Число Серпинского

редактировать

В теории чисел число Серпинского является нечетным натуральное число k такое, что $k × 2 n + 1 {\ displaystyle k \ times 2 ^ {n} +1}$ ${\ displaystyle k \ times 2 ^ {n} +1}$ равно составному для все натуральные числа n. В 1960 г. Вацлав Серпинский доказал, что существует бесконечно много нечетных целых k, обладающих этим свойством.

Другими словами, когда k является числом Серпинского, все члены следующего набора являются составными:

{k ⋅ 2 n + 1: n ∈ N}. {\ displaystyle \ left \ {\, k \ cdot 2 ^ {n} +1: n \ in \ mathbb {N} \, \ right \}.}

{\ displaystyle \ left \ {\, k \ cdot 2 ^ {n} +1: n \ in \ mathbb {N} \, \ right \}.}

Если вместо этого используется форма $k × 2 n - 1 {\ displaystyle k \ times 2 ^ {n} -1}$ ${\ displaystyle k \ times 2 ^ {n} - 1}$ , тогда k - это число Риселя.

Содержание

1 Известные числа Серпинского
2 Задача Серпинского
3 Основная проблема Серпинского
4 Расширенная проблема Серпинского
5 Одновременно Серпинский и Ризель
6 Двойная проблема Серпинского
7 См. Также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Известные числа Серпинского

Последовательность известных в настоящее время чисел Серпинского начинается с:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991,... (последовательность A076336 в OEIS ).

Число Число Серпинского 78557 было доказано Джоном Селфриджем в 1962 году, который показал, что все числа в форме 78557⋅2 + 1 имеют множитель. в комплекте покрытия {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Для другого известного числа Серпинского, 271129, набор покрытий равен {3, 5, 7, 13, 17, 241}. Большинство известных в настоящее время чисел Серпинского обладают похожими покрывающими множествами.

Однако в 1995 году А.С. Изотов показал, что некоторые четвертые степени могут быть доказаны как числа Серпинского без установления покрывающего множества для всех значений n. Его доказательство основано на аврифейловой факторизации t⋅2 + 1 = (t⋅2 + t⋅2 + 1) ⋅ (t⋅2 - t⋅2 + 1). Это устанавливает, что все n 2 (mod 4) порождают композицию, и поэтому остается исключить только n 0, 1, 3 (mod 4) с помощью покрывающего множества.

Задача Серпинского

Нерешенная проблема в математике :. Является ли 78,557 наименьшим числом Серпинского? (больше нерешенных задач в математике)

В задаче Серпинского требуется значение наименьшего числа Серпинского. В частной переписке с Полом Эрдёшем Селфридж предположил, что 78 557 было наименьшим числом Серпинского. Не было обнаружено меньших чисел Серпинского, и теперь считается, что 78 557 - это наименьшее число.

Чтобы показать, что 78 557 действительно наименьшее число Серпинского, нужно показать, что все нечетные числа меньше 78 557 не являются Числа Серпинского. То есть для каждого нечетного k меньше 78,557 должно существовать положительное целое число n такое, что k2 + 1 простое число. По состоянию на ноябрь 2018 года осталось только пять кандидатов, которые не были исключены из числа возможных чисел Серпинского:

k = 21181, 22699, 24737, 55459 и 67607.

Проект распределенных добровольных вычислений PrimeGrid пытается исключить все оставшиеся значения k. По состоянию на февраль 2020 года для этих значений k не было найдено простых чисел, при этом все $n ≤ 31 875 742 {\ displaystyle n \ leq 31 \, 875 \, 742}$ ${\ displaystyle n \ leq 31 \, 875 \, 742}$ были исключены.

Последний исключенный кандидат был k = 10223, когда было обнаружено простое число $10223 × 2 31172165 + 1 {\ displaystyle 10223 \ times 2 ^ {31172165} +1}$ ${\ displaystyle 10223 \ times 2 ^ {31172165} +1}$ от PrimeGrid в октябре 2016 г. Это число состоит из 9 383 761 цифры.

Простая задача Серпинского

Нерешенная задача в математике :. Является ли 271,129 наименьшим простым числом Серпинского? ( больше нерешенных задач в математике)

В 1976 году Натан Мендельсон определил, что второе доказуемое число Серпинского является простым k = 271129. В простой задаче Серпинского запрашивается значение наименьшего простого числа Серпинского, и продолжается «поиск Prime Sierpiński», который пытается доказать, что 271129 - это первое число Серпинского, которое также является простым. По состоянию на ноябрь 2018 года девять простых значений k меньше 271129, для которых простое число формы k2 + 1 неизвестно:

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, и 237019.

По состоянию на ноябрь 2019 года для этих значений k не было найдено простых чисел с $n ≤ 21 874 934 {\ displaystyle n \ leq 21 \, 874 \, 934}$ ${\ displaystyle n \ leq 21 \, 874 \, 934}$ .

Первые два, меньше 78557, также являются нерешенными случаями (непростой) проблемы Серпинского, описанной выше. Последний исключенный кандидат был k = 168451, когда PrimeGrid обнаружила простое число $168451 × 2 19375200 + 1 {\ displaystyle 168451 \ times 2 ^ {19375200} +1}$ ${\ displaystyle 168451 \ times 2 ^ {19375200} +1}$ в сентябре 2017 года.. Число состоит из 5 832 522 цифры.

Расширенная задача Серпинского

Нерешенная задача в математике :. Является ли 271,129 вторым числом Серпинского? (больше нерешенных задач в математике)

Предположим, что обе предыдущие задачи Серпинского были окончательно решены, что показало, что 78557 - наименьшее число Серпинского, а 271129 - наименьшее простое число Серпинского. Остается нерешенным вопрос о втором числе Серпинского; могло существовать составное число Серпинского k такое, что $78557 < k < 271129 {\displaystyle 78557$ ${\ displaystyle 78557 <k <271129}$ . Постоянный поиск пытается доказать, что 271129 является вторым числом Серпинского, проверяя все значения k между 78557 и 271129, простые или нет.

Решение расширенной проблемы Серпинского, наиболее сложной из трех поставленных задач, требует исключения 23 оставшихся кандидатов $k < 271129 {\displaystyle k<271129}$ ${\ displaystyle k <271129 }$ , из которых девять простых (см. Выше) и четырнадцать составных. Последние включают k = 21181, 24737, 55459 из исходной проблемы Серпинского, уникальной для расширенной проблемы Серпинского. По состоянию на декабрь 2019 года остаются следующие девять значений k:

k = 91549, 131179, 163187, 200749, 202705, 209611, 227723, 229673 и 238411.

По состоянию на сентябрь 2019 года простое число не найдено для этих значений k с $n ≤ 13081 160 {\ displaystyle n \ leq 13 \, 081 \, 160}$ ${\ displaystyle n \ leq 13 \, 081 \, 160}$ .

В апреле 2018 года $193997 × 2 11452891 + 1 {\ displaystyle 193997 \ times 2 ^ {11452891} +1}$ ${\ displaystyle 193997 \ times 2 ^ {11452891} +1}$ было обнаружено PrimeGrid как простое, что исключает k = 193997. Число состоит из 3 447 670 цифр.

Последнее исключение было в декабре 2019 г., когда $99739 × 2 14019102 + 1 {\ displaystyle 99739 \ times 2 ^ {14019102} +1}$ ${\ displaystyle 99739 \ times 2 ^ {14019102} +1}$ было обнаружено PrimeGrid как простое, что исключает k = 99739. Число состоит из 4 220 176 цифр.

Одновременно Серпинский и Ризель

Число может быть одновременно Серпиньским и Ризелем. Это числа Бриера. Наименьшие пять известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949,... (A076335 ).

двойное целое число sierpinski>тогда 2 | n | + k 2 | n | {\ displaystyle {\ frac {2 ^ {| n |} + k} {2 ^ {| n |}}}}

{\ displaystyle {\ frac {2 ^ {| n |} + k} {2 ^ {| n |}}}}

. Когда k нечетное, это дробь в сокращенной форме с числителем 2 + k. двойное число Серпинского определяется как нечетное натуральное число k такое, что 2 + k является составным для всех натуральных чисел n. Существует гипотеза, что набор этих чисел совпадает с набором чисел Серпинского; например, 2 + 78557 является составным для всех натуральных чисел n.

Для нечетных значений k наименьшее n таких что 2 + k является простым числом

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 2,... (последовательность A067760 в OEIS )

Нечетные значения k, для которых 2 + k является составным для всех n < k are

773, 2131, 2 491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 17659, 19081, 19249, 20273, 21661, 22193, 26213, 28433,... (последовательность A033919 в OEIS )

См. Также

Портал математики

Ссылки

Дополнительная литература

Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 120, ISBN 0-387-20860-7

Внешние ссылки

Проблема Серпинского: определение и статус
Вайсштейн, Эрик У. "Серпинский Теорема о составных числах ". MathWorld.
Грайм, доктор Джеймс. «78557 и Proth Primes» (видео). YouTube. Брэди Харан. Проверено 13 ноября 2017 г.

Последняя правка сделана 2021-06-08 08:18:20

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте