Уравнение Слуцкого

Уравнение Слуцкого (или тождество Слуцкого ) в экономика, названная в честь Евгения Слуцкого, связывает изменения маршаллианского (некомпенсированного) спроса с изменениями хиксовского (компенсированного) спроса, который известен как таковой поскольку это компенсирует es для поддержания фиксированного уровня полезности. Уравнение Слуцкого состоит из двух частей: эффекта замещения и эффекта дохода. В целом эффект замещения отрицательный. Он разработал эту формулу, чтобы изучить реакцию потребителя на изменение цены. Когда цена увеличивается, бюджетный набор перемещается внутрь, что приводит к уменьшению объема спроса. Напротив, когда цена снижается, установленный бюджет перемещается наружу, что приводит к увеличению объема спроса. Уравнение демонстрирует, что изменение спроса на товар, вызванное изменением цены, является результатом двух эффектов:

• a эффект замещения : товар становится относительно дешевле, поэтому потребитель покупает другие товары в качестве заменителей
• an эффект дохода : покупательная способность потребителя увеличивается в результате снижения цены, поэтому теперь потребитель может позволить себе более качественные товары или большее количество тех же товаров, в зависимости от того, сам по себе является нормальным товаром или неполноценным товаром.

Уравнение Слуцкого разлагает изменение спроса на товар i в ответ на изменение цены товара j:

$\partial \; xi\; (\; п,\; вес)\; \partial \; pj\; знак\; равно\; \partial \; hi\; (p,\; u)\; \partial \; pj\; -\; \partial \; xi\; (p,\; w)\; \partial \; wxj\; (p,\; w),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w)\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; p\_\; \{j\}\}\; =\; \{\backslash \; partial\; h\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; p\_\; \{j\}\}\; -\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; вес)\; \backslash \; над\; \backslash \; частичным\; w\}\; x\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w),\; \backslash ,\}$

где $h\; (p,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\}$- это Спрос по Хиксу и $x\; (p,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w)\}$- маршаллианский спрос на векторе уровней цен $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$, уровень богатства (или, альтернативно, уровень дохода) $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$и фиксированный уровень полезности $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$, заданное максимизацией полезности по исходной цене и доходу, формально заданное функцией косвенной полезности $v\; (p,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (\backslash \; mathbf\; \{p\; \},\; w)\}$. Правая часть уравнения равна изменению спроса на товар i, удерживающую полезность, фиксированную на уровне u, за вычетом количества потребляемого товара j, умноженного на изменение спроса на товар i при изменении богатства.

Первый член в правой части представляет эффект замещения, а второй член представляет эффект дохода. Обратите внимание, что, поскольку полезность не наблюдаема, эффект замещения не наблюдается напрямую, но его можно рассчитать, ссылаясь на два других члена в уравнении Слуцкого, которые наблюдаются. Этот процесс иногда называют разложением Хикса изменения спроса.

Уравнение можно переписать в терминах эластичности :

$ϵ\; p,\; ij\; =\; ϵ\; p,\; ijh\; -\; ϵ\; w,\; ibj\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{p,\; ij\}\; =\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{p,\; ij\}\; ^\; \{h\}\; -\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{w,\; i\}\; b\_\; \{j\}\}$

, где εp- (без компенсации) эластичность по цене, εp- это компенсированная эластичность по цене, εw,iэластичность по доходу для товара i, и bjбюджетная доля товара j.

То же уравнение можно переписать в матричной форме, чтобы разрешить сразу несколько изменений цены:

$D\; px\; (p,\; w)\; =\; D\; ph\; (p,\; u)\; -\; D\; wx\; (p\; вес)\; Икс\; (п,\; вес)\; \top ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{p\}\; x\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{p\}\; h\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\; -\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{w\}\; x\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w)\; ^\; \{\backslash \; top\},\; \backslash ,\}$

где Dp- оператор производной по цене, а Dw- оператор производной по богатству.

Матрица $D\; ph\; (p,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{D\_\; \{p\}\; h\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\}$известна как Матрица Слуцкого, и при достаточных условиях гладкости функции полезности она является симметричной, отрицательно полуопределенной и гессианом функции расходов.

Содержание

• 1 Вывод
• 2 Товары Гиффена
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Вывод

Хотя есть несколько способов вывести уравнение Слуцкого, следующий метод вероятно самый простой. Начните с обозначения тождества $привет\; (p,\; u)\; =\; xi\; (p,\; e\; (p,\; u))\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\; =\; x\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; е\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u))\}$где $e\; (p,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\}$- это функция расходов , а u - полезность, полученная путем максимизации полезности при заданных p и w. Полное дифференцирование по p j дает следующее:

$\partial \; hi\; (p,\; u)\; \partial \; pj\; =\; \partial \; xi\; (p,\; e\; (p,\; u))\; \partial \; pj\; +\; \partial \; xi\; (p,\; е\; (п,\; и))\; \partial \; е\; (п,\; и)\; \cdot \; \partial \; е\; (п,\; и)\; \partial \; pj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; h\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{j\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; e\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u))\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{j\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; e\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u))\}\; \{\backslash \; partial\; e\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; e\; (\; \backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{j\}\}\}\}$.

Используя тот факт, что $\partial \; e\; (p,\; u)\; \partial \; pj\; =\; hj\; (p,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; e\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\}\; \{\backslash \; partial\; p\_\; \{j\}\}\}\; =\; h\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\}$на Лемма Шепарда и что в оптимальном варианте

$hj\; (p,\; u)\; =\; hj\; (p,\; v\; (p,\; w))\; =\; xj\; (p,\; w),\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; u)\; =\; h\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; v\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w))\; =\; x\_\; \{j\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w),\}$где $v\; (p,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (\backslash \; mathbf\; \{p\},\; w)\}$- косвенная функция полезности,

, которую можно заменить и перепишем приведенный выше вывод как уравнение Слуцкого.

Товары Giffen

Товар Giffen - это товар, который пользуется повышенным спросом при повышении цены, что также является частным случаем низкокачественных товаров. В крайнем случае неполноценного дохода размер эффекта дохода превосходил размер эффекта замещения, что приводило к положительному общему изменению спроса в ответ на рост цены. Разложение Слуцким изменения спроса на чистый эффект замещения и эффект дохода объясняет, почему закон спроса не выполняется для товаров Гиффена.

См. Также

• Выбор потребителя
• Лемма Хотеллинга

Ссылки