Параллельный (оператор)

Эта статья посвящена математической функции, моделирующей параллельные резисторы. Для использования в других целях, см Параллель (значения). Чтобы узнать об аналогичной нотации удвоенной вертикальной линии (||) во многих языках программирования, см. « Логическое ИЛИ». Чтобы узнать об аналогичной двойной вертикальной линии (‖) в математике, см. Norm (математика). Об идентично выглядящем параллельном операторе («слияние») в вычислениях см. Алгебра процессов.

Графическая интерпретация параллельного оператора с.${\ displaystyle a \ parallel b = c}$

Оператор параллелизма (также известный как сокращенная сумма, параллельная сумма или параллельное сложение)  (произносится как «параллельный», после обозначения параллельных линий из геометрии ) - это математическая функция, которая используется как сокращение в электротехнике, но также используется в кинетике., механика жидкости и финансовая математика. ${\ displaystyle \ |}$

• 1 Обзор
• 2 Обозначения
• 3 правила
• 4 Приложения
• 5 примеров
• 6 Реализация
• 7 Примечания
• 8 ссылки
• 9 Дальнейшее чтение
• 10 Внешние ссылки

Оператор параллелизма представляет собой обратное значение суммы обратных значений (иногда также называемое «обратной формулой») и определяется следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} {} \ parallel {}: amp;amp; {\ overline {\ mathbb {C}}} \ times {\ overline {\ mathbb {C}}} amp; \ to {\ overline {\ mathbb {C}}} \\ amp;amp; (a, b) amp; \ mapsto a \ parallel b = {\ frac {1} {{\ frac {1} {a}} + {\ frac {1} {b}}} } = {\ frac {ab} {a + b}}, \ end {align}}}$

с будучи расширенные комплексные числа (с соответствующими правилами). Последнюю форму иногда также называют «произведение над суммой». ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ чашка \ {\ infty \}}$

Оператор дает половину гармонического среднего двух чисел a и b.

В особом случае для: ${\ Displaystyle а \ ин {\ overline {\ mathbb {C}}}}$

${\ displaystyle a \ parallel a = {\ frac {a} {2}}}$.

Далее для всех: ${\ displaystyle a, b \ in {\ overline {\ mathbb {C}}}}$

${\ displaystyle a \ neq b \ iff {\ big |} a \ parallel b {\ big |}gt; {\ frac {1} {2}} \ min (| a |, | b |)}$

с, представляющий абсолютное значение из. ${\ displaystyle {\ big |} a \ parallel b {\ big |}}$ ${\ displaystyle a \ parallel b}$

С и быть положительные действительные числа следующим образом. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle {\ big |} a \ parallel b {\ big |} lt;\ min (a, b)}$

Концепция была расширена от скалярной операции до матриц и далее обобщена.

Оператор был первоначально представлен как сокращенная сумма Сундарамом Сешу в 1956 году, изучен как оператор  ∗Кентом Эриксоном в 1959 году и популяризирован Ричардом Джеймсом Даффином и Уильямом Найлсом Андерсоном-младшим как параллельный оператор  сложения или параллельной суммы: в математике и теории сетей. с 1966 г. в то время как некоторые авторы продолжают использовать этот символ до настоящего времени, например, Sujit Кумар Митра используется в ∙качестве символа в 1970. в прикладной электроники,  ∥знак стал более распространенным, как символ оператора около 1974. Это часто пишется как удвоенная вертикальная линия (||) доступна в большинстве наборов символов, но теперь может быть представлена ​​с помощью символа Юникода U + 2225 (∥) для «параллельно». В LaTeX и родственных языках разметки макросы \|и \parallelчасто используются для обозначения символа оператора.

Для того, параллельный оператор следует коммутативному закону :

${\ displaystyle a \ parallel b = b \ parallel a}$

и ассоциативный закон :

${\ displaystyle (a \ parallel b) \ parallel c = a \ parallel (b \ parallel c) = a \ parallel b \ parallel c = {\ frac {1} {{\ frac {1} {a}} + { \ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {c}}}} = {\ frac {abc} {ab + ac + bc}}}$

Умножение распределяет по этой операции.

Кроме того, параллельный оператор имеет в качестве нейтрального элемента, а для числа в качестве обратного элемента. Однако это не абелева группа, как для любого ненулевого a, и она не определена должным образом ( неопределенная форма ). ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ Displaystyle а \ ин {\ overline {\ mathbb {C}}} \ setminus \ {0 \},}$${\ displaystyle -a}$ ${\ displaystyle \ left ({\ overline {\ mathbb {C}}}, \ parallel \ right)}$ ${\ displaystyle a \ parallel 0 = 0}$${\ displaystyle 0 \ parallel 0}$

В отсутствие круглых скобок параллельный оператор определяется как имеющий приоритет над сложением или вычитанием.

В электротехнике параллельный оператор может использоваться для расчета полного сопротивления различных последовательных и параллельных электрических цепей.

Например, общее сопротивление из резисторов, соединенных параллельно, является обратной величиной суммы обратных отдельных резисторов.

${\ displaystyle {\ frac {1} {R _ {\ text {eq}}}} = {\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {R_ {n}}}}$.

То же самое для общей емкости последовательных конденсаторов.

Тот же принцип может быть применен к различным задачам в других дисциплинах.

Существует двойственность между обычной (серийной) суммой и параллельной суммой.

Вопрос:

Три резистора, и соединены параллельно. Каково их результирующее сопротивление?${\ Displaystyle R_ {1} = 270 \, \ mathrm {k \ Omega}}$${\ Displaystyle R_ {2} = 180 \, \ mathrm {k \ Omega}}$${\ Displaystyle R_ {3} = 120 \, \ mathrm {k \ Omega}}$

Отвечать:

${\ Displaystyle R_ {1} \ parallel R_ {2} \ parallel R_ {3} = 270 \, \ mathrm {k \ Omega} \ parallel 180 \, \ mathrm {k \ Omega} \ parallel 120 \, \ mathrm { k \ Omega} = {\ frac {1} {{\ frac {1} {270 \, \ mathrm {k \ Omega}}} + {\ frac {1} {180 \, \ mathrm {k \ Omega}} } + {\ frac {1} {120 \, \ mathrm {k \ Omega}}}} \ приблизительно 56,84 \, \ mathrm {k \ Omega}}$

Эффективное сопротивление составляет ок. 57 к Ω.

Вопрос:

Строитель поднимает стену за 5 часов. Другому работнику потребуется 7 часов на ту же работу. Сколько времени нужно, чтобы построить стену, если оба рабочих работают параллельно?

Отвечать:

${\ displaystyle t_ {1} \ parallel t_ {2} = 5 \, \ mathrm {h} \ parallel 7 \, \ mathrm {h} = {\ frac {1} {{\ frac {1} {5 \, \ mathrm {h}}} + {\ frac {1} {7 \, \ mathrm {h}}}}} \ приблизительно 2,92 \, \ mathrm {h}}$

Они закончатся примерно за 3 часа.

WP 34S с параллельным оператором ( ∥) на клавише g+ ÷.

Предложенный еще Кентом Эриксоном в качестве подпрограммы в цифровых компьютерах в 1959 году, параллельный оператор реализован как оператор клавиатуры в научных калькуляторах с обратной польской нотацией (RPN) WP 34S с 2008 года, а также в WP 34C и WP 43S с 2008 года. 2015, позволяя решать даже каскадные проблемы несколькими нажатиями клавиш, например 270↵ Enter180∥120∥.

• Пекарев, Эдвард Л.; Шмульян, Ю. Л. (1976-04-30). «Параллельное сложение и параллельное вычитание операторов». Математика СССР-Известия. Американское математическое общество. 10 (2): 351–370. Bibcode : 1976IzMat..10..351P. DOI : 10.1070 / IM1976v010n02ABEH001694.
• Даффин, Ричард Джеймс ; Морли, Том Д. (июль 1978 г.). «Почти определенные операторы и электромеханические системы». Журнал SIAM по прикладной математике. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). 35 (1): 21–30. DOI : 10.1137 / 0135003. JSTOR   2101028. (10 страниц)
• Морли, Том Д. (июль 1979 г.). «Параллельное суммирование, принцип Максвелла и точная грань проекций» (PDF). Журнал математического анализа и приложений. Департамент математики Университета Иллинойса в Урбана-Шампейн, Урбана, Иллинойс, США. 70 (1): 33–41. DOI : 10.1016 / 0022-247X (79) 90073-8. Архивировано 20 августа 2020 года. Проверено 20 августа 2020.
• Сигер, Альберто (май 1990 г.) [1988-03-22]. «Прямое и обратное сложение в выпуклом анализе и приложениях» (PDF). Журнал математического анализа и приложений. Департамент математики Вашингтонского университета, Сиэтл, Вашингтон, США: Academic Press, Inc. 148 (2): 317–349. DOI : 10.1016 / 0022-247X (90) 90004-Y. Архивировано (PDF) из оригинала 20.08.2020. Проверено 20 августа 2020. (33 страницы)
• Брайант, Рэндал Э. ; Тайгар, Дж. Дуг; Хуанг, Лоуренс П. (1994). «Геометрические характеристики последовательно-параллельных цепей переменного резистора» (PDF). IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 41 (11): 686–698. DOI : 10.1109 / 81.331520. Архивировано из оригинального (PDF) 14 августа 2017 года.
• Антезана, Хорхе; Корах, Густаво; Стоянов, Деметрио (апрель 2006 г.) [2005-09-14]. «Двусторонние закороченные операторы и параллельные суммы» (PDF). Линейная алгебра и ее приложения. Ла-Плата, Аргентина и Буэнос-Айрес, Аргентина. 414 (2–3): 570–588. arXiv : math / 0509327. DOI : 10.1016 / j.laa.2005.10.039. Архивировано (PDF) из оригинала на 2017-08-09. Проверено 20 августа 2020. [14] (19 страниц)
• Чансангиам, Паттравут (февраль 2016 г.) [август 2015 г., июль 2015 г.]. «Математические аспекты подключения к электрическим сетям». KKU Engineering Journal. 43 (1): 47–54. DOI : 10,14456 / kkuenj.2016.8. Архивировано (PDF) из оригинала 20.08.2020. Проверено 20 августа 2020.
• Бешеньей, Адам (01.09.2016). «Непреодолимое неравенство Милна» (PDF). Будапешт: Департамент прикладного анализа и вычислительной математики, Университет Этвёша Лоранда. CIA2016. Архивировано (PDF) из оригинала 08.08.2019. Проверено 11 августа 2019.

• https://github.com/microsoftarchive/edx-platform-1/blob/master/common/lib/calc/calc/calc.py