Теорема Шаудера о фиксированной точке

Теорема Шаудера о неподвижной точке является расширением от теоремы Брауэра о неподвижной точке с по топологические векторные пространства, которые могут иметь бесконечную размерность. Он утверждает, что если $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$является непустым выпуклым замкнутым подмножеством Хаусдорфского топологического векторного пространства $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$и $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- это непрерывноеотображение $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$в себя, так что $T\; (K)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (K)\}$содержится в компактном подмножестве $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, тогда $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$имеет фиксированную точку.

Следствие, называемое теоремой Шефера о фиксированной точке, особенно полезно для доказательства существования решений для нелинейные уравнения в частных производных. Теорема Шефера на самом деле является частным случаем далеко идущих результатов, что было доказано ранее Юлиушем Шаудером и Жаном Лере. Утверждение выглядит следующим образом:

Пусть $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$будет непрерывным и компактным отображением банахова пространства $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в себя, так что множество

$\{x\; \in \; X:\; x\; =\; \lambda \; T\; x\; для\; некоторого\; 0\; \le \; \lambda \; \le \; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\; \backslash \; in\; X:\; x\; =\; \backslash \; lambda\; Tx\; \{\backslash \; t\_dv\; \{\; для\; некоторых\}\}\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; lambda\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \}\}$

ограничено. Тогда $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$имеет фиксированную точку.

Содержание

• 1 История
• 2 См. Также
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

История

Теорема была выдвинута и доказана для частных случаев, таких как пространства Банаха., Юлиушем Шаудером в 1930 году. Его гипотеза для общего случая была опубликована в шотландской книге. В 1934 г. Тихонов доказал теорему для случая, когда K - компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства. Эта версия известна как теорема Шаудера – Тихонова о неподвижной точке . Б. В. Сингбал доказал теорему для более общего случая, когда K может быть некомпактным; доказательство можно найти в приложении к книге Бонсалла (см. ссылки).

См. Также

• Теоремы о неподвижной точке
• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Теорема Какутани о неподвижной точке

Ссылки

• Дж. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. 2 (1930), 171–180
• А. Тихонов, Эйн Фикспанкцац, Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776
• F. Ф. Бонсалл, Лекции по некоторым теоремам функционального анализа о неподвижной точке, Бомбей, 1962
• D. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. ISBN 3-540-41160-7.
• E. Зейдлер, Нелинейный функциональный анализ и его приложения, I - Теоремы о фиксированной точке

Внешние ссылки

• , Математическая энциклопедия, EMS Press, 2001 [1994]
• "Фиксированная точка Шаудера Теорема ". PlanetMath.с приложенным доказательством (для случая пространства Банаха).