Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях

Ключевые результаты общей теории относительности по гравитационным сингулярностям

Теоремы Пенроуза – Хокинга (после Роджер Пенроуз и Стивен Хокинг ) представляют собой набор результатов в общей теории относительности, которые пытаются ответить на вопрос о том, когда гравитация создает сингулярности.. В дальнейшем Пенроуз выиграл Нобелевскую премию по физике за 2020 год «за открытие, что образование черной дыры является надежным предсказанием общей теории относительности», которым он поделился с Рейнхардом Гензелем и Андреа Гез.

• 1 Сингулярность
• 2 Интерпретация и значение
• 3 Элементы теорем
• 4 Природа особенности
  • 4.1 Предположения теорем
  • 4.2 Используемые инструменты
  • 4.3 Версии
  • 4.4 Модифицированная гравитация
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Сингулярность в решениях уравнений поля Эйнштейна из двух вещей:

1. ситуация, когда материя принудительно сжимается до точки (пространственно-подобная сингулярность)
2. ситуация, когда определенные световые лучи исходят из области с бесконечной кривизной (временная сингулярность)

Пространственно-подобные сингулярности - это особенность невращающихся незаряженных черных дыр, как описано метрикой Шварцшильда, в то время как подобные времени сингулярности - это те t Это происходит в точных решениях заряженной или вращающейся черной дыры. Оба они обладают свойством, в котором либо некоторый путь света, либо путь частицы не может быть расширен за пределы определенного собственного времени или аффинного параметра (аффинный параметр является нулевым аналогом собственного времени).

Теорема Пенроуза гарантирует, что какая-то геодезическая неполнота возникает внутри любой черной дыры всякий раз, когда материя удовлетворяет разумным энергетическим условиям. Энергетическое условие, требуемое для теоремы сингулярности черной дыры, является слабым: оно гласит, что световые лучи всегда фокусируются вместе под действием силы тяжести, никогда не расходятся, и это выполняется, когда энергия вещества неотрицательна.

Теорема Хокинга о сингулярности применима ко всей Вселенной и работает в обратном направлении: она гарантирует, что (классический) Большой взрыв имеет бесконечную плотность. Эта теорема более ограничена и верна только тогда, когда материя подчиняется более сильному энергетическому условию, называемому доминирующим энергетическим условием, в котором энергия больше, чем давление. Вся обычная материя, за исключением вакуумного математического ожидания скалярного поля, подчиняется этому условию. Во время инфляции Вселенная нарушает доминирующее энергетическое условие, и первоначально утверждалось (например, Старобинским), что инфляционные космологии могут избежать начальной сингулярности Большого взрыва. Однако с тех пор было показано, что инфляционные космологии все еще являются незавершенными, и поэтому для описания прошлой границы раздувающейся области пространства-времени требуется физика, отличная от инфляции.

До сих пор остается открытым вопрос, предсказывает ли (классическая) общая теория относительности временные сингулярности внутри реалистичных заряженных или вращающихся черных дыр, или же они являются артефактами высокосимметричных решений и превращаются в пространственноподобные сингулярности, когда возмущения добавлены.

В общей теории относительности сингулярность - это место, которое объекты или световые лучи могут достичь за конечное время, где кривизна становится бесконечной, или пространство- время перестает быть коллектором. Сингулярности можно найти во всех пространствах-временах черных дыр, в метрике Шварцшильда, метрике Рейсснера – Нордстрёма, метрике Керра и Керра– Метрика Ньюмана, и во всех космологических решениях, не имеющих энергии скалярного поля или космологической постоянной.

Невозможно предсказать, что может «вылиться» из сингулярности большого взрыва в нашем прошлом или что произойдет с наблюдателем, который «попадает» в сингулярность черной дыры в будущем, поэтому им требуется модификация физического закона. До Пенроуза считалось, что сингулярности образуются только в надуманных ситуациях. Например, при коллапсе звезды с образованием черной дыры, если звезда вращается и, таким образом, обладает некоторым угловым моментом, возможно, центробежная сила частично противодействует гравитации и препятствует образованию сингулярности. Теоремы о сингулярности доказывают, что этого не может быть и что сингулярность всегда образуется, когда формируется горизонт событий.

В примере с коллапсирующей звездой, поскольку вся материя и энергия являются источником гравитационного притяжения в общей теории относительности, дополнительный угловой момент только сближает звезду сильнее, когда она сжимается: часть за пределами горизонта событий в конечном итоге оседает. вплоть до черной дыры Керра (см. теорему об отсутствии волос ). Часть внутри горизонта событий обязательно имеет где-то особенность. Доказательство в некоторой степени конструктивно - оно показывает, что сингулярность можно найти, проследив за световыми лучами от поверхности внутри горизонта. Но в доказательстве не говорится, какой тип сингулярности возникает: пространственноподобный, времениподобный, орбифолд, скачкообразный разрыв в метрике. Это только гарантирует, что если следовать по временным геодезическим в будущее, граница области, которую они формируют, не может быть порождена нулевыми геодезическими с поверхности. Это означает, что граница должна исходить либо из ниоткуда, либо все будущее заканчивается каким-то конечным продолжением.

Интересную «философскую» особенность ОТО раскрывают теоремы об особенностях. Поскольку общая теория относительности предсказывает неизбежное возникновение сингулярностей, теория не будет полной без спецификации того, что происходит с материей, которая попадает в сингулярность. Общую теорию относительности можно распространить на единую теорию поля, такую ​​как система Эйнштейна – Максвелла – Дирака, где такие особенности не встречаются.

В математике существует глубокая связь между кривизной многообразия и его топологией. Теорема Бонне – Майерса утверждает, что полное риманово многообразие, имеющее кривизну Риччи всюду большую, чем некоторая положительная константа, должно быть компактным. Условие положительной кривизны Риччи удобнее всего сформулировать следующим образом: для каждой геодезической существует ближайшая первоначально параллельная геодезическая, которая будет изгибаться к ней при расширении, и эти две будут пересекаться на некоторой конечной длине.

Когда две близлежащие параллельные геодезические пересекаются, продолжение любой из них больше не является кратчайшим путем между конечными точками. Причина в том, что два параллельных геодезических пути обязательно сталкиваются после расширения равной длины, и если один путь идет до пересечения, а затем другой, вы соединяете конечные точки негеодезическим путем равной длины. Это означает, что для того, чтобы геодезическая была кратчайшей длиной, она никогда не должна пересекать соседние параллельные геодезические.

Начиная с небольшой сферы и отправляя параллельные геодезические от границы, предполагая, что многообразие имеет кривизну Риччи, ограниченную снизу положительной константой, ни одна из геодезических не является кратчайшими путями после пока, так как все они сталкиваются с соседом. Это означает, что после некоторого расширения были достигнуты все потенциально новые точки. Если все точки в a находятся на конечном геодезическом расстоянии от малой сферы, многообразие должно быть компактным.

Роджер Пенроуз рассуждал аналогично в теории относительности. Если нулевые геодезические, пути световых лучей прослеживаются в будущее, создаются точки в будущем региона. Если точка находится на границе будущего региона, ее можно достичь, только двигаясь со скоростью света, но не медленнее, поэтому нулевые геодезические включают всю границу области. Когда нулевые геодезические пересекаются, они больше не находятся на границе будущего, они находятся внутри будущего. Итак, если все нулевые геодезические сталкиваются, будущее не имеет границ.

В теории относительности кривизна Риччи, определяющая свойства столкновения геодезических, определяется тензором энергии , и его проекция на световые лучи равна нулевой проекции энергии –Тензор импульса и всегда неотрицателен. Это означает, что объем конгруэнции параллельных нулевых геодезических, когда он начинает уменьшаться, достигнет нуля за конечное время. Когда объем равен нулю, происходит коллапс в каком-то направлении, поэтому каждая геодезическая пересекает некоторого соседа.

Пенроуз пришел к выводу, что всякий раз, когда есть сфера, где все исходящие (и входящие) световые лучи изначально сходятся, граница будущего этого региона закончится после конечного расширения, потому что все нулевые геодезические будут сходиться. Это важно, потому что исходящие световые лучи для любой сферы внутри горизонта решения черной дыры все сходятся, поэтому граница будущего этой области либо компактна, либо исходит из ниоткуда. Будущее интерьера либо заканчивается после конечного расширения, либо имеет границу, которая в конечном итоге генерируется новыми световыми лучами, которые не могут быть прослежены до исходной сферы.

В теоремах сингулярностей понятие сингулярности используется в качестве замены наличия бесконечных искривлений. Геодезическая неполнота - это представление о том, что существуют геодезические, пути наблюдателей в пространстве-времени, которые могут быть продлены только в течение конечного времени, измеряемого наблюдателем, путешествующим по нему. Предположительно, в конце геодезической наблюдатель попал в сингулярность или столкнулся с какой-либо другой патологией, при которой нарушаются законы общей теории относительности.

Предположения теорем

Обычно теорема сингулярности состоит из трех составляющих:

1. энергетическое условие по материи,
2. условие по глобальная структура пространства-времени,
3. Гравитация достаточно сильна (где-то), чтобы заманить в ловушку область.

Существуют различные возможности для каждого ингредиента, и каждая приводит к различным теоремам сингулярности.

Используемые инструменты

Ключевым инструментом, используемым при формулировке и доказательстве теорем сингулярности, является уравнение Райчаудхури, которое описывает расхождение $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$из конгруэнтности (семейства) геодезических. Дивергенция сравнения определяется как производная от логарифма определителя объема сравнения. Уравнение Райчаудхури:

$\theta \; \dot{}\; =\; -\; \sigma \; ab\; \sigma \; ab\; -\; 1\; 3\; \theta \; 2\; -\; E\; [X\; \to ]\; aa\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; theta\}\}\; =\; -\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ab\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\; ab\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; -\; \{E\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{a\}\}$

где $\sigma \; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{ab\}\}$- тензор сдвига сравнения и $E\; [X\; \to ]\; aa\; =\; R\; mn\; X\; m\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{E\; [\{\backslash \; vec\; \{\; X\}\}]\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{a\}\; =\; R\_\; \{mn\}\; \backslash ,\; X\; ^\; \{m\}\; \backslash ,\; X\; ^\; \{n\}\}$также известен как скаляр Райчаудхури (см. сравнение стр. Для деталей). Ключевым моментом является то, что $E\; [X\; \to ]\; aa\; \{\backslash \; displaystyle\; \{E\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{a\}\}$будет неотрицательным при условии что выполняются уравнения поля Эйнштейна и

• выполняется условие нулевой энергии и геодезическая конгруэнтность равна нулю, или
• условие сильной энергии выполняется, и геодезическая конгруэнтность подобна времени.

Когда они выполняются, расхождение становится бесконечным при некотором конечном значении аффинного параметра. Таким образом, все геодезические, выходящие из точки, в конечном итоге снова сходятся через конечное время, при условии выполнения соответствующего энергетического условия, результат, также известный как теорема фокусировки .

Это актуально для сингулярностей благодаря следующему аргументу:

1. Предположим, у нас есть пространство-время, глобально гиперболическое, и две точки $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$, которые может быть соединен таймподобной или нулевой кривой. Тогда существует геодезическая максимальной длины, соединяющая $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$. Назовите эту геодезическую $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$.
2. Геодезическую $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$можно изменить на более длинную кривую, если другая геодезическая из $p\; \{\; \backslash \; displaystyle\; p\}$пересекает $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$в другой точке, называемой сопряженной точкой.
3. Из теоремы фокусировки мы знаем, что все геодезические из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$имеют сопряженные точки при конечных значениях аффинного параметра. В частности, это верно для геодезической максимальной длины. Но это противоречие - поэтому можно заключить, что пространство-время геодезически неполно.

В общей теории относительности существует несколько версий теоремы о сингулярности Пенроуза – Хокинга . В большинстве версий примерно указано, что если существует захваченная нулевая поверхность и плотность энергии неотрицательна, то существуют геодезические конечной длины, которые не могут быть расширены..

Эти теоремы, строго говоря, доказывают, что существует по крайней мере одна непространственноподобная геодезическая, которая только финитно продолжается в прошлое, но есть случаи, в которых условия этих теорем выполняются таким образом, что все Направленные в прошлое пути пространства-времени заканчиваются в сингулярности.

Версии

Есть много версий. Вот нулевая версия:

Предположим,

1. Выполняется условие нулевой энергии.
2. У нас есть некомпактная соединенная поверхность Коши.
3. У нас есть замкнутая захваченная нулевая поверхность $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\}\}$.

Тогда у нас либо нулевая геодезическая неполнота, либо замкнутые времениподобные кривые.

Набросок доказательства: Доказательство противоречие. Граница будущего $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\}\}$, $J\; \dot{}\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{J\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{T\}\})\}$генерируется нулевыми геодезическими сегментами, происходящими из $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\}\}$с ортогональными к нему касательными векторами. Будучи захваченной нулевой поверхностью, в соответствии с нулевым уравнением Райчаудхури оба семейства нулевых лучей, исходящие из $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\}\}$, будут сталкиваться с каустиками. (Каустика сама по себе не вызывает проблем. Например, граница будущего двух пространственно-подобных разделенных точек - это объединение двух будущих световых конусов с удаленными внутренними частями пересечения. Каустика возникает там, где световые конусы пересекаются, но сингулярности нет. там.) Нулевые геодезические, генерирующие $J\; \dot{}\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{J\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{T\}\})\}$, однако, должны завершиться, т. е. достичь своего будущие конечные точки на уровне каустики или до нее. В противном случае мы можем взять два нулевых геодезических сегмента, изменяющихся в каустике, а затем слегка деформировать их, чтобы получить временную кривую, соединяющую точку на границе с точкой на $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\}\}$, противоречие. Но поскольку $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{T\}\}\}$компактен, учитывая непрерывную аффинную параметризацию геодезических генераторов, существует нижняя граница абсолютного значения параметра расширения. Итак, мы знаем, что каустика будет развиваться для каждого генератора до того, как истечет равномерная граница аффинного параметра. В результате $J\; \dot{}\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{J\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{T\}\})\}$должен быть компактным. Либо у нас есть замкнутые времяподобные кривые, либо мы можем построить сравнение по времениподобным кривым, и каждая из них должна пересекать некомпактную поверхность Коши ровно один раз. Рассмотрим все такие времениподобные кривые, проходящие через $J\; \dot{}\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{J\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{T\}\})\}$, и взглянем на их изображение на поверхности Коши.. Будучи непрерывной картой, изображение также должно быть компактным. Будучи времяподобным конгруэнтом, времениподобные кривые не могут пересекаться, поэтому карта инъективна. Если бы поверхность Коши была некомпактной, то изображение имеет границу. Мы предполагаем, что пространство-время состоит из одного связного элемента. Но $J\; \dot{}\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{J\}\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{T\}\})\}$является компактным и безграничным, поскольку граница границы пуста. Непрерывная инъективная карта не может создавать границы, что дает нам противоречие.

Лазейки: если существуют замкнутые времениподобные кривые, то времениподобные кривые не должны пересекать частичную поверхность Коши. Если бы поверхность Коши была компактной, т. Е. Пространство компактно, нулевые геодезические образующие границы могут пересекаться всюду, потому что они могут пересекаться на другой стороне пространства.

Существуют и другие версии теоремы, включающие слабое или сильное условие энергии..

Модифицированная гравитация

В модифицированной гравитации уравнения поля Эйнштейна не выполняются, и поэтому эти сингулярности не обязательно возникают. Например, в Бесконечная производная гравитация, это возможно для $E\; [X\; \to ]\; aa\; \{\backslash \; displaystyle\; \{E\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{a\}\; \}$быть отрицательным, даже если выполняется условие нулевой энергии.

• Hawking, Stephen Ellis, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4.Классическая ссылка.
• Натарио, Дж. (2006). «Относительность и сингулярности - краткое введение для математиков». Ресенхас. 6 : 309–335. arXiv : math.DG / 0603190. Bibcode : 2006math...... 3190N.
• Пенроуз, Роджер (1965), "Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени", Phys. Rev. Lett., 14 (3): 57, Bibcode : 1965PhRvL..14... 57P, doi : 10.1103 / PhysRevLett.14.57
• Garfinkle, D.; Сеновилла, Дж. М. М. (2015), "Теорема Пенроуза 1965 г. об особенностях", Класс. Quantum Grav., 32 (12): 124008, arXiv : 1410.5226, Bibcode : 2015CQGra..32l4008S, doi : 10.1088 / 0264-9381 / 32/12/124008, S2CID 54622511. Также доступно как arXiv : 1410.5226
• См. Также arXiv : hep-th / 9409195 для получения информации о соответствующей главе из крупномасштабной структуры пространства. Время.