболических групп. Одна из эквивалентных характеризаций словесно-гиперболических групп - это группы, допускающие конечные представления, где алгоритм Дена решает проблему слов.
Конечно определенные группы, заданные конечными представлениями C (4) –T (4), где каждый кусок имеет длину один из основных примеров групп CAT (0) : для такой презентации универсальное покрытие комплекса презентаций представляет собой CAT (0) квадратный комплекс.
Ранние приложения теории малого сокращения включают получение различных результатов встраиваемости. Примеры включают статью Сасердота и Шуппа 1974 года с доказательством того, что каждая группа с одним соотношением по крайней мере с тремя образующими является SQ-универсальной и статья Шуппа 1976 года с доказательством того, что каждая счетная группа может быть вложена в простая группа, порожденная элементом второго порядка и элементом третьего порядка.
Так называемая конструкция Rips, благодаря Eliyahu Rips, обеспечивает богатый источник контрпримеров относительно различных свойств подгруппы словесных гиперболических групп : для произвольной конечно представленной группы Q конструкция дает короткую точную последовательность $1 → K → G → Q → 1 {\ displaystyle 1 \ to K \ to G \ to Q \ to 1}$ $1 \ to K \ to G \ to Q \ to 1$ , где K является двупорожденным, а G не имеет кручения и задается конечное C '(1/6) –представление (и, значит, G словесно гиперболична). Конструкция дает доказательства неразрешимости нескольких алгоритмических проблем для словесно-гиперболических групп, включая проблему принадлежности к подгруппам, проблему порождения и проблему ранга. Кроме того, за некоторыми исключениями, группа K в конструкции Рипса не является конечно презентабельной. Это означает, что существуют некогерентные словесно-гиперболические группы, которые содержат подгруппы, конечно порожденные, но не конечно представимые.
Методы малых сокращений (для бесконечных представлений) использовались Ольшанским для построения различных группы «монстров», включая монстра Тарского, а также для доказательства того, что свободные группы Бернсайда с большим нечетным показателем бесконечны (аналогичный результат был первоначально доказан Адьяном и Новиковым в 1968 г. используя более комбинаторные методы). Некоторые другие группы «чудовищ», построенные Ольшанским с использованием этих методов, включают: бесконечную простую нётерову группу ; бесконечная группа, в которой каждая собственная подгруппа имеет простой порядок, а любые две подгруппы одного порядка сопряжены; неаменабельная группа, в которой каждая собственная подгруппа циклическая; и др.
Боудич использовал бесконечные представления с малым сокращением, чтобы доказать, что существует непрерывно много типов квазиизометрии групп с двумя образующими.
Томас и Величкович использовали малое сокращение Теория построения конечно порожденной группы с двумя негомеоморфными асимптотическими конусами, таким образом, отвечая на вопрос Громов.
Маккаммонд и Уайз показали, как преодолеть трудности, связанные с конструкцией Рипса, и создать большие классы малых групп сокращения, которые являются когерентные (то есть все конечно порожденные подгруппы конечно представлены) и, более того, локально квазивыпуклые (то есть где все конечно порожденные подгруппы квазивыпуклые).
Методы малых сокращений играют ключевую роль в изучении различных моделей «общих» или «случайных» конечно определенных групп (см.). В частности, для фиксированного числа m ≥ 2 образующих и фиксированного числа t ≥ 1 определяющих соотношений и для любого λ < 1 a random m-generator t-relator group satisfies the C'(λ) small cancellation condition. Even if the number of defining relations t is not fixed but grows as (2m−1) (where ε ≥ 0 is the fixed density parameter in Gromov's density model of "random" groups, and where $n → ∞ {\ displaystyle n \ to \ infty}$ $n \ to \ infty$ - длина определяющих соотношений), то ε-случайная группа удовлетворяет условию C '(1/6) при условии, что ε < 1/12.
Громов использовал версию теории малых сокращений по отношению к графу, чтобы доказать существование конечно определенная группа, которая «содержит» (в соответствующем смысле) бесконечную последовательность расширителей и поэтому не допускает равномерного вложения в гильбертово пространство. Этот результат дает направление (пока единственное доступное) для поиска контрпримеров к гипотезе Новикова.
Осин использовал обобщение теории малых сокращений для получения аналога теоремы о гиперболической хирургии Дена Терстона. для относительно гиперболических групп.

Обобщения

В статье была разработана версия теории малых сокращений для фактор-групп объединенных свободных продуктов и расширений HNN. Сакердота и Шуппа, а затем в книге Линдона и Шуппа.
Рипс и Ольшанский разработали «стратифицированную» версию теории малого сокращения, в которой множество соотносителей фильтруется как восходящее объединение слоев (каждый страты, удовлетворяющей условию малого сокращения), а для отношения r из некоторого слоя и отношения s из более высокого слоя требуется, чтобы их перекрытие было небольшим по отношению к | s | но разрешено иметь большое значение по отношению к | r |. Эта теория позволила Ольшанскому построить различные группы «монстров», включая монстра Тарского, и дать новое доказательство того, что свободные группы Бернсайда с большим нечетным показателем бесконечны.
Ольшанский и Дельзант позже разработали версии теории малого сокращения для частных словесно-гиперболических групп.
Маккаммонд представил многомерную версию теории малого сокращения.
Маккаммонд и Уайз продвинулись вперед. существенно расширяют основные результаты стандартной теории малых сокращений (такие как лемма Гриндлингера) относительно геометрии диаграмм Ван Кампена над представлениями малых сокращений.
Громов использовал версию теории малых сокращений с относительно графа, чтобы доказать существование конечно определенной группы, которая «содержит» (в соответствующем смысле) бесконечную последовательность расширителей и, следовательно, не допускает равномерного вложения в гильбертово пространство.
Осин дал версию теории малого сокращения для частных Ens of относительно гиперболических групп и использовал его для получения относительно гиперболического обобщения теоремы Терстона о гиперболической хирургии Дена.

Основные ссылки

Роджер Линдон и Пол Шупп, Комбинаторная теория групп. Перепечатка издания 1977 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Berlin, 2001. ISBN 3-540-41158-5.
Александр Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих отношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурин. Математика и ее приложения (Советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1.
Ральф Штребель, приложение. Небольшие группы отмены. Sur les groupes hyperboliques d'après Михаэль Громов (Берн, 1988), стр. 227–273, Progress in Mathematics, 83, Birkhäuser Boston, Boston, Massachusetts, 1990. ISBN 0 -8176-3508-4.
Миле Крайчевски, Замощения плоскости, гиперболические группы и условия малого сокращения. Мемуары Американского математического общества, т. 154 (2001), нет. 733.