Инварианты Зайберга – Виттена

редактировать

В математике, и особенно калибровочной теории, инвариантами Зайберга – Виттена являются инварианты компактных гладких ориентированных 4-многообразий, введенные Эдвардом Виттеном (1994), используя теорию Зайберга – Виттена, изученную Натан Зайберг и Виттен (1994a, 1994b) во время исследований калибровочной теории Зайберга – Виттена.

инвариантов Зайберга – Виттена похожи на инварианты Дональдсона и могут использоваться для доказательства аналогичных (но иногда немного более сильных) результатов о гладких 4-многообразиях. С ними технически намного проще работать, чем с инвариантами Дональдсона; например, пространства модулей решений уравнений Зайберга – Виттена имеют тенденцию быть компактными, поэтому можно избежать сложных проблем, связанных с компактификацией пространств модулей в теории Дональдсона.

Подробное описание инвариантов Зайберга – Виттена см. В (Donaldson 1996), (Moore 2001), (Morgan 1996), (Николаеску 2000), (Скорпан 2005, Глава 10). Относительно симплектических многообразий и инвариантов Громова – Виттена см. (Taubes 2000). О ранней истории см. (Jackson 1995).

Содержание

1 Спин-структуры
2 Уравнения Зайберга – Виттена
3 Пространство модулей решений
4 инварианты Зайберга – Виттена
5 Список литературы

Спин-структуры

Группа вращения (в измерении 4):

(U (1) × S-контакт (4)) / (Z / 2 Z). {\ displaystyle (U (1) \ times \ mathrm {Spin} (4)) / (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}).}

{\ displaystyle (U (1) \ times \ mathrm {Spin} (4)) / (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}).}

где $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb { Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ действует как знак для обоих факторов. Группа имеет естественный гомоморфизм к SO (4) = Spin (4) / ± 1.

Для компактного ориентированного четырехмерного многообразия выберите гладкую риманову метрику $g {\ displaystyle g}$ $g$ с соединением Леви Чивита $∇ g {\ displaystyle \ nabla ^ {g}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {g}}$ . Это сокращает структурную группу от связной компоненты GL (4) + до SO (4) и безвредно с гомотопической точки зрения. Спин-структура или комплексная спиновая структура на M - это редукция структурной группы к Spin, то есть подъем структуры SO (4) на касательном расслоении к группе Spin. По теореме Хирцебруха и Хопфа каждое гладкое ориентированное компактное 4-многообразие $M {\ displaystyle M}$ $M$ допускает структуру Spin. Существование структуры Spin эквивалентно существованию подъема второго класса Штифеля-Уитни $w 2 (M) ∈ H 2 (M, Z / 2 Z) {\ displaystyle w_ {2} (M) \ in H ^ {2} (M, \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle w_ {2} (M) \ in H ^ {2} (M, \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$ в класс $K ∈ Н 2 (Х, Z). {\ displaystyle K \ in H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}).}$ ${\ displaystyle К \ in H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}).}$ И наоборот, такой подъем определяет структуру Spin до 2 кручений в $H 2 (X, Z). {\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}).}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}).}$ A структура вращения требует более строгого ограничения $w 2 (M) = 0. {\ displaystyle w_ {2} (M) = 0.}$ ${\ displaystyle w_ {2} (M) = 0.}$

Структура Spin определяет (и определяется) спинорный пучок $W = W + ⊕ W - {\ displaystyle W = W ^ {+} \ oplus W ^ {-}}$ ${\ displaystyle W = W ^ {+} \ oplus W ^ {-}}$ , полученный из двух комплексных мерных положительного и отрицательного спинорного представления Spin (4), на которое U (1) действует посредством умножения. У нас есть $К = c 1 (W +) = c 1 (W -) {\ displaystyle K = c_ {1} (W ^ {+}) = c_ {1} (W ^ {-})}$ ${\ displaystyle K = c_ {1} (W ^ {+}) = c_ {1} (W ^ {-})}$ . Связка спиноров $W {\ displaystyle W}$ $W$ поставляется с градуированным представлением связки алгебры Клиффорда, т. Е. Картой $γ: C liff (M, g) → E nd (W) {\ displaystyle \ gamma: \ mathrm {Cliff} (M, g) \ to {\ mathcal {E}} {\ mathit {nd}} (W)}$ ${\ displaystyle \ gamma: \ mathrm {Cliff} (M, g) \ to {\ mathcal {E}} {\ mathit {nd}} (W)}$ так, что для каждой 1 формы $a { \ Displaystyle a}$ $a$ мы имеем $γ (a): W ± → W ∓ {\ displaystyle \ gamma (a): W ^ {\ pm} \ to W ^ {\ mp}}$ ${\ displaystyle \ gamma (а): W ^ {\ pm} \ к W ^ {\ mp}}$ и $γ (a) 2 = - g (a, a) {\ displaystyle \ gamma (a) ^ {2} = - g (a, a)}$ ${\ displaystyle \ gamma (a) ^ {2} = - g (a, a)}$ . Существует уникальная эрмитова метрика $h {\ displaystyle h}$ $h$ на $W {\ displaystyle W}$ $W$ s.t. $γ (a) {\ displaystyle \ gamma (a)}$ ${\ displaystyle \ gamma (a)}$ является перекосом эрмитова для вещественных 1 форм $a {\ displaystyle a}$ $a$ . Он дает индуцированное действие форм $∧ ∗ M {\ displaystyle \ wedge ^ {*} M}$ ${\ displaystyle \ wedge ^ {*} M}$ путем антисимметризации. В частности, это дает изоморфизм $∧ + M ≅ E nd 0 sh (W +) {\ displaystyle \ wedge ^ {+} M \ cong {\ mathcal {E}} {\ mathit {nd}} _ { 0} ^ {sh} (W ^ {+})}$ ${\ displaystyle \ wedge ^ {+} M \ cong {\ mathcal {E}} {\ mathit {nd} } _ {0} ^ {sh} (W ^ {+})}$ двух самодуальных форм с бесследными косыми эрмитовыми эндоморфизмами $W + {\ displaystyle W ^ {+}}$ $W ^ +$ которые затем идентифицируются.

Уравнения Зайберга – Виттена

Пусть $L = det (W +) ≡ det (W -) {\ displaystyle L = \ det (W ^ {+}) \ Equiv \ det (W ^ {-})}$ ${\ displaystyle L = \ det (W ^ {+}) \ Equiv \ det (W ^ {-})}$ быть детерминантным линейным пакетом с $c 1 (L) = K {\ displaystyle c_ {1} (L) = K}$ ${\ displaystyle c_ {1} (L) = K}$ . Для каждого соединения $∇ A = ∇ 0 + A {\ displaystyle \ nabla _ {A} = \ nabla _ {0} + A}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {A} = \ nabla _ {0} + A}$ с $A ∈ i AR 1 (M) {\ displaystyle A \ in iA _ {\ mathbb {R}} ^ {1} (M)}$ ${\ displaystyle A \ in iA _ {\ mathbb {R}} ^ {1} (M)}$ на $L {\ displaystyle L}$ $L$ , существует уникальный спинор соединение $∇ A {\ displaystyle \ nabla ^ {A}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {A}}$ на $W {\ displaystyle W}$ $W$ т.е. соединение такое, что $∇ XA (γ (a)): = [∇ XA, γ (a)] = γ (∇ X ga) {\ displaystyle \ nabla _ {X} ^ {A} (\ gamma ( a)): = [\ nabla _ {X} ^ {A}, \ gamma (a)] = \ gamma (\ nabla _ {X} ^ {g} a)}$ ${ \ Displaystyle \ nabla _ {X} ^ {A} (\ gamma (a)): = [\ nabla _ {X} ^ {A}, \ gamma (a)] = \ gamma (\ nabla _ {X} ^ {g} a)}$ для каждого 1- форма $a {\ displaystyle a}$ $a$ и векторное поле $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Затем связь Клиффорда определяет оператор Дирака $DA = γ ⊗ 1 ∘ ∇ A = γ (dx μ) ∇ μ A {\ displaystyle D ^ {A} = \ gamma \ otimes 1 \ circ \ nabla ^ {A} = \ gamma (dx ^ {\ mu}) \ nabla _ {\ mu} ^ {A}}$ ${\ displaystyle D ^ {A} = \ gamma \ otimes 1 \ circ \ nabla ^ {A} = \ gamma (dx ^ {\ mu}) \ nabla _ {\ mu} ^ {A}}$ на $W {\ displaystyle W}$ $W$ . Группа карт $G = {u: M → U (1)} {\ displaystyle {\ mathcal {G}} = \ {u: M \ to U (1) \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} = \ {u: M \ to U (1) \}}$ действует как группа датчиков на множестве всех соединений на $L {\ displaystyle L}$ $L$ . Действие $G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ может быть "фиксированным размером", например условием $d ∗ A = 0 {\ displaystyle d ^ {*} A = 0}$ ${\ displaystyle d ^ { *} A = 0}$ , оставляя эффективную параметризацию пространства всех таких соединений $H 1 (M, R) вред / ЧАС 1 (M, Z) ⊕ d ∗ AR + (M) {\ displaystyle H ^ {1} (M, \ mathbb {R}) ^ {\ mathrm {damage}} / H ^ {1} (M, \ mathbb {Z}) \ oplus d ^ {*} A _ {\ mathbb {R}} ^ {+} (M)}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (M, \ mathbb {R}) ^ {\ mathrm {вред}} / ЧАС ^ {1} (М, \ mathbb {Z}) \ oplus d ^ {*} A _ {\ mathbb {R}} ^ {+} (M)}$ с невязкой $U (1) {\ displaystyle U (1)}$ $U (1)$ действие группы датчиков.

Запишите $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ для спинорного поля с положительной хиральностью, т. Е. Отрезка $W + {\ displaystyle W ^ {+}}$ $W ^ +$ . Уравнения Зайберга – Виттена для $(ϕ, ∇ A) {\ displaystyle (\ phi, \ nabla ^ {A})}$ ${\ displaystyle (\ фи, \ набла ^ {A})}$ теперь

DA ϕ = 0 {\ displaystyle D ^ {A} \ phi = 0}

D ^ A \ phi = 0

FA + = σ (ϕ) + i ω {\ displaystyle F_ {A} ^ {+} = \ sigma (\ phi) + i \ omega}

F ^ + _ A = \ sigma (\ phi) + я \ omega

Здесь $FA ∈ i AR 2 (M) {\ displaystyle F ^ {A} \ in iA _ {\ mathbb {R}} ^ {2} (M)}$ ${\ displaystyle F ^ {A} \ in iA _ {\ mathbb {R}} ^ {2} (M)}$ - это 2-форма замкнутой кривизны $∇ A {\ displaystyle \ nabla ^ {A}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {A}}$ , $FA + {\ displaystyle F_ {A} ^ {+}}$ ${\ displaystyle F_ {A} ^ {+}}$ - его самодвойственная часть, а σ - отображение квадрата $ϕ ↦ (ϕ час (ϕ, -) - 1 2 час (ϕ, ϕ) 1 W +) {\ displaystyle \ phi \ mapsto \ left (\ phi h (\ phi, -) - {\ tfrac { 1} {2}} час (\ phi, \ phi) 1_ {W ^ {+}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ phi \ mapsto \ left (\ phi h (\ phi, -) - {\ tfrac {1} {2}} h (\ phi, \ phi) 1_ {W ^ {+}} \ right)}$ из $W + {\ displaystyle W ^ {+}}$ $W ^ +$ бесследному эрмитовскому эндоморфизму $W + {\ displaystyle W ^ {+}}$ $W ^ +$ , отождествляемому с воображаемой самодвойственной 2-формой, и $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - это настоящая самодуальная двойная форма, часто принимаемая за ноль или гармоническую. Группа калибров $G {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$ ${\ mathcal {G}}$ действует в пространстве решений. После добавления условия фиксации датчика $d ∗ A = 0 {\ displaystyle d ^ {*} A = 0}$ ${\ displaystyle d ^ { *} A = 0}$ невязка U (1) действует свободно, за исключением «приводимых решений» с $ϕ = 0 {\ Displaystyle \ phi = 0}$ $\ phi = 0$ . По техническим причинам уравнения фактически определены в подходящих пространствах Соболева достаточно высокой регулярности.

Применение формулы Вайтценбека

∇ A ∗ ∇ A ϕ = (DA) 2 ϕ - (1 2 γ (FA +) + s) ϕ {\ displaystyle {\ nabla ^ {A} } ^ {*} \ nabla ^ {A} \ phi = (D ^ {A}) ^ {2} \ phi - ({\ tfrac {1} {2}} \ gamma (F_ {A} ^ {+}) + s) \ phi}

{\ displaystyle {\ nabla ^ {A}} ^ {*} \ nabla ^ {A} \ phi = (D ^ {A}) ^ {2} \ phi - ({\ tfrac {1} {2}} \ gamma (F_ {A}) ^ {+}) + s) \ phi}

и тождество

Δ g | ϕ | h 2 = 2 h (∇ A ∗ ∇ A ϕ, ϕ) - 2 | ∇ A ϕ | г ⊗ час {\ displaystyle \ Delta _ {g} | \ phi | _ {h} ^ {2} = 2h ({\ nabla ^ {A}} ^ {*} \ nabla ^ {A} \ phi, \ phi) -2 | \ nabla ^ {A} \ phi | _ {g \ otimes h}}

{\ displaystyle \ Delta _ {g} | \ phi | _ { h} ^ {2} = 2h ({\ nabla ^ {A}} ^ {*} \ nabla ^ {A} \ phi, \ phi) -2 | \ nabla ^ {A} \ phi | _ {g \ otimes h}}

решениям уравнений дает равенство

Δ | ϕ | 2 + | ∇ A ϕ | 2 + 1 4 | ϕ | 4 = (- s) | ϕ | 2-1 2 час (ϕ, γ (ω) ϕ) {\ Displaystyle \ Delta | \ phi | ^ {2} + | \ nabla ^ {A} \ phi | ^ {2} + {\ tfrac {1} { 4}} | \ phi | ^ {4} = (- s) | \ phi | ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} h (\ phi, \ gamma (\ omega) \ phi)}

{\ displaystyle \ Delta | \ phi | ^ {2} + | \ nabla ^ {A} \ phi | ^ {2} + {\ tfrac {1} {4}} | \ phi | ^ {4 } = (- s) | \ phi | ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} h (\ phi, \ gamma (\ omega) \ phi)}

Если $| ϕ | 2 {\ displaystyle | \ phi | ^ {2}}$ $| \ phi | ^ {2}$ является максимальным $Δ | ϕ | 2 ≥ 0 {\ displaystyle \ Delta | \ phi | ^ {2} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ Delta | \ phi | ^ {2} \ geq 0}$ , так что это показывает, что для любого решения sup norm $‖ ϕ ‖ ∞ {\ displaystyle \ | \ phi \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ | \ фи \ | _ {\ infty}}$ априори ограничен с границей, зависящей только от скалярной кривизны $s {\ displaystyle s}$ $s$ of $(M, g) {\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ и дуальная самодвойная форма $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . После добавления условия фиксации калибровки эллиптическая регулярность уравнения Дирака показывает, что решения фактически априори ограничены в нормах Соболева произвольной регулярности, что показывает, что все решения гладкие, и что пространство всех решений с точностью до калибровочной эквивалентности компактно.

Решения $(ϕ, ∇ A) {\ displaystyle (\ phi, \ nabla ^ {A})}$ ${\ displaystyle (\ фи, \ набла ^ {A})}$ уравнений Зайберга – Виттена называются монополями., поскольку эти уравнения являются уравнениями поля безмассовых магнитных монополей на многообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ .

Пространство модулей решений

На пространство решений действует калибровочная группа, и фактор этого действия называется пространством модулей монополей.

Пространство модулей обычно представляет собой многообразие. Для общих метрик после фиксации калибровки уравнения вырезают пространство решений в поперечном направлении и таким образом определяют гладкое многообразие. Остаточная U (1) «фиксированная калибровка» калибровочная группа U (1) действует свободно, за исключением приводимых монополей, то есть решений с $ϕ = 0 {\ displaystyle \ phi = 0}$ $\ phi = 0$ . По теореме Атьи-Зингера об индексе пространство модулей конечномерно и имеет «виртуальную размерность»

(K 2 - 2 χ top (M) - 3 sign ⁡ (M)) / 4 {\ displaystyle (K ^ {2} -2 \ chi _ {\ mathrm {top}} (M) -3 \ operatorname {sign} (M)) / 4}

{\ displaystyle (K ^ {2} -2 \ chi _ {\ mathrm {top}} (M) -3 \ operatorname {sign} (M)) / 4}

который для общих показателей является фактическим измерением вдали от сводимые. Это означает, что пространство модулей в общем случае пусто, если виртуальная размерность отрицательна.

Для двойственной формы 2 $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ приводимые решения имеют $ϕ = 0 {\ displaystyle \ phi = 0}$ $\ phi = 0$ , и поэтому определяются соединениями $∇ A = ∇ 0 + A {\ displaystyle \ nabla _ {A} = \ nabla _ {0} + A}$ ${\ displaystyle \ nabla _ {A} = \ nabla _ {0} + A}$ на $L {\ displaystyle L}$ $L$ такой, что $F 0 + d A = i (α + ω) {\ displaystyle F_ {0} + dA = i (\ alpha + \ omega)}$ ${\ Displaystyle F_ {0} + dA = я (\ альфа + \ omega)}$ для некоторой антисамодуальной 2-формы $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ . По разложению Ходжа, поскольку $F 0 {\ displaystyle F_ {0}}$ $F_{0}$ закрыт, единственное препятствие для решения этого уравнения для $A {\ displaystyle A }$ $A$ с учетом $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ , является гармонической частью $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ и $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ и гармоническая часть, или, что эквивалентно, класс когомологии (де Рама) формы кривизны, т.е. $[F 0] = F 0 вред = i (ω вред + α вред) ∈ H 2 (M, R) {\ displaystyle [F_ {0}] = F_ {0} ^ {\ mathrm {вред}} = я (\ omega ^ {\ mathrm {вред}} + \ alpha ^ {\ mathrm {вред}}) \ in H ^ {2} (M, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle [F_ {0}] = F_ {0} ^ {\ mathrm { вред}} = i (\ omega ^ {\ mathrm {вред}} + \ alpha ^ {\ mathrm {вред}}) \ in H ^ {2} (M, \ mathbb {R})}$ . Таким образом, поскольку $[1 2 π i F 0] = K {\ displaystyle [{\ tfrac {1} {2 \ pi i}} F_ {0}] = K}$ ${\ displaystyle [{\ tfrac {1} {2 \ pi i}} F_ {0}] = K}$ необходимое и достаточным условием для приводимого решения является

ω вред ∈ 2 π K + H - ∈ H 2 (X, R) {\ displaystyle \ omega ^ {\ mathrm {damage}} \ in 2 \ pi K + {\ mathcal {H}} ^ {-} \ in H ^ {2} (X, \ mathbb {R})}

{\ displaystyle \ омега ^ {\ mathrm {вред}} \ in 2 \ pi K + {\ mathcal {H}} ^ {-} \ in H ^ {2} (X, \ mathbb {R})}

где $H - {\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {-}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Н}} ^ {-}}$ - это пространство гармонических анти-самодуальных 2-форм. Двойная форма $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ является $K {\ displaystyle K}$ $K$ -допустимой, если это условие не выполняется и решения обязательно неприводимы. В частности, для $b + ≥ 1 {\ displaystyle b ^ {+} \ geq 1}$ ${\ displaystyle b ^ {+} \ geq 1}$ пространство модулей является (возможно, пустым) компактным многообразием для общих метрик и допустимого $ω {\ Displaystyle \ omega}$ $\ omega$ . Обратите внимание, что если $b + ≥ 2 {\ displaystyle b _ {+} \ geq 2}$ ${\ displaystyle b_ { +} \ geq 2}$ , то пространство $K {\ displaystyle K}$ $K$ -допустимые две формы связан, тогда как если $b + = 1 {\ displaystyle b _ {+} = 1}$ ${ \ displaystyle b _ {+} = 1}$ , он имеет два связанных компонента (камеры). Пространству модулей можно дать естественную ориентацию из ориентации на пространстве положительных гармонических 2 форм и первых когомологий.

Априорная оценка решений также дает априорные границы для $F h a r m {\ displaystyle F ^ {\ mathrm {damage}}}$ ${\ displaystyle F ^ {\ mathrm {damage}}}$ . Следовательно, существует (для фиксированного $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ ) только конечное число $K ∈ H 2 (M, Z) {\ displaystyle K \ in H ^ {2} ( M, \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle K \ in H ^ {2} ( M, \ mathbb {Z})}$ и, следовательно, только конечное число структур Spin с непустым пространством модулей.

Инварианты Зайберга – Виттена

Инвариант Зайберга – Виттена четырехмерного многообразия M с b 2 (M) ≥ 2 является отображением спиновых структур на M на Z . Значение инварианта спиновой структуры легче всего определить, когда пространство модулей нульмерно (для общей метрики). В этом случае значение - это количество элементов пространства модулей, подсчитанное со знаками.

Инвариант Зайберга – Виттена также можно определить, когда b 2 (M) = 1, но тогда это зависит от выбора камеры.

Многообразие M называется простым типом, если инвариант Зайберга-Виттена обращается в нуль, если ожидаемая размерность пространства модулей отлична от нуля. Гипотеза простого типа утверждает, что если M односвязно и b 2 (M) ≥ 2, то многообразие имеет простой тип. Это верно для симплектических многообразий.

Если многообразие M имеет метрику положительной скалярной кривизны и b 2 (M) ≥ 2, то все инварианты Зайберга – Виттена для M равны нулю.

Если многообразие M является связной суммой двух многообразий, каждое из которых имеет b 2 ≥ 1, то все инварианты Зайберга – Виттена многообразия M равны нулю.

Если многообразие M односвязно и симплектическое и b 2 (M) ≥ 2, то оно имеет спиновую структуру s, на которой инвариант Зайберга – Виттена равен 1. В частности, оно не может быть разделенным в виде связной суммы многообразий с b 2 ≥ 1.

Ссылки

Дональдсон, Саймон К. (1996), «Уравнения Зайберга-Виттена и 4 -многообразная топология. ", Бюллетень Американского математического общества, (NS), 33 (1): 45–70, doi : 10.1090 / S0273-0979-96-00625-8, MR 1339810
Джексон, Аллин (1995), Революция в математике, заархивировано из оригинала 26 апреля 2010 г.
Морган, Джон В. (1996), Уравнения Зайберга – Виттена и приложения к топологии гладких четырехмерных многообразий, Mathematical Notes, 44, Princeton, Нью-Джерси: Princeton University Press, pp. Viii + 128, ISBN 978-0-691-02597-1, MR 1367507
Мур, Джон Дуглас (2001), Лекции по инвариантам Зайберга-Виттена, Конспекты лекций в Математика, 1629 (2-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, стр. Viii + 121, CiteSeerX 10.1.1.252.2658, doi : 10.1007 / BFb0092948, ISBN 978-3-540-41221-2, MR 1830497
Нэш, гл. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Николаеску, Ливиу И. (2000), Заметки по теории Зайберга-Виттена (PDF), Аспирантура по математике, 28, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xviii + 484, doi : 10,1090 / gsm / 028, ISBN 978-0-8218-2145-9, MR 1787219
Скорпан, Александру (2005), Дикий мир 4-многообразий, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3749-8, MR 2136212.
Сейберг, Натан ; Виттен, Эдвард (1994a), «Электромагнитная дуальность, монопольная конденсация и удержание в N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса», Nuclear Physics B, 426 (1): 19–52, arXiv : hep-th / 9407087, Bibcode : 1994NuPhB.426... 19S, doi : 10.1016 / 0550-3213 (94) 90124-4, MR 1293681 ; "Erratum", Nuclear Physics B, 430 (2): 485–486, 1994, Bibcode : 1994NuPhB.430..485., doi : 10.1016 / 0550-3213 (94) 00449-8, MR 1303306
Зайберг, Н. ; Виттен, Э. (1994b), «Монополи, двойственность и нарушение киральной симметрии в N = 2 суперсимметричной КХД», Nuclear Physics B, 431 (3): 484–550, arXiv : hep-th / 9408099, Bibcode : 1994NuPhB.431..484S, doi : 10.1016 / 0550-3213 (94) 90214-3, MR 1306869
Таубс, Клиффорд Генри (2000), Вентворт, Ричард (редактор), инварианты Зайберга Виттена и Громова для симплектических 4-многообразий, First International Press Lecture Series, 2, Somerville, MA: International Press, pp. Vi + 401, ISBN 978-1-57146-061-5, MR 1798809
Виттен, Эдвард (1994), «Монополи и четырехмерные многообразия»., Mathematical Research Letters, 1 (6): 769–796, arXiv : hep-th / 9411102, Bibcode : 1994MRLet... 1..769W, doi : 10.4310 / MRL.1994.v1.n6.a13, MR 1306021, заархивировано с оригинала 29.06.2013