Длина веревки

В теории физических узлов каждая реализация ссылки или узел имеет связанную длину веревки . Интуитивно понятно, что это минимальная длина идеально гибкой веревки, которая необходима для завязывания данного звена или узла. Узлы и звенья, минимизирующие длину каната, называются идеальными узлами и идеальными звеньями соответственно.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Минимизаторы длины веревки
• 3 Зависимость длины веревки от других инвариантов узла
• 4 Длина веревки как инвариант узла
• 5 Ссылки

Определение

Длина веревки кривой узла C определяется как отношение $L\; (C)\; =\; Len\; \; (C)\; /\; \tau \; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; scriptstyle\; L\; (C)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{Len\}\; (C)\; /\; \backslash \; tau\; (C)\}\}$, где Len (C) - длина C, а τ (C) - толщина звена, определенная C.

минимизаторами длины веревки

Один из самых ранних вопросов теории узлов был сформулирован в следующих выражениях:

Могу ли я завязать узел на веревка длиной в фут и толщиной в один дюйм?

В наших терминах мы спрашиваем, существует ли узел с длиной веревки 12. На этот вопрос был дан ответ, и он оказался невозможным: аргумент с использованием квадрискантов показывает, что длина веревки любого нетривиального узла должно быть не менее 15,66. Однако поиск ответа стимулировал множество исследований как теоретических, так и вычислительных. Было показано, что для каждого типа звена существует минимизатор длины каната, хотя он относится только к классу C. Для простейшего нетривиального узла, узла-трилистника, компьютерное моделирование показало, что его минимальная длина каната составляет не более 16,372.

Зависимость длины веревки от других инвариантов узлов

Были предприняты обширные поиски, чтобы показать взаимосвязь между длиной веревки и другими инвариантами узлов. В качестве примера приведены хорошо известные оценки асимптотической зависимости длины веревки от числа пересечения узла. Было показано, что

$L\; (C)\; =\; \Omega \; (Cr\; \; (C)\; 3/4)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (C)\; =\; \backslash \; Omega\; (\backslash \; operatorname\; \{Cr\}\; (C)\; ^\; \{3/4\})\; \backslash ,\}$

и

$L\; (C)\; =\; O\; (Cr\; \; (C)\; журнал\; 5\; \; (Cr\; \; (C)))\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (C)\; =\; O\; (\backslash \; operatorname\; \{Cr\}\; (C)\; \backslash \; log\; ^\; \{5\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Cr\}\; (C)))\; \backslash ,\}$

для узла C с числом пересечения Cr (C) и длиной веревки L (C), где O и Ω являются примерами нотация большого O и большая нотация Omega соответственно.

Нижняя граница (большая Омега) показана с двумя семействами ((k, k − 1) торических узлов и k-зацеплений Хопфа), которые реализуют эту оценку. Прежняя верхняя граница O (Cr (C)) была показана с использованием гамильтоновых циклов в графах, вложенных в кубическую целочисленную решетку. Текущая лучшая почти линейная верхняя граница была установлена ​​с помощью аргумента «разделяй и властвуй», чтобы показать, что минимальные проекции узлов могут быть вложены как плоские графы в кубическую решетку. Однако никто еще не наблюдал семейство узлов со сверхлинейной зависимостью от длины L (C)>O (Cr (CK)), и предполагается, что верхняя граница на самом деле линейна.

Длина веревки как инвариант узла

Длину веревки можно превратить в инвариант узла, определив длину веревки типа узла как минимальную длину веревки для всех реализаций этого типа узла. Пока этот инвариант непрактичен, так как мы не определили этот минимум для большинства узлов.

Ссылки