Время нарастания

В электронике, при описании напряжения или тока ступенчатая функция, время нарастания - это время, необходимое сигналу для перехода от заданного низкого значения к заданному максимальному значению. Эти значения могут быть выражены как отношения или, что эквивалентно, как проценты по отношению к заданному эталонному значению. В аналоговой электронике и цифровой электронике эти проценты обычно составляют 10% и 90% (или эквивалентно 0,1 и 0,9) от высоты ступени вывода: однако обычно используются другие значения. Для приложений в теории управления, согласно Levine (1996, стр. 158), время нарастания определяется как «время, необходимое для того, чтобы отклик увеличился с x% до y% от его окончательного значения», причем Время нарастания от 0% до 100%, обычное для недемпфированных систем второго порядка, от 5% до 95% для критически демпфированных и от 10% до 90% для сверхдемпфированных систем. Согласно Орвилеру (1969, стр. 22), термин «время нарастания» применяется либо к положительной, либо к отрицательной переходной характеристике, даже если отображаемое отрицательное отклонение обычно называется время спада.

• 1 Обзор
  • 1.1 Факторы, влияющие на время нарастания
  • 1.2 Альтернативные определения
• 2 Время нарастания модельных систем
  • 2.1 Обозначения
  • 2.2 Простые примеры расчета времени нарастания
    • 2.2.1 Гауссова система отклика
    • 2.2.2 Одноступенчатая RC-цепь нижних частот
    • 2.2.3 Одноступенчатая низкочастотная сеть LR
  • 2.3 Время нарастания демпфированных систем второго порядка
  • 2.4 Время нарастания каскадных блоков
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Время нарастания - это аналоговый параметр, имеющий фундаментальное значение в высокоскоростной электронике, поскольку это мера способности схемы реагировать на быстрые входные сигналы. Было приложено много усилий, чтобы уменьшить время нарастания цепей, генераторов, а также оборудования для измерения и передачи данных. Эти сокращения, как правило, связаны с исследованиями более быстрых электронных устройств и с методами уменьшения параметров паразитных цепей (в основном, емкости и индуктивности). Для приложений, выходящих за пределы области высокоскоростной электроники, иногда желательно длительное (по сравнению с достижимым уровнем техники) время нарастания: примерами являются затемнение света, где более продолжительное время время нарастания приводит, среди прочего, к более длительному сроку службы лампы или к управлению аналоговыми сигналами цифровыми с помощью аналогового переключателя, где более длительное время нарастания означает меньшее емкостное сквозное соединение, и, таким образом, более низкий уровень связи шума с линиями управляемого аналогового сигнала.

Факторы, влияющие на время нарастания

Для данного выхода системы время нарастания зависит как от времени нарастания входного сигнала, так и от характеристик системы .

Например, Значения времени нарастания в резистивной цепи в первую очередь связаны с паразитной емкостью и индуктивностью. Поскольку каждая цепь имеет не только сопротивление, но также емкость и индуктивность, задержка напряжения и / или тока на нагрузке составляет отображается до тех пор, пока не будет достигнуто устойчивое состояние . В чистой цепи RC время нарастания выхода (от 10% до 90%) приблизительно равно 2,2 RC.

Альтернативные определения

Другие определения времени нарастания, кроме из стандарта Федерального стандарта 1037C (1997, стр. R-22) и его небольшого обобщения, данного Левином (1996, стр. 158), иногда используются: Альтернативные определения отличаются от стандартных не только рассматриваемыми референтными уровнями. Например, время от времени используется временной интервал, графически соответствующий точкам пересечения касательной, проведенной через точку 50% отклика ступенчатой ​​функции. Другое определение, введенное Элмором (1948, стр. 57), использует концепции из статистики и теории вероятностей. Рассматривая переходную характеристику V (t), он переопределяет время задержки tDкак первый момент своей первой производной V '(t), т.е.

$t\; D\; =\; \int \; 0\; +\; \infty \; t\; V\; \prime \; (t)\; dt\; \int \; 0\; +\; \infty \; V\; \prime \; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{D\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; tV\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (t)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; V\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (t)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}.\}$

Наконец, он определяет время нарастания t r, используя второй момент

$tr\; 2\; =\; \int \; 0\; +\; \infty \; (t\; -\; t\; D)\; 2\; V\; \prime \; (t)\; dt\; \int \; 0\; +\; \infty \; V\; \prime \; (t)\; dt\; ⟺\; tr\; =\; \int \; 0\; +\; \infty \; (t\; -\; t\; D)\; 2\; V\; \prime \; (t)\; dt\; \int \; 0\; +\; \infty \; V\; \prime \; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; (t-t\_\; \{D\})\; ^\; \{2\}\; V\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (t)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; V\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (t)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; t\_\; \{r\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; (t-t\_\; \{D\})\; ^\; \{2\}\; V\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (t)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; V\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (t)\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\}\}$

Обозначение

Здесь перечислены все обозначения и допущения, необходимые для анализа.

• Следуя Левину (1996, стр. 158, 2011, 9-3 (313)), мы определяем x% как процентное низкое значение и y% как процентное высокое значение. относительно опорного значения сигнала, чей рост времени должен быть оценен.
• t1это время, при котором выход из системы при анализе находится на х% от стационарного значения, в то время как т 2 тот, при котором он находится на уровне y%, оба измерены в секундах.
• tr- это время нарастания анализируемой системы, измеренное в секундах. По определению

$t\; r\; =\; t\; 2\; -\; t\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; =\; t\_\; \{2\}\; -t\_\; \{1\}.\}$

• fL- нижняя частота среза (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеренная в герцах..
• fH- это более высокая частота среза (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеренная в герцах.
• h (t) - импульсный отклик анализируемой системы во временной области..
• H (ω) - частотная характеристика анализируемой системы в частотной области.
• Полоса пропускания определяется как

$BW\; =\; f\; H\; -\; f\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; BW\; =\; f\_\; \{H\}\; -f\_\; \{L\}\; \backslash ,\}$

и поскольку нижняя частота среза f L обычно на несколько десятков лет ниже, чем более высокая частота среза частота f H,

$BW\; \cong \; f\; H\; \{\backslash \; displaystyle\; BW\; \backslash \; cong\; f\_\; \{H\}\; \backslash ,\}$

• Все анализируемые здесь системы имеют частотную характеристику, которая простирается до 0 (системы нижних частот), таким образом,

$f\; L\; =\; 0\; ⟺\; е\; H\; =\; BW\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{L\}\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash ,\; f\_\; \{H\}\; =\; BW\}$точно.

• Для простоты все системы, проанализированные в раздел «Простые примеры расчета времени нарастания » приведены единичное усиление электрические сети, и все сигналы рассматриваются как напряжения : входной сигнал - ступенчатая функция V 0вольт, а это означает, что

$V\; (t\; 1)\; V\; 0\; =\; x\%\; 100\; V\; (t\; 2)\; V\; 0\; =\; y\%\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t\_\; \{1\})\}\; \{V\_\; \{\; 0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; \backslash \%\}\; \{100\}\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t\_\; \{2\})\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; \backslash \%\}\; \{100\}\; \}\}$

• ζ - коэффициент демпфирования, а ω 0 - собственная частота данной системы второго порядка.

Простые примеры Расчет времени нарастания

Целью этого раздела является расчет времени нарастания переходной характеристики для некоторых простых систем:

Гауссова характеристика

Говорят, что система имеет отклик Гаусса, если он характеризуется следующей частотной характеристикой

$|\; H\; (\omega )\; |\; знак\; равно\; е\; -\; \omega \; 2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; H\; (\backslash \; omega)\; |\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

где σ>0 - константа, связанная с высокой частотой среза следующим соотношением:

$f\; H\; =\; \sigma \; 2\; \pi \; 3\; 20\; ln\; \; 10\; \cong \; 0,0935\; \sigma .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{H\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{20\}\}\; \backslash \; ln\; 10\}\}\; \backslash \; cong\; 0.0935\; \backslash \; sigma.\}$

Даже если частотная характеристика такого типа не реализуется с помощью причинного фильтра, его полезность заключается в том, что поведение каскадного соединения фильтров нижних частот первого порядка приближается к поведению этой системы более близко, поскольку количество каскадных стадий асимптотически возрастает до бесконечности. Соответствующий импульсный отклик может быть вычислен с использованием обратного преобразования Фурье показанного частотного отклика

$F\; -\; 1\; \{H\}\; (t)\; =\; h\; (t)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; +\; \infty \; е\; -\; \omega \; 2\; \sigma \; 2\; ei\; \omega \; td\; \omega \; знак\; равно\; \sigma \; 2\; \pi \; e\; -\; 1\; 4\; \sigma \; 2\; t\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{H\; \backslash \}\; (t)\; =\; h\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; \{e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; omega\; t\}\}\; d\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}$

Непосредственное применение определения переходной характеристики,

$V\; (t)\; =\; V\; 0\; H\; \ast \; h\; (t)\; =\; V\; 0\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \sigma \; t\; 2\; e\; -\; \tau \; 2\; d\; \tau \; =\; V\; 0\; 2\; [1\; +\; erf\; (\sigma \; t\; 2)]\; ⟺\; V\; (t)\; V\; 0\; =\; 1\; 2\; [1\; +\; erf\; (\sigma \; t\; 2)\; ].\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (t)\; =\; V\_\; \{0\}\; \{H\; *\; h\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \backslash \; limits\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\}\; \{2\}\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\}\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{0\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; mathrm\; \{erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t)\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; mathrm\; \{erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right].\}$

Для определения времени нарастания от 10% до 90% системы необходимо решить для времени два следующих уравнения:

$V\; (t\; 1)\; V\; 0\; =\; 0,1\; =\; 1\; 2\; [1\; +\; erf\; (\sigma \; t\; 1\; 2)]\; V\; (t\; 2)\; V\; 0\; =\; 0,9\; Знак\; равно\; 1\; 2\; [1\; +\; erf\; (\sigma \; t\; 2\; 2)],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t\_\; \{1\})\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; =\; 0,1\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; mathrm\; \{erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\_\; \{1\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t\_\; \{2\})\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; =\; 0,9\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; mathrm\; \{erf\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; t\_\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; справа],\}$

Используя известные свойства функции ошибок , найдено значение t = - t 1 = t 2 : поскольку t r = t 2 - t 1 = 2t,

$tr\; =\; 4\; \sigma \; erf\; -\; 1\; (0,8)\; \cong \; 0,3394\; е\; ЧАС,\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{erf\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (0,8)\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{\; 0,3394\}\; \{f\_\; \{H\}\}\},\}$

и, наконец,

$tr\; \cong \; 0,34\; BW\; ⟺\; BW\; \cdot \; tr\; \cong \; 0,34.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{0.34\}\; \{BW\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; BW\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{r\}\; \backslash \; cong\; 0.34.\}$

Одноступенчатая RC-сеть нижних частот

Для простой одноступенчатой ​​цепи нижних частот RC время нарастания от 10% до 90% пропорционально постоянной времени сети τ = RC:

$tr\; \cong \; 2,197\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; \backslash \; cong\; 2.197\; \backslash \; tau\; \backslash ,\}$

Константа пропорциональности может быть получена из знания переходной характеристики сети на входной сигнал единичной ступенчатой ​​функции V 0 амплитуда:

$V\; (t)\; =\; V\; 0\; (1\; -\; e\; -\; t\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (t)\; =\; V\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{t)\; \}\; \{\backslash \; tau\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Решение для времени

$V\; (t)\; V\; 0\; =\; (1\; -\; e\; -\; t\; \tau )\; ⟺\; V\; (t)\; V\; 0\; -\; 1\; =\; -\; e\; -\; t\; \tau \; ⟺\; 1\; -\; V\; (t)\; V\; 0\; знак\; равно\; е\; -\; t\; \tau ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t)\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (1-e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{t\})\; \{\backslash \; tau\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t)\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; -\; 1\; =\; -e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t)\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; tau\}\}\},\}$

и, наконец,

$ln\; \; (1\; -\; V\; (T)\; V\; 0)\; знак\; равно\; -\; T\; \tau \; ⟺\; T\; знак\; равно\; -\; \tau \; ln\; \; (1\; -\; V\; (t)\; V\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t)\}\; \{V\_\; \{0)\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; t\; =\; -\; \backslash \; tau\; \backslash ;\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t)\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

Поскольку t 1 и t 2 таковы, что

$V\; (t\; 1)\; V\; 0\; =\; 0,1\; В\; (t\; 2)\; V\; 0\; =\; 0,9,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t\_\; \{1\})\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; =\; 0,1\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{V\; (t\_\; \{2\})\}\; \{V\_\; \{0\}\}\}\; =\; 0.9,\}$

решая эти уравнения, находим аналитическое выражение для t 1 и t 2:

$t\; 1\; =\; -\; \tau \; ln\; \; (1\; -\; 0.1)\; =\; -\; \tau \; ln\; \; (0.9)\; =\; -\; \tau \; пер\; \; (9\; 10)\; знак\; равно\; \tau \; пер\; \; (10\; 9)\; =\; \tau \; (пер\; \; 10\; -\; пер\; \; 9)\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; =\; -\; \backslash \; tau\; \backslash ;\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1-0,1\; \backslash \; right)\; =\; -\; \backslash \; tau\; \backslash ;\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (0.9\; \backslash \; right)\; =\; -\; \backslash \; tau\; \backslash ;\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{9\}\; \{10\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; tau\; \backslash ;\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{10\}\; \{9\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; tau\; (\{\backslash \; ln\; 10\}\; -\; \{\backslash \; ln\; 9\})\}$

$t\; 2\; =\; \tau \; ln\; \; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; tau\; \backslash \; ln\; \{10\}\; \backslash ,\}$

Таким образом, время нарастания пропорционально постоянной времени:

$tr\; =\; t\; 2\; -\; t\; 1\; =\; \tau \; \cdot \; ln\; \; 9\; \cong \; \tau \; \cdot \; 2.197\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; =\; t\_\; \{2\}\; -t\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; tau\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; 9\; \backslash \; con\; g\; \backslash \; tau\; \backslash \; cdot\; 2.197\}$

Теперь, отмечая, что

$\tau \; =\; RC\; =\; 1\; 2\; \pi \; f\; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; RC\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{H\}\}\; \},\}$

затем

$tr\; =\; 2\; ln\; \; 3\; 2\; \pi \; f\; H\; =\; ln\; \; 3\; \pi \; f\; H\; \cong \; 0,349\; f\; H,\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; ln\; 3\}\; \{\; 2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{H\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; 3\}\; \{\backslash \; pi\; f\_\; \{H\}\}\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{0.349\}\; \{f\_\; \{H\}\}\},\}$

и поскольку высокочастотная отсечка равна ширине полосы,

$tr\; \cong \; 0,35\; BW\; ⟺\; BW\; \cdot \; tr\; \cong \; 0,35.\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{0.35\}\; \{BW\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; BW\; \backslash \; cdot\; t\_\; \{r\}\; \backslash \; cong\; 0.35.\}$

Наконец, обратите внимание, что если от 20% до 80 % времени нарастания вместо этого рассматривается, t r принимает вид:

$tr\; =\; \tau \; \cdot \; ln\; \; 8\; 2\; =\; (2\; ln\; \; 2)\; \tau \; \cong \; 1,386\; \tau \; ⟺\; tr\; =\; ln\; \; 2\; \pi \; BW\; \cong \; 0,22\; BW\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; =\; \backslash \; tau\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{2\}\}\; =\; (2\; \backslash \; ln\; 2)\; \backslash \; tau\; \backslash \; cong\; 1.386\; \backslash \; tau\; \backslash \; quad\; \backslash \; Longleftrightarrow\; \backslash \; quad\; t\_\; \{r\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; 2\}\; \{\backslash \; pi\; BW\}\}\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{0.22\}\; \{BW\}\}\}$

Одноступенчатая низкочастотная сеть LR

Даже для простой одноступенчатой низкочастотной сети RL, время нарастания от 10% до 90% пропорционально постоянной времени сети τ = ⁄ R. Формальное доказательство этого утверждения проводится точно так же, как показано в предыдущем разделе: единственное различие между окончательными выражениями для времени нарастания связано с различием в выражениях для постоянной времени τ двух разных схем, ведущей в данном случае к следующему результату

$tr\; =\; \tau \; \cdot \; ln\; \; 9\; =\; LR\; \cdot \; ln\; \; 9\; \cong \; LR\; \cdot \; 2.197\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; =\; \backslash \; tau\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; 9\; =\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{R\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; ln\; 9\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; frac\; \{L\}\; \{R\}\}\; \backslash \; cdot\; 2.197\}$

Время нарастания затухающих систем второго порядка

Согласно Levine (1996, p 158), для систем с недостаточным демпфированием, используемых в теории управления, время нарастания обычно определяется как время, за которое форма волны изменяется от 0% до 100% от его конечного значения: соответственно, время нарастания от 0 до 100% от 2-го уровня с недостаточным демпфированием. Система заказов имеет следующий вид:

$тр\; \cdot \; \omega \; 0\; =\; 1\; 1\; -\; \zeta \; 2\; [\pi \; -\; tan\; -\; 1\; \; (1\; -\; \zeta \; 2\; \zeta )]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; zeta\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; pi\; -\; \backslash \; tan\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; zeta\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; zeta\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; справа]\}$

квадратичное приближение для нормализованного времени нарастания для системы 2-го порядка, переходная характеристика, без нулей:

$tr\; \cdot \; \omega \; 0\; =\; 2,230\; \zeta \; 2\; -\; 0,078\; \zeta \; +\; 1,12\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; omega\; \_\; \{0\}\; =\; 2.230\; \backslash \; zeta\; ^\; \{2\}\; -0.078\; \backslash \; zeta\; +1.12\; \backslash ,\}$

где ζ - коэффициент демпфирования и ω 0 - это собственная частота сети.

Время нарастания каскадных блоков

Рассмотрим систему, состоящую из n каскадных невзаимодействующих блоков, каждый из которых имеет время нарастания t ri, i = 1,..., n, и нет перерегулирование в их переходной характеристике : предположим также, что входной сигнал первого блока имеет время нарастания, значение которого равно t rS. После этого его выходной сигнал имеет время нарастания t r0, равное

$tr\; O\; =\; tr\; S\; 2\; +\; tr\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; trn\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{r\_\; \{O\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{t\_\; \{\; r\_\; \{S\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; t\_\; \{r\_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; dots\; +\; t\_\; \{r\_\; \{n\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

По данным Valley Wallman (1948, pp. 77–78), этот результат является следствием центральной предельной теоремы и был доказан Wallman (1950) : однако подробный анализ проблема представлена ​​Petitt McWhorter (1961, §4–9, стр. 107–115), которые также считают, что Элмора (1948) первым доказал предыдущее

• Время спада
• Частотная характеристика
• Импульсная характеристика
• Переходная характеристика
• Время установления