Отношение сигнал / шум

Отношение уровня полезного сигнала к уровню фонового шума

Отношение сигнал / шум (SNR или S / N ) - показатель, используемый в науке и технике, который сравнивает уровень желаемого сигнала до уровня фонового шума. SNR определяется как отношение мощности сигнала к мощности шума, часто выражаемое в децибелах. Соотношение больше 1: 1 (больше 0 дБ) означает, что сигнал больше, чем шум.

SNR, полоса пропускания и пропускная способность канала канала связи связаны по теореме Шеннона – Хартли.

• 1 Определение
  • 1.1 Децибелы
  • 1.2 Динамический диапазон
  • 1.3 Отличие от обычной мощности
• 2 Альтернативное определение
• 3 Измерения системы модуляции
  • 3.1 Амплитудная модуляция
  • 3.2 Частотная модуляция
• 4 Улучшение отношения сигнал / шум на практике
• 5 Цифровые сигналы
  • 5.1 Фиксированная точка
  • 5.2 Плавающая точка
• 6 Оптический SNR
• 7 Типы и сокращения
• 8 Другое использование
• 9 См. Также
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Отношение сигнал / шум определяется как отношение мощности к сигнал (значимый ввод) в степень фонового шума (бессмысленный или нежелательный ввод):

$SNR\; =\; P\; сигнал\; P\; шум,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\}\; \{P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\}\},\}$

где P - средняя мощность. Мощность сигнала и шума необходимо измерять в одних и тех же или эквивалентных точках системы и в пределах одной системы ширина полосы.

В зависимости от того, является ли сигнал константой (константами) или случайной величиной (S), Отношение сигнал / шум для случайного шума N становится:

$SNR\; =\; s\; 2\; E\; [N\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{E\}\; [\; N\; ^\; \{2\}]\}\}\}$

где E относится к ожидаемому значению, то есть в данном случае к среднему квадрату числа N, или

$SNR\; =\; E\; [\; S\; 2]\; E\; [N\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{E\}\; [S\; ^\; \{2\}]\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{E\}\; [N\; ^\; \{2\}]\}\}\}$

Если шум имеет ожидаемое значение, равное нулю, как это обычно бывает, знаменателем является его дисперсия, квадрат его стандартного отклонения σN.

. Сигнал и шум необходимо измерять таким же образом, например, как напряжения на том же импедансе. среднеквадратичное значение можно также использовать в соотношении:

$SNR\; =\; P\; сигнал\; P\; шум\; =\; (A\; сигнал\; A\; шум)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\}\; \{P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\}\; \{A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\},\}$

где A - среднеквадратичная (RMS) амплитуда (например, RMS-напряжение).

Децибелы

Так как многие сигналы имеют очень широкий динамический диапазон, сигналы часто выражаются с использованием логарифмической шкалы децибел. Исходя из определения децибел, сигнал и шум могут быть выражены в децибелах (дБ) как

$P\; сигнал,\; d\; B\; =\; 10\; log\; 10\; \; (P\; сигнал)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal,\; dB\}\}\; =\; 10\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; (P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\; \backslash \; right)\}$

и

$P-шум,\; d\; B\; =\; 10\; log\; 10\; \; (P-шум).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise,\; dB\}\}\; =\; 10\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; (P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\; \backslash \; right).\}$

Аналогичным образом SNR может быть выражено в децибелы как

$SNR\; d\; B\; =\; 10\; log\; 10\; \; (SNR).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\_\; \{dB\}\}\; =\; 10\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathrm\; \{SNR\}\; \backslash \; right).\}$

Использование определения SNR

$SNR\; d\; B\; =\; 10\; log\; 10\; \; (P\; сигнал\; P\; шум).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\_\; \{dB\}\}\; =\; 10\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\}\; \{P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\}\}\; \backslash \; right).\; \}$

Использование правила частного для логарифмов

$10\; log\; 10\; (P-сигнал,\; P-шум)\; =\; 10\; log\; 10\; (P-сигнал)\; -\; 10\; log\; 10\; (P-шум).\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\}\; \{P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 10\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; (P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\; \backslash \; right)\; -10\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; (P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\; \backslash \; right).\}$

Подстановка определений SNR, сигнала и шума в децибел в приведенном выше уравнении приводит к важной формуле для вычисления отношения сигнал / шум в децибелах, когда сигнал и шум также выражаются в децибелах:

$SNR\; d\; B\; =\; P\; сигнал,\; d\; B\; -\; P\; шум,\; d\; B.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\_\; \{дБ\}\}\; =\; \{P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal,\; dB\}\}\; -P\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise,\; dB\}\}\}.\}$

В приведенной выше формуле P измеряется в единицах мощности, такой как ватты (Вт) или милливатты (мВт), а отношение сигнал / шум является чистым числом.

Однако, когда сигнал и шум измеряются в вольтах (В) или амперах (А), которые являются мерой амплитуды, их необходимо сначала возвести в квадрат, чтобы получить величину, пропорциональную мощности, как показано ниже:

$SNR\; d\; B\; =\; 10\; log\; 10\; [(сигнал\; A\; шум)\; 2]\; =\; 20\; log\; 10\; (сигнал\; A\; шум)\; =\; (сигнал\; A,\; d\; B\; -\; шум\; A,\; d\; B).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\_\; \{дБ\}\}\; =\; 10\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\}\; \{A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\}\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; =\; 20\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{signal\}\}\}\; \{A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{noise\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{сигнал,\; дБ\}\}\; -A\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{шум,\; дБ\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Динамический диапазон

Понятия отношения сигнал / шум и динамический диапазон тесно связаны. Динамический диапазон измеряет соотношение между самым сильным не- искаженным сигналом на канале и минимальным различимым сигналом, который для большинства целей является уровнем шума. SNR измеряет соотношение между произвольным уровнем сигнала (не обязательно наиболее мощным из возможных) и шумом. Для измерения отношения сигнал / шум необходимо выбрать репрезентативный или опорный сигнал. В аудиотехнике опорный сигнал обычно представляет собой синусоидальную волну со стандартизованным номинальным или уровнем выравнивания, например 1 кГц при + 4 дБн (1,228 В RMS).

SNR обычно используется для обозначения среднего отношения сигнал / шум, поскольку возможно, что мгновенные отношения сигнал / шум будут значительно отличаться. Эту концепцию можно понять как нормализацию уровня шума до 1 (0 дБ) и измерение того, насколько «выделяется» сигнал.

Отличие от обычной мощности

В физике средняя мощность сигнала переменного тока определяется как среднее значение напряжения, умноженного на ток; для резистивных (не реактивных ) цепей, где напряжение и ток совпадают по фазе, это эквивалентно произведению действующего значения напряжения и тока:

$P\; =\; V\; rms\; I\; rms\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{P\}\; =\; V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rms\}\}\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rms\}\}\}$

$P\; =\; V\; rms\; 2\; R\; =\; I\; rms\; 2\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{P\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rms\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{R\}\}\; =\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rms\}\}\; ^\; \{2\}\; R\}$

Но при обработке сигналов и связи, обычно предполагается, что $R\; =\; 1\; Ом\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; 1\; \backslash \; Omega\}$, поэтому этот коэффициент обычно не учитывается при измерении мощности или энергии сигнала. Это может вызвать некоторую путаницу среди читателей, но коэффициент сопротивления не имеет значения для типичных операций, выполняемых при обработке сигналов, или для соотношений вычислительных мощностей. В большинстве случаев мощность сигнала будет считаться просто

$P\; =\; V\; rms\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{P\}\; =\; V\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{rms\}\}\; ^\; \{2\}\}$

Альтернативное определение SNR - это обратная величина коэффициента вариации, т. Е. Отношения среднего к стандартному отклонению сигнал или измерение:

$SNR\; =\; \mu \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\}$

где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- среднее значение сигнала или ожидаемое значение, а $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- стандартное отклонение шума или его оценка. Обратите внимание, что такое альтернативное определение полезно только для переменных, которые всегда неотрицательны (например, количество фотонов и яркость ). Он обычно используется в обработке изображений, где ОСШ изображения обычно вычисляется как отношение среднего значения пикселя к стандартному отклонению. значений пикселей по заданной окрестности.

Иногда SNR определяется как квадрат альтернативного определения выше, и в этом случае он эквивалентен более распространенному определению :

$SNR\; =\; \mu \; 2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Это определение тесно связано с индексом чувствительности или d ', если предположить, что сигнал имеет два состояния, разделенных амплитудой сигнала $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$и стандартным отклонением шума $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$не меняется между двумя состояниями.

Критерий Роуза (названный в честь Альберта Роуза ) гласит, что для уверенного различения элементов изображения требуется SNR не менее 5. SNR меньше 5 означает менее 100% уверенности в идентификации деталей изображения.

Еще одно альтернативное, очень конкретное и четкое определение SNR используется для характеристики чувствительности систем формирования изображений; см. Отношение сигнал / шум (изображение).

Соответствующими мерами являются «коэффициент контрастности » и «отношение контраст / шум ».

Амплитудная модуляция

Отношение сигнал / шум канала определяется как

$(SNR)\; C,\; AM\; =\; AC\; 2\; (1\; +\; ka\; 2\; P)\; 2\; WN\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{(SNR)\; \_\; \{C,\; AM\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{C\}\; ^\; \{2\}\; (1\; +\; k\_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; P)\}\; \{2WN\_\; \{0\}\}\}\}$

, где W - ширина полосы, а $ka\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{a\}\}$- индекс модуляции

Отношение выходной сигнал / шум ( AM-приемника) определяется как

$(SNR)\; O,\; AM\; =\; A\; c\; 2\; ka\; 2\; P\; 2\; WN\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{(SNR)\; \_\; \{O,\; AM\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{c\; \}\; ^\; \{2\}\; k\_\; \{a\}\; ^\; \{2\}\; P\}\; \{2WN\_\; \{0\}\}\}\}$

Частотная модуляция

Отношение сигнал / шум канала определяется как

$(SNR)\; C,\; FM\; =\; A\; c\; 2\; 2\; WN\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{(SNR)\; \_\; \{C,\; FM\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2WN\_\; \{0\}\}\}\}$

Отношение выходной сигнал / шум определяется как

$(SNR)\; O,\; FM\; =\; A\; c\; 2\; kf\; 2\; P\; 2\; N\; 0\; W\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{(SNR)\; \_\; \{O,\; FM\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{A\_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\; k\_\; \{f\}\; ^\; \{2\}\; P\}\; \{2N\_\; \{0\}\; W\; ^\; \{3\}\}\}\}$

Запись шума термогравиметрический и alysis плохо изолированное с механической точки зрения устройство; середина кривой показывает более низкий уровень шума из-за меньшей активности человека в ночное время.

Все реальные измерения искажены шумом. Это включает электронный шум, но может также включать внешние события, которые влияют на измеряемое явление - ветер, вибрации, гравитационное притяжение Луны, колебания температуры, колебания влажности и т. Д., В зависимости от того, что измеряется и чувствительности устройства. Часто можно уменьшить шум, контролируя окружающую среду. В противном случае, когда характеристики шума известны и отличаются от сигналов, можно отфильтровать его или обработать сигнал.

Например, иногда можно использовать синхронный усилитель для модуляции и ограничения сигнала в очень узкой полосе частот, а затем отфильтровать обнаруженный сигнал до узкой полосы, в которой он находится., тем самым устраняя большую часть широкополосного шума.

Когда сигнал постоянный или периодический, а шум случайный, можно улучшить SNR посредством усреднения измерений. В этом случае шум уменьшается как квадратный корень из числа усредненных отсчетов.

Кроме того, внутренний шум электронных систем можно уменьшить с помощью малошумящих усилителей.

Когда измерение оцифровано, количество битов, используемых для представления измерения определяет максимально возможное отношение сигнал / шум. Это связано с тем, что минимально возможный уровень шума - это ошибка, вызванная квантованием сигнала, иногда называемая шумом квантования. Этот уровень шума является нелинейным и зависит от сигнала; для разных моделей сигналов существуют разные расчеты. Шум квантования моделируется как аналоговый сигнал ошибки, суммированный с сигналом перед квантованием («аддитивный шум»).

Это теоретическое максимальное отношение сигнал / шум предполагает идеальный входной сигнал. Если входной сигнал уже зашумлен (как это обычно бывает), шум сигнала может быть больше, чем шум квантования. Реальные аналого-цифровые преобразователи также имеют другие источники шума, которые дополнительно уменьшают отношение сигнал / шум по сравнению с теоретическим максимумом от идеализированного шума квантования, включая намеренное добавление дизеринга.

, хотя уровни шума в цифровой системе может быть выражено с помощью SNR, чаще используется Eb/No, энергия на бит на спектральную плотность мощности шума.

Коэффициент ошибок модуляции (MER) является мерой отношения сигнал / шум в сигнале с цифровой модуляцией.

Фиксированная точка

Для n-битовых целых чисел с равным расстоянием между уровнями квантования (равномерное квантование ) также определяется динамический диапазон (DR).

При условии равномерного распределения значений входного сигнала шум квантования представляет собой равномерно распределенный случайный сигнал с размахом амплитуды одного уровня квантования, что составляет отношение амплитуд 2/1. Таким образом, формула выглядит так:

$DR\; d\; B\; =\; SNR\; d\; B\; =\; 20\; log\; 10\; \; (2\; n)\; \approx \; 6,02\; \cdot \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{DR\_\; \{dB\}\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\_\; \{dB\}\}\; =\; 20\; \backslash \; log\; \_\; \{10\}\; (2\; ^\; \{n\})\; \backslash \; приблизительно\; 6.02\; \backslash \; cdot\; n\}$

Эта связь является источником таких утверждений, как «16-битный звук имеет динамический диапазон 96 дБ». Каждый дополнительный бит квантования увеличивает динамический диапазон примерно на 6 дБ.

Предполагая полноразмерный синусоидальный сигнал (то есть квантователь разработан так, что он имеет те же минимальное и максимальное значения, что и входной сигнал), шум квантования приближается к пилообразной волне с размахом амплитуды одного уровня квантования и равномерным распределением. В этом случае SNR составляет приблизительно

$SNR\; d\; B\; \approx \; 20\; log\; 10\; \; (2\; n\; 3/2)\; \approx \; 6,02\; \cdot \; n\; +\; 1,761\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\_\; \{dB\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 20\; \backslash \; log\; \_\; \{\; 10\}\; (2\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{3/2\}\})\; \backslash \; приблизительно\; 6,02\; \backslash \; cdot\; n\; +\; 1,761\}$

Числа с плавающей запятой

Числа с плавающей запятой обеспечивают способ обмена сигналами - Отношение к шуму для увеличения динамического диапазона. Для n-битных чисел с плавающей запятой с nm битами в мантиссе и m битами в экспоненте :

$DR\; d\; B\; =\; 6,02\; \cdot \; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{DR\_\; \{dB\}\; \}\; =\; 6.02\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{m\}\}$

$SNR\; d\; B\; =\; 6.02\; \cdot \; (n\; -\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{SNR\_\; \{dB\}\}\; =\; 6.02\; \backslash \; cdot\; (nm)\}$

Обратите внимание, что динамический диапазон намного больше, чем с фиксированной точкой, но за счет худшего отношения сигнал / шум. Это делает плавающую точку предпочтительной в ситуациях, когда динамический диапазон велик или непредсказуем. Более простые реализации с фиксированной точкой могут использоваться без ухудшения качества сигнала в системах с динамическим диапазоном менее 6,02 м. Очень большой динамический диапазон чисел с плавающей запятой может быть недостатком, так как он требует более тщательного проектирования алгоритмов.

Оптические сигналы имеют несущую частоту, которая намного выше чем частота модуляции (около 200 ТГц и более). Таким образом, шум покрывает полосу пропускания, которая намного шире, чем сам сигнал. Влияние результирующего сигнала в основном зависит от фильтрации шума. Для описания качества сигнала без учета приемника используется оптический SNR (OSNR). OSNR - это отношение мощности сигнала к мощности шума в заданной полосе пропускания. Чаще всего используется эталонная полоса пропускания 0,1 нм. Эта полоса пропускания не зависит от формата модуляции, частоты и приемника. Например, можно задать OSNR 20 дБ / 0,1 нм, даже сигнал 40 ГБит DPSK не поместится в этой полосе пропускания. OSNR измеряется с помощью оптического анализатора спектра .

Отношение сигнал / шум может сокращаться как SNR, реже - как S / N . PSNR обозначает пиковое отношение сигнал / шум. GSNR обозначает геометрическое отношение сигнал / шум. SINR - это отношение сигнал / помеха + шум.

Хотя SNR обычно указывается для электрических сигналов, его можно применять к любой форме сигнала, например уровни изотопа в ледяном керне, биохимическая сигнализация между клетками или финансовые торговые сигналы. SNR иногда используется метафорически для обозначения отношения полезной информации к ложным или нерелевантным данным в разговоре или обмене. Например, на сетевых дискуссионных форумах и других онлайн-сообществах сообщения не по теме и спам рассматриваются как шум, мешающий сигналу о соответствующем обсуждении.

• Измерения аудиосистемы
• Потери генерации
• Согласованный фильтр
• Проблема ближнего и дальнего радиуса
• Запас шума
• Омега-коэффициент
• Пиковое отношение сигнал / шум
• Статистика сигнал / шум
• Отношение сигнал / шум + помеха
• Отношение сигнал / шум (изображение)
• SINAD
• Субъективное качество видео
• Общее гармоническое искажение
• Качество видео

• Уолт Кестер, Раскрывая тайну печально известной формулы, «SNR = 6,02N + 1,76 дБ,» and Why You Should Care (PDF), Analog Devices, получено 2019-04-10
• Глоссарий АЦП и ЦАП - Maxim Integrated Products
• Понять SINAD, ENOB, SNR, THD, THD + N и SFDR, чтобы вы не потерялись в минимальном уровне шума - Analog Devices
• Взаимосвязь dyn от диапазона до размера слова данных при цифровой обработке звука
• Расчет отношения сигнал / шум, напряжения шума и уровня шума
• Обучение с помощью моделирования - моделирование, показывающее улучшение отношения сигнал / шум путем усреднения по времени
• Динамический Тестирование производительности цифровых аудио-цифро-аналоговых преобразователей
• Основная теорема аналоговых схем: для поддержания уровня отношения сигнал / шум должен рассеиваться минимальный уровень мощности
• Интерактивная веб-демонстрация визуализации отношения сигнал / шум на диаграмме созвездия QAM Институт телекоммуникаций, Штутгартский университет
• Бернард Видроу, Иштван Коллар (2008-07-03), Шум квантования: ошибка округления в цифровых вычислениях, обработке сигналов, управлении и коммуникациях, Cambridge University Press, Кембридж, UK, 2008. 778 p., ISBN 9780521886710
• Quantization Noise Страница книги Widrow Kollár Quantization с примерами глав и дополнительными материалами
• Отношение сигнал / шум онлайн аудио демонстратор - Virtual Communications Lab