Теорема Перрона - Фробениуса

Вещественная квадратная матрица с положительными элементами имеет уникальное наибольшее действительное собственное значение...

В линейная алгебра, теорема Перрона - Фробениуса, доказанная Оскаром Перроном (1907) и Георгом Фробениусом (1912), утверждает, что вещественная квадратная матрица с положительными элементами имеет уникальное наибольшее действительное значение собственное значение и что соответствующее собственный вектор может быть выбран так, чтобы иметь строго положительные компоненты, а также утверждает аналогичное утверждение некоторых классов неотрицательных матриц. Эта теорема имеет важное значение приложения к теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова ); к теории динамических систем (подсдвиги конечного типа ); к экономике (теорема Окисио, условие Хокинса - Саймона ); к демографии (модель распределения населения Лесли ); в социальных сетях (процесс обучения DeGroot ), в поисковые системы Интернета и даже в рейтинг футбольных команд. Первым обсуждает порядок игроков в турнирах с использованием собственных векторов Перрона - Фробениуса Эдмунд Ландау.

Содержание

• 1 Утверждение
  • 1.1 Положительные матрицы
  • 1.2 Неотрицательные матрицы
    • 1.2.1 Классификация матриц
    • 1.2.2 Теорема Перрона - Фробениуса для неприводимых неотрицательных матриц
  • 1.3 Дополнительные свойства
• 2 Приложения
  • 2.1 Неотрицательные матрицы
  • 2.2 Стохастические матрицы
  • 2.3 Алгебраический граф теория теории
  • 2.4 Конечные цепи Маркова
  • 2.5 Компактные операторы
• 3 Методы доказательства
  • 3.1 Корень Перрона - строго максимальное собственное значение для положительных (и примитивных) матриц
    • 3.1.1 Доказательство для положительных матриц
    • 3.1.2 Лемма
  • 3.2 Степенный метод и положительная собственная пара
  • 3.3 Краткость один
  • 3.4 Отсутствие других неотрицательных собственных векторов
  • 3.5 Формула Коллатца - Виландта
  • 3.6 Проекция Перрона как предел: A / r
  • 3.7 Неравенства дл дл я собственного значения Перрона - Фробениуса
  • 3.8 Дополнительные доказательства
    • 3.8.1 Проекция Перрона
    • 3.8.2 Периферийная проекция
    • 3.8.3 Цикличность
• 4 Контрпримеры
• 5 Терминология
• 6 См.. Также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
  • 8.1 Оригинальные статьи
  • 8.2 Утверждение

    Пусть positiveи в качестве неотрицательный соответственно описывают матрицы исключительно положительными действительными числами в элементах и ​​матриц. с исключительно неотрицательными действительными числами в качестве элементов. собственные значения реальная квадратная матрица A - это комплексные числа, которые составляют спектр. экспоненциальный рост степеней матрицы A при k → ∞ управляется значение A с наибольшим абсолютным значением (модулем ). Теорема неотъемлемых свойств главного значения и соответствующих собственных векторов, когда A --рицательная вещественная квадратная матрица. Первые результаты были связаны с Оскаром Перроном (1907) и касались положительных матриц. Позже Георг Фробениус (1912) нашел их распространение на классы неотрицательных матриц.

    Положительные матрицы

    Пусть $A\; =\; (aij)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; (a\_\; \{ij\})\}$будет $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$положительная матрица: $aij>0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{ij\}>0\}$для $1\; \le \; i,\; j\; \le \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash \; leq\; i,\; j\; \backslash \; leq\; n\}$. Тогда справедливы следующие утверждения.

    1. Существует положительное действительное число r, называемое корнем Перрона или собственным уровнем Перрона - Фробениуса (также называется ведущим величиной положения или доминантным определенным значением ), так что r области значения A и любого другого значения длины λ (возможно, комплексным ) в абсолютное значение строго меньше, чем r, | λ | спектральный радиус $\rho \; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (A)\}$равно г. Если матричные коэффициенты являются алгебраическими, это означает, что собственное значение - это Перронное число.
    2. Собственное значение Перрона - Фробениуса простое: r является основным корнем типического многочлена от A. Следовательно, собственное подпространство, связанное с r, одномерно. (То же самое верно для левого собственного подпространства, т. Е. Собственного подпространства для A, транспонированной A.)
    3. Существует собственное v = (v 1,..., v n) оператора A с числом r таким, что все компоненты v положительны: A v = rv, v i>0 для 1 ≤ i ≤ n. (Соответственно, существует положительный левый собственный вектор w: w A = rw, w i>0.) Он известен в литературе во многих вариантах как Вектор Перрона, Собственный вектор Перрона, Собственный вектор Перрона-Фробениуса, ведущий собственный вектор или доминантный собственный вектор .
    4. Других положительных (тем более неотрицательных) собственных векторов, кроме положительных, нет кратные v (соответственно, левые собственные конструкции, кроме w), т. е. все остальные конструктивные элементы должны иметь хотя бы один отрицательный компонент.
    5. $lim\; k\; \to \; \infty \; A\; k\; /\; rk\; =\; vw\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{k\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; A\; ^\; \{k\}\; /\; r\; ^\; \{k\}\; =\; vw\; ^\; \{T\}\}$, где левый и правый собственный дизайн для A нормированы так, что wv = 1. Кроме того, матрица vw - это проекция на собственное подпространство, соответствующее r. Эта проекция называется проекцией Перрона .
    6. Формула Коллатца –Виландта : для всех неотрицательных ненулевых векторов x пусть f (x) будет минимальным размером [Ax] i / x i, взятый по всем тем i таким, что x i ≠ 0. Тогда f вещественная функция, максимум по всем не -отрицательные ненулевые стандарты x надлежащего уровня Перрона - Фробениуса.
    7. Формула «Min-max» Коллатца - Виландта принимает форму, аналогичную приведенной выше: для всех строго положительных векторов x пусть g (x) - максимальное значение [Ax] i / x i, взятое по i. Тогда g - вещественная функция, минимум которой по всем строго положительным вещественным веществом x является собственное Перрона - Фробениуса.
    8. Формула Биркгофа - Варга : Пусть x и y - строго положительные рекомендации. Тогда $r\; =\; sup\; x>0\; inf\; y>0\; y\; \top \; A\; xy\; \top \; x\; =\; inf\; x>0\; sup\; y>0\; y\; \top \; A\; xy\; \top \; x\; =\; inf\; x>0\; sup\; y>0\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; nxi\; A\; ijyj\; /\; \sum \; i\; =\; 1\; nyixi.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{x>0\}\; \backslash \; inf\; \_\; \{y>0\}\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{\backslash \; top\}\; Ax\}\; \{y\; ^\; \{\backslash \; top\}\; x\}\}\; =\; \backslash \; inf\; \_\; \{x>0\}\; \backslash \; sup\; \_\; \{y>0\}\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{\backslash \; top\}\; Ax\}\; \{y\; ^\; \{\backslash \; top\}\; x\}\}\; =\; \backslash \; inf\; \_\; \{x>0\}\; \backslash \; sup\; \_\; \{y>0\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; x\_\; \{i\}\; A\_\; \{ij\}\; y\_\; \{j\}\; /\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; y\_\; \{i\}\; x\_\; \{i\}.\}$
    9. Донскер - Варадхан - Тогда Варадхан - <>Формула Фридланда : Пусть p - вектор вероятности, а x - строго положительный вектор. $r\; =\; sup\; p\; inf\; x>0\; \sum \; i\; =\; 1\; npi\; [A\; x\; ]\; i\; /\; xi.\; \{\backslash \; Displaystyle\; r\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{p\}\; \backslash \; inf\; \_\; \{x>0\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; p\_\; \{i\}\; [Ax]\; \_\; \{i\}\; /\; x\_\; \{\; i\}.\}$
    10. Формула Фидлера : $r\; =\; sup\; z>0\; inf\; x>0,\; y>0,\; x\; \circ \; y\; =\; zy\; \top \; A\; xy\; \top \; x\; =\; sup\; z>0\; inf\; x>0,\; y>0,\; x\; \circ \; y\; =\; z\; \sum \; i,\; j\; =\; 1\; nxi\; A\; ijyj\; /\; \sum \; i\; =\; 1\; nyixi.\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{z>0\}\; \backslash \; \backslash \; inf\; \_\; \{x>0,\; \backslash \; y>0,\; \backslash \; x\; \backslash \; circ\; y\; =\; z\}\; \{\backslash \; frac\; \{y\; ^\; \{\backslash \; top\}\; Ax\}\; \{y\; ^\; \{\backslash \; top\}\; x\}\}\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{z>0\}\; \backslash \; \backslash \; inf\; \_\; \{x>0,\; \backslash \; y>0,\; \backslash \; x\; \backslash \; circ\; y\; =\; z\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\; =\; 1\}\; ^\; \{\; n\}\; x\_\; \{i\}\; A\_\; \{ij\}\; y\_\; \{j\}\; /\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; y\_\; \{i\}\; x\_\; \{i\}.\}$
    11. Собственное значение Перрона - Фробениуса удовлетворяет неравенствам

    $min\; i\; \sum \; jaij\; \le \; r\; \le \; max\; i\; \sum \; jaij.\; \{\backslash \; displaystyle\}\; \backslash \; j\; min\; \_\; sum.\; \{\backslash \; displaystyle\}\; \backslash \; j\; min\; \_\; sum.\; \}\; a\_\; \{ij\}\; \backslash \; leq\; r\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; \_\; \{i\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; a\_\; \{ij\}.\}$

    Все эти свойства выходят за рамки строго положительных матриц до примитивных матриц ( см. Ниже). Факты 1-7 можно найт и в Мейере глава 8 утверждает 8.2.11–15 стр. 667 и упражнениях 8.2.5,7,9 стр. 668–669.

    Левый и правый построенный w и v таковы, что времена нормированы так, чтобы сумма их компонентов была равна 1; в этом случае их иногда называют стохастическими собственными руками . Как $w\; T\; v\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; ^\; \{T\}\; v\; =\; 1\}$.

    неотрицательные матрицы

    Имеется расширение матриц. с неотрицательными элементами. Так как любая неотрицательная матрица может быть получена как предел положительных матриц, получается существование собственного вектора с неотрицательными компонентами; соответствующее собственное значение будет неотрицательным и больше или равно по модулю всем остальным собственным значениям. Однако для <пример294>A = (0 1 1 0) {\ displaystyle A = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {smallmatrix}} \ right)}максимальное собственное значение r = 1 имеет то же абсолютное значение, что и другое собственное значение -1; а для $A\; =\; (0\; 1\; 0\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right)\}$, максимальное собственное значение r = 0, не является основным корнем характеристического полинома, и соответствующий собственный вектор (1, 0) не является строго положительным.

    Однако Фробениус обнаружил особый подкласс неотрицательных матриц - неприводимых матриц, возможно нетривиальное обобщение. Для таких матрицы, хотя собственные значения, достигают абсолютного значения, их структура находится под контролем: они имеют вид $\omega \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; r\}$, где r - действительное строго положительное собственное значение, а $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$проходит через комплексные корни hth из 1 для некоторого положительного целого числа h, называемого периодом матрицы. Собственный вектор, соответствующий, имеет строго положительные компоненты (отличие от общего случая неотрицательных матриц, где компоненты только неотрицательны). Также все такие собственные значения являются простыми корнями характеристического многочлена. Другие свойства предложения ниже.

    Классификация матриц

    Пусть A - квадратная матрица (не обязательно положительная или даже действительная). Матрица A неприводима, выполняется любое из следующих эквивалентных свойств.

    Определение 1: A не имеет нетривиальных инвариантных координатных подпространств. Здесь нетривиальное координатное подпространство означает линейное подпространство , натянутое на любое собственное подмножество базисных векторов $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$. Более точно, для любого линейного подпространства, натянутого на стандартные базисные стандарты e i1,..., e ik, 0 < k < n its image under the action of A is not contained in the same subspace.

    Эквивалентно, представление группы из $(R,\; +)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\},\; +)\}$на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$задано $t\; \mapsto \; exp\; \; (t\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; exp\; (tA)\}$не имеет нетривиальных инвариантных координатных подпространств. (Для сравнения, это было бы неприводимым представлением, если бы вообще не было нетривиальных инвариантных подпространств, не только с учетом координатных подпространств.)

    Определение 2: Не может быть сопряжен в блок верхняя треугольная форма с помощью матрицы перестановок P:

    $PAP\; -\; 1\; \ne \; (EF\; 0\; G),\; \{\backslash \; displaystyle\; PAP\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; EF\; \backslash \backslash \; 0\; G\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

    где E и G - нетривиальные (т.е. размером больше нуля) квадратные матрицы.

    Если A неотрицательно, имеет другое определение:

    Определение 3: Можно связать с матрицей A некий ориентированный граф GA. Он имеет ровно n вершин, где n - размер A, и есть ребро от вершины i до вершины j именно тогда, когда A ij>0. Тогда матрица A неприводима тогда и только тогда, когда связанная с ней граф G A является Матрица приводима, если она не является неприводимой.

    Матрица A является примитивной, если она неотрицательна и ее степень m положительна для некоторого натурального числа m (т.е. все элементы матрицы A положительны).

    Пусть А неотрицательно. Зафиксируйте индекс i и определите период индекс i как наибольший общий делитель всех натуральных чисел m, что (A) ii>0. Когда A неприводима, каждый период одинаков и называется периодом A. Фактически, когда A неприводимо, период может быть определен как наибольший общий делитель замкнутые границы пути в G A (см. Кухни) на стр. 16). Период также называется индексом импримитивности (стр. 674 Мейера) или порядком цикличности. Если период равен 1, A является апериодическим . Можно доказать, что примитивные матрицы - это то же самое, что и неприводимые апериодические неотрицательные матрицы.

    Все утверждение теоремы Перрона - Фробениуса для положительных матриц остаются верными для примитивных матриц. Те же справедливы и для неотрицательной неприводимой матрицы, за исключением того, что она может иметь несколько значений. Фактически количество таких значений равно периоду.

    Результаты для неотрицательных матриц были впервые получены Фробениусом в 1912 году.

    Теорема Перрона - Фробениуса для неприводимых неотрицательных матриц

    Пусть A - неприводимая неотрицательная матрица. Матрица размера n × n с периодом h и спектральным радиусом ρ (A) = r. Тогда верны следующие утверждения.

    1. Число r - положительное действительное и собственное значение матрицы A, называемое собственное число Перрона - Фробениуса .
    2. Собственное значение Перрона - Фробениуса r простое. Правое и левое собственные подпространства, связанные с r, одномерны.
    3. A имеет правый собственный вектор v с соответствующим значением r, все компоненты которого положительны.
    4. Аналогично, A левый собственный вектор с собственным значением r, все компоненты которого положительны.
    5. Единственные собственные компоненты положительны, связанные с определением r.
    6. Матрица A имеет ровно h (где h - период ) комплексные собственные значения с модулем r. Каждый из них является основным корнем характерного особенности и является произведением его на h-й корень из единицы.
    7. . Пусть ω = 2π / h. Тогда матрица A аналогична матрице eA, следовательно, матрица спектра A инвариантен относительно умножения на e (соответствующий повороту комплексной плоскости на угол ω).
    8. Если h>1, то существует матрица перестановок P такая, что

    $PAP\; -\; 1\; =\; (0\; A\; 1\; 0\; 0\dots \; 0\; 0\; 0\; A\; 2\; 0\dots \; 0\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; 0\; 0\; 0\; 0\dots \; A\; h\; -\; 1\; A\; h\; 0\; 0\; 0\dots \; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; PAP\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; A\_\; \{1\}\; 0\; 0\; \backslash \; ldots\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; A\_\; \{2\}\; 0\; \backslash \; ldots\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; ldots\; A\_\; \{h-1\}\; \backslash \backslash \; A\_\; \{\; h\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; ldots\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

    где блоки вдоль главной диагонали представляют собой нулевые квадратные матрицы.

    9. Формула Коллатца –Виландта : для всех неотрицательных ненулевых векторов x пусть f (x) будет минимальным значением [Ax] i / x i взято по всем таким образом, что x i ≠ 0. Тогда f вещественной функцией, максимум является единиц величиной Перрона - Фробениуса.

    10. Собственное значение Перрона - Фробениуса удовлетворяет неравенствам

    $min\; i\; \sum \; j\; a\; i\; j\; \le \; r\; \le \; max\; i\; \sum \; j\; a\; i\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; min\; \_\; \{i\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; a\_\; \{ij\}\; \backslash \; leq\; r\; \backslash \; leq\; \backslash \; max\; \_\; \{i\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; a\_\; \{ij\}.\}$

    Пример $A\; Знак\; равно\; (0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 1\; 1\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\; \}\; \backslash \; right)\}$показывает, что (квадратные) нулевые матрицы по диагонали могут иметь разные размеры, блоки A j не обязательно должны быть квадратными, и h не обязательно делить n.

    Дополнительные свойства

    Пусть A - неприводимая неотрицательная матрица, тогда:

    1. (I + A) - положительная матрица. (Мейер п. 8.3.5 с. 672 ).
    2. Теорема Виландта. Если | B |
    3. Если некоторая степень A приводима, то она полностью приводима, т.е. для некоторой матрицы перестановок P она верно, что: $PA\; q\; P\; -\; 1\; =\; (A\; 1\; 0\; 0\dots \; 0\; 0\; A\; 2\; 0\dots \; 0\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; 0\; 0\; 0\dots \; A\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; PA\; ^\; \{q\}\; P\; ^\; \{-\; 1\; \}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; A\_\; \{1\}\; 0\; 0\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; A\_\; \{2\}\; 0\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; dots\; A\_\; \{d\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$, где A i - неприводимые матрицы, имеющие одинаковое максимальное собственное значение. эти матриц d является наибольшим общим делителем q и h, где h равно период A.
    4. Если c (x) = x + c k1x + c k2x +... + c ksx является характерным многочленом A, в котором только не -перечисляются нулевые члены, тогда период A равен наибольшему общему делителю k 1, k 2,..., k s.
    5. Cesàro средние значения : $lim\; k\; \to \; \infty \; 1\; /\; k\; \sum \; i\; =\; 0,...,\; k\; A\; i\; /\; ri\; =\; (vw\; T),\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{k\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; 1\; /\; k\; \backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 0,...,\; k\}\; A\; ^\; \{i\}\; /\; r\; ^\; \{i\}\; =\; (vw\; ^\; \{T\}),\}$где левый и правый построенный для A нормированы так, что wv = 1. Кроме того, матрица vw является спектральной проекцией, проекцией на r, проекцию Перрона.
    6. Пусть r - собственное значение Перрона - Фробениуса, тогда сопряженная матрица для (rA) положительна.
    7. Если A имеет хотя бы один ненулевой диагональный элемент, то A примитивна.
    8. Если 0 ≤ A < B, then rA≤ r B. Более того, если B неприводима, то неравенство строгое: r A< rB.

    Матрица A является примитивен при условии, что он неотрицателен и A положителен для некоторого m, и, следовательно, A положительно для всех k ≥ m. Чтобы проверить примитивность, нужно определить, насколько большим может быть минимальное такое m, в зависимости от размера A:

    • Если A - неотрицательная примитивная матрица размера n, то A положительна. Более того, это наилучший возможный результат, поскольку для матрицы M ниже степень M не является положительной для любого k < n − 2n + 2, since (M)11 = 0.

    $M\; =\; (0\; 1\; 0\; 0\; \cdots \; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; \cdots \; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; \cdots \; 0\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; 0\; 0\; 0\; 0\; \cdots \; 1\; 1\; 1\; 0\; 0\; \cdots \; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

    Приложения

    На тему неотрицательных матриц было написано множество книг, и теория Перрона – Фробениуса неизменно является центральной особенностью. Следующие ниже примеры, приведенные ниже, лишь поверхностно касаются ее обширной области применения.

    Неотрицательные матрицы

    Теорема Перрона – Фробениуса не применяется непосредственно к неотрицательным матрицам. Тем не менее, любая приводимая квадратная матрица A может быть записана в виде верхнетреугольного блока (известная как нормальная форма приводимой матрицы )

    PAP = $(B\; 1\; \ast \; \ast \; \cdots \; \ast \; 0\; B\; 2\; \ast \; \cdots \; \ast \; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; 0\; 0\; 0\; \cdots \; \ast \; 0\; 0\; 0\; \cdots \; B\; h)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; B\_\; \{1\}\; *\; *\; \backslash \; cdots\; *\; \backslash \backslash \; 0\; B\_\; \{2\}\; *\; \backslash \; cdots\; *\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; *\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; B\_\; \{h\}\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right)\}$

    где P - это матрица перестановок, и каждый B i является квадратной матрицей, которая либо неприводима, либо равна нулю. Теперь, если A неотрицательна, то также и каждый блок PAP, более того, спектр A является просто объединением спектры B i.

    Обратимость A также может быть изучена. Инверсия PAP (если она существует) должна иметь диагональные блоки формы B i, поэтому, если любой B i не является обратимым, то ни PAP, ни A. И наоборот, пусть D будет блочно-диагональной матрицей, соответств ующей PAP, другими словами PAP со звездочками, обнуленными. Если каждый B i обратим, то D тоже. а также D (PAP) равно единице плюс нильпотентная матрица. Но такая матрица всегда обратима (если N = 0, обратное к 1 - N равно 1 + N + N +... + N), поэтому PAP и A обратимы.

    Следовательно, многие из спектральных свойств A можно вывести, применяя теорему к неприводимому B i. Например, корень Перрона - это максимум ρ (B i). Хотя все еще будут собственные векторы с неотрицательными компонентами, вполне возможно, что ни один из них не будет положительным.

    Стохастические матрицы

    Строка (столбец) стохастическая матрица - это квадратная матрица, каждая из строк (столбцов) которой состоит из неотрицательных действительных чисел, сумма которых равна единице. Теорема не может быть применена непосредственно к таким матрицам, потому что они не обязательно должны быть неприводимыми.

    Если A является стохастическим по строкам, то вектор-столбец с каждой записью 1 является собственным вектором, соответствующим собственному значению 1, которое также является ρ (A) согласно замечанию выше. Это может быть не единственное собственное значение на единичной окружности: и соответствующее собственное подпространство может быть многомерным. Если A является стохастическим по строкам и неприводимым, то проекция Перрона также является стохастической по строкам и все ее строки равны.

    Алгебраическая теория графов

    Эта теорема находит особое применение в алгебраической теории графов. «Базовый граф» неотрицательной n-квадратной матрицы - это граф с вершинами, пронумерованными 1,..., n и дугой ij тогда и только тогда, когда A ij ≠ 0. Если базовый граф такой матрицы матрица сильно связна, то матрица неприводима, и поэтому теорема применима. В частности, матрица смежности сильно связного графа неприводима.

    Конечные цепи Маркова

    Теорема имеет естественную интерпретацию в теории конечных цепей Маркова (где это теоретико-матричный эквивалент сходимости неприводимой конечной цепи Маркова к ее стационарному распределению, сформулированный в терминах матрицы переходов цепи; см., например, статья о субсдвиге конечного типа ).

    Компактные операторы

    В более общем смысле его можно распространить на случай неотрицательных компактных операторов, которые во многом напоминают конечномерные матрицы. Их обычно изучают в физике под названием операторов переноса, а иногда и операторов Рюэля – Перрона – Фробениуса (после Дэвида Руэля ). В этом случае главное собственное значение соответствует термодинамическому равновесию динамической системы, а меньшие собственные значения - режимам распада системы, которая не находится в равновесии. Таким образом, теория предлагает способ обнаружить стрелу времени в том, что в противном случае могло бы показаться обратимым, детерминированным динамическим процессом, если рассматривать его с точки зрения топологии множества точек.

    Методы доказательства

    Общей чертой многих доказательств является теорема Брауэра о неподвижной точке. Другой популярный метод - это Wielandt (1950). Он использовал описанную выше формулу Коллатца -Виландта, чтобы расширить и прояснить работу Фробениуса. Другое доказательство основано на спектральной теории, часть аргументов которой заимствована.

    Корень Перрона является строго максимальным собственным значением для положительных (и примитивных) матриц

    Если A является положительной (или, в более общем смысле, примитивной) матрицей, то существует действительное положительное собственное значение r (Перрон – Фробениус собственное значение или корень Перрона), который строго больше по модулю, чем все другие собственные значения, следовательно, r - это спектральный радиус числа A.

    Это утверждение не выполняется для общих неотрицательных неприводимых матриц, которые имеют h собственных значений с тем же абсолютным собственным значением, что и r, где h - период A.

    Доказательство для положительных матриц

    Пусть A - положительная матрица, предположим, что ее спектральный радиус ρ (A) = 1 (иначе рассмотрим A / ρ (A)). Следовательно, существует собственное значение λ на единичной окружности, а все остальные собственные значения меньше или равны 1 по модулю. Предположим, что на единичную окружность также попадает другое собственное значение λ ≠ 1. Тогда существует натуральное число m такое, что A - положительная матрица, а действительная часть λ отрицательна. Пусть ε - половина наименьшего диагонального элемента матрицы A, и положим T = A - εI, которая является еще одной положительной матрицей. Более того, если Ax = λx, то Ax = λx, таким образом, λ - ε является собственным значением T. Из-за выбора m эта точка лежит вне единичного круга, следовательно, ρ (T)>1. С другой стороны, все элементы в T положительны и меньше или равны элементам в A, поэтому по формуле Гельфанда ρ (T) ≤ ρ (A) ≤ ρ (A) = 1. Это противоречие означает, что λ = 1 и других собственных значений на единичной окружности быть не может.

    Абсолютно те же аргументы могут быть применены к случаю примитивных матриц; нам просто нужно упомянуть следующую простую лемму, разъясняющую свойства примитивных матриц.

    Лемма

    Для неотрицательного A, предположим, что существует m такое, что A положительно, тогда все A, A, A,... положительны.

    A = AA, поэтому он может иметь нулевой элемент только в том случае, если некоторая строка A полностью равна нулю, но в этом случае та же строка A будет нулем.

    Применяя те же аргументы, что и выше для примитивных матриц, докажите основное утверждение.

    Степенной метод и положительная собственная пара

    Для положительной (или, в более общем смысле, неприводимой неотрицательной) матрицы A доминирующий собственный вектор является действительным и строго положительным (для не- отрицательный A, соответственно неотрицательный.)

    Это может быть установлено с помощью метода степени, который утверждает, что для достаточно общей (в смысле ниже) матрицы A последовательность векторов b k + 1 = Ab k / | Ab k | сходится к собственному вектору с максимальным собственным значением. (Начальный вектор b 0 может быть выбран произвольно, за исключением некоторой установки нуля меры). Начиная с неотрицательного вектора b 0, получается последовательность неотрицательных векторов b k. Следовательно, предельный вектор также неотрицателен. По степенному методу этот предельный вектор является доминирующим собственным вектором для A, что доказывает утверждение. Соответствующее собственное значение неотрицательно.

    Для доказательства требуются два дополнительных аргумента. Во-первых, степенной метод сходится для матриц, у которых нет нескольких собственных значений, имеющих то же абсолютное значение, что и максимальное. Аргумент предыдущего раздела гарантирует это.

    Во-вторых, чтобы гарантировать строгую положительность всех компонент собственного вектора для случая неприводимых матриц. Это следует из следующего факта, представляющего самостоятельный интерес:

    Лемма: учитывая положительную (или, в более общем смысле, неприводимую неотрицательную) матрицу A и v как любой неотрицательный собственный вектор для A, тогда она обязательно строго положительна и соответствующее собственное значение также строго положительно.

    Доказательство. Одно из определений неприводимости неотрицательных матриц состоит в том, что для всех индексов i, j существует m такое, что (A) ij строго положительно. Для неотрицательного собственного вектора v и того, что по крайней мере один из его компонентов утверждает, что j-й строго положителен, соответствующее собственное значение строго положительно, действительно, если n такое, что (A) ii>0, отсюда: rv i = Av i ≥ (A) iivi>0. Следовательно, r строго положительно. Собственный вектор - строгая положительность. Тогда для m, такого что (A) ij>0, следовательно: rv j = (Av) j ≥ (A) ijvi>0, следовательно, v j строго положительно, т. е. собственный вектор строго положителен.

    Кратность один

    Этот раздел доказывает, что собственное значение Перрона – Фробениуса является простым корнем характеристического полинома матрицы. Следовательно, собственное подпространство, связанное с собственным значением Перрона – Фробениуса r, одномерно. Аргументы здесь близки к аргументам Мейера.

    Дан строго положительный собственный вектор v, соответствующий r, и другой собственный вектор w с тем же собственным значением. (Векторы v и w могут быть выбраны действительными, поскольку оба A и r действительны, поэтому нулевое пространство Ar имеет базис, состоящий из действительных векторов.) Предполагая, что хотя бы один из компонентов w положителен (в противном случае умножьте w на −1). Если задано максимально возможное α такое, что u = v- α w неотрицательно, то одна из компонент u равна нулю, иначе α не является максимальным. Вектор u - это собственный вектор. Оно неотрицательно, поэтому по лемме, описанной в предыдущем разделе, неотрицательность подразумевает строгую положительность для любого собственного вектора. С другой стороны, как указано выше, по крайней мере, одна компонента u равна нулю. Противоречие означает, что w не существует.

    Случай: нет жордановых ячеек, соответствующих собственному значению Перрона – Фробениуса r и всем другим собственным значениям, имеющим такое же абсолютное значение.

    Если есть жорданова клетка, то бесконечная норма (A / r) ∞ стремится к бесконечности при k → ∞, но это противоречит существованию положительный собственный вектор.

    Дано r = 1 или A / r. Пусть v - строго положительный собственный вектор Перрона – Фробениуса, поэтому Av = v, тогда:

    $\Vert \; v\; \Vert \; \infty \; =\; \Vert \; A\; kv\; \Vert \; \infty \; \ge \; \Vert \; A\; k\; \Vert \; \infty \; min\; i\; (vi),\; \Rightarrow \; \Vert \; A\; k\; \Vert \; \infty \; \le \; \Vert \; V\; \Vert \; /\; мин\; я\; (vi)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; v\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; |\; A\; ^\; \{k\}\; v\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; |\; A\; ^\; \{k\}\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; min\; \_\; \{i\}\; (v\_\; \{i\}),\; ~~\; \backslash \; Rightarrow\; ~~\; \backslash \; |\; A\; ^\; \{k\}\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; v\; \backslash \; |\; /\; \backslash \; min\; \_\; \{i\; \}\; (v\_\; \{i\})\}$Итак, A ∞ ограничено для всех k. Это дает еще одно доказательство того, что не существует собственных значений, имеющих большее абсолютное значение, чем значение Перрона – Фробениуса. Это также противоречит существованию жордановой клетки для любого собственного значения, которое имеет абсолютное значение, равное 1 (в частности, для Перрона – Фробениуса), поскольку существование жордановой клетки означает, что A ∞ неограниченно. Для матрицы два на два:

    $J\; k\; =\; (\lambda \; 1\; 0\; \lambda )\; k\; =\; (\lambda \; kk\; \lambda \; k\; -\; 1\; 0\; \lambda \; k),\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; lambda\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; lambda\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{k\}\; k\; \backslash \; lambda\; ^\; \{k-1\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; lambda\; ^\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{\; pmatrix\}\},\}$

    , следовательно, J ∞ = | k + λ | (для | λ | = 1), поэтому при k стремится к бесконечности. Поскольку J = C AC, то A ≥ J / (C C), поэтому оно также стремится к бесконечности. Полученное противоречие означает, что для соответствующих собственных значений нет жордановых клеток.

    Объединение двух приведенных выше утверждений показывает, что собственное значение Перрона – Фробениуса r является простым корнем характеристического многочлена. В случае непримитивных матриц существуют другие собственные значения, которые имеют то же абсолютное значение, что и r. То же самое верно и для них, но требует дополнительной работы.

    Никаких других неотрицательных собственных векторов

    Для положительной (или, в более общем смысле, неприводимой неотрицательной матрицы) A, собственный вектор Перрона – Фробениуса является единственным (с точностью до умножения на константу) неотрицательным eigenvector for A.

    Other eigenvectors must contain negative or complex components since eigenvectors for different eigenvalues are orthogonal in some sense, but two positive eigenvectors cannot be orthogonal, so they must correspond to the same eigenvalue, but the eigenspace for the Perron–Frobenius is one-dimensional.

    Assuming there exists an eigenpair (λ, y) for A, such that vector y is positive, and given (r, x), where x – is the left Perron–Frobenius eigenvector for A (i.e. eigenvector for A), then rxy = (x A) y = x (Ay) = λxy, also x y>0, so one has: r = λ. Since the eigenspace for the Perron–Frobenius eigenvalue r is one-dimensional, non-negative eigenvector y is a multiple of the Perron–Frobenius one.

    Collatz–Wielandt formula

    Given a positive (or more generally irreducible non-negative matrix) A, one defines the function f on the set of all non-negative non-zero vectors x such th at f (x) - минимальное значение [Ax] i / x i, взятое для всех тех i, что x i ≠ 0. Тогда f равно действительная функция, максимум которой является собственным значением Перрона – Фробениуса r.

    Для доказательства мы обозначим максимум f значением R. Доказательство требует показать R = r. Подставляя собственный вектор Перрона-Фробениуса v в f, получаем f (v) = r и заключаем, что r ≤ R. Для противоположного неравенства рассмотрим произвольный неотрицательный вектор x и положим ξ = f (x). Определение f дает 0 ≤ ξx ≤ Ax (покомпонентно). Теперь мы используем положительный правый собственный вектор w для A для собственного значения Перрона-Фробениуса r, тогда ξ w x = w ξx ≤ w (Ax) = (w A) x = r w x. Следовательно, f (x) = ξ ≤ r, что подразумевает R ≤ r.

    проекция Перрона как предел: A / r

    Пусть A будет положительной (или, в более общем смысле, примитивной) матрицей, и пусть r его собственное значение Перрона – Фробениуса.

    1. Существует предел A / r для k → ∞, обозначим его через P.
    2. P - оператор проекции : P = P, который коммутирует с A: AP = PA.
    3. Изображение P одномерно и натянуто на собственный вектор Перрона – Фробениуса v (соответственно для P - на собственный вектор Перрона – Фробениуса w для A).
    4. P = vw, где v, w нормированы так, что wv = 1.
    5. Следовательно, P - положительный оператор.

    Следовательно, P является a для собственного значения Перрона – Фробениуса r и называется проекцией Перрона. Сказанное выше утверждение неверно для общих неотрицательных неприводимых матриц.

    Фактически приведенная выше формула (кроме формулы 5) действительна для любой матрицы M, такой что существует собственное значение r, которое строго больше других собственных значений по модулю и является простым корнем характеристики многочлен. (Эти требования выполняются для примитивных матриц, как указано выше).

    Учитывая, что M диагонализуема, M сопряжена с диагональной матрицей с собственными значениями r 1,..., r n на диагонали (обозначим r 1 = г). Матрица M / r будет сопряженной (1, (r 2 / r),..., (r n / r)), которая стремится к (1,0, 0,..., 0) при k → ∞, поэтому предел существует. Тот же метод работает для общего M (без предположения, что M диагонализуема).

    Свойства проекции и коммутативности являются элементарными следствиями определения: MM / r = M / r M; P = lim M / r = P. Третий факт также элементарен: M (Pu) = M lim M / ru = lim rM / ru, поэтому переход к пределу дает M (Pu) = r (Pu), так что образ P лежит в собственном r-подпространстве для M, которое по предположениям одномерно.

    Обозначение v, r-собственный вектор для M (w для M). Столбцы P кратны v, потому что ими покрывается образ P. Соответственно, строки w. Итак, P принимает форму (a v w) для некоторого a. Следовательно, его след равен (a w v). След проектора равен размеру его изображения. Ранее было доказано, что он не более чем одномерный. Из определения видно, что P одинаково действует на r-собственный вектор для M. Значит, он одномерный. Таким образом, выбор (wv) = 1 влечет P = vw.

    Неравенства для собственного значения Перрона – Фробениуса

    Для любой неотрицательной матрицы A ее собственное значение Перрона – Фробениуса r удовлетворяет неравенству:

    $r\; \le \; max\; i\; \sum \; j\; A\; i\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash ;\; \backslash \; leq\; \backslash ;\; \backslash \; max\; \_\; \{i\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; A\_\; \{ij\}.\}$

    Это не относится к неотрицательным матрицам: для любой матрицы A с собственным значением $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; lambda\}$это правда, что $|\; \lambda \; |\; \le \; max\; i\; \sum \; j\; |\; A\; i\; j\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; |\; \backslash \; lambda\; |\; \backslash ;\; \backslash \; leq\; \backslash ;\; \backslash \; max\; \_\; \{i\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; |\; A\_\; \{ij\}\; |\}$. Это непосредственное следствие теоремы Гершгорина о круге. Однако другое доказательство более прямое:

    Любая матрица , индуцированная норма удовлетворяет неравенству $\Vert \; A\; \Vert \; \ge \; |\; \lambda \; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; |\; А\; \backslash \; |\; \backslash \; geq\; |\; \backslash \; lambda\; |\}$для любого собственного значения $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; lambda\}$потому что, если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; x\}$- соответствующий собственный вектор, $\Vert \; A\; \Vert \; \ge \; |\; A\; x\; |\; /\; |\; х\; |\; =\; |\; \lambda \; x\; |\; /\; |\; х\; |\; =\; |\; \lambda \; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; |\; А\; \backslash \; |\; \backslash \; geq\; |\; Топор\; |\; /\; |\; х\; |\; =\; |\; \backslash \; лямбда\; х\; |\; /\; |\; х\; |\; =\; |\; \backslash \; lambda\; |\}$. Бесконечная норма матрицы - это максимум суммы строк: $\Vert \; A\; \Vert \; \infty \; =\; max\; 1\; \le \; i\; \le \; m\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; |\; A\; i\; j\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; A\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; max\; \backslash \; limits\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; i\; \backslash \; leq\; m\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; |\; A\_\; \{ij\}\; |.\}$Следовательно, необходимое неравенство в точности равно $\Vert \; A\; \Vert \; \infty \; \ge \; |\; \lambda \; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; |\; А\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; geq\; |\; \backslash \; lambda\; |\}$, примененный к неотрицательной матрице A.

    Другое неравенство:

    $min\; i\; \sum \; j\; A\; ij\; \le \; r.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; мин\; \_\; \{я\}\; \backslash \; сумма\; \_\; \{j\}\; A\_\; \{ij\}\; \backslash ;\; \backslash \; leq\; \backslash ;\; r.\}$

    Этот факт характерен для неотрицательных матриц; для общих матриц ничего подобного нет. Учитывая, что A положительно (а не только неотрицательно), тогда существует положительный собственный вектор w такой, что Aw = rw и наименьшая компонента w (скажем, w i) равна 1. Тогда r = (Aw) i ≥ чисел сумма в строке i матрицы A. Таким образом, минимальная сумма строки дает нижнюю границу для r, и это наблюдение можно распространить на все неотрицательные матрицы по непрерывности.

    Другой способ аргументировать это - использовать формулу Коллатца -Виландта. Берется вектор x = (1, 1,..., 1) и сразу получается неравенство.

    Дальнейшие доказательства

    Проекция Перрона

    Теперь доказательство проводится с использованием спектрального разложения. Уловка здесь состоит в том, чтобы отделить корень Перрона от других значений. Спектральная проекция, связанная с корнем Перрона, называется Перрона, и она проекционным следующим своим:

    Проекция Перрона неприводимой неотрицательной квадратной матрицы является положительной матрицей.

    Выводы Перрона, а также (1) - (5) теоремы являются следствиями этого результата. Ключевым моментом является то, что положительная проекция всегда имеет первый ранг. Это означает, что если A - неприводимая неотрицательная квадратная матрица, то алгебраическая и геометрическая кратности ее корня Перронаны единице. Также, если P - его проекция Перрона, то AP = PA = ρ (A) P, так что каждый столбец P является положительным правым собственным вектором A, каждая строка является положительным левым собственным вектором. Более того, если Ax = λx, то PAx = λPx = ρ (A) Px, что означает Px = 0, если λ ≠ ρ (A). Таким образом единственными положительными собственными руками являются те, которые связаны с ρ (A). Если A - примитивная матрица с ρ (A) = 1, то ее можно разложить как P ⊕ (1 - P) A, так что A = P + (1 - P) A. По мере увеличения n второй из членов этих убывает до нуля, оставляя P как предел для A при n → ∞.

    Степенной метод - удобный способ вычислить проекцию Перрона примитивной матрицы. Если v и w - положительные элементы строк и столбцов, которые он генерирует, то проекция Перрона равна просто wv / vw. Спектральные проекции не заблокированы аккуратно, как в форме Джордана. Здесь наложены друг на друга, и каждый, как правило, сложные элементы, распространяющиеся на все четыре угла квадратной матрицы. Тем не менее, они сохраняют взаимную ортогональность, что облегчает разложение.

    Периферийная проекция

    Анализ, когда A является несократимым и неотрицательным, в целом. Проекция Перрона по-прежнему положительна, но теперь могут быть другие собственные значения модуля ρ (A), которые исключают использование методов степеней и предотвращают убывание степеней (1 - P) A, как в примитивном случае, когда ρ (A) = 1. Итак, мы рассматриваем периферийную проекцию, которая является спектральной проекцией A, которая является всем собственным значением, имеющим модуль ρ (A). Затем можно показать, что периферийная проекция неприводимой неотрицательной квадратной матрицы является неотрицательной матрицей с положительной диагональю.

    Цикличность

    Предположим также, что ρ (A) = 1 и A имеет h собственных значений на единичной окружности. Если P - периферийная проекция, тогда матрица R = AP = PA неотрицательна и неприводима, R = P, а циклическая группа P, R, R,...., R представляет гармоники матрицы A. Спектральная проекция матрицы A в собственном значении λ на единичной окружности задается формулой $h\; -\; 1\; \sum \; 1\; h\; \lambda \; -\; k\; R\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; h\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\}\; ^\; \{h\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{-\; k\}\; R\; ^\; \{k\; \}\}$. Все эти проекции (включая проекцию Перрона) имеют одинаковую положительную диагональ, более того, если выбрать любую из них, а взять модуль каждой записи, неизменно будет проекция Перрона. Некоторая работа осла все еще необходима, чтобы установить циклические свойства (6) - (8), но, по сути, это просто вопрос ручки поворота. Спектральное разложение A определяет выражением A = R ⊕ (1 - P) A, поэтому разница между A и R равна A - R = (1 - P) A, представляя переходные процессы A, которые в итоге затухают до нуля. P можно вычислить как предел A при n → ∞.

    Контрпримеры

    Матрицы L = $(1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 1\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right)\}$, P = $(1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; -\; 1\; 1\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; -\; 1\; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right)\}$, T = $(0\; 1\; 1\; 1\; 0\; 1\; 1\; 1\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 0\; 1\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 1\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{\; smallmatrix\}\}\; \backslash \; right)\}$, M = 306>приведите простые примеры того, что может пойти не так, если необходимые условия не будут выполнены. Легко, что и перронная, и периферийная проекции L равны P, таким образом, когда исходная матрица приводима, проекции потерять неотрицательность, и нет возможности выразить их как пределы ее возможностей. Матрица T является примером примитивной матрицы с нулевой диагональю. Если диагональ неприводимой неотрицательной квадратной матрицы не равна нулю, тогда матрица должна быть примитивной, но этот пример демонстрирует, что обратное неверно. M - пример матрицы с используемыми спектральными зубцами. Если ω = e, то ω = 1 и собственные значения M равны {1, ω, ω, ω}, поэтому ω и ω отсутствуют.

    Терминология

    Проблема, которая вызывает путаницу, заключается в отсутствии стандартизации в определениях. Например, некоторые используют термины строго положительный и положительный для обозначения>0 и ≥ 0 соответственно. В этой статье положительное означает>0, неотрицательное означает ≥ 0. Еще одна неприятная область касается разложимости и сводимости: неприводимый - это перегруженный термин. Во избежание такой ненулевую неотрицательную квадратную матрицу A, что 1 + A примитивно, иногда называют связной. Тогда неприводимые неотрицательные квадратные матрицы и связанные матрицы являются синонимами.

    Неотрицательный собственный вектор часто регулируется, чтобы сумма его компонентов была равна единице; в этом случае собственный вектор является вектором распределения вероятностей и иногда называется стохастическим собственным вектором.

    Собственное значение Перрона - Фробениуса и доминирующее собственное значение - альтернативные названия корня Перрона. Спектральные проекции также известны как спектральные проекторы и спектральные идемпотенты. Период иногда называют индексом импримитивности или порядком цикличности.

    См. Также

    • теорема мин-макс
    • Z-матрица (математика)
    • M-матрица
    • P-матрица
    • матрица Гурвица
    • матрица Метцлера (Квазиположительная матрица )
    • Положительный оператор

    Примечания

    Ссылки

    Исходные статьи

    • Перрон, Оскар (1907), «Теория Цура Матрицы» «, Mathematische Annalen, 64(2): 248–263, doi : 10.1007 / BF01449896, hdl : 10338.dmlcz / 104432
    • Фробениус, Георг (май 1912 г.), «Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 456–477,
    • Георг (1908), «Über Matrizen aus positiven Elementen, 1», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften: 471–476
    • Frobenius, Georg (1909), «Uber Matrizen aus Positiven Elementen, «berchen» Akademie der Wissenschaften: 514–518
    • Гантмахер, Феликс (2000) [1959], Теория матриц, Том 2, A MS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2664-5 (издание 1959 года имело другое название: «Приложения теории матриц». Также нумерация глав в двух изданиях разная.)
    • Лэнгвилл, Эми; Мейер, Карл (2006), рейтинг страницы Google и выше, Princeton University Press, doi : 10.1007 / s10791-008-9063-y, ISBN 978-0-691-12202-1
    • Кинер, Джеймс (1993), «Теорема Перрона - Фробениуса и рейтинг футбольных команд», SIAM Review, 35 (1): 80– 93, doi : 10.1137 / 1035004, JSTOR 2132526
    • Мейер, Карл (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра (PDF), SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинала (PDF) на 07.03.2010
    • Романовский В. (1933), "Sur les zéros des matrices stocastiques", Bulletin de la Société Mathématique de France, 61 : 213–219, doi : 10.24033 / bsmf.1206
    • Коллатц, Лотар (1942), «Einschließungssatz für die charakteristischen Zahlen von Matrizen», Mathematische Zeitschrift, 48 (1): 221–226, doi : 10.1007 / BF01180013
    • Виландт, Гельмут (1950), «Unzerlegbare, nicht negative Matrizen», Mathematische Zeitschrift, 52 (1): 642–648, doi : 10.1007 / BF02230720, hdl : 10338.dmlcz / 100322

    Дополнительная литература

    • Абрахам Берман, Роберт Дж. Племмонс, Неотрицательные матрицы в математических науках, 1994, SIAM. ISBN 0-89871-321-8.
    • Крис Годсил и Гордон Ройл, Алгебраическая теория графов, Springer, 2001.
    • А. Грэм, Неотрицательные матрицы и применимые темы в линейной алгебре, John Wiley Sons, Нью-Йорк, 1987.
    • R. А. Хорн и К.Р. Джонсон, Матричный анализ, Cambridge University Press, 1990
    • Бас Лемменс и Роджер Нуссбаум, Нелинейная теория Перрона-Фробениуса, Кембриджские трактаты по математике 189, Кембриджский университет. Press, 2012.
    • С. П. Мейн и Р.Л. Твиди, Цепи Маркова и стохастическая стабильность Лондон: Springer-Verlag, 1993. ISBN 0-387-19832-6 (2-е издание, Cambridge University Press, 2009)
    • Хенрик Минк, неотрицательные матрицы, John Wiley Sons, Нью-Йорк, 1988, ISBN 0-471-83966-3
    • Сенета, Э. Неотрицательные матрицы и цепи Маркова. 2-е изд. изд., 1981, XVI, 288 стр., Серия Springer в мягкой обложке по статистике. (Первоначально опубликовано Allen Unwin Ltd., Лондон, 1973 г.) ISBN 978-0-387-29765-1
    • Супруненко, Д.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press (Утверждение, что A j имеет порядок н / ч в конце утверждения Теорема неверна.)
    • Варга, Ричард С. (2002), Матричный итерационный анализ (2-е изд.), Springer-Verlag.