Полуэмпирическая формула массы

Формула для аппроксимации массы ядра на основе числа нуклонов

В ядерной физике, полуэмпирическая формула массы (SEMF ) (иногда также называемая формулой Вайцзеккера, формулой Бете – Вайцзеккера или Формула массы Бете – Вайцзеккера, чтобы отличить ее от процесса Бете – Вайцзеккера ), используется для аппроксимации массы и различных других свойств атомного ядра от его количества протонов и нейтронов. Как следует из названия, он частично основан на теории, а частично на эмпирических измерениях. Формула представляет собой модель жидкой капли, предложенную Джорджем Гамоу, которая может учитывать большинство членов формулы и дает приблизительные оценки значений коэффициентов. Впервые она была сформулирована в 1935 году немецким физиком Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером, и, хотя на протяжении многих лет в коэффициенты вносились уточнения, структура формулы остается прежней.

Формула дает хорошее приближение для атомных масс и, следовательно, других эффектов. Однако он не может объяснить существование линий с большей энергией связи при определенном количестве протонов и нейтронов. Эти числа, известные как магические числа, являются основой модели ядерной оболочки.

• 1 Модель жидкой капли
• 2 Формула
  • 2.1 Объемный член
  • 2.2 Поверхностный член
  • 2.3 Кулоновский член
  • 2.4 Член асимметрии
  • 2.5 Парный член
• 3 Вычисление коэффициентов
• 4 Примеры следствий формулы
• 5 Ссылки
• 6 Источники
• 7 Внешние ссылки

Иллюстрация условий полуэмпирической формулы массы в модели жидкой капли атомного ядра.

Модель жидкой капли была впервые предложена Джордж Гамов и дальнейшее развитие Нильс Бор и Джон Арчибальд Уиллер. Он рассматривает ядро ​​ как каплю несжимаемой жидкости очень высокой плотности, удерживаемую ядерной силой (остаточный эффект сильной силы ), там подобие структуре сферической капли жидкости. Хотя модель жидкой капли является грубой, она учитывает сферическую форму большинства ядер и дает грубый прогноз энергии связи.

Соответствующая массовая формула определяется исключительно в терминах количества протонов и нейтронов, которые она содержит. Исходная формула Вайцзеккера определяет пять терминов:

• Объемная энергия, когда совокупность нуклонов одинакового размера упаковывается вместе в наименьший объем, каждый внутренний нуклон имеет определенное количество других нуклонов, контактирующих с ним. Таким образом, эта ядерная энергия пропорциональна объему.
• Поверхностная энергия корректирует предыдущее предположение, что каждый нуклон взаимодействует с таким же количеством других нуклонов. Этот член отрицательный и пропорционален площади поверхности, и поэтому примерно эквивалентен жидкости поверхностному натяжению.
• кулоновской энергии, потенциальной энергии от каждой пары протонов. Поскольку это сила отталкивания, энергия связи уменьшается.
• Энергия асимметрии (также называемая энергией Паули ), которая учитывает принцип исключения Паули. Неравное количество нейтронов и протонов подразумевает заполнение более высоких уровней энергии для одного типа частиц, в то время как более низкие уровни энергии остаются вакантными для другого типа.
• Энергия пар, которая объясняет тенденцию пар протонов и нейтронов пары. Четное число частиц более стабильно, чем нечетное из-за спиновой связи.

Энергия связи на нуклон (в МэВ ), показанная как функция числа нейтронов. N и атомный номер Z согласно полуэмпирической формуле массы. Пунктирная линия показывает нуклиды, которые были обнаружены экспериментально. Разница между прогнозируемыми энергиями и известными энергиями связи, выраженная в килоэлектронвольтах. Присутствующие явления можно объяснить другими тонкими терминами, но формула массы не может объяснить наличие линий, которые четко идентифицируются по резким пикам на контурах.

Масса атомного ядра, для $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$нейтроны, $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$протоны и, следовательно, $A\; =\; N\; +\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; N\; +\; Z\}$нуклоны, задается как

$m\; =\; Z\; mp\; +\; N\; mn\; -\; EB\; (N,\; Z)\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; Zm\_\; \{p\}\; +\; Nm\_\; \{n\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{B\}\; (N,\; Z)\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где $mp\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{p\}\}$и $mn\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{n\}\}$- масса покоя протона и нейтрона, соответственно, а $EB\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{B\}\}$- энергия связи ядра. Полуэмпирическая формула массы утверждает, что энергия связи равна:

$EB\; =\; a\; VA\; -\; a\; SA\; 2/3\; -\; a\; CZ\; (Z\; -\; 1)\; A\; 1/3\; -\; a\; A\; (A\; -\; 2\; Z)\; 2\; A\; +\; \delta \; (N,\; Z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\_\; \{B\}\; =\; a\_\; \{V\}\; A-a\_\; \{S\}\; A\; ^\; \{2/3\}\; -a\_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{Z\; (Z-1)\}\; \{A\; ^\; \{\; 1/3\}\}\}\; -\; a\_\; \{A\}\; \{\backslash \; frac\; \{(A-2Z)\; ^\; \{2\}\}\; \{A\}\}\; +\; \backslash \; delta\; (N,\; Z)\}$

$\delta \; (N,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (N,\; Z)\}$член равен нулю или $\pm \; \delta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\}$, в зависимости от четность из $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$и $Z\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\}$, где $\delta \; 0\; =\; PA\; k\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; =\; \{a\_\; \{P\}\}\; \{A\; ^\; \{k\_\; \{P\}\}\}\}$для некоторой степени $k\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{P\}\; \}$.

Каждый из членов этой формулы имеет теоретическую основу. Коэффициенты $a\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{V\}\}$, $a\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{S\}\}$, $a\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\}$, $a\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{A\}\}$и $a\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{P\}\}$определяются эмпирически; хотя они могут быть получены из эксперимента, они обычно выводятся на основе наименьших квадратов соответствия современным данным. Хотя обычно он выражается пятью основными терминами, существуют дополнительные термины для объяснения дополнительных явлений. Подобно тому, как изменение полиномиального соответствия изменит его коэффициенты, взаимодействие между этими коэффициентами по мере появления новых явлений является сложным; некоторые термины влияют друг на друга, тогда как термин $a\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{P\}\}$в значительной степени независим.

Термин объема

термин $VA\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{V\}\; A\}$известен как термин объема. Объем ядра пропорционален A, поэтому этот член пропорционален объему, отсюда и название.

В основе этого термина лежит сильное ядерное взаимодействие. Сильное взаимодействие влияет как на протоны, так и на нейтроны, и, как и ожидалось, этот член не зависит от Z. Поскольку количество пар, которые можно взять из частиц A, составляет $A\; (A\; -\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; A\; (A-1)\}\; \{2\}\}\}$, можно было бы ожидать член, пропорциональный $A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{2\}\}$. Однако сильное взаимодействие имеет очень ограниченный диапазон, и данный нуклон может сильно взаимодействовать только со своими ближайшими соседями и следующими ближайшими соседями. Следовательно, количество пар частиц, которые действительно взаимодействуют, примерно пропорционально A, что определяет форму объема.

Коэффициент $a\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{V\}\}$меньше, чем энергия связи, которой обладают нуклоны по отношению к своим соседям ($E\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{b\}\}$), который имеет порядок 40 МэВ. Это связано с тем, что чем больше количество нуклонов в ядре, тем больше их кинетическая энергия, из-за принципа исключения Паули. Если рассматривать ядро ​​как шар Ферми из $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$нуклонов с равным количеством протонов и нейтронов, то полная кинетическая энергия будет $3\; 5\; A\; \epsilon \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{3\; \backslash \; over\; 5\}\; A\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\}$, с $\epsilon \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\}$энергия Ферми, которая оценивается как 28 МэВ. Таким образом, ожидаемое значение $a\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{V\}\}$в этой модели равно $E\; b\; -\; 3\; 5\; \epsilon \; F\; \sim \; 17\; M\; e\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{b\}\; -\; \{3\; \backslash \; over\; 5\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\; \backslash \; sim\; 17\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{МэВ\}\}$, недалеко от измеренного значения.

Термин поверхности

Термин $a\; SA\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{S\}\; A\; ^\; \{2/3\}\}$известен как поверхность срок. Этот член, также основанный на сильной силе, является поправкой к члену объема.

Термин объема предполагает, что каждый нуклон взаимодействует с постоянным числом нуклонов, независимо от A. Хотя это почти верно для нуклонов глубоко внутри ядра, эти нуклоны на поверхности ядра имеют меньше ближайших соседей, оправдывая эту поправку. Это также можно рассматривать как термин поверхностного натяжения, и действительно, аналогичный механизм создает поверхностное натяжение в жидкостях.

Если объем ядра пропорционален A, тогда радиус должен быть пропорционален $A\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{1/3\}\}$и площадь поверхности до $A\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{2/3\}\}$. Это объясняет, почему поверхностный член пропорционален $A\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{2/3\}\}$. Также можно сделать вывод, что $S\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{S\}\}$должен иметь такой же порядок величины, что и $a\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{V\}\}$.

Кулон термин

термин $a\; CZ\; (Z\; -\; 1)\; A\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{Z\; (Z-1)\}\; \{A\; ^\; \{1/3\}\}\; \}\}$или $a\; CZ\; 2\; A\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{Z\; ^\; \{2\}\}\; \{A\; ^\; \{1/3\}\}\}\}$известен как кулоновский или электростатический термин.

В основе этого термина лежит электростатическое отталкивание между протонами. В очень грубом приближении ядро ​​можно рассматривать как сферу с однородной плотностью заряда . потенциальная энергия такого распределения заряда может быть показана как

$E\; =\; 3\; 5\; (1\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0)\; Q\; 2\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\; \}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{Q\; ^\; \{2\}\}\; \{R\}\}\}$

где Q - общий заряд, а R - радиус сферы. Идентифицируя Q с помощью $Z\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; Ze\}$и отмечая, как указано выше, радиус пропорционален $A\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{1/3\}\}$, мы приближаемся к форме кулоновского члена. Однако, поскольку электростатическое отталкивание будет существовать только для нескольких протонов, $Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{2\}\}$становится $Z\; (Z\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (Z\; -1)\}$. Значение $a\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\}$можно приблизительно рассчитать, используя приведенное выше уравнение:

Эмпирический радиус ядра :

$R\; \approx \; r\; 0\; A\; 1\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; приблизительно\; r\_\; \{0\}\; A\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}.\}$

Целые числа квантового заряда:

$Q\; =\; Z\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; Ze\; \backslash \}$

$Z\; 2\; \approx \; Z\; (Z\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; Z\; (Z-1)\; \backslash .\}$

Решение заменой:

$E\; =\; 3\; 5\; (1\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0)\; Q\; 2\; R\; =\; 3\; 5\; (1\; 4\; \pi \; \epsilon \; 0)\; (Z\; e)\; 2\; (r\; 0\; A\; 1\; 3)\; =\; 3\; e\; 2\; Z\; 2\; 20\; \pi \; \epsilon \; 0\; r\; 0\; A\; 1\; 3\; \approx \; 3\; e\; 2\; Z\; (Z\; -\; 1)\; 20\; \pi \; \epsilon \; 0\; r\; 0\; A\; 1\; 3\; =\; a\; CZ\; (Z\; -\; 1)\; A\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{Q\; ^\; \{2\}\}\; \{R\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\; \backslash \; frac\; \{(Ze)\; ^\; \{2\}\}\; \{(r\_\; \{0\}\; A\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\})\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3e\; ^\; \{2\}\; Z\; ^\; \{2\}\}\; \{20\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; r\_\; \{0\}\; A\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{3e\; ^\; \{2\}\; Z\; (Z-1)\}\; \{20\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; r\_\; \{0\}\; A\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\}\}\; =\; a\_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{Z\; (Z-1)\}\; \{A\; ^\; \{1/3\}\}\}\}$

Потенциальная энергия распределения заряда:

$E\; =\; 3\; e\; 2\; Z\; (Z\; -\; 1)\; 20\; \pi \; \epsilon \; 0\; r\; 0\; A\; 1\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3e\; ^\; \{2\}\; Z\; (Z-1)\}\; \{20\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; r\_\; \{0\}\; A\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\}\}\}$

Электростатическая кулоновская постоянная:

$a\; C\; =\; 3\; e\; 2\; 20\; \pi \; \epsilon \; 0\; r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3e\; ^\; \{2\}\}\; \{20\; \backslash \; pi\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{0\}\; r\_\; \{0\}\}\}\}$

Значение $a\; C\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\}$с помощью постоянная тонкой структуры :

$a\; C\; =\; 3\; 5\; (\hslash \; c\; \alpha \; r\; 0)\; =\; 3\; 5\; (RP\; r\; 0)\; \alpha \; mpc\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; c\; \backslash \; alpha\}\; \{r\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{5\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{P\}\}\; \{r\_\; \{0\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; alpha\; m\_\; \{p\}\; c\; ^\; \{2\}\}$

где $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- постоянная тонкой структуры и $r\; 0\; A\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\; A\; ^\; \{1/3\}\}$- радиус ядра, что дает $r\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\}$примерно 1,25 фемтометра. $R\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{P\}\}$- радиус Комптона протона, а $m\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{p\}\}$масса протона. Это дает $a\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\}$приблизительное теоретическое значение 0,691 МэВ, недалеко от измеренного значения.

$a\; C\; =\; 0,691\; МэВ\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\; =\; 0,691\; \{\backslash \; text\; \{МэВ\}\}\}$

Член асимметрии

Член $a\; A\; (A\; -\; 2\; Z)\; 2\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{A\}\; \{\backslash \; frac\; \{(A-2Z)\; ^\; \{2\}\}\; \{A\}\}\}$известен как термин асимметрии (или термин Паули). Обратите внимание, что как $A\; =\; N\; +\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; N\; +\; Z\}$, выражение в скобках можно переписать как $(N\; -\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (NZ)\}$. Форма $(A\; -\; 2\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A-2Z)\}$используется для сохранения явной зависимости от A, поскольку это будет важно для ряда применений формулы.

Теоретическое обоснование этого термина более сложное. Принцип исключения Паули гласит, что никакие два одинаковых фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии в атоме. На данном уровне энергии для частиц доступно лишь конечное число квантовых состояний. В ядре это означает, что по мере «добавления» большего количества частиц эти частицы должны занимать более высокие энергетические уровни, увеличивая общую энергию ядра (и уменьшая энергию связи). Обратите внимание, что этот эффект основан не на каких-либо фундаментальных силах (гравитационных, электромагнитных и т.д.), а только на принципе исключения Паули.

Протоны и нейтроны, будучи разными типами частиц, занимают разные квантовые состояния. Можно представить себе два разных «пула» состояний, один для протонов, а другой для нейтронов. Теперь, например, если в ядре значительно больше нейтронов, чем протонов, некоторые из нейтронов будут иметь более высокую энергию, чем доступные состояния в протонном пуле. Если бы мы могли переместить некоторые частицы из нейтронного пула в протонный пул, другими словами, преобразовать часть нейтронов в протоны, мы бы значительно уменьшили энергию. Дисбаланс между числом протонов и нейтронов приводит к тому, что энергия оказывается выше, чем она должна быть для данного числа нуклонов. Это основа для термина асимметрии.

Фактическая форма члена асимметрии может быть снова получена путем моделирования ядра как шара Ферми протонов и нейтронов. Его общая кинетическая энергия равна

$E\; k\; =\; 3\; 5\; (N\; p\; \epsilon \; F\; p\; +\; N\; n\; \epsilon \; F\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{k\}\; =\; \{3\; \backslash \; over\; 5\}\; (N\_\; \{p\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{\; F\}\}\; \_\; \{p\}\; +\; N\_\; \{n\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\}\; \_\; \{n\})\}$

где $N\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{p\}\}$, $N\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{n\}\}$- количество протонов и нейтронов, и $\epsilon \; F\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\}\; \_\; \{p\}\}$, $\epsilon \; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\}$- их энергии Ферми. Поскольку последние пропорциональны $N\; p\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{N\_\; \{p\}\}\; ^\; \{2/3\}\}$и $N\; n\; 2/3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{N\_\; \{n\}\}\; ^\; \{2/3\}\}$, соответственно получается

$E\; k\; =\; C\; (N\; p\; 5/3\; +\; N\; n\; 5/3)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{k\}\; =\; C\; (N\_\; \{p\}\; ^\; \{5/3\}\; +\; N\_\; \{n\}\; ^\; \{5/3\})\}$для некоторой константы C.

Ведущее разложение в разности $N\; n\; -\; N\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{n\}\; -N\_\; \{p\}\}$тогда

$E\; k\; =\; C\; 2\; 2/3\; ((N\; p\; +\; N\; n)\; 5/3\; +\; 5\; 9\; (\; N\; n\; -\; N\; p)\; 2\; (N\; p\; +\; N\; n)\; 1/3)\; +\; O\; ((N\; n\; -\; N\; p)\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{k\}\; =\; \{C\; \backslash \; over\; 2\; ^\; \{2/3\}\}\; \backslash \; left\; ((N\_\; \{p\}\; +\; N\_\; \{n\})\; ^\; \{5/3\}\; +\; \{5\; \backslash \; over\; 9\}\; \{(N\_\; \{n\}\; -N\_\; \{p\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; (N\_\; \{p\}\; +\; N\_\; \{n\})\; ^\; \{1/3\}\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; ((N\_\; \{n\}\; -N\_\; \{p\})\; ^\; \{2\}).\}$

В разложении нулевого порядка кинетическая энергия равна энергии Ферми $\epsilon \; F\; \equiv \; \epsilon \; F\; p\; =\; \epsilon \; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\; \}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\}\; \_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\}$умноженное на $3\; 5\; (N\; p\; +\; N\; n)\; 2\; /\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{3\; \backslash \; over\; 5\}\; (N\_\; \{p\}\; +\; N\_\; \{n\})\; ^\; \{2/3\}\}$. Таким образом, получаем

$E\; k\; =\; 3\; 5\; \epsilon \; F\; (N\; p\; +\; N\; n)\; +\; 1\; 3\; \epsilon \; F\; (N\; n\; -\; N\; p)\; 2\; (N\; p\; +\; N\; n)\; +\; O\; ((N\; n\; -\; N\; p)\; 4)\; =\; 3\; 5\; \epsilon \; FA\; +\; 1\; 3\; \epsilon \; F\; (A\; -\; 2\; Z)\; 2\; A\; +\; O\; ((A\; -\; 2\; Z)\; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{k\}\; =\; \{3\; \backslash \; over\; 5\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\; (N\_\; \{p\}\; +\; N\_\; \{n\})\; +\; \{1\; \backslash \; over\; 3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\; \{(N\_\; \{n\}\; -N\_\; \{p\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; (N\_\; \{p\}\; +\; N\_\; \{n\})\}\; +\; O\; ((N\_\; \{n\}\; -N\_\; \{p\})\; ^\; \{4\})\; =\; \{3\; \backslash \; over\; 5\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\; A\; +\; \{1\; \backslash \; over\; 3\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\; \{(A-2Z)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; A\}\; +\; O\; ((A-2Z)\; ^\; \{4\}).\}$

Первый член вносит вклад в член объема в полуэмпирической формуле массы, а второй член минус член асимметрии (помните, что кинетическая энергия вносит вклад в общую энергию связи с отрицательным знаком).

$\epsilon \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{F\}\}$равно 38 МэВ, поэтому вычисляем $a\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{A\}\}$из приведенного выше уравнения мы получаем только половину измеренного значения. Расхождение объясняется тем, что наша модель не точна: нуклоны фактически взаимодействуют друг с другом, а не равномерно распределены по ядру. Например, в модели оболочки протон и нейтрон с перекрывающимися волновыми функциями будут иметь более сильное взаимодействие между собой и более сильную энергию связи. Это делает энергетически выгодным (т.е. имеющим более низкую энергию), чтобы протоны и нейтроны имели одинаковые квантовые числа (отличные от изоспина ), и, таким образом, увеличивали энергетические затраты асимметрии между ними.

Термин асимметрии можно также понять интуитивно следующим образом. Он должен зависеть от абсолютной разницы $|\; N\; -\; Z\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; NZ\; |\}$, а форма $(A\; -\; 2\; Z)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (A-2Z)\; ^\; \{2\}\}$проста и дифференцируемый, что важно для некоторых приложений формулы. Кроме того, небольшие различия между Z и N не требуют больших затрат энергии. Знак A в знаменателе отражает тот факт, что данная разница $|\; N\; -\; Z\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; NZ\; |\}$менее значимо для больших значений A.

Член сопряжения

Величина члена сопряжения в общей энергии связи для четных-четных и нечетных нечетные ядра как функция массового числа. Показаны две посадки (синяя и красная линия). Термин спаривания (положительный для четно-четных и отрицательный для нечетно-нечетных ядер) был получен из данных об энергии связи в: G. Audi et al., «Оценка атомной массы AME2012», в Chinese Physics C 36 (2012/12) pp. 1287–1602.

Термин $\delta \; (A,\; Z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (A,\; Z)\}$известен как термин сопряжения (возможно, также известный как парное взаимодействие). Этот термин отражает эффект спина -связи. Он задается следующим образом:

$\delta \; (A,\; Z)\; =\; \{+\; \delta \; 0\; Z,\; N\; четное\; (A\; четное)\; 0\; A\; нечетное\; -\; \delta \; 0\; Z,\; N\; нечетное\; (A\; четное)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (A,\; Z)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; Z,\; N\; \{\backslash \; text\; \{even\}\}\; (A\; \{\backslash \; text\; \{even\}\})\; \backslash \backslash \; 0\; A\; \{\backslash \; text\; \{odd\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; Z,\; N\; \{\backslash \; text\; \{odd\}\}\; (A\; \{\backslash \; text\; \{even\}\})\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

где $\delta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\}\; Эмпирически\; установлено,\; что$имеет значение около 1000 кэВ, медленно уменьшающееся с массовым числом A. Зависимость от массового числа обычно параметризуется как

$\delta \; 0\; =\; a\; PA\; k\; P.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; =\; \{a\_\; \{P\}\}\; \{A\; ^\; \{k\_\; \{P\}\}\}.\}$

Значение показателя k P определяется из экспериментальной энергии связи данные. В прошлом его значение часто принималось равным −3/4, но современные экспериментальные данные показывают, что значение −1/2 ближе к отметке:

$\delta \; 0\; =\; a\; PA\; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\; =\; \{a\_\; \{P\}\}\; \{A\; ^\; \{-\; 1/2\}\}\}$или $\delta \; 0\; =\; a\; P\; \prime \; A\; -\; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{\; 0\}\; =\; \{a\_\; \{P\}\; \backslash \; prime\}\; \{A\; ^\; \{-\; 3/4\}\}\}$.

В соответствии с принципом исключения Паули ядро ​​будет иметь меньшую энергию, если число протонов с со спином вверх равнялись количеству протонов со спином вниз. Это верно и для нейтронов. Только если и Z, и N равны, и протоны, и нейтроны могут иметь одинаковое количество частиц со спином вверх и вниз. Это эффект, аналогичный члену асимметрии.

Фактор $A\; k\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{k\_\; \{P\}\}\}$нелегко объяснить теоретически. Вычисление шара Ферми, которое мы использовали выше, основанное на модели жидкой капли, но без учета взаимодействий, даст зависимость $A\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{-\; 1\}\}$, как и в случае асимметрии срок. Это означает, что реальный эффект для больших ядер будет больше, чем ожидалось по этой модели. Это следует объяснить взаимодействиями между нуклонами; Например, в модели оболочки два протона с одинаковыми квантовыми числами (кроме спина ) будут иметь полностью перекрывающиеся волновые функции и, таким образом, будут иметь больше сильное взаимодействие между ними и более сильная энергия связи. Это делает энергетически выгодным (т.е. имеющим более низкую энергию), чтобы протоны образовывали пары противоположного спина. То же самое и с нейтронами.

Коэффициенты рассчитываются путем аппроксимации экспериментально измеренным массам ядер. Их значения могут варьироваться в зависимости от того, как они соответствуют данным и какая единица измерения используется для выражения массы. Ниже приведены несколько примеров.

	Eisberg Resnick	Подбор наименьших квадратов (1)	Подбор наименьших квадратов (2)	Rohlf	Wapstra
unit	u	МэВ	МэВ	МэВ	МэВ
$a\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{V\}\}$	0,01691	15,8	15,76	15,75	14,1
$a\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{S\}\}$	0,01911	18,3	17,81	17,8	13
$a\; C\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{C\}\}$	0,000673	0,714	0,711	0,711	0,595
$a\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{A\}\}$	0,10175	23,2	23,702	23,7	19
$a\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{P\}\}$	0,012	12	34	11,18	33,5
$к\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{P\}\}$	−1/2	−1/2	−3/4	−1/2	−3/4
$\delta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\}$(четный-четный)	$-\; 0,012\; A\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; -0,012\; \backslash \; над\; A\; ^\; \{1/2\}\}$	$+\; 12\; A\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; +12\; \backslash \; over\; A\; ^\; \{1/2\}\}$	$+\; 34\; A\; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; +34\; \backslash \; над\; A\; ^\; \{3/4\}\}$	$+\; 11,18\; A\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; +11,18\; \backslash \; over\; A\; ^\; \{1/2\}\}$	$+\; 33,5\; A\; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; +33,5\; \backslash \; over\; A\; ^\; \{3/4\}\}$
$\delta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\}$(нечетно-нечетное)	$+\; 0,012\; A\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; +0,012\; \backslash \; over\; A\; ^\; \{1/2\}\}$	$-\; 12\; A\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; -12\; \backslash \; over\; A\; ^\; \{1/2\}\}$	$-\; 34\; A\; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; -34\; \backslash \; over\; A\; ^\; \{3/4\}\}$	$-\; 11,18\; A\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; -11.18\; \backslash \; over\; A\; ^\; \{1/2\}\}$	$-\; 33,5\; A\; 3/4\; \{\backslash \; displaystyle\; -33,5\; \backslash \; over\; A\; ^\; \{3\; /\; 4\}\}$
$\delta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{0\}\}$(чет-нечет, нечет-чет)	0	0	0	0	0

Формула не учитывает внутреннюю структуру оболочки ядра.

Таким образом, полуэмпирическая формула массы хорошо подходит для более тяжелых ядер и плохо подходит для очень легких ядер, особенно He. Для легких ядер обычно лучше использовать модель, учитывающую эту структуру оболочки.

Максимизируя E b (A, Z) по отношению к Z, можно найти наилучшее нейтронно-протонное отношение N / Z для данного атомного веса A. Мы получаем

$N\; /\; Z\; \approx \; 1\; +\; a\; C\; 2\; a\; AA\; 2/3.\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; /\; Z\; \backslash \; приблизительно\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{C\}\}\; \{2a\_\; \{A\}\}\}\; A\; ^\; \{2/3\}.\}$

Это примерно 1 для легких ядер, но для тяжелых ядер соотношение растет в хорошем соответствии с экспериментом.

. Подставляя указанное выше значение Z обратно в E b, можно получить энергию связи как функцию атомного веса E b (А). Максимальное увеличение E b (A) / A по отношению к A дает ядро, которое является наиболее прочно связанным, то есть наиболее стабильным. Мы получаем значение A = 63 (медь ), что близко к измеренным значениям из A = 62 (никель ) и A = 58 (железо ).

Модель жидкой капли также позволяет вычислять барьеры деления для ядер, которые определяют устойчивость ядра к спонтанному делению. Первоначально предполагалось, что элементы за пределами атомного номера 104 не могут существовать, поскольку они будут подвергаться делению с очень коротким периодом полураспада, хотя эта формула не учитывала стабилизирующие эффекты закрытых ядерных оболочек. Модифицированная формула, учитывающая оболочечные эффекты, воспроизводит известные данные и предсказанный остров стабильности (в котором ожидается увеличение барьеров деления и периодов полураспада, достигая максимума при закрытии оболочки), хотя также предлагает возможный предел к существованию сверхтяжелых ядер за пределами Z = 120 и N = 184.

• Freedman, R.; Янг, Х. (2004). Физика Университета Сирса и Земанского с современной физикой (11-е изд.). С. 1633–1634. ISBN 978-0-8053-8768-1.
• Ливерхант, С. Э. (1960). Элементарное введение в физику ядерных реакторов. Джон Уайли и сыновья. С. 58–62. LCCN 60011725.
• Choppin, G.; Liljenzin, J.-O.; Ридберг, Дж. (2002). «Ядерная масса и стабильность» (PDF). Радиохимия и ядерная химия (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. С. 41–57. ISBN 978-0-7506-7463-8.

• Модель жидкой ядерной капли в онлайн-справочнике по гиперфизике на Джорджия Государственный университет.
• Модель жидкой капли с подгонкой параметров из результатов первых наблюдений возбужденных состояний в нейтронно-дефицитных ядрах W и Ta, Алекс Кинан, докторская диссертация, Ливерпульский университет, 1999 г. (Версия HTML ).