Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

Специальная ортогональная группа

В математике, группа из вращений вокруг фиксированной точки в четырехмерном евклидовом пространстве обозначается SO (4) . Название происходит от того, что это специальная ортогональная группа порядка 4.

В этой статье вращение означает вращательное смещение. Для уникальности предполагается, что углы поворота находятся в сегменте [0, π], за исключением случаев, когда это указано или явно подразумевается контекстом иначе.

«Фиксированная плоскость» - это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости не изменяется после поворота. «Инвариантная плоскость» - это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости, хотя на него может повлиять вращение, остается в плоскости после вращения.

• 1 Геометрия четырехмерных вращений
  • 1.1 Простые вращения
  • 1.2 Двойные вращения
    • 1.2.1 Изоклинические вращения
  • 1.3 Групповая структура SO (4)
  • 1.4 Особые свойства SO (4) среди групп вращения в целом
• 2 Алгебра четырехмерных вращений
  • 2.1 Изоклиническое разложение
  • 2.2 Связь с кватернионами
  • 2.3 Собственные значения четырехмерных матриц вращения
  • 2.4 Формула Эйлера – Родригеса для Трехмерные вращения
  • 2.5 Координаты Хопфа
• 3 Визуализация четырехмерных вращений
• 4 Генерация четырехмерных матриц вращения
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Библиография

Четырехмерные вращения бывают двух типов: простые вращения и двойные вращения.

Простые вращения

Простое вращение R вокруг центра вращения O оставляет неподвижной всю плоскость от A до O (ось-плоскость). Каждая плоскость B, которая полностью ортогональна к A, пересекает A в определенной точке P. Каждая такая точка P является центром двумерного вращения, вызванного R в B. Все эти двумерные вращения имеют одинаковый угол поворота α..

Половинки от точки O в плоскости оси A не смещены; полуоси от O, ортогональные к A, смещены на α; все остальные полуоси смещены на угол меньше α.

Двойное вращение

Тессеракт, в стереографической проекции, в двойном вращении 4D тор Клиффорда, стереографически спроецированный в трехмерную проекцию как тор , и двойное вращение можно рассматривать как спиральный путь на этом торе. Для вращения, два угла поворота которого образуют рациональное число, пути в конечном итоге повторно соединятся, а при иррациональном соотношении - нет. Изоклиническое вращение образует окружность Вилларсо на торе, в то время как простое вращение образует окружность, параллельную или перпендикулярной центральной оси.

Для каждого вращения R в 4-м пространстве (фиксируя начало координат), существует по крайней мере одна пара ортогональных 2-плоскостей A и B, каждая из которых инвариантна и прямая сумма которых A ⊕ B является всей 4-пространственной. Следовательно, R, действующий в любой из этих плоскостей, производит обычное вращение этой плоскости. Почти для всех R (всего 6-мерного набора поворотов, кроме 3-мерного подмножества) углы вращения α в плоскости A и β в плоскости B - оба предполагаются ненулевыми - различны. Неравные углы поворота α и β, удовлетворяющие −π < α, β < π are almost uniquely determined by R. Assuming that 4-space is oriented, then the orientations of the 2-planes A and B can be chosen consistent with this orientation in two ways. If the rotation angles are unequal (α ≠ β), R is sometimes termed a "double rotation".

В этом случае двойного вращения A и B являются единственной парой инвариантных плоскостей, а полупрямы от начала координат в A, B смещены на α и β соответственно, а полуоси от начала координат, не входящие в A или B, смещены на углы строго между α и β.

Изоклинические вращения

Если углы поворота при двойном повороте равны, то существует бесконечно много инвариантных плоскостей вместо двух, и все полупрямы от O смещены на тот же угол. Такие повороты называются изоклиническими или равноугловыми вращениями или смещениями Клиффорда . Остерегайтесь: не все плоскости, проходящие через точку O, инвариантны относительно изоклинических вращений; инвариантны только плоскости, натянутые на полуоси и соответствующую смещенную полупрямую.

Предполагая, что для 4-мерного пространства выбрана фиксированная ориентация, изоклинические 4-мерные вращения можно разделить на две категории. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим изоклиническое вращение R и возьмем согласованный по ориентации упорядоченный набор OU, OX, OY, OZ взаимно перпендикулярных полупрямых в точке O (обозначенных как OUXYZ), так что OU и OX охватывают инвариантную плоскость, и, следовательно, OY и OZ также покрывают инвариантную плоскость. Теперь предположим, что указан только угол поворота α. Тогда в плоскостях OUX и OYZ есть четыре изоклинических поворота с углом поворота α, в зависимости от значений вращения в OUX и OYZ.

Мы принимаем соглашение, согласно которому значения вращения от OU к OX и от OY к OZ считаются положительными. Тогда у нас есть четыре поворота R 1 = (+ α, + α), R 2 = (−α, −α), R 3 = ( + α, −α) и R 4 = (−α, + α). R 1 и R 2 являются обратными друг друга ; таковы R 3 и R 4. Пока α находится между 0 и π, эти четыре поворота будут разными.

Изоклинические вращения с одинаковыми знаками обозначаются как левоизоклинические; с противоположными знаками как правоизоклинические. Левое и правое изоклинические вращения представлены соответственно левым и правым умножением на единичные кватернионы; см. параграф «Отношение к кватернионам» ниже.

Четыре поворота попарно различаются, за исключением случаев, когда α = 0 или α = π. Угол α = 0 соответствует повороту единицы; α = π соответствует центральной инверсии, заданной отрицанием единичной матрицы. Эти два элемента SO (4) - единственные, которые одновременно являются лево- и правоизоклиническими.

Левая и правая изоклиния, определенные как выше, по-видимому, зависят от того, какое конкретное изоклиническое вращение было выбрано. Однако, когда выбрано другое изоклиническое вращение R ′ с его собственными осями OU ′, OX ′, OY ′, OZ ′, то всегда можно выбрать порядок U ′, X ′, Y ′, Z ′ Такой, что OUXYZ может быть преобразован в OU′X′Y′Z ′ поворотом, а не поворотом-отражением (то есть так, чтобы упорядоченный базис OU ′, OX ′, OY ′, OZ ′ также согласовывался с тот же фиксированный выбор ориентации, что и OU, OX, OY, OZ). Следовательно, после выбора ориентации (то есть системы осей OUXYZ, которая повсеместно обозначается как правосторонняя), можно определить левый или правый характер конкретного изоклинического вращения.

Групповая структура SO (4)

SO (4) является некоммутативной компактной 6- мерной Группа Ли.

Каждая плоскость, проходящая через центр вращения O, является осевой плоскостью коммутативной подгруппы , изоморфной SO (2). Все эти подгруппы взаимно сопряжены в SO (4).

Каждая пара полностью ортогональных плоскостей через O является парой инвариантных плоскостей коммутативной подгруппы SO (4), изоморфной SO (2) × SO ( 2).

Эти группы являются максимальными торами SO (4), которые все взаимно сопряжены в SO (4). См. Также тор Клиффорда.

Все левоизоклинические вращения образуют некоммутативную подгруппу S L в SO (4), которая изоморфна мультипликативной группе S единицы кватернионы. Все правые изоклинические вращения также образуют подгруппу S R в SO (4), изоморфную S. Обе S L и S R являются максимальными подгруппами в SO ( 4).

Каждое левоизоклиническое вращение коммутирует с каждым правым изоклиническим вращением. Это означает, что существует прямой продукт SL× S R с нормальными подгруппами SLи S R ; обе соответствующие факторные группы изоморфны другому фактору прямого произведения, то есть изоморфны S. (Это не SO (4) или его подгруппа, потому что S L и S R не пересекаются: тождество I и центральная инверсия −I принадлежат как S L, так и S R.)

Каждое четырехмерное вращение A двумя способами является произведением лево- и правого изоклинных вращений A L и A R. A L и A R вместе определяются до центральной инверсии, т.е. когда и A L, и A R умножаются на центральная инверсия, их продукт снова равен A.

Это означает, что S L × S R является универсальной покрывающей группой SO (4) - ее уникальной двойной покрывающей - и что S L и S R являются нормальными подгруппами SO (4). Идентификационный поворот I и центральная инверсия -I образуют группу C 2 порядка 2, которая является центром SO (4) и обоих S L и S R. Центр группы - нормальная подгруппа этой группы. Фактор-группа C 2 в SO (4) изоморфна SO (3) × SO (3). Факторные группы S L по C 2 и S R по C 2 каждая изоморфна SO (3). Точно так же фактор-группы SO (4) по S L и SO (4) по S R каждая изоморфна SO (3).

Топология SO (4) такая же, как топология группы Ли SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2), а именно пространство $P\; 3\; \times \; S\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{3\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{3\}\}$где $P\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{3\; \}\}$- это реальное проективное пространство измерения 3, а $S\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{S\}\; ^\; \{3\}\}$- это 3-сферический. Однако следует отметить, что как группа Ли SO (4) не является прямым произведением групп Ли и, следовательно, не изоморфна SO (3) × Spin (3) = SO (3) × SU (2).

Особое свойство SO (4) среди групп вращения в целом

Группы нечетномерных вращений не содержат центральной инверсии и являются простыми группами.

Четно-размерными группы вращения действительно содержат центральную инверсию -I и имеют группу C 2 = {I, -I} в качестве своего center. Начиная с SO (6) и далее они почти просты в том смысле, что фактор-группы их центров являются простыми группами.

SO (4) отличается: не существует сопряжения каким-либо элементом SO (4), который преобразует лево- и правые изоклинические вращения друг в друга. Отражения преобразуют левоизоклиническое вращение в правоизоклиническое посредством сопряжения, и наоборот. Это означает, что в группе O (4) всех изометрий с фиксированной точкой O подгруппы S L и S R взаимно сопряжены и поэтому не являются нормальными подгруппами в O (4). Группа 5D вращений SO (5) и все более высокие группы вращений содержат подгруппы, изоморфные O (4). Как и SO (4), все четномерные группы вращений содержат изоклинические вращения. Но в отличие от SO (4), в SO (6) и всех более высоких четномерных группах вращений любая пара изоклинических поворотов на один и тот же угол сопряжена. Множества всех изоклинических вращений не являются даже подгруппами SO (2N), не говоря уже о нормальных подгруппах.

SO (4) обычно отождествляется с группой ориентации с сохранением изометрической линейной отображение 4D векторного пространства с внутренним продуктом на действительные числа на себя.

Относительно ортонормального базиса в таком пространстве SO (4) представляется как группа действительных ортогональных матриц 4-го порядка с определителем +1.

Изоклиническое разложение

Четырехмерное вращение, заданное его матрицей, разлагается на левоизоклиническое и правоизоклиническое вращение следующим образом:

Пусть

$A\; =\; (\; a\; 00\; a\; 01\; a\; 02\; a\; 03\; a\; 10\; a\; 11\; a\; 12\; a\; 13\; a\; 20\; a\; 21\; a\; 22\; a\; 23\; a\; 30\; a\; 31\; a\; 32\; a\; 33)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{00\}\; a\_\; \{\; 01\}\; a\_\; \{02\}\; a\_\; \{03\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{10\}\; a\_\; \{11\}\; a\_\; \{12\}\; a\_\; \{13\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{20\}\; a\_\; \{21\}\; a\_\; \{22\}\; a\_\; \{23\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{\; 30\}\; a\_\; \{31\}\; a\_\; \{32\}\; a\_\; \{33\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

- его матрица относительно произвольного ортонормированного базиса.

Рассчитайте на основании этого так называемую ассоциативную матрицу

$M = 1 4 (a 00 + a 11 + a 22 + a 33 + a 10 - a 01 - a 32 + a 23 + a 20 + а 31 - а 02 - а 13 + а 30 - а 21 + а 12 - а 03 а 10 - а 01 + а 32 - а 23 - а 00 - а 11 + а 22 + а 33 + а 30 - а 21 - a 12 + a 03 - a 20 - a 31 - a 02 - a 13 a 20 - a 31 - a 02 + a 13 - a 30 - a 21 - a 12 - a 03 - a 00 + a 11 - a 22 + а 33 + а 10 + а 01 - а 32 - а 23 а 30 + а 21 - а 12 - а 03 + а 20 - а 31 + а 02 - а 13 - а 10 - а 01 - а 32 - а 23 - a 00 + a 11 + a 22 - a 33) {\ displaystyle M = {\ frac {1} {4}} {\ begin {pmatrix} a_ {00} + a_ {11} + a_ {22} + a_ { 33} + a_ {10} -a_ {01} -a_ {32} + a_ {23} + a_ {20} + a_ {31} -a_ {02} -a_ {13} + a_ {30} -a_ {21} + a_ {12} -a_ {03} \\ a_ {10} -a_ {01} + a_ {32} -a_ {23} - a_ {00} -a_ {11} + a_ { 22} + a_ {33} + a_ {30} -a_ {21} -a_ {12} + a_ {03} - a_ {20} -a_ {31} -a_ {02} -a_ {13} \ \ a_ {20} -a_ {31} -a_ {02} + a_ {13} - a_ {30} -a_ {21} -a_ {12} -a_ {03} - a_ {00} + a_ { 11} -a_ {22} + a_ {33} + a_ {10} + a_ {01} -a_ {32} -a_ {23} \\ a_ {30} + a_ {21} -a_ {12} - a_ {03} + a_ {20} -a_ {31} + a_ {02} -a_ {13} - a_ {10} -a_ {01} -a_ {32} -a_ {23} - a_ {00} + a_ {11} + a_ {22} -a_ {33} \ end {pmatrix}}}$

M имеет ранг один и имеет единицу евклидовой нормы как 16D-вектор тогда и только тогда, когда A действительно является 4-мерной матрицей вращения. В этом случае существуют действительные числа a, b, c, d и p, q, r, s такие, что

$M\; =\; (apaqarasbpbqbrbscpcqc\; rcsdpdqdrds)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; ap\; aq\; ar\; as\; \backslash \backslash \; bp\; bq\; br\; bs\; \backslash \backslash \; cp\; cq\; cr\; cs\; \backslash \backslash \; dp\; dq\; dr\; ds\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

и

$(ap)\; 2\; +\; \cdots \; +\; (ds)\; 2\; =\; (a\; 2\; +\; b\; 2\; +\; c\; 2\; +\; d\; 2)\; (p\; 2\; +\; q\; 2\; +\; р\; 2\; +\; s\; 2)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; (ap)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; (ds)\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\; \}\; +\; d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (p\; ^\; \{2\}\; +\; q\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; +\; s\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; 1.\}$

Ровно два наборы a, b, c, d и p, q, r, s такие, что a + b + c + d = 1 и p + q + r + s = 1. Они противоположны друг другу.

Тогда матрица вращения равна

$A = (ap - bq - cr - ds - aq - bp + cs - dr - ar - bs - cp + dq - as + br - cq - dpbp + aq - dr + cs - bq + ap + ds + cr - br + as - dp - cq - bs - ar - dq + cpcp + dq + ar - bs - cq + dp - as - br - cr + ds + ap + bq - cs - dr + aq - bpdp - cq + br + as - dq - cp - bs + ar - dr - cs + bp - aq - ds + cr + bq + ap) = (a - b - c - dba - dccda - bd - cba) (p - q - r - sqps - rr - spqsr - qp). {\ displaystyle {\ begin {align} A = {\ begin {pmatrix} ap-bq-cr-ds -aq-bp + cs-dr -ar-bs-cp + dq -as + br-cq-dp \\ bp + aq-dr + cs -bq + ap + ds + cr -br + as-dp-cq -bs-ar-dq + cp \\ cp + dq + ar-bs -cq + dp-as-br -cr + ds + ap + bq -cs-dr + aq-bp \\ dp-cq + br + as -dq-cp-bs + ar -dr-cs + bp-aq -ds ​​+ cr + bq + ap \ end { pmatrix}} \\ = {\ begin {pmatrix} a -b -c -d \\ b \; \, \, a -d \; \, \, c \\ c \; \, \, d \ ; \, \, a -b \\ d -c \; \, \, b \; \, \, a \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} p -q -r -s \\ q \ ; \, \, p \; \, \, s -r \\ r -s \; \, \, p \; \, \, q \\ s \; \, \, r -q \; \, \, p \ end {pmatrix}}. \ end {align}}}$

Эта формула принадлежит Ван Эльфринкхофу (1897 г.).

Первый фактор в этом разложении представляет лево-изоклиническое вращение, второй фактор - право-изоклиническое вращение. Коэффициенты определяются с точностью до отрицательной единичной матрицы 4-го порядка, то есть центральной инверсии.

Связь с кватернионами

Точка в 4-мерном пространстве с декартовыми координатами (u, x, y, z) может быть представлена ​​кватернионом P = u + xi + yj + zk.

Левоизоклиническое вращение представлено левым умножением на единичный кватернион Q L = a + bi + cj + dk. На языке векторных матриц это

$(u\; \prime \; x\; \prime \; y\; \prime \; z\; \prime )\; =\; (a\; -\; b\; -\; c\; -\; dba\; -\; dccda\; -\; bd\; -\; cba)\; (uxyz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\; \text{'}\; \backslash \backslash \; x\; \text{'}\backslash \backslash \; y\text{'}\; \backslash \backslash \; z\; \text{'}\backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; -b\; -c\; -d\; \backslash \backslash \; b\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\; -d\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; c\; \backslash \backslash \; c\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; d\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\; -b\; \backslash \backslash \; d\; -c\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; b\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; a\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\; \}\; u\; \backslash \backslash \; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \backslash \; z\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Аналогично, правое изоклиническое вращение представлено правым умножением на единичный кватернион Q R = p + qi + rj + sk, который находится в матрично-векторной форме

$(u\; \prime \; x\; \prime \; y\; \prime \; z\; \prime )\; =\; (p\; -\; q\; -\; r\; -\; sqps\; -\; rr\; -\; spqsr\; -\; qp)\; (uxyz).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\; \text{'}\backslash \backslash \; x\text{'}\; \backslash \backslash \; y\; \text{'}\backslash \backslash \; z\text{'}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; p\; -q\; -r\; -s\; \backslash \backslash \; q\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; p\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; s\; -r\; \backslash \backslash \; r\; -s\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; p\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; q\; \backslash \backslash \; s\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; r\; -q\; \backslash ;\; \backslash ,\; \backslash ,\; p\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; u\; \backslash \backslash \; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \backslash \; z\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

В предыдущем разделе (# Изоклиническое разложение) это показано, как обычное четырехмерное вращение разбивается на лево- и право-изоклинические факторы.

На языке кватернионов формула Ван Эльфринхофа читается как

$u\; \prime \; +\; x\; \prime \; i\; +\; y\; \prime \; j\; +\; z\; \prime \; k\; =\; (a\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk)\; (u\; +\; xi\; +\; yj\; +\; zk)\; (\; п\; +\; qi\; +\; rj\; +\; sk),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \text{'}+\; x\text{'}i\; +\; y\text{'}j\; +\; z\text{'}k\; =\; (a\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk)\; (u\; +\; xi\; +\; yj\; +\; zk)\; (p\; +\; qi\; +\; rj\; +\; sk),\}$

или, в символической форме,

$P\; \prime \; =\; QLPQR.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \text{'}=\; Q\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\}\; PQ\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}.\; \backslash ,\}$

Согласно немецкому математику Феликсу Клейну эта формула была уже известна Кэли в 1854.

Кватернионное умножение ассоциативно. Следовательно,

$P\; \text{'}=\; (QLP)\; QR\; =\; QL\; (PQR),\; \{\backslash \; displaystyle\; P\text{'}\; =\; \backslash \; left\; (Q\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{L\}\}\; P\; \backslash \; right)\; Q\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}\; =\; Q\_\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{L\}\}\; \backslash \; left\; (PQ\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{R\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash ,\}$

который показывает, что левоизоклинические и правоизоклинические вращения коммутируют.

Собственные значения матриц вращения 4D

Четыре собственных значения матрицы вращения 4D обычно встречаются как две сопряженные пары комплексных чисел единичной величины. Если собственное значение вещественное, оно должно быть ± 1, поскольку при повороте величина вектора остается неизменной. Сопряжение этого собственного значения также равно единице, что дает пару собственных векторов, которые определяют фиксированную плоскость, поэтому вращение выполняется просто. В кватернионной нотации собственное (т. Е. Не инвертирующее) вращение в SO (4) является правильным простым вращением тогда и только тогда, когда действительные части единичных кватернионов Q L и Q R равны по величине и имеют одинаковый знак. Если они оба равны нулю, все собственные значения вращения равны единице, и вращение является нулевым вращением. Если действительные части Q L и Q R не равны, тогда все собственные значения являются комплексными, и вращение является двойным вращением.

Формула Эйлера – Родригеса для трехмерных вращений

Наше обычное трехмерное пространство удобно рассматривать как подпространство с системой координат 0XYZ четырехмерного пространства с системой координат UXYZ. Его группа вращения SO (3) отождествляется с подгруппой SO (4), состоящей из матриц

$(1\; 0\; 0\; 0\; 0\; a\; 11\; a\; 12\; a\; 13\; 0\; a\; 21\; a\; 22\; a\; 23\; 0\; а\; 31\; а\; 32\; а\; 33).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash ,\; \backslash ,\; 0\; \backslash ,\; \backslash ,\; 0\; \backslash ,\; \backslash ,\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; a\_\; \{11\}\; a\_\; \{12\}\; a\_\; \{13\}\; \backslash \backslash \; 0\; a\_\; \{21\}\; a\_\; \{22\}\; a\_\; \{23\}\; \backslash \backslash \; 0\; a\_\; \{31\}\; a\_\; \{32\}\; a\_\; \{33\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

В формуле Ван Эльфринхофа в предыдущем подразделе это ограничение до трех измерений приводит к p = a, q = - b, r = -c, s = -d, или в кватернионном представлении: Q R = Q L ′ = Q L. Тогда матрица трехмерного вращения становится

$(a\; 11\; a\; 12\; a\; 13\; a\; 21\; a\; 22\; a\; 23\; a\; 31\; a\; 32\; a\; 33)\; =\; (a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; c\; 2\; -\; d\; 2\; 2\; (bc\; -\; ad)\; 2\; (\; bd\; +\; ac)\; 2\; (bc\; +\; ad)\; a\; 2\; -\; b\; 2\; +\; c\; 2\; -\; d\; 2\; 2\; (cd\; -\; ab)\; 2\; (bd\; -\; ac)\; 2\; (cd\; +\; ab)\; a\; 2\; -\; b\; 2\; -\; c\; 2\; +\; d\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\_\; \{11\}\; a\_\; \{12\}\; a\_\; \{13\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{21\}\; a\_\; \{22\}\; a\_\; \{23\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{31\}\; a\_\; \{32\}\; a\_\; \{33\; \}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}\; -d\; ^\; \{2\}\; 2\; (bc-ad)\; 2\; (bd\; +\; ac)\; \backslash \; \backslash \; 2\; (bc\; +\; ad)\; a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; +\; c\; ^\; \{2\}\; -d\; ^\; \{2\}\; 2\; (cd-ab)\; \backslash \backslash \; 2\; (bd-ac)\; 2\; (cd\; +\; ab)\; a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; -c\; ^\; \{2\}\; +\; d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\},\}$

, который представляет трехмерное вращение посредством его Эйлера – Родригеса параметры : a, b, c, d.

Соответствующая формула кватерниона P ′ = QPQ, где Q = Q L, или, в развернутом виде:

$x\; \prime \; i\; +\; y\; \prime \; j\; +\; z\; \prime \; k\; =\; (a\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk)\; (xi\; +\; yj\; +\; zk)\; (a\; -\; bi\; -\; cj\; -\; dk)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\text{'}i\; +\; y\text{'}j\; +\; z\text{'}k\; =\; (a\; +\; bi\; +\; cj\; +\; dk)\; (xi\; +\; yj\; +\; zk)\; (a-bi-cj-dk)\}$

известна как формула Гамильтон - Кэли.

Координаты Хопфа

Вращения в трехмерном пространстве становятся математически более управляемыми за счет использования сферических координат. Любое вращение в 3D может быть охарактеризовано фиксированной осью вращения и неизменной плоскостью, перпендикулярной этой оси. Без ограничения общности, мы можем принять плоскость xy как инвариантную плоскость, а ось z - как фиксированную ось. Поскольку вращение не влияет на радиальные расстояния, мы можем охарактеризовать вращение по его влиянию на единичную сферу (2-сферу) с помощью сферических координат, относящихся к фиксированной оси и инвариантной плоскости:

$x\; =\; sin\; \; \theta \; соз\; \; \varphi \; Y\; знак\; равно\; грех\; \; \theta \; грех\; \; \varphi \; z\; =\; соз\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash \backslash \; y\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \backslash \; \backslash \; z\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку x + y + z = 1, точки лежат на 2-сфере. Точка в {θ 0, φ 0 }, повернутая на угол φ вокруг оси z, задается просто как {θ 0, φ 0 + φ}. В то время как гиперсферические координаты также полезны при работе с четырехмерными вращениями, еще более полезная система координат для четырехмерного изображения обеспечивается координатами Хопфа {ξ1, η, ξ 2 }, которые представляют собой набор из трех угловых координат, определяющих положение на 3-сфере. Например:

$и\; =\; соз\; \; \xi \; 1\; грех\; \; \eta \; z\; =\; грех\; \; \xi \; 1\; грех\; \; \eta \; х\; =\; соз\; \; \xi \; 2\; соз\; \; \eta \; y\; =\; грех\; \; \xi \; 2\; соз\; \; \eta \; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\; \}\; u\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; eta\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; eta\; \backslash \backslash \; x\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; xi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \backslash \backslash \; y\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; xi\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку u + x + y + z = 1, точки лежат на 3-сфере.

В четырехмерном пространстве каждый поворот вокруг начала координат имеет две инвариантные плоскости, которые полностью ортогональны друг другу и пересекаются в начале координат и повернуты на два независимых угла ξ 1 и ξ 2. Без ограничения общности мы можем выбрать соответственно uz- и xy-плоскости в качестве этих инвариантных плоскостей. Поворот в 4D точки {ξ 10, η 0, ξ 20 } на углы ξ 1 и ξ 2 тогда просто выражается в координатах Хопфа как {ξ 10 + ξ 1, η 0, ξ 20 + ξ 2 }.

Траектории точки на торе Клиффорда:. Рис.1: простые вращения (черный) и изоклинические вращения влево и вправо (красный и синий). Рис. 2: общий поворот с угловым смещением в соотношении 1: 5. Рис.3: общий поворот с угловым смещением в соотношении 5: 1. Все изображения являются стереографическими проекциями.

Каждые вращение в трехмерном пространстве имеет неизменную осевую линию, которая не изменяется при вращении. Вращение полностью задается путем указания оси вращения и угла поворота вокруг этой оси. Без потери общности эту ось можно выбрать в качестве оси z декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В трехмерном пространстве сферические координаты {θ, φ} можно рассматривать как параметрическое выражение 2-сферы. При фиксированном θ они описывают круги на 2-сфере, которые перпендикулярны оси z, и эти круги можно рассматривать как траектории точки на сфере. Точка {θ 0, φ 0 } на сфере при вращении вокруг оси z будет следовать по траектории {θ 0, φ 0 + φ} при изменении угла φ. Траекторию можно рассматривать как параметрическое во времени вращение, где угол вращения линейен во времени: φ = ωt, где ω - «угловая скорость».

Аналогично случаю 3D, каждое вращение в пространстве 4D имеет по крайней мере две инвариантные оси-плоскости, которые остаются неизменными при вращении и полностью ортогональны (т.е. они пересекаются в точке). Вращение полностью задается путем задания осевых плоскостей и углов поворота вокруг них. Без ограничения общности, эти плоскости оси могут быть выбраны как плоскости uz и xy декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В четырехмерном пространстве углы Хопфа {ξ 1, η, ξ 2 } параметризуют трехмерную сферу. При фиксированном η они описывают тор, параметризованный параметрами ξ 1 и ξ 2, причем η = π / 4 является частным случаем тора Клиффорда в xy - и уз-самолеты. Эти торы не являются обычными торами в 3D-пространстве. Хотя они все еще являются 2D-поверхностями, они встроены в 3-сферу. Трехмерную сферу можно стереографически спроецировать на все евклидово трехмерное пространство, и тогда эти торы будут рассматриваться как обычные торы вращения. Можно видеть, что точка, заданная параметрами {ξ 10, η 0, ξ 20 }, претерпевающая вращение с инвариантами плоскостей uz и xy, будет остаются на торе, заданном η 0. Траекторию точки как функцию времени можно записать как {ξ 10 + ω 1 t, η 0, ξ 20 + ω 2 t} и стереографически проецируется на связанный с ним тор, как на рисунках ниже. На этих рисунках начальная точка взята как {0, π / 4, 0}, т.е. на торе Клиффорда. На рис. 1 две простые траектории вращения показаны черным цветом, а левая и правая изоклинические траектории показаны красным и синим соответственно. На Фиг.2 показан общий поворот, при котором ω 1 = 1 и ω 2 = 5, а на Фиг.3 показан общий поворот, при котором ω 1 Показано = 5 и ω 2 = 1.

Четырехмерные вращения могут быть получены из формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. Пусть A будет кососимметричной матрицей размером 4 × 4 . Кососимметричная матрица A может быть однозначно разложена как

$A\; =\; \theta \; 1\; A\; 1\; +\; \theta \; 2\; A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; A\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; A\_\; \{2\; \}\}$

на две кососимметричные матрицы A 1 и A 2, удовлетворяющие свойствам A 1A2= 0, A 1 = −A 1 и A 2 = −A 2, где ∓θ 1 i и ∓θ 2 i - собственные значения A. Тогда четырехмерные матрицы вращения могут быть получены из кососимметричных матриц A 1 и A 2 с помощью формулы вращения Родригеса и формулы Кэли.

Пусть A - ненулевая кососимметричная матрица 4 × 4 с набором собственных значений

$\{\theta \; 1\; i,\; -\; \theta \; 1\; i,\; \theta \; 2\; i,\; -\; \theta \; 2\; i:\; \theta \; 1\; 2\; +\; \theta \; 2\; 2>0\; \}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; i,\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; i,\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; i,\; -\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; i:\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}>0\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Тогда A можно разложить как

$A\; =\; \theta \; 1\; A\; 1\; +\; \theta \; 2\; A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; A\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; A\_\; \{2\}\}$

где A 1 и A 2 - кососимметричные матрицы, удовлетворяющие свойствам

$A\; 1\; A\; 2\; =\; A\; 2\; A\; 1\; =\; 0,\; A\; 1\; 3\; =\; -\; A\; 1\; и\; A\; 2\; 3\; =\; -\; A\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\; A\_\; \{2\}\; =\; A\_\; \{2\}\; A\_\; \{1\}\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; \{A\_\; \{1\}\}\; ^\; \{3\}\; =\; -\; A\_\; \{1\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \backslash \; quad\; \{A\_\; \{2\}\}\; ^\; \{\; 3\}\; =\; -\; A\_\; \{2\}.\}$

Кроме того, кососимметричные матрицы A 1 и A 2 однозначно получаются как

$A\; 1\; =\; \theta \; 2\; 2\; A\; +\; A\; 3\; \theta \; 1\; (\theta \; 2\; 2\; -\; \theta \; 1\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\; A\; +\; A\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

и

$A\; 2\; =\; \theta \; 1\; 2\; A\; +\; A\; 3\; \theta \; 2\; (\theta \; 1\; 2\; -\; \theta \; 2\; 2).\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; A\; +\; A\; ^\; \{3\}\}\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}.\}$

Тогда

$R\; =\; e\; A\; =\; I\; +\; sin\; \; \theta \; 1\; A\; 1\; +\; (1\; -\; cos\; \; \theta \; 1)\; A\; 1\; 2\; +\; грех\; \; \theta \; 2\; A\; 2\; +\; (1\; -\; соз\; \; \theta \; 2)\; A\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; e\; ^\; \{A\}\; =\; I\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; A\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \{A\_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; A\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \{A\_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\}$

- это матрица поворота в E, которая генерируется формулой вращения Родригеса с набором собственных значений

$\{e\; \theta \; 1\; i,\; e\; -\; \theta \; 1\; i,\; e\; \theta \; 2\; i,\; e\; -\; \theta \; 2\; i\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{e\; ^\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; i\},\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; i\},\; e\; ^\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; i\},\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; i\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Кроме того,

$R\; =\; (I\; +\; A)\; (I\; -\; A)\; -\; 1\; =\; I\; +\; 2\; \theta \; 1\; 1\; +\; \theta \; 1\; 2\; A\; 1\; +\; 2\; \theta \; 1\; 2\; 1\; +\; \theta \; 1\; 2\; A\; 1\; 2\; +\; 2\; \theta \; 2\; 1\; +\; \theta \; 2\; 2\; A\; 2\; +\; 2\; \theta \; 2\; 2\; 1\; +\; \theta \; 2\; 2\; A\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; (I\; +\; A)\; (IA)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; I\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; A\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; \}\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \{A\_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; \{1+\; \{\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; A\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\; \}\}\}\; \{A\_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\}$

- матрица вращения в E, которая генерируется формулой вращения Кэли, так что набор собственных значений R равен,

$\{(1\; +\; \theta \; 1\; i)\; 2\; 1\; +\; \theta \; 1\; 2,\; (1\; -\; \theta \; 1\; i)\; 2\; 1\; +\; \theta \; 1\; 2,\; (1\; +\; \theta \; 2\; i)\; 2\; 1\; +\; \theta \; 2\; 2,\; (1\; -\; \theta \; 2\; i)\; 2\; 1\; +\; \theta \; 2\; 2\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1+\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; я\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1-\; \backslash \; theta\; \_\; \{1\}\; i\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1+\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; i\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (1-\; \backslash \; theta\; \_\; \{2\}\; i\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; theta\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Образующая матрица вращения может быть классифицирована по значениям θ 1 и θ 2 следующим образом:

1. Если θ 1 = 0 и θ 2 ≠ 0 или наоборот, то формулы генерируют простые вращения ;
2. Если θ 1 и θ 2 не равны нулю и θ 1 ≠ θ 2, то формулы генерируют двойные вращения;
3. Если θ 1 и θ 2 не равны нулю и θ 1 = θ 2, то формулы генерируют изоклинические вращения.

См. также

• вектор Лапласа – Рунге – Ленца
• Группа Лоренца
• Ортогональная группа
• Ортогональная матрица
• Плоскость вращения
• Группа Пуанкаре
• Кватернионы и пространственное вращение

• L. van Elfrinkhof: Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Делфт, 1897.
• Феликс Кляйн : Элементарная математика с продвинутой точки зрения: Арифметика, алгебра, анализ. Перевод Э.Р. Хедрика и К.А. Благородный. Компания Макмиллан, Нью-Йорк, 1932.
• Генри Паркер Мэннинг : геометрия четырех измерений. The Macmillan Company, 1914. Переиздано Dover Publications без изменений и без сокращений в 1954 году. В этой монографии четырехмерная геометрия развивается из первых принципов синтетическим аксиоматическим путем. Работу Мэннинга можно рассматривать как прямое расширение работ Евклида и Гильберта до четырех измерений.
• J. Х. Конвей и Д. А. Смит: О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия. AK Peters, 2003.
• Артур Стаффорд Хэтэуэй (1902) Quaternion Space, Transactions of the American Mathematical Society 3 (1): 46–59.
• Йохан Э. Мебиус, Матричное доказательство теоремы о представлении кватернионов для четырехмерных вращений., arXiv General Mathematics 2005.
• Йохан Э. Мебиус, Вывод формулы Эйлера – Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений., arXiv General Mathematics 2007.
• PHSchoute : Mehrdimensionale Geometrie. Лейпциг: G.J. Göschensche Verlagshandlung. Том 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die linearen Räume, 1902. Том 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
• Стрингхэм, Ирвинг (1901). "On the geometry of planes in a parabolic space of four dimensions". Труды Американского математического общества. 2(2): 183–214. doi :10.1090/s0002-9947-1901-1500564-2. JSTOR 1986218.
• Melek Erdoğdu, Mustafa Özdemir, Generating Four Dimensional Rotation Matrices, https://www.researchgate.net/publication/283007638_Generating_Four_Dimensional_Rotation_Matrices, 2015.
• Daniele Mortari, "On the Rigid Rotation Concept in n-Dimensional Spaces", Journal of the Astronautical Sciences 49.3 (July 2001), https://pdfs.semanticscholar.org/f7d8/63ceb75277133592ef9e92457b6705b1264f.pdf