Число Салема

Тип алгебраического целого числа График корней полинома Лемера с соответствующим числом Салема около x = 1,17628 в золоте.

В математике число Салема является действительным целое алгебраическое число α>1, все сопряженные корни имеют абсолютное значение не больше 1, и по крайней мере один из которых имеет абсолютное значение точно 1. Числа Салема представляют интерес в диофантовом приближении и гармоническом анализе. Они названы в честь Рафаэля Салема.

Свойства

Поскольку он имеет корень абсолютное значение 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть взаимно. Это означает, что 1 / α также является корнем, и что все остальные корни имеют абсолютное значение ровно один. Как следствие, α должен быть единицей в кольце целых алгебраических чисел, имеющей норму 1.

Каждое число Салема - это число Перрона (действительное алгебраическое число, большее единицы, все конъюгаты которого имеют меньшее абсолютное значение).

Связь с числами Пизо – Виджаярагавана

Наименьшее известное число Салема является наибольшим действительным корнем из полинома Лемера (названного в честь Деррика Генри Лемер )

$P\; (x)\; =\; x\; 10\; +\; x\; 9\; -\; x\; 7\; -\; x\; 6\; -\; x\; 5\; -\; x\; 4\; -\; x\; 3\; +\; x\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x)\; =\; x\; ^\; \{10\}\; +\; x\; ^\; \{9\}\; -x\; ^\; \{7\}\; -x\; ^\; \{6\}\; -x\; ^\; \{5\}\; -x\; ^\; \{4\}\; -x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; +\; 1,\}$

, что примерно равно x = 1.17628: предполагается, что это действительно наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера неприводимого нециклотомического многочлена.

Многочлен Лемера является множителем более короткого многочлена 12-й степени

$Q\; (x)\; =\; x\; 12\; -\; x\; 7\; -\; x\; 6\; -\; x\; 5\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (x)\; =\; x\; ^\; \{12\}\; -x\; ^\; \{7\}\; -x\; ^\; \{6\}\; -x\; ^\; \{5\}\; +1,\}$

, все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению

$x\; 630\; -\; 1\; =\; (x\; 315\; -\; 1)\; (x\; 210\; -\; 1)\; (x\; 126\; -\; 1)\; 2\; (x\; 90\; -\; 1)\; (x\; 3\; -\; 1)\; 3\; (x\; 2\; -\; 1)\; 5\; (x\; -\; 1)\; 3\; (x\; 35\; -\; 1)\; (x\; 15\; -\; 1)\; 2\; (x\; 14\; -\; 1)\; 2\; (x\; 5\; -\; 1)\; 6\; x\; 68\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{630\}\; -1\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(x\; ^\; \{315\}\; -1)\; (x\; ^\; \{210\}\; -1)\; (x\; ^\; \{126\}\; -1)\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{90\}\; -1)\; (x\; ^\; \{3\}\; -1)\; ^\; \{3\}\; (x\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{5\}\; (x-1)\; ^\; \{3\}\}\; \{(x\; ^\; \{35\}\; -1)\; (x\; ^\; \{15\}\; -1)\; ^\; \{2\; \}\; (x\; ^\; \{14\}\; -1)\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{5\}\; -1)\; ^\; \{6\}\; \backslash ,\; x\; ^\; \{68\}\}\}\}$

Числа Салема могут быть построены из Пизо –Номера Виджаярагавана. Напомним, наименьший из последних - это единственный действительный корень кубического многочлена,

$x\; 3\; -\; x\; -\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{3\}\; -x-1,\}$

, известный как номер пластика и примерно равен 1,324718. Это может быть использовано для генерации семейства чисел Салема, включая наименьшее из найденных на данный момент. Общий подход состоит в том, чтобы взять минимальный многочлен P (x) числа Пизо – Виджаярагхавана и его обратный многочлен , P * (x), и решить уравнение

$xn\; P\; (x)\; =\; \pm \; P\; \ast \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; P\; (x)\; =\; \backslash \; pm\; P\; ^\; \{*\}\; (x)\; \backslash ,\}$

для целого n выше границы. Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и игнорируя тривиальные множители, мы получим минимальный многочлен некоторых чисел Салема. Например, используя отрицательный случай приведенного выше,

$xn\; (x\; 3\; -\; x\; -\; 1)\; =\; -\; (x\; 3\; +\; x\; 2\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; (x\; ^\; \{3\}\; -x\; -1)\; =\; -\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; -1)\}$

тогда для n = 8 это множится как,

$(x\; -\; 1)\; (x\; 10\; +\; x\; 9\; -\; x\; 7\; -\; x\; 6\; -\; x\; 5\; -\; x\; 4\; -\; x\; 3\; +\; x\; +\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; (x\; ^\; \{10\}\; +\; x\; ^\; \{9\}\; -x\; ^\; \{7\}\; -x\; ^\; \{\; 6\}\; -x\; ^\; \{5\}\; -x\; ^\; \{4\}\; -x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; +\; 1)\; =\; 0\}$

где децика - многочлен Лемера. Использование большего числа n даст семейство с корнем, приближающимся к пластическому числу. Это можно лучше понять, взяв корень n-й степени из обеих сторон,

$x\; (x\; 3\; -\; x\; -\; 1)\; 1\; /\; n\; =\; \pm \; (x\; 3\; +\; x\; 2\; -\; 1)\; 1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (x\; ^\; \{\; 3\}\; -x-1)\; ^\; \{1\; /\; n\}\; =\; \backslash \; pm\; (x\; ^\; \{3\}\; +\; x\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{1\; /\; n\}\}$

так что чем выше n, тем ближе x решение x - x - 1 = 0. Если используется положительный случай, то x приближается к пластическому числу с противоположной стороны. Используя минимальный многочлен следующего наименьшего числа Пизо – Виджаярагхавана, получаем

$xn\; (x\; 4\; -\; x\; 3\; -\; 1)\; =\; -\; (x\; 4\; +\; x\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{n\}\; (x\; ^\; \{4\; \}\; -x\; ^\; \{3\}\; -1)\; =\; -\; (x\; ^\; \{4\}\; +\; x-1)\}$

который для n = 7 множит как,

$(x\; -\; 1)\; (x\; 10\; -\; x\; 6\; -\; x\; 5\; -\; x\; 4\; +\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (x-1)\; (x\; ^\; \{10\}\; -x\; ^\; \{6\}\; -x\; ^\; \{5\}\; -x\; ^\; \{4\}\; +1)\; =\; 0\}$

Децика, не созданная в предыдущем случае, имеет корень x = 1,216391... который является 5-м наименьшим известным числом Салема. Когда n → бесконечность, это семейство, в свою очередь, стремится к большему действительному корню из x - x - 1 = 0.

Ссылки

• Borwein, Peter (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел. CMS Книги по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001. Гл. 3.
• Boyd, David (2001) [1994], Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• M.J. Моссингхофф. "Малые числа Салема". Проверено 7 января 2016.
• Салем, Р. (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье. Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: Д. К. Хит и компания. Zbl 0126.07802.