Значение Шепли

редактировать
Ллойд Шепли в 2012 году

Значение Шепли - это концепция решения в кооперативной теории игр. Она была названа в честь Ллойда Шепли, который представил ее в 1951 году и получил за нее Нобелевскую премию по экономике в 2012 году. Каждой кооперативной игре она присваивает уникальное распределение (среди игроков) от общего излишка, образованного коалицией всех игроков. Ценность Шепли характеризуется набором желаемых свойств. Харт (1989) дает обзор этого предмета.

Схема такова: коалиция игроков сотрудничает и получает определенную общую выгоду от этого сотрудничества. Поскольку одни игроки могут вносить больший вклад в коалицию, чем другие, или могут обладать разной силой на переговорах (например, угрожая уничтожить весь излишек), какое окончательное распределение образовавшегося излишка между игроками должно возникнуть в каждой конкретной игре? Или иначе: насколько важен каждый игрок для общего сотрудничества и какой выигрыш он или она может ожидать? Значение Шепли дает один из возможных ответов на этот вопрос.

Для игр с разделением затрат с вогнутыми функциями затрат оптимальное правило разделения затрат, которое оптимизирует цену анархии, за которой следует цена стабильности, как раз и является правило разделения затрат на значение Шепли.

Содержание

  • 1 Формальное определение
  • 2 Примеры
    • 2.1 Бизнес-пример
    • 2.2 Игра с перчатками
  • 3 Свойства
    • 3.1 Эффективность
    • 3.2 Симметрия
    • 3.3 Линейность
    • 3.4 Нулевой игрок
    • 3.5 Автономный тест
    • 3.6 Анонимность
    • 3.7 Маржинализм
  • 4 Характеристика
  • 5 Значение Ауманна – Шепли
  • 6 Обобщение на коалиции
  • 7 См. Также
  • 8 Ссылки
  • 9 Дополнительная литература
  • 10 Внешние ссылки

Формальное определение

Формально коалиционная игра определяется как: Существует набор N (из n игроков) и функция v {\ displaystyle v}v , которая отображает подмножества игроков на действительные числа: v: 2 N → R {\ displaystyle v \;: \; 2 ^ {N} \ to \ mathbb {R}}v \;: \; 2 ^ {N} \ to {\ mathbb { R}} , где v (∅) = 0 {\ displaystyle v (\ emptyset) = 0 }v (\ emptyset) = 0 , где ∅ {\ displaystyle \ emptyset}\ emptyset обозначает пустой набор. Функция v {\ displaystyle v}v называется характеристической функцией.

Функция v {\ displaystyle v}v имеет следующее значение: если S - коалиция игроков, то v {\ displaystyle v}v (S), называемая стоимостью коалиции S, описывает общую ожидаемую сумму выигрышей, которую члены S {\ displaystyle S}S могут получить в результате сотрудничества.

Значение Шепли - это один из способов распределить общий выигрыш между игроками, предполагая, что все они сотрудничают. Это «справедливое» распределение в том смысле, что это единственное распределение с определенными желательными свойствами, перечисленными ниже. Согласно значению Шепли, сумма, которую получает игрок i при коалиционной игре (v, N) {\ displaystyle (v, N)}(v, N) , равна

φ i (v) = ∑ S ⊆ N ∖ {i} | S | ! (п - | S | - 1)! п! (v (S ∪ {я}) - v (S)) {\ Displaystyle \ varphi _ {я} (v) = \ сумма _ {S \ substeq N \ setminus \ {я \}} {\ гидроразрыва {| S |! \; (n- | S | -1)!} {n!}} (v (S \ cup \ {i \}) - v (S))}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) = \ sum _ {S \ substeq N \ setminus \ {i \}} {\ frac {| S |! \; (n- | S | -1)!} {n!}} (v (S \ cup \ {i \}) - v (S))}

где n - общее количество игроков и сумма распространяется на все подмножества S из N, не содержащие игрока i. Формулу можно интерпретировать следующим образом: представьте, что коалиция формируется по одному субъекту за раз, причем каждый субъект требует своего вклада v {\ displaystyle v}v (S∪ {i}) - v {\ displaystyle v}v (S) в качестве справедливой компенсации, а затем для каждого участника возьмите среднее значение этого вклада по возможным различным перестановкам, в которых может быть сформирована коалиция.

Альтернативная эквивалентная формула для значения Шепли:

φ i (v) = 1 n! ∑ р [v (п я р ∪ {я}) - v (п я р)] {\ displaystyle \ varphi _ {я} (v) = {\ гидроразрыва {1} {n!}} \ Sum _ {R } \ left [v (P_ {i} ^ {R} \ cup \ left \ {i \ right \}) ​​- v (P_ {i} ^ {R}) \ right]}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) = {\ frac {1} {n! }} \ sum _ {R} \ left [v (P_ {i} ^ {R} \ cup \ left \ {i \ right \}) ​​- v (P_ {i} ^ {R}) \ right]}

где сумма превышает все п! {\ displaystyle n!}n!приказывает R {\ displaystyle R}R игроков и P i R {\ displaystyle P_ {i} ^ {R}}{\ displaystyle P_ {i} ^ {R}} - это набор игроков в N {\ displaystyle N}N , которые предшествуют i {\ displaystyle i}iв порядке Р {\ Displaystyle R}R . Наконец, его можно также выразить как

φ i (v) = 1 n ∑ S ⊆ N ∖ {i} (n - 1 | S |) - 1 (v (S ∪ {i}) - v (S)) {\ Displaystyle \ varphi _ {я} (v) = {\ гидроразрыва {1} {n}} \ сумма _ {S \ substeq N \ setminus \ {я \}} {\ binom {n-1} { | S |}} ^ {- 1} (v (S \ cup \ {i \}) - v (S))}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {S \ substeq N \ setminus \ {i \}} {\ binom {n-1} {| S |}} ^ {- 1} (v (S \ cup \ {i \}) - v (S))}

, что можно интерпретировать как

φ i (v) = 1 количество игроков ∑ коалиции, исключая предельный вклад i в коалиционное количество коалиций, исключая i этого размера {\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) = {\ frac {1} {\ text {количество игроков}}} \ sum _ {{\ text {коалиции, исключая}} i} {\ frac {{\ text {предельный вклад}} i {\ text {в коалицию}}} {{\ text {количество коалиций, исключая}} i {\ text { этого размера}}}}}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) = {\ frac {1} {\ text {количество игроков}}} \ sum _ {{\ text {коалиции, исключая}} i} {\ frac {{\ text {предельный вклад}} i {\ text {в коалицию}}} {{\ text {количество коалиций, исключая}} i {\ text {этого размера}}}}}

Примеры

Бизнес-пример

Рассмотрим упрощенное описание бизнеса. Владелец o предоставляет критически важный капитал в том смысле, что без него невозможно получить прибыль. Имеется k работников w 1,..., w k, каждый из которых вносит сумму p в общую прибыль. Пусть

N = {o, w 1,…, w k}. {\ displaystyle N = \ {o, w_ {1}, \ ldots, w_ {k} \}.}{\ displaystyle N = \ {o, w_ {1}, \ ldots, w_ {k} \}.}

Функция значения для этой коалиционной игры:

v (S) = {mp, если o ∈ S 0, иначе {\ displaystyle v (S) = {\ begin {cases} mp, {\ text {if}} o \ in S \\ 0, {\ text {else}} \\\ end {cases }}}{\ displaystyle v ( S) = {\ begin {cases} mp, {\ text {if}} o \ in S \\ 0, {\ text {else}} \\\ end {cases}}}

где m - мощность элемента S ∖ {o} {\ displaystyle S \ setminus \ {o \}}{\ displaystyle S \ setminus \ {o \}} . Вычисление значения Шепли для этой коалиционной игры приводит к значению kp / 2 для владельца и p / 2 для каждого рабочего.

Игра в перчатки

Игра в перчатки - это коалиционная игра, в которой у игроков есть перчатки для левой и правой руки, и цель состоит в том, чтобы сформировать пары. Пусть

N = {1, 2, 3}, {\ displaystyle N = \ {1,2,3 \},}{\ displaystyle N = \ {1,2,3 \},}

где у игроков 1 и 2 есть перчатки справа, а у игрока 3 - перчатки слева. ручная перчатка.

Функция ценности для этой коалиционной игры:

v (S) = {1, если S ∈ {{1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}; 0 в противном случае. {\ Displaystyle v (S) = {\ begin {case} 1 {\ text {if}} S \ in \ left \ {\ {1,3 \}, \ {2,3 \}, \ {1,2, 3 \} \ right \}; \\ 0 {\ text {else}}. \\\ end {cases}}}{\ displaystyle v (S) = {\ begin {cases} 1 {\ text {if}} S \ in \ left \ {\ {1,3 \ }, \ {2,3 \}, \ {1,2,3 \} \ right \}; \\ 0 {\ text {else}}. \\\ end {case}}}

Формула для вычисления значения Шепли:

φ i (v) = 1 | N | ! ∑ р [v (п я р ∪ {я}) - v (п я р)], {\ Displaystyle \ varphi _ {я} (v) = {\ гидроразрыва {1} {| N |!}} \ Сумма _ {R} \ left [v (P_ {i} ^ {R} \ cup \ left \ {i \ right \}) ​​- v (P_ {i} ^ {R}) \ right],}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) = {\ frac {1} {| N |!}} \ sum _ {R} \ left [v (P_ {i} ^ {R} \ cup \ left \ {i \ справа \}) - v (P_ {i} ^ {R}) \ right],}

где R - это порядок игроков, а P i R {\ displaystyle P_ {i} ^ {R}}{\ displaystyle P_ {i} ^ {R}} - набор игроков в N, которые предшествуют i в порядке R.

В следующей таблице показаны предельные вклады Игрока 1.

Порядок RMC 1 1, 2, 3 v ({1}) - v (∅) = 0 - 0 = 0 1, 3, 2 v ({ 1}) - v (∅) = 0 - 0 = 0 2, 1, 3 v ({1, 2}) - v ({2}) = 0 - 0 = 0 2, 3, 1 v ({1, 2, 3}) - v ({2, 3}) = 1 - 1 = 0 3, 1, 2 v ({1, 3}) - v ({3}) = 1 - 0 = 1 3, 2, 1 v ({1, 2, 3}) - v ({2, 3}) = 1 - 1 = 0 {\ displaystyle {\ begin {array} {| c | r |} {\ text {Order}} R \, \! MC_ {1} \\\ hline {1,2,3} v (\ {1 \}) - v (\ varnothing) = 0-0 = 0 \\ {1,3,2} v ( \ {1 \}) - v (\ varnothing) = 0-0 = 0 \\ {2,1,3} v (\ {1,2 \}) - v (\ {2 \}) = 0-0 = 0 \\ {2,3,1} v (\ {1,2,3 \}) - v (\ {2,3 \}) = 1-1 = 0 \\ {3,1,2} v (\ {1,3 \}) - v (\ {3 \}) = 1-0 = 1 \\ {3,2,1} v (\ {1, 2,3 \}) - v (\ {2,3 \}) = 1-1 = 0 \ end {array}}}{\ displaystyle {\ begin {array} {| c | r |} {\ text {Order}} R \, \! MC_ {1} \\\ hline {1,2,3} v (\ {1 \}) - v (\ varnothing) = 0-0 = 0 \\ {1,3,2} v (\ {1 \}) - v (\ varnothing) = 0-0 = 0 \\ {2,1,3} v (\ {1,2 \}) - v (\ {2 \}) = 0-0 = 0 \\ {2,3,1} v (\ {1,2,3 \}) - v (\ {2,3 \}) = 1-1 = 0 \\ {3,1,2} v (\ {1,3 \}) - v ( \ {3 \}) = 1-0 = 1 \\ {3,2,1} v (\ {1,2,3 \}) - v (\ {2,3 \}) = 1-1 = 0 \ end {array}}}

Соблюдайте

φ 1 (v) = (1 6) (1) = 1 6. {\ displaystyle \ varphi _ {1} (v) = \! \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) (1) = {\ frac {1} {6}}.}{\ displaystyle \ varphi _ {1} (v) = \! \ Left ({\ frac {1} {6}} \ right) (1) = {\ frac {1} {6}}.}

Аргументом симметрии можно показать, что

φ 2 (v) = φ 1 (v) = 1 6. {\ displaystyle \ varphi _ {2} (v) = \ varphi _ {1} (v) = {\ frac {1} {6}}.}{\ displaystyle \ varphi _ {2} (v) = \ varphi _ {1} (v) = {\ гидроразрыв {1} {6}}.}

Согласно аксиоме эффективности, сумма всех Шепли values ​​равно 1, что означает, что

φ 3 (v) = 4 6 = 2 3. {\ displaystyle \ varphi _ {3} (v) = {\ frac {4} {6}} = {\ frac {2} {3}}.}{\ displaystyle \ varphi _ {3} (v) = {\ frac {4} {6}} = {\ frac {2} {3}}.}

Свойства

Значение Шепли имеет много желаемых свойств.

Эффективность

Сумма значений Шепли всех агентов равна значению большой коалиции, так что весь выигрыш распределяется между агентами:

∑ i ∈ N φ i (v) знак равно v (N) {\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} \ varphi _ {i} (v) = v (N)}{\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} \ varphi _ {i} (v) = v (N)}

Доказательство: ∑ i ∈ N φ i ( v) = 1 | N | ! ∑ R ∑ i ∈ N v (P i R ∪ {i}) - v (P i R) = 1 | N | ! ∑ R v (N) = 1 | N | ! | N | ! ⋅ v (N) знак равно v (N) {\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} \ varphi _ {i} (v) = {\ frac {1} {| N |!}} \ Sum _ {R } \ sum _ {i \ in N} v (P_ {i} ^ {R} \ cup \ left \ {i \ right \}) ​​- v (P_ {i} ^ {R}) = {\ frac {1 } {| N |!}} \ Sum _ {R} v (N) = {\ frac {1} {| N |!}} | N |! \ Cdot v (N) = v (N)}{\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} \ varphi _ {i} (v) = {\ frac {1} {| N |!}} \ Sum _ {R} \ sum _ {i \ in N} v (P_ {i} ^ {R} \ cup \ left \ {i \ right \}) ​​- v (P_ {i} ^ {R}) = {\ frac {1} {| N |!}} \ Sum _ {R} v (N) = {\ frac {1} {| N |!}} | N |! \ Cdot v (N) = v (N)}

поскольку ∑ я ∈ N v (P i R ∪ {i}) - v (P i R) {\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} v (P_ {i} ^ {R} \ cup \ left \ {i \ right \}) ​​- v (P_ {i} ^ {R})}{\ displaystyle \ sum _ {i \ in N} v (P_ {i} ^ {R} \ cup \ left \ {i \ right \}) ​​- v (P_ {i} ^ {R})} - телескопическая сумма, и есть | N |! разные порядки R.

Симметрия

Если i {\ displaystyle i}iи j {\ displaystyle j}j два актора, которые эквивалентны в том смысле, что

v (S ∪ {i}) = v (S ∪ {j}) {\ displaystyle v (S \ cup \ {i \}) = v (S \ cup \ {j \})}v (S \ cup \ {i \}) = v (S \ cup \ {j \})

для каждого подмножества S {\ displaystyle S}S из N {\ displaystyle N}N , которое не содержит ни i {\ displaystyle i}iни j {\ displaystyle j}j , тогда φ i (v) = φ j (v) {\ displaystyle \ varphi _ { i} (v) = \ varphi _ {j} (v)}{\ displaystyle \ varphi _ {я} (v) = \ varphi _ {j} (v)} .

Это свойство также называется равным обращением с равными.

Линейность

Если две коалиционные игры описываются функциями выигрыша v {\ displaystyle v}v и w {\ displaystyle w}w , тогда распределенные усиления должны соответствовать усилениям, полученным из v {\ displaystyle v}v , и усилениям, полученным из w {\ displaystyle w}w :

φ i (v + вес) знак равно φ я (v) + φ я (вес) {\ displaystyle \ varphi _ {i} (v + w) = \ varphi _ {i} (v) + \ varphi _ {i} (w)}{ \ Displaystyle \ varphi _ {я} (v + w) = \ varphi _ {i} (v) + \ varphi _ {i} (w)}

для каждого i {\ displaystyle i}iв N {\ displaystyle N}N . Кроме того, для любого действительного числа a {\ displaystyle a}a,

φ i (av) = a φ i (v) {\ displaystyle \ varphi _ {i} (av) = a \ varphi _ {i} (v)}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (av) = a \ varphi _ {i} (v) }

для каждого i {\ displaystyle i}iв N {\ displaystyle N}N .

Null player

значение Шепли φ я (v) {\ displaystyle \ varphi _ {i} (v)}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v)} нулевого игрока i {\ displaystyle i}iв игре v {\ displaystyle v}v равно нулю. Игрок i {\ displaystyle i}iимеет значение NULL в v {\ displaystyle v}v , если v (S ∪ {i}) = v ( S) {\ displaystyle v (S \ cup \ {i \}) = v (S)}v (S \ чашка \ {я \}) = v (S) для всех коалиций S {\ displaystyle S}S , не содержащих i {\ displaystyle i}i.

Для заданного игрока N {\ displaystyle N}N значение Шепли является единственной картой из набора всех игр для векторов выплат, которая удовлетворяет все четыре свойства: эффективность, симметрия, линейность, нулевой игрок.

Автономный тест

Если v является функцией субаддитивного набора, то есть v (S ⊔ T) ≤ v (S) + v (T) {\ displaystyle v (S \ sqcup T) \ leq v (S) + v (T)}{\ displaystyle v (S \ sqcup T) \ leq v (S) + v (T)} , то для каждого агента i: φ i (v) ≤ v ({i}) {\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) \ leq v (\ {i \})}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) \ leq v (\ {i \})} .

Аналогично, если v является функцией супераддитивного набора, т. е. v ( S ⊔ T) ≥ v (S) + v (T) {\ displaystyle v (S \ sqcup T) \ geq v (S) + v (T)}{\ displaystyle v (S \ sqcup T) \ geq v (S) + v (T)} , то для каждого агента i: φ я (v) ≥ v ({i}) {\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) \ geq v (\ {i \})}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) \ geq v (\ {я \})} .

Итак, если у сотрудничества есть положительные внешние эффекты, все агенты (слабо) выигрывают, а если имеет отрицательные внешние эффекты, все агенты (слабо) проигрывают.

Анонимность

Если i и j - два агента, а w - функция выигрыша, которая идентична на v, за исключением того, что роли i и j поменялись местами, тогда φ i (v) = φ j (w) {\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) = \ varphi _ {j} (w)}{\ displaystyle \ varphi _ {i} (v) = \ varphi _ {j} (w)} . Это означает, что присвоение ярлыков агентам не играет роли в распределении их доходов.

Маржинализм

Значение Шепли можно определить как функцию, которая использует в качестве аргументов только предельные вклады игрока i.

Характеристика

Значение Шепли не только имеет желаемые свойства, но и является единственным правилом оплаты, удовлетворяющим некоторому подмножеству этих свойств. Например, это единственное правило оплаты, удовлетворяющее четырем свойствам: эффективность, симметрия, линейность и нулевой игрок. См. Дополнительные характеристики.

Ценность Аумана – Шепли

В своей книге 1974 года Ллойд Шепли и Роберт Ауман расширили концепцию значения Шепли на бесконечные игры (определено относительно неатомной меры ), создавая диагональную формулу. Позже это было расширено Жан-Франсуа Мертенсом и Абрахамом Нейманом.

. Как видно выше, ценность игры с участием n человек связывает для каждого игрока ожидание его вклада в ценность или коалиция или игроки перед ним в случайном порядке всех игроков. Когда игроков много, и каждый из них играет лишь второстепенную роль, набор всех игроков, предшествующих данному, эвристически считается хорошей выборкой игроков, так что ценность данного бесконечно малого игрока примерно равна «его» вклада в ценность "идеальной" выборки всех игроков.

Символически, если v - функция коалиционной ценности, связанная с каждой измеренной коалицией c подмножеством измеримого множества I, которое можно представить как I = [0, 1] {\ displaystyle I = [0, 1]}Я = [0,1] без ограничения общности.

(S v) (d s) = ∫ 0 1 (v (t I + d s) - v (t I)) d t. {\ displaystyle (Sv) (ds) = \ int _ {0} ^ {1} (v (tI + ds) -v (tI)) \, dt.}{\ displaystyle (Sv) (ds) = \ int _ {0} ^ {1} ( v (tI + ds) -v (tI)) \, dt.}

где (S v) ( ds) {\ displaystyle (Sv) (ds)}(Sv) (ds) обозначает значение Шепли бесконечно малого игрока ds в игре, tI - идеальный образец множества I всех игроков, содержащего долю t всех игроков, а t I + ds {\ displaystyle tI + ds}tI + ds - коалиция, полученная после того, как ds присоединяется к tI. Это эвристическая форма диагональной формулы.

. Предполагая некоторую регулярность функции ценности, например предполагая, что v может быть представлена ​​как дифференцируемая функция неатомарной меры на I, μ, v (c) = е (μ (c)) {\ displaystyle v (c) = f (\ mu (c))}v (с) знак равно е (\ му (с)) с функцией плотности φ {\ displaystyle \ varphi}\ varphi , с μ (c) = ∫ 1 c (u) φ (u) du, {\ displaystyle \ mu (c) = \ int 1_ {c} (u) \ varphi (u) \, du, }{\ displaystyle \ mu (c) = \ int 1_ {c} (u) \ varphi (u) \, du,} ( 1 c () {\ displaystyle 1_ {c} ()}1_ {c} () характеристическая функция c). В таких условиях

μ (t I) = t μ (I) {\ displaystyle \ mu (tI) = t \ mu (I)}\ mu (tI) = t \ mu (I) ,

, как можно показать, аппроксимируя плотность ступенчатой ​​функцией и сохраняя пропорция t для каждого уровня функции плотности, и

v (t I + ds) = f (t μ (I)) + f ′ (t μ (I)) μ (ds). {\ displaystyle v (tI + ds) = f (t \ mu (I)) + f '(t \ mu (I)) \ mu (ds).}v(tI+ds)=f(t\mu (I))+f'(t\mu (I))\mu (ds).

Диагональная формула имеет форму, разработанную Ауманом и Шепли (1974)

(S v) (ds) = ∫ 0 1 фут μ (I) ′ (μ (ds)) dt {\ displaystyle (Sv) (ds) = \ int _ {0} ^ { 1} f '_ {t \ mu (I)} (\ mu (ds)) \, dt}{\displaystyle (Sv)(ds)=\int _{0}^{1}f'_{t\mu (I)}(\mu (ds))\,dt}

Выше μ может быть векторное значение (пока функция определена и дифференцируема в диапазоне μ, формула выше имеет смысл).

В приведенном выше аргументе, если мера содержит атомы μ (t I) = t μ (I) {\ displaystyle \ mu (tI) = t \ mu (I)}\ mu (tI) = t \ mu (I) больше не верно - поэтому диагональная формула в основном применима к неатомарным играм.

Два подхода были применены для расширения этой диагональной формулы, когда функция f больше не дифференцируема. Мертенс возвращается к исходной формуле и берет производную после интеграла, извлекая выгоду из эффекта сглаживания. Нейман использовал другой подход. Возвращаясь к элементарному применению подхода Мертенса из Мертенса (1980):

(S v) (ds) = lim ε → 0, ε>0 1 ε ∫ 0 1 - ε (f (t + ε μ (ds)) - е (т)) dt {\ displaystyle (Sv) (ds) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0, \ varepsilon>0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {0 } ^ {1- \ varepsilon} (f (t + \ varepsilon \ mu (ds)) - f (t)) \, dt}{\displaystyle (Sv)(ds)=\lim _{\varepsilon \to 0,\varepsilon>0} {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} (f (t + \ varepsilon \ mu (ds)) - f (t)) \, dt}

Это работает, например, для большинства игр, в то время как исходная диагональная формула не может использоваться напрямую. Как Мертенс расширяется это путем выявления симметрий, относительно которых значение Шепли должно быть инвариантным, и усреднения по таким симметриям для создания дополнительного сглаживающего эффекта, коммутирующего средние значения с операцией производной, как указано выше. Обзор неатомарных значений можно найти в Neyman (2002)

Обобщение t o коалиции

Значение Шепли присваивает значения только отдельным агентам. Он был обобщен для применения к группе агентов C следующим образом:

φ C (v) = ∑ T ⊆ N ∖ C (n - | T | - | C |)! | Т | ! (п - | C | + 1)! ∑ S ⊆ C (- 1) | C | - | S | v (S ∪ T). {\ displaystyle \ varphi _ {C} (v) = \ sum _ {T \ substeq N \ setminus C} {\ frac {(n- | T | - | C |)! \; | T |!} {( n- | C | +1)!}} \ sum _ {S \ substeq C} (- 1) ^ {| C | - | S |} v (S \ cup T) \ ;.}{\ Displaystyle \ varphi _ {C} (v) = \ sum _ {T \ substeq N \ setminus C} {\ frac {(n- | T | - | C |)! \; | T |!} {(n- | C | +1)!}} \ sum _ {S \ substeq C} (- 1) ^ {| C | - | S |} v (S \ cup T) \ ;.}

См. также

Литература

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-08 03:40:40
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте