Безрисковая облигация

редактировать

A безрисковая облигация теоретическая облигация с выплатой процентов и принципал со стопроцентной уверенностью. Норма прибыли будет равна безрисковой процентной ставке. Это первичная безопасность, которая окупается за 1 единицу, независимо от того, состояние экономии реализовано в момент $t + 1 {\ displaystyle t + 1}$ ${\ displaystyle t + 1}$ . Таким образом, его отдача одинакова независимо от того, какое состояние происходит. Таким образом, инвестор не испытывает риска, вкладывая средства в такой актив.

На практике государственные облигации финансово стабильных стран рассматриваются как безрисковые облигации, поскольку правительства могут повышать налоги или печатать деньги для погашения своего долга в национальной валюте.

Например, казначейские облигации США и казначейские облигации США часто считаются безрисковыми облигациями. Хотя инвесторы в ценные бумаги Казначейства США действительно сталкиваются с небольшой суммой, этот риск часто считается незначительным. Пример такого кредитного риска был продемонстрирован Россией, которая объявила дефолт по внутреннему долгу во время финансового кризиса в России 1998 года.

Содержание

1 Моделирование цены по модели Блэка-Шоулза
2 Безрисковая облигация против ценных бумаг Эрроу-Дебре
3 Расчет цены
4 Пример
5 См. Также
6 Ссылки

Моделирование цены по модели Блэка-Шоулза

В финансовой литературе нередко выводят формулу Блэка-Шоулза, вводя постоянно ребалансируемый безрисковый портфель , содержащий опцион и базовые акции. В отсутствие арбитража доходность такого портфеля должна соответствовать доходности безрисковых облигаций. Это свойство приводит к уравнению в частных производных Блэка-Шоулза, которому удовлетворяет арбитражная цена опциона. Однако, похоже, что безрисковый портфель не удовлетворяет формальному определению стратегии самофинансирования, и, таким образом, такой способ вывода формулы Блэка-Шоулза является ошибочным.

Мы предполагаем, что на протяжении всего процесса торговля осуществляется непрерывно во времени, и неограниченное заимствование и предоставление средств возможно при той же постоянной процентной ставке. Кроме того, на рынке отсутствуют трения, что означает отсутствие транзакционных издержек или налогов, а также отсутствие дискриминации в отношении коротких продаж. Другими словами, мы будем иметь дело со случаем идеального рынка.

Предположим, что краткосрочная процентная ставка $r {\ displaystyle r}$ $r$ является постоянным (но не обязательно неотрицательным) в течение торгового интервала $[0, T ∗] {\ displaystyle [0, T ^ {*}]}$ ${\ displaystyle [0, T ^ {*}]}$ . Предполагается, что безрисковая ценная бумага постоянно увеличивается в цене со скоростью $r {\ displaystyle r}$ $r$ ; то есть $d B t = r B t d t {\ displaystyle dB_ {t} = rB_ {t} ~ dt}$ ${\ displaystyle dB_ {t} = rB_ {t} ~ dt}$ . Мы принимаем обычное соглашение: $B 0 = 1 {\ displaystyle B_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle B_ {0} = 1}$ , так что его цена равна $B t = ert {\ displaystyle B_ {t} = e ^ {rt}}$ ${\ displayst yle B_ {t} = e ^ {rt}}$ для каждого $t ∈ [0, T ∗] {\ displaystyle t \ in [0, T ^ {*}]}$ ${\ displaystyle t \ in [0, T ^ {*}]}$ . Имея дело с моделью Блэка-Шоулза, мы также можем заменить сберегательный счет безрисковой облигацией. Единица бескупонная облигация со сроком погашения $T {\ displaystyle T}$ $T$ представляет собой ценную бумагу, выплачивающую своему держателю 1 денежную единицу в заранее установленную дату $T { \ displaystyle T}$ $T$ в будущем, известном как срок погашения облигации. Пусть $B (t, T) {\ displaystyle B (t, T)}$ ${\ displaystyle B (t, T)}$ обозначает цену в момент времени $t ∈ [0, T] {\ displaystyle t \ in [0, T]}$ $t \ in [0, T]$ облигации со сроком погашения $T {\ displaystyle T}$ $T$ . Легко видеть, что для воспроизведения выплаты 1 в момент $T {\ displaystyle T}$ $T$ достаточно вложить $B t / BT {\ displaystyle B_ {t} / B_ {T} }$ ${\ displaystyle B_ {t} / B_ {T}}$ денежных единиц в момент времени $t {\ displaystyle t}$ $t$ на сберегательном счете $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Это показывает, что при отсутствии возможностей арбитража цена облигации удовлетворяет

$B (t, T) = e - r (T - t), ∀ t ∈ [0, T]. {\ displaystyle B (t, T) = e ^ {- r (Tt)} ~~~, ~~~ \ forall t \ in [0, T] ~.}$ ${\ displaystyle B (t, T) = e ^ {- r (Tt)} ~~~, ~~~ \ forall t \ in [0, T] ~.}$

Обратите внимание, что для любого фиксированного T цена облигации решает обыкновенное дифференциальное уравнение

$d B (t, T) = r B (t, T) dt, B (0, T) = e - r T. {\ displaystyle dB (t, T) = rB (t, T) dt ~~~, ~~~ B (0, T) = e ^ {- rT} ~.}$ ${\ displaystyle dB (t, T) = rB (t, T) dt ~~~, ~~~ B (0, T) = e ^ {- rT} ~.}$

Здесь мы рассматриваем безопасный облигация, что означает, что ее эмитент не будет выполнять свои обязательства по выплате держателю облигации номинальной стоимости на дату погашения.

Безрисковая облигация против ценных бумаг Эрроу-Дебре

Безрисковая облигация может быть воспроизведена портфелем из двух ценных бумаг Эрроу-Дебре. Этот портфель точно соответствует выплате безрисковой облигации, так как портфель также платит 1 единицу независимо от того, какое состояние происходит. Это связано с тем, что, если бы его цена отличалась от цены безрисковой облигации, у нас была бы возможность арбитража в экономике. Когда присутствует возможность арбитража, это означает, что безрисковая прибыль может быть получена с помощью какой-либо торговой стратегии. В этом конкретном случае, если портфель ценных бумаг Эрроу-Дебре отличается по цене от цены безрисковой облигации, то арбитражная стратегия будет заключаться в покупке более низкой цены и короткой продаже более дорогой. Поскольку у каждого из них точно такой же профиль выплат, эта сделка оставит нас с нулевым чистым риском (риск одного отменяет риск другого, потому что мы покупали и продавали в равных количествах один и тот же профиль выплат). Однако мы получили бы прибыль, потому что покупаем по низкой цене и продаем по высокой. Поскольку в экономике не может существовать условий арбитража, цена безрисковой облигации равна цене портфеля.

Расчет цены

Расчет относится к ценной бумаге Эрроу-Дебре. Назовем цену безрисковой облигации в момент $t {\ displaystyle t}$ $t$ как $P (t, t + 1) {\ displaystyle P (t, t + 1) }$ ${\ displaystyle P (t, t + 1)}$ . $t + 1 {\ displaystyle t + 1}$ $t + 1$ указывает на тот факт, что срок погашения облигации наступает в момент $t + 1 {\ displaystyle t + 1}$ $t + 1$ . Как упоминалось ранее, безрисковая облигация может быть воспроизведена портфелем из двух ценных бумаг Эрроу-Дебре, одной акции $A (1) {\ displaystyle A (1)}$ ${\ displaystyle A (1)}$ и одной акции $A (2) {\ displaystyle A (2)}$ ${\ displaystyle A ( 2)}$ .

Использование формулы для расчета цены $n {\ displaystyle n}$ $n$ ценных бумаг Эрроу-Дебре

$A (k) = pku ′ (C t + 1 (k)) u ′ (C t), k = 1,…, n {\ displaystyle A (k) = p_ {k} {\ frac {u ^ {\ prime} ( C_ {t + 1} (k))} {u ^ {\ prime} (C_ {t})}}, ~~~~~ k = 1, \ dots, n}$ ${\ Displaystyle A (k) = p_ {k} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {t + 1} (k))} {u ^ {\ prime} (C_ {t})} }, ~~~~~ k = 1, \ dots, n}$

который является произведением отношения межвременной предельной скорости замещения (отношение предельных полезностей во времени, его также называют плотностью государственных цен и ядром ценообразования) и вероятности возникновения состояния, в котором ценные бумаги Эрроу-Дебре рассчитывается 1 шт. Цена портфеля просто

$P (t, t + 1) = A (1) + A (2) = p 1 u ′ (C t + 1 (1)) u ′ (C t) + p 2 U ′ (C t + 1 (2)) u ′ (C t) {\ Displaystyle P (t, t + 1) = A (1) + A (2) = p_ {1} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {t + 1} (1))} {u ^ {\ prime} (C_ {t})}} + p_ {2} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {t +1} (2))} {u ^ {\ prime} (C_ {t})}}}$ ${\ displaystyle P (t, t + 1) = A (1) + A (2) = p_ {1} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ { t + 1} (1))} {u ^ {\ prime} (C_ {t})}} + p_ {2} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {t + 1} (2)) } {u ^ {\ prime} (C_ {t})}}}$

$P (t, t + 1) = E t P [u ′ (C t + 1 (k)) U ′ (C t)] {\ Displaystyle P (t, t + 1) = \ mathbb {E} _ {t} ^ {\ mathbb {P}} {\ Bigg [} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {t + 1} (k))} {u ^ {\ prime} (C_ {t})}} {\ Bigg]}}$ ${\ displaystyle P (t, t + 1) = \ mathbb {E} _ {t} ^ {\ mathbb {P}} {\ Bigg [} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {t + 1} (k))} {u ^ { \ prime} (C_ {t})}} {\ Bigg]}}$

Следовательно, цена безрисковой облигации просто ожидаемое значение, взятое с учетом вероятностной меры $P = {p 1, p 2} {\ displaystyle \ mathbb {P} = \ {p_ {1}, p_ {2} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} = \ {p_ {1}, p_ {2} \}}$ , межвременной предельной скорости замещения. Процентная ставка $r {\ displaystyle r}$ $r$ теперь определяется с использованием обратной величины цены облигации.

$1 + rt = 1 P (t, t + 1) {\ displaystyle 1 + r_ {t} = {\ frac {1} {P (t, t + 1)}}}$ ${\ displaystyle 1 + r_ {t} = {\ frac {1} {P (t, t + 1)}}}$

Таким образом, мы имеют фундаментальное отношение

$1 1 + r = E t P [u ′ (C t + 1 (k)) u ′ (C t)] {\ displaystyle {\ frac {1} {1 + r}} = \ mathbb {E} _ {t} ^ {\ mathbb {P}} {\ Bigg [} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {t + 1} (k))} {u ^ {\ prime } (C_ {t})}} {\ Bigg]}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + r}} = \ mathbb {E} _ {t} ^ {\ mathbb {P}} {\ Bigg [} {\ frac {u ^ {\ prime} (C_ {t + 1} (k))} {u ^ {\ prime} (C_ {t})}} {\ Bigg] }}$

, который определяет процентную ставку в любой экономике.

Пример

Предположим, что вероятность возникновения состояния 1 равна 1/4, а вероятность возникновения состояния 2 равна 3/4. Также предположим, что ядро ценообразования равно 0,95 для состояния 1 и 0,92 для состояния 2.

Пусть ядро ценообразования обозначается как $U k {\ displaystyle U_ {k}}$ $U_ {k}$ . Затем у нас есть две ценные бумаги Эрроу-Дебре $A (1), A (2) {\ displaystyle A (1), ~ A (2)}$ ${\ displaystyle A (1), ~ A (2)}$ с параметрами

$p 1 = 1 / 4, U 1 = 0,95, {\ displaystyle p_ {1} = 1/4 ~~, ~~ U_ {1} = 0,95 ~,}$ ${\ displaystyle p_ {1} = 1/4 ~~, ~~ U_ {1} = 0,95 ~,}$

$p 2 = 3/4, U 2 = 0,92. {\ displaystyle p_ {2} = 3/4 ~~, ~~ U_ {2} = 0.92 ~.}$ ${\ displaystyle p_ {2} = 3/4 ~~, ~~ U_ {2} = 0,92 ~.}$

Затем, используя предыдущие формулы, мы можем вычислить цену облигации

$P (t, t + 1) = A (1) + A (2) = p 1 U 1 + p 2 U 2 = 1/4 0,95 + 3/4 ⋅ 0,92 = 0,9275. {\ Displaystyle P (t, t + 1) = A (1) + A (2) = p_ {1} U_ {1} + p_ {2} U_ {2} = 1/4 \ cdot 0.95 + 3/4 \ cdot 0.92 = 0.9275 ~.}$ ${\ Displaystyle P (t, t + 1) = A (1) + A (2) = p_ {1} U_ {1} + p_ {2} U_ {2} = 1/4 \ cdot 0.95 + 3/4 \ cdot 0.92 = 0.9275 ~.}$

Тогда процентная ставка определяется как

$r = 1 P (t, t + 1) - 1 = 1 0.9275 - 1 = 7.82%. {\ displaystyle r = {\ frac {1} {P (t, t + 1)}} - 1 = {\ frac {1} {0.9275}} - 1 = 7.82 \% ~.}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {P (t, t + 1)}} - 1 = {\ frac {1} {0,9275}} - 1 = 7,82 \% ~.}$

Таким образом, мы убедитесь, что ценообразование облигации и определение процентной ставки просто сделать, если известен набор цен Эрроу-Дебре, цен ценных бумаг Эрроу-Дебре.

См. Также

Ссылки