Войти
6 ступеней ковра Серпинского. Ковер Серпинского представляет собой плоскость фрактал, впервые описанную Вацлавом Серпиньским в 1916 году. Ковер - это одно из обобщений множества Кантора на два измерения; другой - пыль Кантора.
Технику разделения формы на меньшие копии самой себя, удаления одной или нескольких копий и продолжения рекурсивно можно распространить на другие формы. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и повторение приводит к треугольнику Серпинского. В трех измерениях похожая конструкция на основе кубов известна как губка Менгера.
Строительство ковра Серпинского начинается с квадрата. Квадрат разрезается на 9 конгруэнтных подквадратов в сетке 3 на 3, а центральный подквадрат удаляется. Затем та же процедура применяется рекурсивно к оставшимся 8 подквадратам до бесконечности. Это может быть реализовано как набор точек в единичном квадрате, координаты которого, записанные в базе три, не имеют цифр «1» в одной и той же позиции.
Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правило конечного подразделения.
Вариант кривой Пеано со стертой средней линией создает ковер Серпинского Площадь ковра равна нулю (в стандарте Лебега мера ).
внутренняя часть ковра пуста.
Хаусдорфова размерность ковра составляет log 8 / log 3 ≈ 1,8928.
Серпинский показал, что его ковер представляет собой универсальную плоскую кривую. То есть ковер Серпинского - это компактное подмножество плоскости с размерностью покрытия Лебега 1, и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфно некоторому подмножеству ковра Серпинского.
Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинно универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, непересекающееся соединение ковра Серпинского и круга также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 г. Гордон Уайберн однозначно охарактеризовал ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, локально связная и не имеющая «локальных точек разреза», гомеоморфна ковру Серпинского. Здесь локальный разрез - это точка p, для которой некоторая связная окрестность U точки p обладает тем свойством, что U - {p} не связна. Так, например, любая точка окружности является локальной точкой разреза.
В той же статье Уайберн дал другую характеристику ковру Серпинского. Напомним, что континуум - это непустое связное компактное метрическое пространство. Предположим, что X - континуум, вложенный в плоскость. Предположим, что его дополнение на плоскости имеет счетное число компонент связности C 1, C 2, C 3,... и предположим:
Тогда X гомеоморфно ковру Серпинского.
Тема Броуновского движения на ковре Серпинского вызывает интерес в последние годы. Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание по ковру Серпинского распространяется медленнее, чем неограниченное случайное блуждание в плоскости. Последний достигает среднего расстояния, пропорционального √n после n шагов, но случайное блуждание по дискретному ковру Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального √n для некоторого β>2. Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильным неравенствам большого отклонения (так называемым «субгауссовским неравенствам») и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Гарнака, не удовлетворяя параболическому. Существование такого примера долгие годы оставалось открытой проблемой.
Третья итерация сита Уоллиса Вариант ковра Серпинского, называемый ситом Уоллиса, начинается таким же образом, с разделения единичного квадрата на девять меньших квадратов и убрав из них середину. На следующем уровне подразделения он делит каждый из квадратов на 25 меньших квадратов и удаляет средний, и продолжается на i-м шаге, разделяя каждый квадрат на (2i + 1) (нечетные квадраты ) квадратики поменьше и убрав средний.
Согласно произведению Уоллиса, площадь результирующего множества равна π / 4, в отличие от стандартного ковра Серпинского, у которого есть нулевая ограничивающая площадь.
Однако по результатам Уайберна, упомянутым выше, мы можем видеть, что сито Уоллиса гомеоморфно ковру Серпинского. В частности, его интерьер по-прежнему пуст.
Мобильный телефон и Wi-Fi фрактальные антенны были созданы в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности они легко адаптируются к нескольким частотам. Их также легко изготовить, и они меньше обычных антенн с аналогичными характеристиками, что делает их оптимальными для карманных мобильных телефонов.
 | На Викискладе есть материалы, связанные с Серпински ковер. |
