Кардинал Роуботтом

редактировать

В теории множеств, кардинал Роуботтома, представленный Роуботтомом (1971), является своего рода большое кардинальное число.

несчетное кардинальное число κ называется Rowbottom, если для каждой функции f: [κ] → λ (где λ < κ) there is a set H of order type κ that is quasi-однородный для f, т. е. для каждого n f-образ множества n-элементных подмножеств H имеет счетное количество элементов.

Каждые Ramsey кардинал - это Роуботтом, а каждый кардинал Роуботтома - это Йонссон. По теореме Клейнберга теории ZFC + «есть кардинал Роуботтома» и ZFC + «есть кардинал Йонссона» равносогласованы.

В общем, кардиналы Роуботтома не обязательно должны быть большими кардиналами в обычном смысле: кардиналы Роуботтома могут быть единственными. Это открытый вопрос, является ли ZFC + « $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {{\ omega}}$ is Rowbottom »согласован. Если это так, он имеет гораздо более высокую устойчивость, чем существование кардинала Rowbottom. аксиома определенность подразумевает, что $ℵ ω {\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ $\ aleph _ {{\ omega}}$ является Rowbottom (но противоречит аксиоме выбора ).

Ссылки

Канамори, Акихиро (2003). Высшее Бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
Роуботтом, Фредерик (1971) [1964], «Некоторые сильные аксиомы бесконечности, несовместимые с аксиомой конструктивности», Annals of Pure and Applied Logic, 3 (1): 1–44, doi : 10.1016 / 0003-4843 (71) 90009-X, ISSN 0168-0072, MR 0323572