Релятивистские уравнения Эйлера

редактировать

В механике жидкости и астрофизике, релятивистские уравнения Эйлера являются обобщением уравнений Эйлера, которые учитывают эффекты общей теории относительности. Они имеют приложения в астрофизике высоких энергий и численной теории относительности, где они обычно используются для описания таких явлений, как гамма-всплески, явления аккреции и нейтронные звезды, часто с добавлением магнитного поля. Примечание: для согласования с литературой в этой статье используются натуральные единицы, а именно скорость света $c = 1 {\ displaystyle c = 1}$ $c=1$ и Соглашение о суммировании Эйнштейна.

Содержание

1 Мотивация
2 Введение
3 Уравнения движения в плоском пространстве
- 3.1 Вывод уравнений движения
4 См. Также
5 Ссылки

Мотивация

Для большинства наблюдаемых на Земле жидкостей достаточно традиционной механики жидкости, основанной на механике Ньютона. Однако, когда скорость жидкости приближается к скорости света или движется через сильные гравитационные поля, или когда давление приближается к плотности энергии ( $P ∼ ρ {\ displaystyle P \ sim \ rho}$ $P\sim \rho$ ), эти уравнения больше не действительны. Такие ситуации часто возникают в астрофизических приложениях. Например, гамма-всплески часто имеют скорость только на $0,01% {\ displaystyle 0,01 \%}$ $0.01\%$ меньше скорости света, а нейтронные звезды имеют гравитационные поля, превышающие $10 В 11 {\ displaystyle 10 ^ {11}}$ $10^{11}$ раз сильнее Земли. В этих экстремальных обстоятельствах достаточно только релятивистской обработки жидкостей.

Введение

уравнения движения содержатся в уравнении неразрывности тензора напряжения-энергии $T μ ν {\ Displaystyle T ^ {\ mu \ nu}}$ $T^{\mu\nu}$ :

∇ μ T μ ν = 0, {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = 0,}

\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,

где $∇ μ {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$ $\nabla _{\mu }$ - ковариантная производная. Для совершенной жидкости,

T μ ν = (e + p) u μ u ν + p g μ ν. {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} \, = (e + p) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + pg ^ {\ mu \ nu}.}

T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.

Здесь $e {\ displaystyle e}$ $e$ - это общая плотность массы-энергии (включая массу покоя и плотность внутренней энергии) жидкости, $p {\ displaystyle p}$ $p$ - давление жидкости, $u μ {\ displaystyle u ^ {\ mu}}$ $u^{\mu }$ - четырехскоростной жидкости, и $g μ ν {\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$ $g^{\mu \nu }$ - это метрический тензор. К приведенным выше уравнениям обычно добавляется закон сохранения, обычно сохранение барионного числа. Если $n {\ displaystyle n}$ $n$ - это числовая плотность барионов, это может быть указано, что

∇ μ (nu μ) = 0. {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} (nu ^ {\ mu}) = 0.}

\nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.

Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если трехскоростная жидкость намного меньше, чем скорость света, давление намного меньше, чем плотность энергии, и последняя определяется плотностью массы покоя. Чтобы закрыть эту систему, уравнение состояния, такое как Также добавляется идеальный газ или ферми-газ.

Уравнения движения в плоском пространстве

В случае плоского пространства, то есть $∇ μ = ∂ μ {\ displaystyle \ nabla _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu}}$ $\nabla _{\mu }=\partial _{\mu }$ и с использованием метрической подписи из $(-, +, +, +) {\ displaystyle (-, +, +, +)}$ $(-,+,+,+)$ , уравнения движения:

(e + p) u μ ∂ μ u ν = - ∂ ν п - U ν U μ ∂ μ п {\ Displaystyle (е + р) и ^ {\ му} \ partial _ {\ mu} u ^ {\ nu} = - \ partial ^ {\ nu} pu ^ {\ nu} u ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} p}

(e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p

Где $e = γ ρ c 2 + ρ ϵ {\ displaystyle e = \ gamma \ rho c ^ {2} + \ rho \ epsilon}$ $e=\gamma \rho c^{2}+\rho \epsilon$ - плотность энергии системы, с $p {\ displaystyle p}$ $p$ - давление, и $u μ = γ (1, vc) {\ displaystyle u ^ {\ mu} = \ gamma (1, {\ frac {\ mathbf {v}} {c}})}$ $u^{\mu }=\gamma (1,{\frac {\mathbf {v} }{c}})$ - это четырехскоростной системы.

Раскрывая суммы и уравнения, мы имеем (используя $ddt {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}}}$ ${\frac {d}{dt}}$ в качестве производной материала )

(e + p) γ cdu μ dt = - ∂ μ p - γ cdpdtu μ {\ displaystyle (e + p) {\ frac {\ gamma} {c}} {\ frac {du ^ {\ mu}} {dt}} = - \ partial ^ {\ mu} p - {\ frac {\ gamma} {c}} {\ frac {dp} {dt}} u ^ {\ mu}}

(e+p){\frac {\gamma }{c}}{\frac {du^{\mu }}{dt}}=-\partial ^{\mu }p-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu }

Затем, выбирая $u ν = ui = γ cvi {\ displaystyle u ^ {\ nu} = u ^ {i} = {\ frac {\ gamma} {c}} v_ {i}}$ $u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}$ для наблюдения поведение самой скорости, мы видим, что уравнения движения принимают вид

(e + p) γ c 2 ddt (γ vi) = - ∂ ip - γ 2 c 2 dpdtvi {\ displaystyle (e + p) {\ frac {\ gamma} {c ^ {2}}} {\ frac {d} {dt}} (\ gamma v_ {i}) = - \ partial _ {i} p - {\ frac {\ gamma ^ {2 }} {c ^ {2}}} {\ frac {dp} {dt}} v_ {i}}

(e+p){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}(\gamma v_{i})=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}

Обратите внимание, что принимая нерелятивистский предел, мы имеем $1 c 2 (e + p) знак равно γ ρ + 1 c 2 ρ ϵ + 1 c 2 p ≈ ρ {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} (e + p) = \ gamma \ rho + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ rho \ epsilon + {\ frac {1} {c ^ {2}}} p \ приблизительно \ rho}$ ${\frac {1}{c^{2}}}(e+p)=\gamma \rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \epsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho$ . Это означает, что в системе преобладает энергия покоя рассматриваемой жидкости.

В этом пределе мы имеем $γ → 1 {\ displaystyle \ gamma \ rightarrow 1}$ $\gamma \rightarrow 1$ и $c → ∞ {\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$ $c\rightarrow \infty$ , и мы видим, что мы возвращаем уравнение Эйлера $ρ dvidt = - ∂ ip {\ displaystyle \ rho {\ frac {dv_ {i}} {dt}} = - \ partial _ {i } p}$ $\rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p$ .

Вывод уравнений движения

Чтобы определить уравнения движения, мы воспользуемся следующим тождеством:

∂ μ T μ ν + u α u ν ∂ μ T μ α знак равно 0 {\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} + u _ {\ alpha} u ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} = 0}

\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0

Мы докажем это, посмотрев на $∂ μ T μ ν + u α u ν ∂ μ T μ α {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} + u_ {\ alpha} u ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha}}$ $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }$ , а затем умножение каждой стороны на $u ν {\ displaystyle u _ {\ nu }}$ $u_{\nu }$ . Сделав это и отметив, что $u μ u μ = - 1 {\ displaystyle u ^ {\ mu} u _ {\ mu} = - 1}$ $u^{\mu }u_{\mu }=-1$ , мы имеем $u ν ∂ μ T μ ν - U α ∂ μ T μ α {\ displaystyle u _ {\ nu} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} -u _ {\ alpha} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha}}$ $u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }$ . Переназначение индексов $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\alpha$ как $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\nu$ показывает, что два полностью отменяются.

Теперь, когда мы отмечаем, что

T μ ν = wu μ u ν + pg μ ν {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = wu ^ {\ mu} u ^ {\ nu } + pg ^ {\ mu \ nu}}

T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }

Где мы неявно определили, что $w ≡ e + p {\ displaystyle w \ Equiv e + p}$ $w\equiv e+p$ .

Мы можем вычислить, что

∂ μ T μ ν = (∂ μ w) u μ u ν + w (∂ μ u μ) u ν + wu μ ∂ μ u ν + ∂ ν p ∂ μ T μ α = (∂ μ w) u μ u α + вес (∂ μ u μ) u α + wu μ ∂ μ u α + ∂ α p {\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} + w (\ partial _ {\ mu} u ^ {\ mu}) u ^ {\ nu} + wu ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} u ^ {\ nu} + \ partial ^ {\ nu} p \\\ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ alpha} + w (\ partial _ {\ mu} u ^ {\ mu}) u ^ {\ alpha} + wu ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} u ^ {\ alpha} + \ partial ^ {\ alpha} p \ end {align}}}

{\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}

Таким образом,

u ν u α ∂ μ T μ α = (∂ μ w) u μ u ν u α u α + вес (∂ μ u μ) u ν u α u α + wu μ u ν u α ∂ μ u α + u ν u α ∂ α p {\ displaystyle u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ alpha} = (\ partial _ {\ mu} w) u ^ {\ mu} u ^ {\ nu} u ^ {\ al pha} u _ {\ alpha} + w (\ partial _ {\ mu} u ^ {\ mu}) u ^ {\ nu} u ^ {\ alpha} u _ {\ alpha} + wu ^ {\ mu} u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ partial _ {\ mu} u ^ {\ alpha} + u ^ {\ nu} u _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} p}

u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p

Тогда давайте отметим тот факт, что $u α u α = - 1 {\ displaystyle u ^ {\ alpha} u _ {\ alpha} = - 1}$ $u^{\alpha }u_{\alpha }=-1$ и $u α ∂ ν u α = 0 { \ Displaystyle u ^ {\ alpha} \ partial _ {\ nu} u _ {\ alpha} = 0}$ $u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0$ . Отметим, что второе тождество следует из первого. При этих упрощениях находим, что

u ν u α ∂ μ T μ α = - (∂ μ w)u μ u ν − w ( ∂ μ u μ) u ν + u ν u α ∂ α p {\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}

u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p

And thus by $∂ μ T μ ν + u α u ν ∂ μ T μ α = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$ $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0$ , we have

( ∂ μ w) u μ u ν + w ( ∂ μ u μ) u ν + w u μ ∂ μ u ν + ∂ ν p − ( ∂ μ w) u μ u ν − w ( ∂ μ u μ) u ν + u ν u α ∂ α p = 0 {\displaystyle (\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0}

(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0

We have two cancellations, and are thus left with

( e + p) u μ ∂ μ u ν = − ∂ ν p − u ν u α ∂ α p = 0 {\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0}

(e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0