Копирует машину

В геометрической теории групп, машина разрыва - это метод изучения действия групп на R-деревья. Он был представлен в неопубликованной работе Элиягу Рипса примерно в 1991 году.

Дерево R является уникальным дуговым соединением метрическое пространство, в котором каждая дуга изометрична некоторому действительному интервалу. Рипс доказал гипотезу Morgan Shalen (1991) о том, что любая конечно порожденная группа, действующая свободно на R -дереве, является свободным произведением свободных абелевых и поверхностных групп (Bestvina Feighn 1995).

• 1 Действия групп поверхностей на R-деревьях
• 2 Приложения
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Автор Теория Басса – Серра, группа, свободно действующая на симплициальном дереве, свободна. Это больше не верно для R -деревьев, поскольку Morgan Shalen (1991) показали, что фундаментальные группы поверхностей эйлеровой характеристики меньше −1 также свободно действовать на R -деревьях. Они доказали, что фундаментальная группа связной замкнутой поверхности S свободно действует на R-дереве тогда и только тогда, когда S не является одной из трех неориентируемых поверхностей с эйлеровой характеристикой ≥ − 1.

Машина Рипса назначает стабильному изометрическому действию конечно порожденной группы G некоторую "нормальную форму" аппроксимации этого действия стабильным действием G на симплициальном дереве и, следовательно, расщепление G в смысле теории Басса – Серра. Групповые действия на реальных деревьях возникают естественным образом в нескольких контекстах в геометрической топологии : например, как граничные точки пространства Тейхмюллера (каждая точка на границе Терстона Пространство Тейхмюллера представлено измеренным геодезическим слоем на поверхности; эта слоистость поднимается до универсального покрытия поверхности, и естественным двойным объектом этого подъема является $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$-дерево, наделенное изометрическим действием фундаментальной группы поверхности), как пределы Громова-Хаусдорфа, соответственно измененные, действия клейновской группы и т. Д. Использование механизма $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$-деревьев обеспечивает существенные сокращения в современных доказательствах теоремы Терстона о гиперболизации для трехмерных многообразий Хакена. Точно так же $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$-деревья играют ключевую роль в исследовании космического пространства Каллера - Фогтманна. а также в других областях геометрической теории групп ; например, асимптотические конусы групп часто имеют древовидную структуру и приводят к групповым действиям на реальных деревьях. Использование $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$-деревьев вместе с теорией Басса – Серра является ключевым инструментом в работе Селы по решению проблемы изоморфизма для (торсионно- бесплатно) словесно-гиперболические группы, версия Селы теории JSJ-разложения и работа Селы по гипотезе Тарского для свободных групп и теории.

1. ^Ричард Скора. Расщепление поверхностей. Бюллетень Американского математического общества (N.S.), т. 23 (1990), нет. 1. С. 85–90
2. ^Младен Бествина. Вырождения гиперболического пространства. Математический журнал герцога. т. 56 (1988), нет. 1. С. 143–161
3. ^ М. Капович. Гиперболические многообразия и дискретные группы. Успехи в математике, 183. Birkhäuser. Бостон, Массачусетс, 2001. ISBN 0-8176-3904-7
4. ^Ж.-П. Отал. Теорема гиперболизации для расслоенных трехмерных многообразий. Перевод с французского оригинала 1996 года Лесли Д. Кей. Тексты и монографии SMF / AMS, 7. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Société Mathématique de France, Париж. ISBN 0-8218-2153-9
5. ^Маршал Коэн и Мартин Лустиг. Действия очень малых групп над $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$-деревьями и поворотные автоморфизмы Дена. Топология, т. 34 (1995), нет. 3, pp. 575–617
6. ^Гилберт Левитт и Мартин Люстиг. Неприводимые автоморфизмы F n имеют динамику север-юг в компактифицированном космическом пространстве. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, vol. 2 (2003), нет. 1, стр. 59–72
7. ^Корнелия Другу и Марк Сапир. Древовидные пространства и асимптотические конусы групп. (С приложением Дениса Осина и Марка Сапира.) Топология, т. 44 (2005), нет. 5, pp. 959–1058
8. ^Корнелия Друту и ​​Марк Сапир. Группы, действующие на древовидных пространствах и расщепления относительно гиперболических групп. Успехи в математике, т. 217 (2008), нет. 3. С. 1313–1367
9. ^Злил Села. Диофантова геометрия над группами и элементарная теория свободных и гиперболических групп. Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002), стр. 87–92, Higher Ed. Press, Пекин, 2002; ISBN 7-04-008690-5
10. ^Злил Села. Диофантова геометрия над группами. Диаграммы Маканина-Разборова. Публикации Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques, № 93 (2001), стр. 31–105

• Бествина, Младен; Файн, Марк (1995), «Стабильные действия групп на реальных деревьях», Inventiones Mathematicae, 121 (2): 287–321, doi : 10.1007 / BF01884300, ISSN 0020-9910, MR 1346208
• Gaboriau, D.; Levitt, G.; Паулин, Ф. (1994), «Псевдогруппы изометрий R и теорема Рипса о свободных действиях на R -деревьях», Израильский математический журнал, 87 (1): 403–428, doi : 10.1007 / BF02773004, ISSN 0021-2172, MR 1286836
• Капович, Михаил (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы, Современная классика Биркхойзера, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007 / 978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, MR 1792613
• Morgan, John W.; Шален, Питер Б. (1991), "Свободные действия групп поверхностей на R -деревьях", Топология. Международный математический журнал, 30(2): 143–154, doi : 10.1016 / 0040-9383 (91) 90002-L, ISSN 0040-9383, MR 1098910
• Шелен, Питер Б. (1987), «Дендрология групп: введение», в Герстене, С.М. (ред.), Очерки теории групп, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 265–319, ISBN 978-0-387-96618- 2, MR 0919830