Операция переноса r

Оператор переноса отличается от гомоморфизма переноса.

В математике оператор переноса кодирует информацию о повторяющейся карте и часто используется для изучения поведения динамических систем, статистической механики, квантового хаоса и фракталы. Во всех обычных случаях наибольшее собственное значение равно 1, а соответствующий собственный вектор является инвариантной мерой системы.

Оператор переноса иногда называют оператором Рюэля после Дэвида Рюэля или оператором Рюэля-Перрона-Фробениуса в отношении применимость теоремы Перрона – Фробениуса к определению собственных значений оператора.

• 1 Определение
• 2 Приложения
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Итерируемая функция, которую необходимо изучить, представляет собой карту $f:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; rightarrow\; X\}$для произвольного набора $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

Оператор переноса определяется как оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$, действующий в пространстве функций $\{\Phi :\; X\; \to \; C\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; Phi\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; \backslash \}\}$как

$(L\; \Phi )\; (x)\; =\; \sum \; y\; \in \; F\; -\; 1\; (x)\; g\; (y)\; \Phi \; (y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \backslash \; Phi)\; (\; x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{y\; \backslash \; in\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)\}\; g\; (y)\; \backslash \; Phi\; (y)\}$

где $g:\; X\; \to \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$- вспомогательная функция оценки. Когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет определитель якобиана $|\; J\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; J\; |\}$, тогда $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$обычно принимается равным $g\; =\; 1\; /\; |\; J\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; 1\; /\; |\; J\; |\}$.

Можно показать, что приведенное выше определение оператора переноса является пределом набора точек теоретико-меры pushforward для g: по сути, Оператор переноса - это функтор прямого изображения в категории измеримых пространств. Левым сопряженным оператором Фробениуса – Перрона является оператор Купмана или оператор композиции. Общая настройка обеспечивается функциональным исчислением Бореля.

Как правило, оператор переноса обычно можно интерпретировать как (левый-) оператор сдвига, действующий на пространство сдвига.. Наиболее часто исследуются сдвиги конечного типа. Сопряжение с оператором передачи также обычно интерпретируется как сдвиг вправо. Особенно хорошо изученные сдвиги вправо включают в себя оператор Якоби и матрицу Хессенберга, обе из которых генерируют системы ортогональных многочленов посредством сдвига вправо.

В то время как итерация функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$естественным образом приводит к изучению орбит точек X при итерации ( исследование динамики точки ) оператор переноса определяет, как (гладкие) карты развиваются при итерации. Таким образом, операторы переноса обычно появляются в задачах физики, таких как квантовый хаос и статистическая механика, где внимание сосредоточено на временной эволюции гладких функций. В свою очередь, это имеет медицинское применение в рациональном дизайне лекарств в области молекулярной динамики.

Часто бывает, что оператор переноса положительный, имеет дискретные положительные действительные значения собственные значения, причем наибольшее собственное значение равно единице. По этой причине оператор переноса иногда называют оператором Фробениуса – Перрона.

Собственные функции оператора переноса обычно являются фракталами. Когда логарифм передаточного оператора соответствует квантовому гамильтониану, собственные значения обычно будут очень близко расположены, и, таким образом, даже очень узкий и тщательно подобранный ансамбль квантовых состояний будет охватывать большое количество очень разных фрактальных собственных состояний с ненулевой поддержкой по всему объему. Это может быть использовано для объяснения многих результатов классической статистической механики, включая необратимость времени и увеличение энтропии.

Оператор переноса карты Бернулли $b\; (x)\; =\; 2\; x\; -\; \lfloor \; 2\; x\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (x)\; =\; 2x-\; \backslash \; lfloor\; 2x\; \backslash \; rfloor\}$точно решаемо и является классическим примером детерминированного хаоса ; дискретные собственные значения соответствуют многочленам Бернулли . Этот оператор также имеет непрерывный спектр, состоящий из дзета-функции Гурвица.

Оператор переноса карты Гаусса $h\; (x)\; =\; 1\; /\; x\; -\; \lfloor \; 1\; /\; x\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\; =\; 1\; /\; x-\; \backslash \; lfloor\; 1\; /\; x\; \backslash \; rfloor\}$называется оператором Гаусса – Кузьмина – Вирсинга (GKW) и из-за его чрезвычайной сложности не решен полностью. Теория GKW восходит к гипотезе Гаусса о непрерывных дробях и тесно связана с дзета-функцией Римана.

• Схема Бернулли
• Сдвиг конечного типа
• Теорема Крейна – Рутмана

• Пьер Гаспар (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика. Cambridge University Press.
• Дэвид Рюэлль (1978). Термодинамический формализм: математические структуры классической равновесной статистической механики. Эддисон-Уэсли, Ридинг. ISBN 0-201-13504-3.
• Дитер Х. Майер (1978). Оператор переноса Рюэля-Араки в классической статистической механике. Springer-Verlag. ISBN 0-387-09990-5.
• Дэвид Рюэлль, Динамические дзета-функции и операторы переноса, (2002) Препринт Института высоких исследований научных исследований IHES / M / 02 / 66. (Предоставляет вводный обзор).
• Майкл С. Макки, Стрела времени, Истоки термодинамического поведения, Springer-Verlag, 1992