Распределение Скеллама

Скеллам

Вероятностная функция массы . Примеры функции вероятности массы для распределения Скеллама. По горизонтальной оси отложен индекс k. (Функция определяется только при целочисленных значениях k. Соединительные линии не указывают на непрерывность.)
Параметры	$\mu \; 1\; \ge \; 0,\; \mu \; 2\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; geq\; 0,\; ~~\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash \; geq\; 0\}$
Поддержка	$\{\dots ,\; -\; 2,\; -\; 1,\; 0,\; 1,\; 2,\dots \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; ldots,\; -2,\; -1,\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\}$
PMF	$e\; -\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; (\mu \; 1\; \mu \; 2)\; k\; /\; 2\; I\; k\; (2\; \mu \; 1\; \mu \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash !\; +\; \backslash !\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; k\; /\; 2\}\; \backslash !\; \backslash !\; I\_\; \{k\}\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\})\}$
Среднее	$\mu \; 1\; -\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash ,\}$
Медиана	N / A
Дисперсия	$\mu \; 1\; +\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash ,\}$
Асимметрия	$\mu \; 1\; -\; \mu \; 2\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; 3/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; \{\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; ^\; \{3/2\}\}\}\}$
Пример. эксцесс	$3\; +\; 1\; /\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\; +\; 1\; /\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; \backslash ,\}$
MGF	$e\; -\; (\; \mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; +\; \mu \; 1\; et\; +\; \mu \; 2\; e\; -\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; e\; ^\; \{t\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\}\}$
CF	$e\; -\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; +\; \mu \; 1\; eit\; +\; \mu \; 2\; e\; -\; it\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\; \}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; e\; ^\; \{it\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; e\; ^\; \{-\; it\}\}\}$

Распределение Скеллама является дискретное распределение вероятностей разности $N\; 1\; -\; N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{1\}\; -N\_\; \{2\}\}$двух статистически независимых случайные переменные $N\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{1\}\}$и $N\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{2\},\}$каждая Распределение Пуассона с соответствующими ожидаемыми значениями $\mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}$и $\mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}$. Это полезно для описания статистики разницы двух изображений с простым фотонным шумом, а также для описания распределения разброса точек в видах спорта, где все набранные очки равны, например бейсбол, хоккей и футбол.

Распределение также применимо к частному случаю разности зависимых случайных величин Пуассона, но только к очевидному случаю, когда две переменные имеют общий аддитивный случайный вклад, который аннулируется разностью: подробности и приложение см. в Karlis Ntzoufras (2003).

функция массы вероятности для распределения Скеллама для разности $K\; =\; N\; 1\; -\; N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; N\_\; \{1\}\; -N\_\; \{2\}\}$между двумя независимыми случайными величинами с распределением Пуассона со средними значениями $\mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}$и $\mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \}$определяется по формуле:

$p\; (k;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; Pr\; \{K\; =\; k\}\; =\; e\; -\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; (\mu \; 1\; \mu \; 2)\; k\; /\; 2\; Я\; К\; (2\; \mu \; 1\; \mu \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (k;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; =\; \backslash \; Pr\; \backslash \; \{K\; =\; k\; \backslash \}\; =\; e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{\; 1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; over\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\; /\; 2\}\; I\_\; \{k\}\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\})\}$

где I k (z) - это модифицированная функция Бесселя первого рода. Поскольку k является целым числом, мы имеем I k (z) = I | k | (z).

• 1 Вывод
• 2 Свойства
  • 2.1 Границы веса выше нуля
• 3 Ссылки

функция массы вероятности Распределенная по Пуассону случайная величина со средним значением μ определяется выражением

$p\; (k;\; \mu )\; =\; \mu \; kk!\; е\; -\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (k;\; \backslash \; mu)\; =\; \{\backslash \; mu\; ^\; \{k\}\; \backslash \; over\; k!\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; mu\}.\; \backslash ,\}$

для $k\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; geq\; 0\}$(в противном случае - ноль). Функция массы вероятности Скеллама для разности двух независимых отсчетов $K\; =\; N\; 1\; -\; N\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; N\_\; \{1\}\; -N\_\; \{2\}\}$- это свертка двух распределений Пуассона: (Скеллам, 1946)

$p\; (k;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; p\; (k\; +\; n;\; \mu \; 1)\; p\; (n\; ;\; \mu \; 2)\; знак\; равно\; e\; -\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; \sum \; N\; =\; max\; (0,\; -\; k)\; \infty \; \mu \; 1\; k\; +\; n\; \mu \; 2\; nn!\; (к\; +\; п)!\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; p\; (k;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; p\; (k\; +\; n;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\})\; p\; (n;\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; \backslash \backslash \; =\; e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; \backslash \; max\; (0,\; -k)\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; ^\; \{k\; +\; n\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; over\; \{n!\; (K\; +\; n)!\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку распределение Пуассона равно нулю для отрицательных значений счетчика , вторая сумма берется только для тех членов, где $n\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 0\}$и $n\; +\; k\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; k\; \backslash \; geq\; 0\}$. Можно показать, что указанная выше сумма означает, что

$p\; (k;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; p\; (-\; k;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; (\mu \; 1\; \mu \; 2)\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\; (k;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1)\; \},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}\; \{p\; (-k;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\}$

так, чтобы:

$p\; (k;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; e\; -\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; (\mu \; 1\; \mu \; 2)\; k\; /\; 2\; я\; |\; К\; |\; (2\; \mu \; 1\; \mu \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (k;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; =\; e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; over\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\; /\; 2\}\; I\_\; \{|\; k\; |\}\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\; \}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\})\}$

где I k (z) - модифицированная функция Бесселя первого рода. Особый случай для $\mu \; 1\; =\; \mu \; 2\; (=\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; (=\; \backslash \; mu)\}$дан Ирвином (1937):

$p\; (k;\; \mu ,\; \mu )\; =\; e\; -\; 2\; \mu \; I\; |\; k\; |\; (2\; мкм).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; left\; (k;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; mu\}\; I\_\; \{|\; k\; |\}\; (2\; \backslash \; mu).\}$

Использование предельных значений модифицированного Бесселя функция для небольших аргументов, мы можем восстановить распределение Пуассона как частный случай распределения Скеллама для $\mu \; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; =\; 0\}$.

As это дискретная функция вероятности, массовая функция вероятности Скеллама нормирована:

$\sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; p\; (k;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; p\; (k;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; =\; 1.\}$

Мы знаем, что функция, генерирующая вероятность (pgf) для Распределение Пуассона :

$G\; (t;\; \mu )\; =\; e\; \mu \; (t\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; \backslash \; left\; (t;\; \backslash \; mu\; \backslash \; right)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; mu\; (t-1)\}.\}$

Отсюда следует, что pgf, $G\; (t;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (t;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}$, для функции массы вероятности Скеллама будет:

$G\; (t;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; p\; (k;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; tk\; =\; G\; (t;\; \mu \; 1)\; G\; (1\; /\; t;\; \mu \; 2)\; =\; e\; -\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; +\; \mu \; 1\; t\; +\; \mu \; 2\; /\; т.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; G\; (t;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; p\; (k;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; t\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; G\; \backslash \; left\; (t;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; G\; \backslash \; left\; (1\; /\; t;\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; t\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; /\; t\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратите внимание, что форма функции генерирования вероятностей подразумевает, что распределение сумм или разностей любого числа независимых переменных, распределенных по Скелламу, снова является распределением по Скелламу.. Иногда утверждают, что любая линейная комбинация двух распределенных переменных Скеллама снова распределена по Скелламу, но это явно неверно, поскольку любой множитель, отличный от $\pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; 1\}$, изменил бы поддерживает распределения и изменяет структуру моментов таким образом, что никакое распределение Скеллама не может удовлетворить.

порождающая функция момента определяется как:

$M\; (t;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; G\; (et;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; tkk!\; mk\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; left\; (t;\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; G\; (e\; ^\; \{t\};\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{t\; ^\; \{k\}\; \backslash \; over\; k!\}\; \backslash ,\; m\_\; \{k\}\}$

, что дает исходные моменты m k. Определите:

$\Delta \; =\; def\; \mu \; 1\; -\; \mu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash ,\}$

$\mu \; =\; def\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; /\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\; \})\; /\; 2.\; \backslash ,\}$

Тогда исходные моменты m k равны

$m\; 1\; =\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; left.\; \backslash \; Delta\; \backslash \; right.\; \backslash ,\}$

$m\; 2\; =\; 2\; \mu \; +\; \Delta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; left.2\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; Delta\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right.\; \backslash ,\}$

$m\; 3\; =\; \Delta \; (1\; +\; 6\; \mu \; +\; \Delta \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; left.\; \backslash \; Delta\; (1\; +\; 6\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; Delta\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right.\; \backslash ,\}$

центральные моменты Mkравны

$M\; 2\; =\; 2\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; left.2\; \backslash \; mu\; \backslash \; right.,\; \backslash ,\}$

$M\; 3\; =\; \Delta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{3\}\; =\; \backslash \; left.\; \backslash \; Дельта\; \backslash \; вправо.,\; \backslash ,\}$

$M\; 4\; =\; 2\; \mu \; +\; 12\; \mu \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{4\}\; =\; \backslash \; left.2\; \backslash \; mu\; +12\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right..\; \backslash ,\}$

среднее, дисперсия, асимметрия и превышение эксцесса соответственно:

$E\; \; (n)\; =\; \Delta ,\; \sigma \; 2\; =\; 2\; \mu ,\; \gamma \; 1\; =\; \Delta \; /\; (2\; \mu )\; 3/2,\; \gamma \; 2\; =\; 1/2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; (n)\; =\; \backslash \; Delta,\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; 2\; \backslash \; mu,\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; Delta\; /\; (2\; \backslash \; mu)\; ^\; \{3/2\},\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; =\; 1/2.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

кумулянт-производящая функция определяется как:

$K\; (t;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2)\; =\; def\; ln\; \; (M\; (t;\; \mu \; 1,\; \mu \; 2))\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; ткк!\; \kappa \; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; К\; (т;\; \backslash \; му\; \_\; \{1\},\; \backslash \; му\; \_\; \{2\})\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \backslash \; ln\; (M\; (t;\; \backslash \; mu\; \_\; \{\; 1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{t\; ^\; \{k\}\; \backslash \; over\; k!\}\; \backslash ,\; \backslash \; Kappa\; \_\; \{k\}\}$

что дает кумулянты :

$\kappa \; 2\; k\; =\; 2\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2k\}\; =\; \backslash \; left.2\; \backslash \; mu\; \backslash \; right.\}$

$\kappa \; 2\; k\; +\; 1\; =\; \Delta .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2k\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; left.\; \backslash \; Delta\; \backslash \; right..\}$

Для особого случая, когда μ 1 = μ 2, an асимптотическое разложение модифицированной функции Бесселя первого рода дает для больших μ:

$p\; (k;\; \mu ,\; \mu )\; \sim \; 1\; 4\; \pi \; \mu \; [1\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; \{4\; k\; 2\; -\; 1\; 2\}\; \{4\; k\; 2\; -\; 3\; 2\}\; \cdots \; \{4\; k\; 2\; -\; (2\; n\; -\; 1)\; 2\}\; n!\; 2\; 3\; n\; (2\; \mu )\; n].\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; (к;\; \backslash \; му,\; \backslash \; му)\; \backslash \; sim\; \{1\; \backslash \; над\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; mu\}\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\; -1)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; \{4k\; ^\; \{2\}\; -1\; ^\; \{2\}\; \backslash \}\; \backslash \; \{4k\; ^\; \{2\}\; -3\; ^\; \{2\}\; \backslash \}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; \{4k\; ^\; \{2\}\; -\; (2n\; -1)\; ^\; \{2\}\; \backslash \}\; \backslash \; over\; n!\; \backslash ,\; 2\; ^\; \{3n\}\; \backslash ,\; (2\; \backslash \; mu)\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; right].\}$

(Abramowitz Stegun 1972, стр. 377). Кроме того, для этого особого случая, когда k также велико и имеет порядок квадратного корня из 2μ, распределение стремится к нормальному распределению :

$p\; (k;\; \mu ,\; \mu )\; \sim \; e\; -\; k\; 2/4\; \mu \; 4\; \pi \; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (k;\; \backslash \; mu,\; \backslash \; mu)\; \backslash \; sim\; \{e\; ^\; \{-\; k\; ^\; \{2\}\; /\; 4\; \backslash \; mu\}\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; mu\}\}\}.\}$

Эти специальные результаты легко переносятся на более общий случай различных средних.

Границы веса выше нуля

Если $X\; \sim \; Skellam\; \; (\mu \; 1,\; \mu \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{Skellam\}\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}$, с , тогда

$exp\; \; (-\; (\mu \; 1\; -\; \mu \; 2)\; 2)\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; 2\; -\; e\; -\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; 2\; \mu \; 1\; \mu \; 2\; -\; e\; -\; (\mu \; 1\; +\; \mu \; 2)\; 4\; \mu \; 1\; \mu \; 2\; \le \; Pr\; \{X\; \ge \; 0\}\; \le \; exp\; \; (-\; (\mu \; 1\; -\; \mu \; 2)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; exp\; (-\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\})\; ^\; \{2\})\}\; \{(\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; (\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\})\}\}\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; Pr\; \backslash \; \{X\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \}\; \backslash \; leq\; \backslash \; exp\; (-\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\})\; \}\})\; ^\; \{2\})\}$

Подробности можно найти в Распределение Пуассона # Пуассоновские расы

• Abramowitz, Milton; Стегун, Ирен А., ред. (Июнь 1965 г.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (Несокращенное и неизменное издание [der Ausg.] 1964, 5. Dover Printing ed.). Dover Publications. С. 374–378. ISBN 0486612724. Проверено 27 сентября 2012 года.
• Ирвин, Дж. О. (1937) «Распределение частот разницы между двумя независимыми переменными, следуя одному и тому же распределению Пуассона». Журнал Королевского статистического общества : Series A, 100 (3), 415–416. JSTOR 2980526
• Карлис Д. и Нтзуфрас И. (2003) «Анализ спортивных данных с использованием двумерных моделей Пуассона». Журнал Королевского статистического общества, серия D, 52 (3), 381–393. doi : 10.1111 / 1467-9884.00366
• Карлис Д. и Нтзуфрас И. (2006). Байесовский анализ различий данных подсчета. Статистика в медицине, 25, 1885–1905. [1]
• Скеллам, Дж. Г. (1946) «Частотное распределение разницы между двумя переменными Пуассона, принадлежащими разным популяциям». Журнал Королевского статистического общества, серия A, 109 (3), 296. JSTOR 2981372