Теория Зайберга – Виттена

редактировать

В теоретической физике, теория Зайберга – Виттена - это теория, которая определяет точное низкоэнергетическое эффективное действие (для безмассовых степеней свободы) N = 2 {\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 2}{\ mathcal {N}} = 2 суперсимметричная калибровочная теория, а именно метрика пространства модулей вакуума.

Содержание

  • 1 Кривые Зайберга – Виттена
  • 2 Отношение к интегрируемым системам
  • 3 Препотенциал Зайберга – Виттена через инстантонный счет
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Кривые Зайберга – Виттена

В общем, эффективные лагранжианы суперсимметричных калибровочных теорий во многом определяются их голоморфными свойствами и поведением вблизи сингулярностей. В частности, в калибровочной теории с N = 2 {\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 2}{\ mathcal {N}} = 2 расширенной суперсимметрией пространство модулей вакуума является особым Кэлерово многообразие и его кэлеров потенциал ограничен указанными выше условиями.

В первоначальном подходе, предложенном Зайбергом и Виттеном, ограничения голоморфности и электромагнитной дуальности достаточно сильны, чтобы почти однозначно ограничивать препотенциал и, следовательно, метрику пространство модулей вакуума для теорий с калибровочной группой SU (2) {\ displaystyle SU (2)}SU (2) .

В более общем плане рассмотрим пример с калибровочной группой SU (n). Классический потенциал равен

V (x) = 1 g 2 Tr ⁡ [ϕ, ϕ ¯] 2 {\ displaystyle V (x) = {\ frac {1} {g ^ {2}}} \ operatorname {Tr } [\ phi, {\ bar {\ phi}}] ^ {2} \,}V (x) = \ frac {1} {g ^ 2} \ operator имя {Tr} [\ phi, \ bar {\ phi}] ^ 2 \,

(1)

Это исчезает в пространстве модулей, поэтому значение ожидания вакуума ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi можно повернуть калибровочно в подалгебру Картана, сделав ее бесследной диагональной комплексной матрицей a {\ displaystyle a}a .

Потому что поля ϕ {\ displaystyle \ phi}\ phi больше не имеют исчезающего ожидаемого значения вакуума, другие поля становятся тяжелыми из-за эффекта Хиггса. Они интегрированы, чтобы найти эффективную N = 2 {\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 2}{\ mathcal {N}} = 2 абелеву калибровочную теорию. Его двухпроизводное, четырехфермионное низкоэнергетическое действие может быть выражено через одну голоморфную функцию F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}{\ mathcal {F}} следующим образом:

1 4 π Im ⁡ [∫ d 4 θ d F d AA ¯ + ∫ d 2 θ 1 2 d 2 F d A 2 W α W α] {\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ operatorname {Im} {\ Bigl [} \ int d ^ {4} \ theta {\ frac {d {\ mathcal {F}}} {dA}} {\ bar {A}} + \ int d ^ {2} \ theta {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} {\ mathcal {F}}} {dA ^ {2}}} W _ {\ alpha} W ^ {\ alpha} {\ Bigr ]} \,}{\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} \ operatorname {Im} {\ Bigl [} \ int d ^ {4} \ theta {\ frac {d {\ mathcal {F}}} {dA}} {\ bar { A}} + \ int d ^ {2} \ theta {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} {\ mathcal {F}}} {dA ^ {2}}} W_ { \ alpha} W ^ {\ alpha} {\ Bigr]} \,}

(3)

F = я 2 π A 2 ln ⁡ A 2 Λ 2 + ∑ k = 1 ∞ F k Λ 4 k A 4 k A 2 {\ displaystyle {\ mathcal { F}} = {\ frac {i} {2 \ pi}} {\ mathcal {A}} ^ {2} \ operatorname {\ ln} {\ frac {{\ mathcal {A}} ^ {2}} { \ Lambda ^ {2}}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ mathcal {F}} _ {k} {\ frac {\ Lambda ^ {4k}} {{\ mathcal {A }} ^ {4k}}} {\ mathcal {A}} ^ {2} \,}{\ displaystyle {\ mathcal {F}} = {\ frac {i} {2 \ pi}} {\ mathcal {A}} ^ {2} \ operatorname {\ ln} {\ frac {{\ mathcal {A}} ^ {2}} {\ Lambda ^ {2}}} + \ sum _ {k = 1} ^ { \ infty} {\ mathcal {F}} _ {k} {\ frac {\ Lambda ^ {4k}} {{\ mathcal {A}} ^ {4k}}} {\ mathcal {A}} ^ {2} \,}

(4)

Первый член представляет собой вычисление пертурбативного цикла, а второй - инстантон часть, где k обозначает фиксированные номера инстантонов. В теориях, калибровочные группы которых являются продуктами унитарных групп, F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}{\ mathcal {F}} можно точно вычислить, используя локализацию и методы предельной формы.

Из F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}{\ mathcal {F}} мы можем получить массу частиц BPS.

M ≈ | п а + м а D | {\ displaystyle M \ приблизительно | na + ma_ {D} | \,}M \ приблизительно | na + ma_D | \,

(5)

a D = d F da {\ displaystyle a_ {D} = {\ frac {d {\ mathcal {F) }}} {da}} \,}{\ displaystyle a_ {D} = {\ frac {d {\ mathcal {F}}} {da}} \,}

(6)

Один из способов интерпретации этого состоит в том, что эти переменные a {\ displaystyle a}a и его двойник могут быть выражены как периоды мероморфного дифференциала на римановой поверхности, называемые кривой Зайберга – Виттена.

Отношение к интегрируемым системам

Специальная кэлерова геометрия на пространстве модулей вакуума в теории Зайберга – Виттена может быть отождествлена ​​с геометрией основания сложной полностью интегрируемой системы. Полная фаза этой сложной полностью интегрируемой системы может быть отождествлена ​​с пространством модулей вакуума 4d теории, компактифицированным на окружности. См. систему Хитчина.

препотенциал Зайберга – Виттена через инстантонный счет

Используя суперсимметричные методы локализации, можно явно определить статистическую сумму инстантонов N = 2 {\ displaystyle {\ mathcal {N }} = 2}{\ mathcal {N}} = 2 супертеория Янга-Миллса. Затем препотенциал Зайберга-Виттена может быть извлечен с использованием подхода локализации Никиты Некрасова. Он возникает в пределе плоского пространства ε 1 {\ displaystyle \ varepsilon _ {1}}{\ displaystyle \ varepsilon _ {1}} , ε 2 → 0 {\ displaystyle \ varepsilon _ {2} \ to 0}{\ displaystyle \ varepsilon _ {2} \ to 0} , из статистическая сумма теории с учетом так называемого Ω {\ displaystyle \ Omega}\ Omega -фона. Последний является специфическим фоном четырехмерной N = 2 {\ displaystyle {\ mathcal {N}} = 2}{\ mathcal {N}} = 2 супергравитации. Формально его можно спроектировать, подняв супертеорию Янга – Миллса до шести измерений, затем компактифицируя на 2-торе, одновременно скручивая четырехмерное пространство-время вокруг двух несжимаемых циклов. Кроме того, фермионы скручиваются таким образом, чтобы получить ковариантно постоянные спиноры, порождающие непрерывные суперсимметрии. Два параметра ε 1 {\ displaystyle \ varepsilon _ {1}}{\ displaystyle \ varepsilon _ {1}} , ε 2 {\ displaystyle \ varepsilon _ {2}}{\ displaystyle \ varepsilon _ {2}} фона Ω {\ displaystyle \ Omega}\ Omega соответствуют углам вращения пространства-времени.

В Ω-фоне мы можем интегрировать все ненулевые режимы, поэтому интеграл по путям с граничным условием ϕ → a {\ displaystyle \ phi \ to a}{\ displaystyle \ phi \ to a} at x → ∞ {\ displaystyle x \ to \ infty }{\ displaystyle x \ to \ infty} может быть выражено как сумма по инстантонному числу произведений и соотношений фермионных и бозонных детерминантов, что дает так называемую статистическую сумму Некрасова. В пределе, когда ε 1 {\ Displaystyle \ varepsilon _ {1}}{\ displaystyle \ varepsilon _ {1}} , ε 2 {\ displaystyle \ varepsilon _ {2}}{\ displaystyle \ varepsilon _ {2}} подход 0, в этой сумме преобладает уникальная седловая точка. С другой стороны, когда ε 1 {\ displaystyle \ varepsilon _ {1}}{\ displaystyle \ varepsilon _ {1}} , ε 2 {\ displaystyle \ varepsilon _ {2}}{\ displaystyle \ varepsilon _ {2}} приближаются к 0,

Z ( a; ε 1, ε 2, Λ) знак равно ехр ⁡ (- 1 ε 1 ε 2 (F (a; Λ) + O (ε 1, ε 2))) {\ displaystyle Z (a; \ varepsilon _ {1 }, \ varepsilon _ {2}, \ Lambda) = \ exp \ left (- {\ frac {1} {\ varepsilon _ {1} \ varepsilon _ {2}}} \ left ({\ mathcal {F}} (a; \ Lambda) + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon _ {1}, \ varepsilon _ {2}) \ right) \ right) \,}{\ displaystyle Z (a; \ varepsilon _ {1}, \ varepsilon _ {2}, \ Lambda) = \ exp \ left (- {\ frac {1} {\ varepsilon _ {1} \ varepsilon _ {2}}} \ left ({\ mathcal {F}} (a; \ Lambda) + {\ mathcal {O}}) (\ varepsilon _ {1}, \ varepsilon _ {2}) \ right) \ right) \,}

(10)

верно.

См. Также

Ссылки

  • Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ. Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2.(см. Раздел 7.2)

Внешние ссылки

  • «Монопольная конденсация и удержание в N = 2 суперсимметричной теории Янга – Миллса». arXiv : hep-th / 9407087. Отсутствует или пусто |url=()
Последняя правка сделана 2021-06-07 09:00:57
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте